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【易错精编讲义】苏教版数学五年级下册：第4讲《因数和倍数的认识及求法》知识梳理讲义+易错练习
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这是一份【易错精编讲义】苏教版数学五年级下册：第4讲《因数和倍数的认识及求法》知识梳理讲义+易错练习，共17页。试卷主要包含了因数与倍数，找一个数的因数的方法，找一个数的倍数的方法，18等内容，欢迎下载使用。
第4讲 因数和倍数的认识及求法（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、因数与倍数。
在乘法算式a×b=c（a，b，c均是非零自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、找一个数的因数的方法。
方法一：列乘法算式找。
方法二：列除法算式找。
3、找一个数的倍数的方法。
用这个数依次与非零自然数相乘（1，2，3，4......），所得的积都是这个数的倍数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、没有最大的倍数。
【易错一】用18个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有（ ）种不同的拼法。
A．2 B．3 C．4
【解题思路】
18的因数有1、2、3、6、9、18，用18个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变；据此解答。
【完整解答】
根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：（1）长18厘米，宽1厘米；（2）长9厘米，宽2厘米；（3）长6厘米，宽3厘米；一共有3种不同的拼法。
故答案为：B
【易错点】
本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
【易错二】80名学生参加艺术节进行团体操表演。要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，那么符合要求的队列一共有（ ）种。
【解题思路】
由题意，把80拆成2个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，即80的一个因数应大于10小于20，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列；据此解答。
【完整解答】
80＝1×80＝2×40＝4×20＝5×16＝8×10
由于每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，所以每排人数可以为10、16或20，符合要求的队列一共有3种。
【易错点】
根据题意，把80拆成2个因数的积从而找出符合要求的因数是解答此题的关键。
【易错三】妈妈买来30个苹果，让亮亮把苹果放入篮子中，不许一次放完，也不许一个一个的放，要求每次放的个数相同，最后都正好放完。亮亮共有几种放法？每种放法每篮各放几个？
【解题思路】
根据题意可以知道，每次放的个数应是30的因数，不许一次放完，也不许一个一个的放，所以应该去掉1和它本身（即30）这两种放法，因此，先找出30有多少个因数，用因数的个数减去2，据此解答。
【完整解答】
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，总共8个。
8－2＝6（种）
答：亮亮共有6种放法，每种放法每篮各放2个、3个、5个、6个、10个、15个。
【易错点】
解答本题的关键是把实际问题转化成求30的因数，注意去掉1和它本身这两种放法。
【易错四】用24个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以拼（ ）种不同的长方形，拼成的长方形周长最大是（ ）厘米。
【解题思路】
24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，用24个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变，所以有4种不同的长方形，根据拼成图形的长和宽，求出它们的周长，再进行比较，据此解答。
【完整解答】
一共可以拼4种不同的长方形；
（1）长24厘米，宽1厘米，周长是：
（24＋1）×2
＝25×2
＝50（厘米）
（2）长12厘米，宽2厘米，周长是：
（12＋2）×2
＝14×2
＝28（厘米）
（3）长8厘米，宽3厘米，周长是：
（8＋3）×2
＝11×2
＝22（厘米）
（4）长6厘米，宽4厘米，周长是：
（6＋4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
因为50＞28＞22＞20，所以拼成的长方形周长最大是50厘米。
【易错点】
本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
【易错五】一个长方形的长和宽（长不等于宽）都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？
【解题思路】
根据长方形的面积公式：S＝ab，找到两个自然数的乘积＝36的情况数即可求解。
【完整解答】
36＝1×36
36＝2×18
36＝3×12
36＝4×9
36＝6×6（题干要求长不等于宽，所以排除）
答：这样的形状不同的长方形共有4种。
【易错点】
本题主要考查了找一个数的因数的方法，注意审清楚题意。
一、选择题
1．由18÷2＝9，可知（ ）。
A．2是因数 B．9是因数
C．18是倍数 D．2和9是18的因数
2．下面第（ ）组数中的前一个数是后一个数的因数。
A．8和20 B．9和18 C．9和15 D．32和12
3．在60＝12×5中，12和5是60的（ ）。
A．倍数 B．偶数 C．因数
4．下面哪道题的被除数不是除数的倍数。（ ）
A．80÷16 B．156÷39 C．92÷27
5．因为54÷6＝9，所以（ ）。
A．54是9的倍数 B．9和6都是因数 C．54是6的因数
6．如果，那么A的因数有（ ）个。
A．8 B．3 C．5 D．2
7．已知A＝2×5×7，A有（ ）个因数。
A．3 B．4 C．5 D．8
8．一个数的最大因数和最小倍数相差（ ）。
A．0 B．1 C．2
二、填空题
9．7的因数有( )个，10的倍数有( )个。
10．18的最小倍数是( )，最大因数是( )。
11．16的因数有( )，50以内12的倍数有( )。
12．根据5×8＝40可知，( )是( )和( )的倍数。
13．找一找。
60以内9的全部倍数：_______________________。
14．18的因数中，最小的是( )，最大的是( )。
15．如果a的最大因数是17，b的最小倍数是3，则a×b所得积的最大因数是( )。
16．在m÷n＝7中（m和n为非零自然数），用“倍数”或“因数”描述m和n的关系：( )。
三、判断题
17．一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最大的倍数是它本身。( )
18．6有3个因数，最大的因数是3。( )
19．一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。( )
20．56÷7＝8，所以56是7的倍数，7是56的因数。( )
四、解答题
21．75名同学参加团体操表演。如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？
22．完全数又称完美数，是一些特殊的自然数。它除了自身以外，所有因数的和恰好等于它本身。如：6＝1＋2＋3，请问28是完全数吗？请说明理由。
23．2021年9月和10月初，因遭遇连续降雨天气，致使兴平市秋收秋播难度加大，争分夺秒抢收抢种的形势严峻、任务繁重。国庆期间趁着天气晴朗，兴平市组织万名机关干部深入田间地头，帮助群众抢收抢种。某部门有36名干部去帮助群众抢收抢种，现在要把他们分成人数相等的若干小组，已知组数大于3但小于10，每组可能有多少人？
24．一个计算器的价格既是45的因数，又是9的倍数，这个计算器的价格可能是多少元？
25．鲜多多水果店购进72kg梨，现在有三种不同规格的包装箱，你认为哪种包装箱正好装完没有剩余？为什么？
1号包装箱
2号包装箱
3号包装箱
12kg
15kg
21kg
26．人在安静状态下，每分钟约呼吸a～20次，每次呼吸所吸入或呼出的空气约为500毫升。请根据以下提示判断a是多少。
提示一：a是48的因数。
提示二：a是一个两位数，它个位和十位上数字的和是7。
请在下面写出你的思考过程。
27．有下面规格的盒子，选哪种盒子正好能把60个苹果装完？为什么？
28．选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。
29．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装5个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？
30．古希腊人认为，如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。
（1）你认为16是完全数吗？请说明你的理由。
（2）在4、6、14、28、35这五个数中，哪些是完全数？请你写出计算的过程。
参考答案
1．D
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【详解】由18÷2＝9，可知2和9是18的因数，18是2和9的倍数。
故答案为：D
【点睛】本题考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
2．B
【分析】分析题目，a÷b＝c（a、b、c是自然数且均不为0），则我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答。
【详解】A．20÷8＝2……4，20不能被8整除，所以8不是20的因数；
B．18÷9＝2，18能被9整除，所以9是18的因数；
C．15÷9＝1……6，15不能被9整除，所以9不是15的因数；
D．32÷12＝2……8，32不能被12整除，所以12不是32的因数。
故答案为：B
【点睛】掌握因数的概念及特征是解答本题的关键。
3．C
【分析】在除法里，a÷b＝c（a、b、c不为0），a、b、c都是整数，则我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答。
【详解】因为60＝12×5，即60÷12＝5，
所以12和5是60的因数。
故答案为：C
【点睛】掌握倍数和因数的意义是解答本题的关键。
4．C
【分析】先根据整数除法的计算方法，求出各个算式的结果，再找出算式中没有余数的，这样的算式被除数就是除数的倍数。
【详解】A．80÷16＝5
B．156÷39＝4
C．92÷27＝3……11
D．351÷27＝13
故答案为：C
【点睛】本题考查了整数除法的计算方法，以及因数和倍数的关系。
5．A
【分析】如果a÷b＝c（a、b、c均为整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。据此解题。
【详解】因为54÷6＝9，所以，54是6和9的倍数，6和9是54的因数。
故答案为：A
【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。
6．A
【分析】可以先把A的值求出来，即2×2×2×3＝24，找出24的因数，再数出24的因数的个数即可。
【详解】2×2×2×3＝24
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
所以A的因数有8个。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数的找法，熟练掌握因数的找法并灵活运用。
7．D
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。
【详解】2×5×7＝70
70＝1×70＝2×35＝5×14＝7×10
所以A的因数有1、70、2、35、5、14、7、10，一共8个。
故答案为：D
【点睛】本题考查了因数的认识以及找因数的方法。
8．A
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，则一个数的最大因数和最小倍数相等，据此解答。
【详解】分析可知，一个数的最大因数和最小倍数是相等的关系，则最大因数－最小倍数＝0，如：5的最大因数是5，最小倍数还是5，5－5＝0。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数、倍数的求法，熟记一个数的最大因数等于它的最小倍数是解答题目的关键。
9． 2 无数
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的；据此解答。
【详解】7的因数：1，7；一共有2个；
10的倍数：10，20，30，40，50…有无数个；
【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法以及因数和倍数的特征是解题的关键。
10． 18 18
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。
【详解】根据题意可知，18的最小倍数是18，最大因数是18。
【点睛】本题考查了倍数和因数的认识。
11． 1，2，4，8，16 12，24，36，48
【分析】根据求一个数的因数、倍数的方法，进行依次列举即可。
【详解】16的因数有：1，2，4，8，16；
50以内12的倍数：12，24，36，48。
16的因数有1，2，4，8，16，50以内12的倍数有12，24，36，48。
【点睛】此题考查的是求一个数因数倍数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏。
12． 40 5 8
【分析】根据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数，因数和倍数的概念互相依存，不能单独存在，据此分析即可。
【详解】由分析可得：
5×8＝40可以转化成40÷8＝5，所以40是8的倍数；
同时5×8＝40还可以转化成40÷5＝8，所以40也是5的倍数；
综上所述：根据5×8＝40可知，40是5和8的倍数。
【点睛】本题考查了因数和倍数的概念，根据它们的意义进行解答即可。
13．9、18、27、36、45、54
【分析】分别用9乘1、2、3、4、5、6、7等，即可求出60以内9的全部倍数。
【详解】9×1＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
9×6＝54
9×7＝63
……
所以，60以内9的全部倍数有：9、18、27、36、45、54。
【点睛】本题考查倍数的求法。求一个数的倍数，用这个数分别乘1、2、3…，所得的结果都是这个数的倍数。
14． 1 18
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此填空。
【详解】18的因数中，最小的是1，最大的是18。
【点睛】本题考查了因数，掌握因数的概念和特征是解题的关键。
15．51
【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，一个非0自然数的最小倍数也是它本身，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，如果a的最大因数是17，b的最小倍数是3，则a等于17，b等于3；a×b＝17×3＝51，积的最大因数是51。
【点睛】本题主要考查学生对因数、倍数知识的掌握和灵活运用。
16．m是n的倍数，n是m的因数
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
m是n的倍数，n是m的因数。
【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
17．×
【分析】根据求一个数的倍数的方法，用这个数分别乘自然数，所得积就是这个数的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是他本身。
【详解】依据倍数的意义，一个非0自然数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个非0自然数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数，故此说法不正确。
【点睛】此题的关键是理解倍数的意义。
18．×
【分析】可以列乘法算式找6的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是6的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是6的因数。据此解答。
【详解】6＝1×6＝2×3，则6的因数有1、2、3、6，共4个因数，最大的因数是6。
故答案为：×
【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。
19．√
【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】一个数的最小倍数是30，这个数就是30本身，那么30的最大因数还是30。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题根据因数和倍数的意义，认真分析，进而得出结论。
20．√
【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。
【详解】根据分析可知， 56÷7＝8
所以56是7的倍数，7是56的因数。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可，注意不能单独说这个数是因数或倍数。
21．2种
【分析】分析题目，把75拆成两个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一个因数应大于10且小于30，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列方法，据此解答。
【详解】75＝3×25＝5×15
可以排3排，每排25人；也可以排5排，每排15人。
答：符合要求的队列一共有2种。
【点睛】根据题意，把75拆成符合要求的两个因数的乘积是解答本题的关键。
22．是；理由见详解
【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出28的所有因数，再求出除了它本身以外的所有因数之和是否等于这个数本身，据此解答。
【详解】28÷1＝28
28÷2＝14
28÷4＝7
28的因数有：1、2、4、7、14、28。
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28
答：28是完全数。
【点睛】理解完全数的意义并准确求出28的所有因数是解答题目的关键。
23．9人、6人、4人
【分析】根据题意可知，分成人数相等的若干小组，（组数大于3但小于10），只要求出36的因数中大于3小于10的因数，即可解答。
【详解】36的因数大于3，小于10的有：4、6、9。
可以分成4组、6组、9组
分4组：36÷4＝9（人）
分6组：36÷6＝6（人）
分9组：36÷9＝4（人）
每组的人数可能有9人、6人、4人。
答：每组可能有9人、6人、4人。
【点睛】本题考查求一个数因数的方法的解决实际问题的灵活应用。
24．9元或45元
【分析】45的因数有：1、45、5、9、3、15；45以内9的倍数有：9、18、27、36、45；既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。
【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9
9×1＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
所以，既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。
答：这个计算器的价格可能是9元，也可能是45元。
【点睛】分别找出45的因数和45以内9的倍数，是解答此题的关键。
25．选择1号包装箱正好装完，没有剩余
【分析】根据因数与倍数的关系，求出72能被12、15、21三个数中哪一个整数，没有余数，就选择哪种包装，据此解答。
【详解】72÷12＝6（箱）
72÷15＝4（箱）……12（千克）
72÷21＝3（箱）……9（千克）
选择1号包装箱正好装完，而且没有剩余。
答：选择1号包装箱正好装完，没有剩余。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据它们的关系进行解答。
26．16
【分析】先找出48的因数，再看哪一个因数符合小于20，并且个位和十位上数字的和是7。
【详解】48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
只有16满足小于20，并且个位和十位上数字的和是7。
所以a＝16。
答：a是16。
【点睛】本题考查因数，解答本题的关键是掌握因数的求法。
27．第一种和第二种盒子
【分析】哪种盒子的规格数量是60的因数，就可以正好能把60个苹果装完。5和6是60的因数，因此，只能用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【详解】60÷5＝12（个）
60÷6＝10（个）
60÷7＝8（个）……4（个）
60÷8＝7（个）……4（个）
答：用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【点睛】本题是考查因数和倍数的应用。掌握因数的意义是解题的关键。
28．8本/箱正好能装完，它可以整除64。
【分析】根据整除的意义，谁能整除64，就选那种包装箱，据此解答即可。
【详解】64÷6＝10（箱）……4（本）
64÷8＝8（箱）
64÷5＝12（箱）……4（本）
答：8本/箱正好能把这些面包装完，因为它可以整除64。
【点睛】此题主要依据整除的意义解决问题，因为它们能整除64。
29．C包装盒
【分析】根据因数与倍数的关系，5、6、8中哪个是56的因数，就选那个包装盒，据此解答。
【详解】因为5、6不是56的因数，不能用A包装每盒装5个的和B包装每盒装6个的包装盒；
56÷8＝7，7是56的因数，选择C包装每盒装8个，正好能把56个月饼装完。
答：选择C包装盒正好能把56个月饼装完。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据因数与倍数的关系，进行解答。
30．（1）16不是完全数
（2）6和28是完全数
【分析】先找出所有的因数（本身除外），再把所有的因数相加，如果等于这个数，就是完全数，不等于，就不是完全数。
【详解】（1）16（本身除外）的因数有1、2、4、8；
1＋2＋4＋8＝15，不等于16，
答∶16不是完全数。
（2）4（本身除外）的因数有：1，2；1＋2≠4，4不是完全数；
6（本身除外）的因数有：1，2，3；1＋2＋3＝6，6是完全数；
14（本身除外）的因数有：1，2，7；1＋2＋7≠14，14不是完全数；
28（本身除外）的因数有：1，2，4，7，14；1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完全数；
35（本身除外）的因数有：1，5，7；1＋5＋7≠35，35不是完全数。
答∶6和28是完全数。
【点睛】本题主要考查了“完全数”的应用，关键是要根据题意，理解完全数的意义：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”，从而解答。
第4讲 因数和倍数的认识及求法（讲义）
（知识梳理+易错汇总+易错精讲+易错专练）
1、因数与倍数。
在乘法算式a×b=c（a，b，c均是非零自然数）中，a和b是c的因数，c是a和b的倍数。
一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
2、找一个数的因数的方法。
方法一：列乘法算式找。
方法二：列除法算式找。
3、找一个数的倍数的方法。
用这个数依次与非零自然数相乘（1，2，3，4......），所得的积都是这个数的倍数。
1、因数和倍数是两个相互依存的概念，只能说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，因数和倍数不能单独存在。
2、一个数的倍数都大于或等于它本身，而因数都小于或等于它本身。
3、没有最大的倍数。
【易错一】用18个1平方厘米的小正方形拼成长方形，有（ ）种不同的拼法。
A．2 B．3 C．4
【解题思路】
18的因数有1、2、3、6、9、18，用18个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变；据此解答。
【完整解答】
根据分析知拼成后图形的面积不变，拼成后长方形的长和宽可分下列情况：（1）长18厘米，宽1厘米；（2）长9厘米，宽2厘米；（3）长6厘米，宽3厘米；一共有3种不同的拼法。
故答案为：B
【易错点】
本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
【易错二】80名学生参加艺术节进行团体操表演。要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，那么符合要求的队列一共有（ ）种。
【解题思路】
由题意，把80拆成2个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，即80的一个因数应大于10小于20，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列；据此解答。
【完整解答】
80＝1×80＝2×40＝4×20＝5×16＝8×10
由于每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于20人，所以每排人数可以为10、16或20，符合要求的队列一共有3种。
【易错点】
根据题意，把80拆成2个因数的积从而找出符合要求的因数是解答此题的关键。
【易错三】妈妈买来30个苹果，让亮亮把苹果放入篮子中，不许一次放完，也不许一个一个的放，要求每次放的个数相同，最后都正好放完。亮亮共有几种放法？每种放法每篮各放几个？
【解题思路】
根据题意可以知道，每次放的个数应是30的因数，不许一次放完，也不许一个一个的放，所以应该去掉1和它本身（即30）这两种放法，因此，先找出30有多少个因数，用因数的个数减去2，据此解答。
【完整解答】
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30，总共8个。
8－2＝6（种）
答：亮亮共有6种放法，每种放法每篮各放2个、3个、5个、6个、10个、15个。
【易错点】
解答本题的关键是把实际问题转化成求30的因数，注意去掉1和它本身这两种放法。
【易错四】用24个边长1厘米的小正方形拼成长方形，可以拼（ ）种不同的长方形，拼成的长方形周长最大是（ ）厘米。
【解题思路】
24的因数有1，2，3，4，6，8，12，24，用24个小正方形拼成的长方形，不论怎样拼它的面积不变，所以有4种不同的长方形，根据拼成图形的长和宽，求出它们的周长，再进行比较，据此解答。
【完整解答】
一共可以拼4种不同的长方形；
（1）长24厘米，宽1厘米，周长是：
（24＋1）×2
＝25×2
＝50（厘米）
（2）长12厘米，宽2厘米，周长是：
（12＋2）×2
＝14×2
＝28（厘米）
（3）长8厘米，宽3厘米，周长是：
（8＋3）×2
＝11×2
＝22（厘米）
（4）长6厘米，宽4厘米，周长是：
（6＋4）×2
＝10×2
＝20（厘米）
因为50＞28＞22＞20，所以拼成的长方形周长最大是50厘米。
【易错点】
本题的关键是根据拼成后面积不变，分情况讨论组成长方形的长和宽。
【易错五】一个长方形的长和宽（长不等于宽）都是自然数，面积是36平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？
【解题思路】
根据长方形的面积公式：S＝ab，找到两个自然数的乘积＝36的情况数即可求解。
【完整解答】
36＝1×36
36＝2×18
36＝3×12
36＝4×9
36＝6×6（题干要求长不等于宽，所以排除）
答：这样的形状不同的长方形共有4种。
【易错点】
本题主要考查了找一个数的因数的方法，注意审清楚题意。
一、选择题
1．由18÷2＝9，可知（ ）。
A．2是因数 B．9是因数
C．18是倍数 D．2和9是18的因数
2．下面第（ ）组数中的前一个数是后一个数的因数。
A．8和20 B．9和18 C．9和15 D．32和12
3．在60＝12×5中，12和5是60的（ ）。
A．倍数 B．偶数 C．因数
4．下面哪道题的被除数不是除数的倍数。（ ）
A．80÷16 B．156÷39 C．92÷27
5．因为54÷6＝9，所以（ ）。
A．54是9的倍数 B．9和6都是因数 C．54是6的因数
6．如果，那么A的因数有（ ）个。
A．8 B．3 C．5 D．2
7．已知A＝2×5×7，A有（ ）个因数。
A．3 B．4 C．5 D．8
8．一个数的最大因数和最小倍数相差（ ）。
A．0 B．1 C．2
二、填空题
9．7的因数有( )个，10的倍数有( )个。
10．18的最小倍数是( )，最大因数是( )。
11．16的因数有( )，50以内12的倍数有( )。
12．根据5×8＝40可知，( )是( )和( )的倍数。
13．找一找。
60以内9的全部倍数：_______________________。
14．18的因数中，最小的是( )，最大的是( )。
15．如果a的最大因数是17，b的最小倍数是3，则a×b所得积的最大因数是( )。
16．在m÷n＝7中（m和n为非零自然数），用“倍数”或“因数”描述m和n的关系：( )。
三、判断题
17．一个数（0除外）的倍数的个数是无限的，最大的倍数是它本身。( )
18．6有3个因数，最大的因数是3。( )
19．一个数的最小倍数是30，那么这个数的最大因数也是30。( )
20．56÷7＝8，所以56是7的倍数，7是56的因数。( )
四、解答题
21．75名同学参加团体操表演。如果要求每排人数必须相等，并且每排不能少于10人，不能多于30人，那么符合要求的队列一共有几种？
22．完全数又称完美数，是一些特殊的自然数。它除了自身以外，所有因数的和恰好等于它本身。如：6＝1＋2＋3，请问28是完全数吗？请说明理由。
23．2021年9月和10月初，因遭遇连续降雨天气，致使兴平市秋收秋播难度加大，争分夺秒抢收抢种的形势严峻、任务繁重。国庆期间趁着天气晴朗，兴平市组织万名机关干部深入田间地头，帮助群众抢收抢种。某部门有36名干部去帮助群众抢收抢种，现在要把他们分成人数相等的若干小组，已知组数大于3但小于10，每组可能有多少人？
24．一个计算器的价格既是45的因数，又是9的倍数，这个计算器的价格可能是多少元？
25．鲜多多水果店购进72kg梨，现在有三种不同规格的包装箱，你认为哪种包装箱正好装完没有剩余？为什么？
1号包装箱
2号包装箱
3号包装箱
12kg
15kg
21kg
26．人在安静状态下，每分钟约呼吸a～20次，每次呼吸所吸入或呼出的空气约为500毫升。请根据以下提示判断a是多少。
提示一：a是48的因数。
提示二：a是一个两位数，它个位和十位上数字的和是7。
请在下面写出你的思考过程。
27．有下面规格的盒子，选哪种盒子正好能把60个苹果装完？为什么？
28．选用哪种包装箱能正好把64本书装完？写出你的理由。
29．食品店里做了56个月饼，店里有A包装盒每盒装5个，B包装盒每盒装6个，C包装盒每盒装8个，请问选用哪种包装盒正好能把56个月饼装完？
30．古希腊人认为，如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”。
（1）你认为16是完全数吗？请说明你的理由。
（2）在4、6、14、28、35这五个数中，哪些是完全数？请你写出计算的过程。
参考答案
1．D
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。因数与倍数是相互依存的，必须说，谁是谁因数，谁是谁的倍数。
【详解】由18÷2＝9，可知2和9是18的因数，18是2和9的倍数。
故答案为：D
【点睛】本题考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
2．B
【分析】分析题目，a÷b＝c（a、b、c是自然数且均不为0），则我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答。
【详解】A．20÷8＝2……4，20不能被8整除，所以8不是20的因数；
B．18÷9＝2，18能被9整除，所以9是18的因数；
C．15÷9＝1……6，15不能被9整除，所以9不是15的因数；
D．32÷12＝2……8，32不能被12整除，所以12不是32的因数。
故答案为：B
【点睛】掌握因数的概念及特征是解答本题的关键。
3．C
【分析】在除法里，a÷b＝c（a、b、c不为0），a、b、c都是整数，则我们就说a是b和c的倍数，b和c是a的因数，据此解答。
【详解】因为60＝12×5，即60÷12＝5，
所以12和5是60的因数。
故答案为：C
【点睛】掌握倍数和因数的意义是解答本题的关键。
4．C
【分析】先根据整数除法的计算方法，求出各个算式的结果，再找出算式中没有余数的，这样的算式被除数就是除数的倍数。
【详解】A．80÷16＝5
B．156÷39＝4
C．92÷27＝3……11
D．351÷27＝13
故答案为：C
【点睛】本题考查了整数除法的计算方法，以及因数和倍数的关系。
5．A
【分析】如果a÷b＝c（a、b、c均为整数），那么a是b和c的倍数，b和c是a的因数。据此解题。
【详解】因为54÷6＝9，所以，54是6和9的倍数，6和9是54的因数。
故答案为：A
【点睛】本题考查了因数和倍数，掌握因数和倍数的概念是解题的关键。
6．A
【分析】可以先把A的值求出来，即2×2×2×3＝24，找出24的因数，再数出24的因数的个数即可。
【详解】2×2×2×3＝24
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
所以A的因数有8个。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数的找法，熟练掌握因数的找法并灵活运用。
7．D
【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。据此解答。
【详解】2×5×7＝70
70＝1×70＝2×35＝5×14＝7×10
所以A的因数有1、70、2、35、5、14、7、10，一共8个。
故答案为：D
【点睛】本题考查了因数的认识以及找因数的方法。
8．A
【分析】一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身，则一个数的最大因数和最小倍数相等，据此解答。
【详解】分析可知，一个数的最大因数和最小倍数是相等的关系，则最大因数－最小倍数＝0，如：5的最大因数是5，最小倍数还是5，5－5＝0。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数、倍数的求法，熟记一个数的最大因数等于它的最小倍数是解答题目的关键。
9． 2 无数
【分析】在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数；一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的；据此解答。
【详解】7的因数：1，7；一共有2个；
10的倍数：10，20，30，40，50…有无数个；
【点睛】掌握求一个数的因数和倍数的方法以及因数和倍数的特征是解题的关键。
10． 18 18
【分析】根据一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，据此解答。
【详解】根据题意可知，18的最小倍数是18，最大因数是18。
【点睛】本题考查了倍数和因数的认识。
11． 1，2，4，8，16 12，24，36，48
【分析】根据求一个数的因数、倍数的方法，进行依次列举即可。
【详解】16的因数有：1，2，4，8，16；
50以内12的倍数：12，24，36，48。
16的因数有1，2，4，8，16，50以内12的倍数有12，24，36，48。
【点睛】此题考查的是求一个数因数倍数的方法，应有顺序的写，做到不重复，不遗漏。
12． 40 5 8
【分析】根据因数和倍数的意义：当a÷b＝c（a、b、c为非0自然数）我们说a是b的倍数，b是a的因数，因数和倍数的概念互相依存，不能单独存在，据此分析即可。
【详解】由分析可得：
5×8＝40可以转化成40÷8＝5，所以40是8的倍数；
同时5×8＝40还可以转化成40÷5＝8，所以40也是5的倍数；
综上所述：根据5×8＝40可知，40是5和8的倍数。
【点睛】本题考查了因数和倍数的概念，根据它们的意义进行解答即可。
13．9、18、27、36、45、54
【分析】分别用9乘1、2、3、4、5、6、7等，即可求出60以内9的全部倍数。
【详解】9×1＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
9×6＝54
9×7＝63
……
所以，60以内9的全部倍数有：9、18、27、36、45、54。
【点睛】本题考查倍数的求法。求一个数的倍数，用这个数分别乘1、2、3…，所得的结果都是这个数的倍数。
14． 1 18
【分析】一个数的最小因数是1，最大因数是本身。据此填空。
【详解】18的因数中，最小的是1，最大的是18。
【点睛】本题考查了因数，掌握因数的概念和特征是解题的关键。
15．51
【分析】一个非0自然数的最大因数是它本身，一个非0自然数的最小倍数也是它本身，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，如果a的最大因数是17，b的最小倍数是3，则a等于17，b等于3；a×b＝17×3＝51，积的最大因数是51。
【点睛】本题主要考查学生对因数、倍数知识的掌握和灵活运用。
16．m是n的倍数，n是m的因数
【分析】在整数除法中，商是整数且没有余数，我们就说除数和商是被除数的因数，被除数是除数和商的倍数。据此解答即可。
【详解】由分析可知：
m是n的倍数，n是m的因数。
【点睛】本题考查因数和倍数，明确因数和倍数的定义是解题的关键。
17．×
【分析】根据求一个数的倍数的方法，用这个数分别乘自然数，所得积就是这个数的倍数，因为自然数的个数是无限的，所以一个数倍数的个数是无限的，最小的倍数是他本身。
【详解】依据倍数的意义，一个非0自然数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；一个非0自然数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数，故此说法不正确。
【点睛】此题的关键是理解倍数的意义。
18．×
【分析】可以列乘法算式找6的因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是6的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是6的因数。据此解答。
【详解】6＝1×6＝2×3，则6的因数有1、2、3、6，共4个因数，最大的因数是6。
故答案为：×
【点睛】掌握找一个数的因数的方法是解题的关键。
19．√
【分析】根据“一个数的因数的个数是有限的，最大的因数是它本身，一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身”进行解答即可。
【详解】一个数的最小倍数是30，这个数就是30本身，那么30的最大因数还是30。原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题根据因数和倍数的意义，认真分析，进而得出结论。
20．√
【分析】根据因数和倍数的意义，如果数a能被数b整除（b≠0），a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数；据此解答即可。
【详解】根据分析可知， 56÷7＝8
所以56是7的倍数，7是56的因数。原题干说法正确。
故答案为：√
【点睛】解答此题的关键是根据因数和倍数的意义进行分析、解答即可，注意不能单独说这个数是因数或倍数。
21．2种
【分析】分析题目，把75拆成两个因数的积，要求每排人数必须相等，而且每排不能少于10人，也不能多于30人，即75的一个因数应大于10且小于30，找出符合要求的因数，有几组就有几种排列方法，据此解答。
【详解】75＝3×25＝5×15
可以排3排，每排25人；也可以排5排，每排15人。
答：符合要求的队列一共有2种。
【点睛】根据题意，把75拆成符合要求的两个因数的乘积是解答本题的关键。
22．是；理由见详解
【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个，据此求出28的所有因数，再求出除了它本身以外的所有因数之和是否等于这个数本身，据此解答。
【详解】28÷1＝28
28÷2＝14
28÷4＝7
28的因数有：1、2、4、7、14、28。
1＋2＋4＋7＋14
＝3＋4＋7＋14
＝7＋7＋14
＝14＋14
＝28
答：28是完全数。
【点睛】理解完全数的意义并准确求出28的所有因数是解答题目的关键。
23．9人、6人、4人
【分析】根据题意可知，分成人数相等的若干小组，（组数大于3但小于10），只要求出36的因数中大于3小于10的因数，即可解答。
【详解】36的因数大于3，小于10的有：4、6、9。
可以分成4组、6组、9组
分4组：36÷4＝9（人）
分6组：36÷6＝6（人）
分9组：36÷9＝4（人）
每组的人数可能有9人、6人、4人。
答：每组可能有9人、6人、4人。
【点睛】本题考查求一个数因数的方法的解决实际问题的灵活应用。
24．9元或45元
【分析】45的因数有：1、45、5、9、3、15；45以内9的倍数有：9、18、27、36、45；既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。
【详解】45＝1×45＝3×15＝5×9
9×1＝9
9×2＝18
9×3＝27
9×4＝36
9×5＝45
所以，既是45的因数，又是9的倍数的有：9、45。
答：这个计算器的价格可能是9元，也可能是45元。
【点睛】分别找出45的因数和45以内9的倍数，是解答此题的关键。
25．选择1号包装箱正好装完，没有剩余
【分析】根据因数与倍数的关系，求出72能被12、15、21三个数中哪一个整数，没有余数，就选择哪种包装，据此解答。
【详解】72÷12＝6（箱）
72÷15＝4（箱）……12（千克）
72÷21＝3（箱）……9（千克）
选择1号包装箱正好装完，而且没有剩余。
答：选择1号包装箱正好装完，没有剩余。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据它们的关系进行解答。
26．16
【分析】先找出48的因数，再看哪一个因数符合小于20，并且个位和十位上数字的和是7。
【详解】48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
只有16满足小于20，并且个位和十位上数字的和是7。
所以a＝16。
答：a是16。
【点睛】本题考查因数，解答本题的关键是掌握因数的求法。
27．第一种和第二种盒子
【分析】哪种盒子的规格数量是60的因数，就可以正好能把60个苹果装完。5和6是60的因数，因此，只能用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【详解】60÷5＝12（个）
60÷6＝10（个）
60÷7＝8（个）……4（个）
60÷8＝7（个）……4（个）
答：用第一种和第二种盒子正好可以把60个苹果装完。
【点睛】本题是考查因数和倍数的应用。掌握因数的意义是解题的关键。
28．8本/箱正好能装完，它可以整除64。
【分析】根据整除的意义，谁能整除64，就选那种包装箱，据此解答即可。
【详解】64÷6＝10（箱）……4（本）
64÷8＝8（箱）
64÷5＝12（箱）……4（本）
答：8本/箱正好能把这些面包装完，因为它可以整除64。
【点睛】此题主要依据整除的意义解决问题，因为它们能整除64。
29．C包装盒
【分析】根据因数与倍数的关系，5、6、8中哪个是56的因数，就选那个包装盒，据此解答。
【详解】因为5、6不是56的因数，不能用A包装每盒装5个的和B包装每盒装6个的包装盒；
56÷8＝7，7是56的因数，选择C包装每盒装8个，正好能把56个月饼装完。
答：选择C包装盒正好能把56个月饼装完。
【点睛】本题考查因数与倍数的关系，根据因数与倍数的关系，进行解答。
30．（1）16不是完全数
（2）6和28是完全数
【分析】先找出所有的因数（本身除外），再把所有的因数相加，如果等于这个数，就是完全数，不等于，就不是完全数。
【详解】（1）16（本身除外）的因数有1、2、4、8；
1＋2＋4＋8＝15，不等于16，
答∶16不是完全数。
（2）4（本身除外）的因数有：1，2；1＋2≠4，4不是完全数；
6（本身除外）的因数有：1，2，3；1＋2＋3＝6，6是完全数；
14（本身除外）的因数有：1，2，7；1＋2＋7≠14，14不是完全数；
28（本身除外）的因数有：1，2，4，7，14；1＋2＋4＋7＋14＝28，28是完全数；
35（本身除外）的因数有：1，5，7；1＋5＋7≠35，35不是完全数。
答∶6和28是完全数。
【点睛】本题主要考查了“完全数”的应用，关键是要根据题意，理解完全数的意义：如果一个数恰好等于它的所有因数（本身除外）相加之和，那么这个数就是“完全数”，从而解答。
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