2023年湖北省随州市中考数学试卷

2023年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）

1．﹣2023的绝对值是（　　）

A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣

2．如图，直线l1∥l2，直线l与l1，l2相交，若图中∠1＝60°，则∠2为（　　）

A．30° B．60° C．120° D．150°

3．如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（　　）

A．主视图和俯视图 B．左视图和俯视图 

C．主视图和左视图 D．三个视图均相同

4．某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）

A．5和5 B．5和4 C．5和6 D．6和5

5．甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（　　）

A．﹣＝ B．﹣＝ 

C．﹣＝ D．﹣＝

6．甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距300km；②甲车的平均速度是60km/h，乙车的平均速度是100km/h；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在9：30追上乙车．正确的有（　　）

A．①② B．①③ C．②④ D．①④

7．如图，在▱ABCD中，分别以B，D为圆心，大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交BD于点O，交AD，BC于点E，F，下列结论不正确的是（　　）

A．AE＝CF B．DE＝BF C．OE＝OF D．DE＝DC

8．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为6Ω时，电流为（　　）

A．3A B．4A C．6A D．8A

9．设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（　　）

A．6 B．7 C．8 D．9

10．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论正确的有（　　）

①abc＜0；

②a﹣b+c＞0；

③方程cx2+bx+a＝0的两个根为x1＝，x2＝﹣；

④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）

11．计算：（﹣2）2+（﹣2）×2＝　   　．

12．如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝60°，则∠ADC的度数为 　      　．

13．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1+x2﹣x1x2的值为 　   　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝　   　．

15．某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1﹣100的100盏灯，分别对应着编号为1﹣100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律；

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有 　     　盏．

16．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点（不含端点），将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM．当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为 　     　；DP的最大值为 　              　．

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）

17．先化简，再求值：÷，其中x＝1．

18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

（1）求证：四边形OCED是菱形；

（2）若BC＝3，DC＝2，求四边形OCED的面积．

19．中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有 　     　人，条形统计图中m的值为 　     　，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为 　      　；

（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为 　     　人；

（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．

20．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

（1）求点D到地面BC的距离；

（2）求该建筑物的高度AB．

21．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点C是的中点，AE垂直于过C点的直线DC，垂足为D，AB的延长线交直线DC于点F．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，

①求⊙O的半径；

②求线段DE的长．

22．为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（1≤x≤30且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式p＝销量q（千克）与x的函数关系式为q＝x+10，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元．

（1）m＝　     　，n＝　     　；

（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；

（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？

23．1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．

（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）

当△ABC的三个内角均小于120°时，

如图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，

由PC＝P′C，∠PCP′＝60°，可知△PCP′为 　   　三角形，故PP′＝PC，又P′A′＝PA，故PA+PB+PC＝P′A′+PB+PP′≥A′B，

由 　   　可知，当B，P，P′，A′在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A′B，此时的P点为该三角形的“费马点”，

且有∠APC＝∠BPC＝∠APB＝　   　；

已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 　   　点．

（2）如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC＝3，BC＝4，∠ACB＝30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；

（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC＝4km，BC＝2km，∠ACB＝60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/km，a元/km，a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为 　   　元．（结果用含a的式子表示）

24．如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．

（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；

（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；

（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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