【同步讲义】苏科版数学八年级下册：9.4.3 正方形 讲义

9.4.3 正方形

正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。

2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。

3）正方形对边平行且相等。

4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.

正方形的判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；

2）对角线相等的菱形是正方形；

3）一组邻边相等的矩形是正方形；

4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

正方形的面积公式：边长×边长＝×对角线×对角线

【题型一】利用正方形的性质求角度

【典题】（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，有一个平行四边形ABCD和一个正方形CEFG，其中点E在边AD上．若∠ECD＝43°，∠AEF＝28°，则∠B的度数为（　　）

A．55° B．75° C．65° D．60°

巩固练习

1（）（2022春·江苏苏州·八年级校考期中）如图，以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC，点F在DC的延长线上，连接AF交BC于点G，则∠FGC的度数为（　　）

A．67.5° B．45° C．60° D．75°

2（）（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，为上任意一点，分别以、为边在同侧作正方形、正方形，设，则为（  ）

A． B． C． D．

3（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（   ）

A．75° B．60° C．30° D．45°

4（）（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是________度．

5（）（2022春·江苏盐城·八年级统考期中）如图，四边形ABCD是正方形，按如下步骤操作：①分别以点A、D为圆心，以AD长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP、DP；②连接BP、CP，则∠PBC＝______．

6（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期中）如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．

(1)求证：PC＝PE；

(2)求∠CPE的度数．

【题型二】利用正方形的性质求线段长

【典题】（2022春·江苏淮安·八年级统考期末）如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（　　）

A．5 B． C．7 D．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为(　　)

A．3 B．4 C． D．

2（）（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是2，则AB的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．

3（）（2022秋·江苏·八年级统考期中）如图，在边长为6的正方形内作，交于点E，交于点F，连接．若，则的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

4（）（2022春·江苏南通·八年级统考期中）如图，正方形的边长为8，点在上，且，是上的一动点，则的最小值是（    ）

A． B．10 C．12 D．

5（）（2022春·江苏南通·八年级统考期末）如图，正方形的边长为，是边的中点，连接，将沿直线翻折至，延长交于点，则的长度是____

6（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）如图，在正方形中，为对角线上一点，过作于，于，若，，则___________．

【题型三】利用正方形的性质求面积

【典题】（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　）

A． B． C． D．

巩固练习

1（）（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）正方形的边上有一动点，以为边作矩形，且边过点，在点从点移动到点的过程中，矩形的面积（  ）

A．先变大后变小 B．先变小后变大 C．一直变大 D．保持不变

2（）（2022春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，四边形ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED＝90°，若OE＝2，CE•DE＝5，则正方形ABCD的面积为（　　）

A．5 B．6 C．8 D．12.5

3（）（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．

4（）（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点，，，…，分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为______．

5（）（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为2和3，图中阴影部分的面积为_________．

6（）（2021秋·江苏连云港·八年级灌南县实验中学校考期末）如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是_____．

【题型四】正方形折叠问题

【典题】（2021春·江苏徐州·八年级校考期中）如图，在正方形中，，点在边上，且，将沿折叠得到，延长交边于点，则的长为（    ）

A． B． C． D．

 巩固练习

1（）（2022春·江苏连云港·八年级校考期中）如图．已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形的边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG．现有如下3个结论；①AG+EC＝GE；②∠GDE＝45°；③△BGE的周长是24．其中正确的个数为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

2（）（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则GPQ的周长最小值是（    ）

A． B． C． D．

3（）（2022春·江苏南京·八年级统考期末）将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（    ）

A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形

C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形

4（）（2022春·江苏淮安·八年级统考期中）如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C=________度．

5（）（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，将一边长为的正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长__________．

6（）（2022春·江苏扬州·八年级校联考期中）知识再现：已知，如图，四边形ABCD是正方形，点M、N分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，∠MAN＝45°，延长CB至G使BG＝DN，连接AG，根据三角形全等的知识，我们可以证明MN＝BM+DN．

知识探究：（1）在如图中，作AH⊥MN，垂足为点H，猜想AH与AB有什么数量关系？并证明；

知识应用：（2）如图，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，且BD＝2，AD＝6，则CD的长为     ；

知识拓展：（3）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，F为边CD上一点，∠FEC＝2∠BAE，AB=24，求DF的长．

【题型五】根据正方形的性质证明

【典题】（2022秋·江苏南京·八年级南师附中新城初中校考期中）如图，四边形是正方形，分别在边 上，且；设 ，则与之间的关系为（　　）

A． B．  C．  D．

巩固练习

1（）（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在正方形外侧作直线，点C关于直线的对称点为M，连接，．其中交直线于点N．若，则当时，正方形的边长为（    ）A．              B．5              C．              D．

2（）（2022春·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考期末）如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果，，那么AC的长等于（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

3（）（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（    ）

A．一直减小 B．一直减小后增大 C．一直不变 D．先增大后减小

【题型六】添加一个条件证明四边形是正方形

【典题】（2021春·江苏扬州·八年级统考期中）已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（　　）

A．选①② B．选②③ C．选①③ D．选②④

 巩固练习

1（）（2021春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形

C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形

2（）（2021春·江苏苏州·八年级统考期末）下列条件中，能使菱形为正方形的是（  ）

A． B． C． D．平分

3（）（2021春·江苏常州·八年级校考期中）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）

A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

C．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

【题型七】正方形的证明

【典题】（2022春·江苏南京·八年级期末）如图，△ABC的中线AF与中位线DE相交于点O．

(1)求证：AF与DE互相平分；

(2)当△ABC满足___________时，四边形ADFE是正方形．

巩固练习

1（）（2022春·江苏盐城·八年级校联考期中）如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，点B，D为垂足．

(1)∠EAF＝　   　（直接写结果）．

(2)①求证：四边形ABCD是正方形．

②若BE＝EC＝2，求DF的长．

2（）（2022春·江苏泰州·八年级校联考期中）如图，点D为的边BC的中点，过点A作，且，连接DE，CE．

（1）求证：；

（2）若，判断四边形ADCE的形状，并说明理由；

（3）若要使四边形ADCE为正方形，则应满足什么条件？

（直接写出条件即可，不必证明）．

3（）（2022春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，．点P是CD上动点，连接AP、BP，将AP绕点P顺时针旋转90°得PF，将BP绕点P逆时针旋转90°得PE，连接DF、CE．

(1)请你直接写出四边形ABCD是怎样的特殊四边形：________；

(2)若四边形ABCD的边长为3，PC＝1．

①过点E作于M，求EM得长；

②求得面积；

(3)求证：CE＝DF．