初中数学北师大版八年级上册2 一定是直角三角形吗优秀课后复习题

专题1.2  一定是直角三角形吗（勾股定理的逆定理）

1、熟练掌握勾股定理逆定理判断直角三角形，能够运用勾股定理逆定理解决简单的实际问题。

2、理解勾股数的概念，并能准确判断一组数是不是勾股数。

3、熟练掌握分类讨论的数学思想。

知识点01 勾股定理的逆定理

1）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形。

2）勾股定理逆定理的证明：如图，AB=c，AC=b，CB=a，当a2+b2=c2，证明：△ABC是直角三角形。

证明：过点A作AD垂直于CB交CB于点D，设CD=x。

根据勾股定理b2－x2=c2－（a ±x）2  将a2+b2=c2代入得±2ax=0  ∴x=0

∴点D与点C重合  ∴AC⊥CB  ∴△ABC为直角三角形

注：勾股定理的逆定理主要用于证明三角形是直角三角形。

【微点拨】

1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.

3）当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形.

【知识拓展1】直角三角形的判定

例1．（2021·福建福州市·八年级期中）△ABC三边分别为a、b、c，下列能说明△ABC是直角三角形的是（    ）

A．b2＝a2﹣c2 B．a∶b∶c＝1∶2∶2

C．2∠C＝∠A＋∠B D．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5

【即学即练1】

1．（2022·河南初二期中）适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为      

①②，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°；

④⑤⑥

⑦⑹

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【知识拓展2】勾股定理的逆定理的应用

例2．（2021·天津八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【即学即练2】

2．（2021·绥德县德群中学八年级期末）某中学、两栋教学楼之间有一块如图所示的四边形空地，学校为了绿化环境，计划在空地上种植花草，经测量，米，米，米，米．（1）求出四边形空地的面积；（2）若每种植1平方米的花草需要投入120元，求学校共需投入多少元．

知识点02 勾股数

1）勾股数：能构成直角三角形三条边的三个正整数

2）常见的勾股数有：①3，4，5；②5，12，13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……

【微点拨】这两组勾股数的整倍数也是勾股数，如：3、4、5是勾股数，则6、8、10也必是勾股数。在考察勾股数时，若出现不熟悉数组，可利用勾股定理逆定理判断，即：a2+b2=c2。

【知识拓展1】勾股数

例1．（2021·贵州遵义市·八年级期末）下列三个数中，能组成一组勾股数的是（　　）

A．，， B．32，42，52 C．，， D．12，15，9

【即学即练1】

1．（2021·湖北八年级期末）下列四组数据中，不是勾股数的是（　　）

A．5，12，13 B．4，7，9 C．6，8，10 D．9，40，41

【知识拓展2】勾股数的相关运用

例2．（2022·北京初二期中）如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（  ）

A．47 B．62 C．79 D．98

【即学即练2】

2．（2021·广西八年级期末）《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）

A．16 B．17 C．25 D．64

考法01  勾股定理中的分类讨论思想

勾股定理中常见分类：（1）等腰三角形的腰和底不明确时需分类讨论；（2）直角三角形的直角边和斜边不明确时需分类讨论；（3）三角形形状不明确时需要分类讨论.

【典例2】（2021·山东八年级期中）中，，高，则BC的长为（    ）

A．14 B．14或4 C．4 D．无法确定

变式1．（2021·四川省内江市第六中学九年级）如图，在RtABC的纸片中，∠C＝90°，AC＝7，AB＝25．点D在边BC上，以AD为折痕将ADB折叠得到，与边BC交于点E．若为直角三角形，则BD的长是_____．

变式2．（2021·湖南八年级期末）定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．

（1）已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．

题组A  基础过关练

1．（2021·江苏邗江·八年级期中）下列各组数是勾股数的是（   ）

A．12、15、18 B．0.3、0.4、0.5 C．12、16、20 D．1.5、3、2.5

2．（2022·广东福田·八年级期末）下列条件：①；②；③；④，能判定是直角三角形的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．（2021·安徽合肥38中八年级期中）已知，是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则一定是（    ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形

4．（2020·湖北·荆州市实验中学八年级期中）如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．6个

5．（2021·山西省灵石县教育局教学研究室八年级期中）古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距，4个结间距，5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一角便是直角，这样做的道理是（    ）

A．直角三角形两个锐角互余   B．三角形内角和等于180°

C．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

D．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

6．（2021·湖北八年级期末）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行12nmile，“海天”号每小时航行9nmile，它们离开港口两个小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，那么“海天”号沿______的方向航行．

7．（2021·湖南长沙市·八年级期末）如图，每个小正方形的边长都为．

（1）求四边形的面积；（2）证明：．

8．（2021·山东七年级期末）年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．（1）请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；

（2）若平均每平方米空地的绿化费用为元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？

题组B  能力提升练

1．（2022·成都市八年级期中）某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（　　）

A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元

2．（2021·浙江绍兴·一模）同一平面内有，，三点，，两点之间的距离为，点到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点有______个．

3．（2022·全国·八年级）禅城区某一中学现有一块空地ABCD如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，若每种植1平方米草皮需要300元，总共需投入___元

4．（2021·江苏邳州·八年级期中）观察下列各组勾股数

（1）3，4，5（2）5，12，13；（3）7，24，25：（4）9，40，41

照此规律，将第n组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含n的代数式可表示为 ___．

5．（2022·河南内乡初二期中）如图（1）是超市的儿童玩具购物车，图（2）为其侧面简化示意图，测得支架AC=24cm，CB=18cm，两轮中心的距离AB=30cm，求点C到AB的距离.（结果保留整数）

6．（2021·福建八年级期末）如图，在中，，，是上一点，，．

（1）求证：；（2）求的长．

7．（2022·锦江区八年级月考）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：

（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．

（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．

（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．

题组C  培优拔尖练

1．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB≌△PAC，则∠APB的度数为___．

2．（2021·江苏常州·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝16，BC＝20．将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE周长最小时，CE的长为 ___．

3．（2021·合肥市第四十五中学八年级期中）如图，点C为直线l上的一个动点，于D点，于E点，，，当长为________________为直角三角形．

4．（2022·河北·八年级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如：等等都是勾股数．

（探究1）（1）如果是一组勾股数，即满足，则为正整数）也是一组勾股数．如；是一组勾股数，则__                _也是一组勾股数；

（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的是一组勾股数；（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当，为正整数，时，构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___             ．

（探究2）观察；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从起就没有间断过，并且勾为时股，弦；勾为时，股，弦；

请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：（1）如果勾为7，则股____；弦____；

（2）如果用且为奇数)表示勾，请用含有的式子表示股和弦，则股_____；弦_____；

（3）观察；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从起也没有间断过．

___；请你直接用为偶数且）的代数式表示直角三角形的另一条直角边               ；和弦的长                ．

5．（2021·河南郑州·八年级期中）定义：如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．

（1）已知M，N把线段AB分割成AM，MN，NB，若AM＝2.5，MN＝6.5，BN＝6，则点M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝14，AM＝4，求BN的长．

6．（2022·全国·八年级课时练习）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）下列四边形是勾股四边形的有　        　．（填序号）

①长方形；②平行四边形；③正方形；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（0，4），B（3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA、OB为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB的顶点M的坐标____________（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD、DC，已知∠DCB＝30°．求证：四边形ABCD是勾股四边形．