人教版八年级下册第十七章 勾股定理17.1 勾股定理精品练习

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17.1.3 利用勾股定理解决直角三角形翻折问题

已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5
模型一：沿过点A的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，
折痕为AD，求线段AD，DC，B’C长度。
解法：
由已知条件可知，AB=AB’，BD= B’D
∵∠ABC=90°，AB=3，AC=5
∴∠AB’D=90°，AB’=3，B’C=2
设BD=x，则B’D=x，DC=4-x
在Rt△DB’C中，由勾股定理可得DB’2+ B’C2=DC2 即x2+22=（4-x）2 解得x=1.5
∴B’D=1.5, DC=2.5
同理AD=32√5
【模型变形】已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，
AD为∠BAC的角平分线，求DC长

解法（思路）：过点D作DE⊥AC，垂足为点E
则△ABD≌△AED(AAS)(证明过程略)
∴∠ABD=∠AED，BD=DE，AB=AE
剩余步骤参照模型一解法
模型二：沿过点C的直线翻折使得点B的对应点B’落在斜边AC上，
折痕为CD，求线段AD，DC，AB’长度。
解法：
由已知条件可知，BD=B’D，BC=B’C
∵∠ABC=90°， BC=4，AC=5
∴∠CB’D=90°， B’C=4，AB’ =1
设BD=x，则B’D=x，AD=3-x
在Rt△ADB’中，由勾股定理可得DB’2+ AB’2=AD2 即x2+12=（3-x）2 解得x=43
∴B’D=43, AD=53
在Rt△DCB’中，由勾股定理可求得CD长
模型三：沿MN翻折使得点A与点C重合，
求线段AN，BM，MN长度。
解法:
设BM=x，则MC=AM=4-x，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得BM2+ AB2=AM2 即x2+32=（4-x）2 解得x=78
则MC=258
在Rt△MNC中，由勾股定理可得MN=MC2-NC2=158
模型四: 沿斜边中线BE翻折，使得点A落在点F处，连接AF、FC，AF与BE交于点O，
求线段AF，FC的长

解法(思路)：过点E作DE⊥AB，交AB边于点D
由翻折的性质可知，AE=EF,AF⊥BE
∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△ABE=12S△ABC=3
∴S△ABE=12AO•BE=3 解得AO=125 则AF=245
∵∠FEC=2∠EFA, ∠EFC =∠ECF
在△EFC中根据三角形内角和定理可得 ∠FEC+∠EFC+∠ECF=180°
∴∠EFA+∠EFC=90°
在Rt△AFC中根据勾股定理可知FC=AC2-AF2=75
模型五: 沿斜边中线BE翻折，使得点C落在点D处，连接AD、CD
求线段AD， CD的长
解法(思路)：延长BE，交DC边于点F
由翻折的性质可知，DE=EC, BF⊥CD
∵BE是Rt△ABC斜边中线，∴S△BEC=12S△ABC=3
∴S△BEC=12FC•BE=3 解得FC=125 则DC=245
∵∠DEA=2∠EDC, ∠EAD =∠EDA
在△ADE中根据三角形内角和定理可得 ∠DEA+∠EAD+∠EDA=180°
∴∠EDA+∠EDC=90°
在Rt△ADC中根据勾股定理可知AD=AC2-DC2=75
模型六：线段AC上有一点D，沿直线BD翻折，使点A落在BC边上点E处，
求AD，DC，BD
解法(思路)：过点D作DM⊥BC, DN⊥AB，分别与BC、AB交于点M，点N
由翻折的性质可知，∠ABD=∠DBC=45°,则DN=DM
设DN=x 则S△ABC=S△ABD+S△BDC=12AB•DN+12BC•DM=6 则x=127
∴BN=BM=127 则AN=97 , MC=167
则AD=157，DC=207
在Rt△BND中根据勾股定理可知BD长
模型七：点M和点N分别在AC与BC边上，点C沿MN翻折，使点C落在AB边
中点D处，DC与MN相交于点O，求MN,CM,CD,CN的长度
解法(思路)：由翻折的性质可知，DN=NC，DC⊥MN
设BN=x，则DN=4-x
在Rt△DBN中由勾股定理可得BD2+ BN2=DN2 则x=5532 所以NC=7332
在Rt△DBC中由勾股定理可得DC=12√73 则DO=OC=14√73
在Rt△NOC中由勾股定理可求得NO，从而求出MN的长
过点D作DH⊥AC，交AC边于点H
∵S△ADC=12S△ABC=3 ∴S△ADC=12AC•DH=3 解得DH=65
∴AH=910 设MC=y，则AM=5-y,HM=AM-AH=4110-y
在Rt△DHM中由勾股定理求得y值
 
一、单选题
1．（êê）（2022·全国·八年级专题练习）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（  ）

A． B．56 C．76 D．65
【答案】A
【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE= DE， ∠C=∠CDE，
∵∠BAC = 90°，
∴∠B+ ∠C= 90°，
∴∠ADB + ∠CDE = 90°，
∴∠ADE = 90°，
∴AD2 + DE2 = AE2，
设AE=x，则CE=DE=3-x，
∴22+(3-x)2 =x2，
解得x=136
即AE=
故选A
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
2．（ê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠B=90°,AB=4,BC=6，将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，折痕交AC于点M，交BC于点N，则线段CN的长为（    ）.

A．73 B．83 C．3 D．103
【答案】D
【分析】由折叠的性质可得DN=CN，根据勾股定理可求DN的长，即可得出结果．
【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=103，
∴CN=DN=103，
故选：D．
【点睛】本题考查了翻折变换、折叠的性质、勾股定理，熟练运用折叠的性质是本题的关键．
3．（êê）（2022秋·八年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，AC＝3，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当∠DEB是直角时，DF的长为（    ）．

A．5 B．3 C．32 D．34
【答案】C
【分析】如图，由题意知∠AED=∠C=90°，AE=AC=3，DE=CD，∠AED=∠DEB=90°，可知A、E、B三点共线，E与F重合，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=AB2-AC2，求BC的值，设DF=DE=CD=x，BD=4-x，在Rt△BDE中，由勾股定理得，计算求解即可．
【详解】解：如图，

∵是直角
∴∠DEB=90°
由题意知∠AED=∠C=90°，AE=AC=3，DE=CD
∴∠AED=∠DEB=90°
∴A、E、B三点共线
∴E与F重合
在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=AB2-AC2=4
设DF=DE=CD=x，BD=4-x
在Rt△BDE中，由勾股定理得即22=4-x2-x2
解得x=32
∴DF的长为32
故选C．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于明确A、E、B三点共线，E与F重合．
4．（êê）（2022春·广东惠州·八年级统考期末）如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=32，则BC的长是（　　）

A．322 B．32 C．3 D．3
【答案】B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12AB,所以AB=AC,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
【详解】解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，
∴∠B=∠EAF=45°，
∴∠AFB=90°，
∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，
∴EF=12AB，
∵EF=32，
∴AB=2EF=32×2=3，
在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，
∴BC=AB2+AC2=32+32=32,
故选B.
【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
5．（êê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ）

A．2 B．103 C．83 D．4
【答案】B
【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到CE2+CD2=DE2，列得22+6-BD2=BD2，求出BD．
【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB=AC2+BC2=82+62=10，
由翻折得AE=AB=10，DE=BD，
∴CE=AE-AC=10-8=2，
在Rt△CED中，CE2+CD2=DE2，
∴22+6-BD2=BD2，
解得BD=103，
故选：B．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
6．（êê）（2022春·重庆大足·八年级重庆市大足中学校考期中）如图，将直角三角形纸片沿AD折叠，使点B落在AC延长线上的点E处．若AC＝3，BC=4，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．34 B．94 C．32 D．92
【答案】B
【分析】由勾股定理求出AB，设CD=x，则BD=4-x，根据CE2+CD2=DE2求出x得到CD的长，利用面积求出答案．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴AB=AC2+BC2=5，
由折叠得AE=AB=5，DE=BD，
设CD=x，则BD=4-x，
在△DCE中，∠DCE=90°，CE=AE-AC=5-3=2，
∵CE2+CD2=DE2，
∴22+x2=4-x2，
解得x=1.5，
∴CD=1.5，
∴图中阴影部分的面积是12AC⋅CD=12×3×1.5=94，
故选：B．
【点睛】此题考查了折叠的性质，勾股定理，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
7．（ê）（2022秋·八年级课时练习）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点D、E分别在BC、AC边上．现将ΔDCE沿DE翻折，使点C落在点处．连接AH，则AH长度的最小值为（    ）

A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】C
【分析】当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，根据勾股定理得到AB=10cm，由折叠的性质知，BH=BC=6cm，于是得到结论．
【详解】解：当H落在AB上，点D与B重合时，AH长度的值最小，
∵∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=10cm，
由折叠的性质知，BH=BC=6cm，
∴AH=AB-BH=4cm．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
二、填空题
8．（ê）（2022秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，CD的长为______．

【答案】3cm
【分析】由勾股定理求得AB=10cm，然后由翻折的性质求得BE=4cm，设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，两直角边AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10（cm）．
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6cm，∠DEA=∠C=90°，
∴BE=AB-AE=10-6=4（cm ），∠DEB=90°，
设DC=xcm，则BD=（8-x）cm，DE=xcm，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，
即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
故答案为3cm．
【点睛】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用，一元一次方程的解法，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
9．（êê）（2022秋·四川巴中·八年级统考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是_____．

【答案】157
【分析】过点D作DH⊥AC于，DF⊥BC于F，由折叠的性质可得AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，由勾股定理可求AB=5，由面积法可求DF的长，由勾股定理可求DE的长．
【详解】解：如图，过点D作DH⊥AC于，DF⊥BC于F，

∵将ΔADC沿直线CD翻折，
∴AC=CE=3，∠ACD=∠BCD=45°，
∴BC=4，
，DF⊥BC，∠ACD=∠BCD=45°，
∴DF=DH，∠DCF=∠FDC=45°，
∴DF=CF，
∵AB2=AC2+BC2=9+16=25，
∴AB=5，
∵SΔABC=12×AC×BC=12×AC×DH+12×BC×DF，
∴12=7DF，
∴DF=127，
∴DF=CF=127，EF=97，
∴DE=DF2+EF2=14449+8149=157，
故答案为：157．
【点睛】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，求出DF的长是本题的关键．
10．（ê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在RtΔABC中，∠B=90∘，AB=6，BC=8，将ΔABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B'重合，AE为折痕，则的长度是__________．

【答案】3
【分析】首先根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=6，然后设BE=EB′=x，则EC=8-x，在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC的值，再在Rt△B′EC中，由勾股定理列方程即可算出答案．
【详解】解：根据折叠可得BE=EB′，AB′=AB=6，
设BE=EB′=x，则EC=8-x，
∵∠B=90°，AB=6，BC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC＝62+82＝10，
∴B′C=10-6=4，
在Rt△B′EC中，由勾股定理得，x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了翻折变换，以及勾股定理，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
11．（êê）（2022秋·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．E为线段BD上一点，连结CE，将边BC沿CE折叠，使点B的对称点B'落在CD的延长线上．若AB=5，，则△ACE的面积为__________．

【答案】
【分析】在△ABC中由等面积求出CD=125，DB=165进而得到DB'=CB'-CD=5-125=135，设BE=x，进而DE=DB-BE=165-x，最后在RtΔB'DE中使用勾股定理求出x即可求解．
【详解】解：在Rt△ABC中由勾股定理可知：AC=AB2-BC2=3，
∵12AC×BC=12AB×CD，
∴CD=AC×BCAB=125，
∴DB'=CB'-CD=4-125=85，
在Rt△ACD中由勾股定理可知：AD=AC2-CD2=9-14425=95，
∴DB=AB-AD=5-95=165，
设BE=x，由折叠可知：BE=B’E，且DE=DB-BE=165-x，
在Rt△DEB'中由勾股定理可知：DE2+B'D2=B'E2，代入数据：
∴(165-x)2+(85)2=x2，解得，
∴AE=AB-BE=5-2=3，
∴SΔACE=12AE×CD=12×3×125=185，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、折叠的性质等，解题的关键是掌握折叠的性质，熟练使用勾股定理求线段长．
12．（êê）（2022·全国·八年级假期作业）如图，把等边ΔABC沿着DE折叠，使点B恰好落在AC边上的点B'处，且DB'⊥AC，若B'C=6cm，则AE=_____．

【答案】33+3
【分析】先根据30°直角三角形的特点求出CD、B'D，再根据折叠求出BC的长，最后证明∠B'EA=90°即可利用30°直角三角形的特点求出AE．
【详解】∵等边三角形ΔABC
∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=BC
∵DB'⊥AC，B'C=6cm
∴∠B'DC=30°
∴CD=2B'C=12
∴DB'=CD2+B'C2=63
∵折叠
∴∠B=∠EB'D=60°，DB'=BD=63
∴∠AB'E=30°，AC=BC=DC+BD=12+63
∴∠B'EA=180-∠A-∠AB'E=90°，AB'=AC-B'C=6+63
∴AE=12AB'=3+33．
故答案为：3+33．
【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、30°的直角三角形的性质、等边三角形的性质，证明∠B'EA=90°是解题的关键．
13．（êêê）（2022秋·浙江·八年级期末）如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，E是BC上的一个动点，将△ABE沿着AE折叠到△ADE处，再将边AC折叠到与AD重合，折痕为AF，当△DEF是等腰三角形时，BE的长是___________．

【答案】52或258或74．
【分析】分三种情况讨论：DE=DF，DE=EF，EF=DF．利用等腰三角形的性质和全等三角形解题．
【详解】解：由折叠可知，BE=DE，DF=CF，AD=AB=AC=5，
当DE=DF时，如图1，

此时DE=DF=BE=CF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABE和△ACF中，
&AB=AC&∠B=∠C&BE=CF
∴△ABE≌△ACF，
∴AE=AF，
∴AD垂直平分EF，
∴EH=FH，BH=CH=12BC=4，
∴AH=AB2-BH2=52-42=3，
∴HD=5-3=2，
设BE=DE=x，则EH=4-x，
则在直角△DHE中，
4-x2+22=x2，
解得x=52，
当DE=EF时，如图2，作AH⊥BC于H，连接BD，延长AE交BD于N，

可知BE=DE=EF，
∵AH⊥BC，AB=AC，BC=8
∴BH=CH=4，
∴AH=AB2-BH2=52-42=3，
设EH=m，则BE=EF=4-m，
∴CF=8-24-m=2m，即DF=2m
∵AB=AD，∠BAN=∠DAN，
∴AN⊥BD，BN=DN，
∴EN=12DF=m，
∴EN=EH
在△AHE和△BNE中，
&∠AHE=∠BNE=90°&EH=EN&∠AEH=∠BEN
∴△AHE≌△BNE，
∴AE=BE，
设BE=AE=x，则EH=4-x，
在直角△AEH中，
4-x2+32=x2，
解得x=258，
当DF=EF时，如图3，过A作AH⊥BC于H，延长AF交DC于M，

同理EF=CF=258
∴BE=8-258-258=74
故答案为：52或258或74．
【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
14．（êê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____．

【答案】2
【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：设CF与AB交于点H，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=32+42=5，
∴S△ABC=12×AC×BC=12×AB×CH，
即3×4=5×CH，
∴CH=125，
由折叠可知：CF=CB=4，
∴HF=CF-CH=85，
在△BCH中，BH=BC2-CH2=165，
设BE=EF=x，则EH=165-x，
在△EHF中，EH2+FH2=EF2，
∴165-x2+852=x2，
解得：x=2，
∴EB=2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程．
15．（êê）（2022秋·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22,AC=6，点E在线段AC上，D是线段BC上的一点，连接DE，将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，当点G恰好落在线段AC上时，CG=2，则AE=______．

【答案】1
【分析】连接BE， 由将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，可得BE= 4-AE，然后利用勾股定理即可得解．
【详解】解：如下图，连接BE，

∵将四边形ABDE沿直线DE翻折，得到四边形FGDE，
∴BE=EG，
∵AC=6，CG=2，
∴BE=EG=AC-AE-2=6-AE-2=4-AE，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=22，
∴AE2+AB2=BE2即AE2+222=4-AE2，
∴AE=1，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及勾股定理，利用勾股定理构造方程求解是解题的关键．
三、解答题
16．（êê）（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，由△ABC中，∠BAC=90°，AC=9，BC=15．按如图所示方式折叠，使点B、C重合，折痕为DE，求出AE和AD的长．

【答案】152 ；218
【分析】在中由于∠BAC=90°，AC=9，BC=15，所以根据勾股定理可求出AB的长，由折叠可知，ED垂直平分BC，E为BC中点，BD＝CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出AE的长，设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．在RtΔADC中，由AD2＋AC 2＝CD2 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在中由于∠BAC=90°，AC=9，BC=15，
由勾股定理得：AB2＝BC2-AC 2=152-9 2=144，
∴BC＝12，
∵由折叠可知，ED垂直平分BC，
∴E为BC中点，BD＝CD，
∴AE＝12BC＝152（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
设BD＝CD＝x，则AD＝12−x．
在RtΔADC中，AD2＋AC 2＝CD2，
即92＋(12−x)2＝x2，解得x=758，
∴AD=12-x=12-758=218．
【点睛】本题考查的是图形折叠的性质，熟知图形折叠不变性的性质及勾股定理是解答此题的关键．
17．（êêê）（2022秋·八年级课时练习）如图是三个全等的直角三角形纸片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如图的三种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为S1,S2,S3．

(1)若AC=3，求S1的值．
(2)若S1+S2=13，求①单个直角三角形纸片的面积是多少？②此时S3的值是多少？
【答案】(1)32
(2)①36；②367
【分析】（1）设DE=CE=x，则BE=4-x，依据S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，即可得到x的值，进而得出S1的值．
（2）①如图1，依据S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，即可得到DE=32x，进而得出S1=32x2；如图2，依据S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，即可得到EN=43x，进而得出S2=x2，再根据S1+S2=13，即可得到x2=6，进而得出单个直角三角形纸片的面积．
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，所以BF=BC-CF=4x-3x=x，则S3=S△CMF=S△ACM，所以S3=17S△ABC，即可求解．
【详解】（1）解：∵AC∶BC∶AB＝3∶4∶5，AC＝3，
∴BC＝4，AB＝5，
由折叠可得，DE＝CE，∠ADE＝∠C＝90°，AD＝AC＝3，
设DE＝CE＝x，则BE＝4﹣x，
∵S△ABE＝12AB×DE＝12BE×AC，
∴AB×DE＝BE×AC，即5x＝3（4﹣x），
解得x＝32，
∴S1＝12BD×DE＝12×2×32＝32．
（2）解：由AC：BC：AB=3：4：5，可设AC=3x，BC=4x，AB=5x，
①如图1，由折叠可得，AD=AC=3x，BD=5x-3x=2x，DE=CE，∠ADE=∠C=90°，
∵S△ABE=12AB×DE=12BE×AC，
∴AB×DE=BE×AC，即5x×DE=（4x-DE）×3x，
解得DE=32x，
∴S1=12BD×DE=12×2x×32x=32x2；
如图2，由折叠可得，BC=BH=4x，HN=CN，
∴AH=x，AN=3x-HN，
∵S△ABN=12AB×HN=12AN×BC，
∴AB×HN=AN×BC，即5x×HN=（3x-HN）×4x，
解得HN=43x，
∴S2=12AH×HN=12×x×43x=x2，
∵S1+S2=13，
∴32x2+x2=13，
解得x2=6，
∴S△ABC=12×3x×4x=6x2=36．
答：单个直角三角形纸片的面积是36；
②如图3，由折叠可得，AC=CF=3x，
∴BF=BC-CF=4x-3x=x，
∴S3=S△CMF=S△ACM，
∴S3=17S△ABC=367，
答：此时S3的值为367．
【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是利用面积法求得某些线段的长度．
18．（êê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合．

(1)若∠A＝35°，则∠CBD的度数为________；
(2)若AC＝8，BC＝6，求AD的长；
(3)当AB＝m(m>0)，△ABC的面积为m＋1时，求△BCD的周长．(用含m的代数式表示)
【答案】（1）∠CBD=20°；（2）AD=614；(3) △BCD的周长为m+2
【分析】（1）根据折叠可得∠1=∠A=35°，根据三角形内角和定理可以计算出∠ABC=55°，进而得到∠CBD=20°；
（2）根据折叠可得AD=DB，设CD=x，则AD=BD=8-x，再在Rt△CDB中利用勾股定理可得x2+62=（8-x）2，再解方程可得x的值，进而得到AD的长；
（3）根据三角形ACB的面积可得12ACCB=m+1，
进而得到AC•BC=2m+2，再在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到△BCD的周长．
【详解】（1）
∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴∠1=∠A=35°，
∵∠C=90°，
∴∠ABC=180°-90°-35°=55°，
∴∠2=55°-35°=20°，
即∠CBD=20°；
（2）∵把△ABC沿直线DE折叠，使△ADE与△BDE重合，
∴AD=DB，
设CD=x，则AD=BD=8-x，
在Rt△CDB中，CD2+CB2=BD2，
x2+62=（8-x）2，
解得：x= 74，
AD=8-74=614；
（3）∵△ABC 的面积为m+1，
∴12AC•BC=m+1，
∴AC•BC=2m+2，
∵在Rt△CAB中，CA2+CB2=BA2，
∴CA2+CB2+2AC•BC=BA2+2AC•BC，
∴（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，
∴CA+CB=m+2，
∵AD=DB，
∴CD+DB+BC=m+2．
即△BCD的周长为m+2．
【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段．
19．（êê）（2022春·山东临沂·八年级校考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是AB和CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是点B'．

(1)如图1，如果点B'恰好与顶点A重合，求CE的长；
(2)如图2，如果点B'恰好落在直角边AC的中点上，求CE的长．
【答案】(1)74；
(2)5516．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB的长，再利用翻折得到AE=BE，在Rt△ACE中利用勾股定理即可求出CE的长；
（2）点B'是直角边AC的中点，可以得到B'C的长度，再利用翻折得到=BE，在Rt△B'CE中利用勾股定理即可求出CE的长．
（1）
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8
∴AB=AC2+BC2=10
根据折叠的性质，
∴△ADE≌△BDE
∴AE=BE
设CE为x，则：AE=BE =8-x
在Rt△ACE中：x2+62=8-x2
解得：x=74
即CE的长为：74．
（2）
解：∵点B'是直角边AC的中点
∴B'C =12AC=3
根据折叠的性质，
∴△B'DE≌△BDE
∴=BE
设CE为x，则：=BE =8-x
在Rt△B'CE中：x2+32=8-x2
解得：x=5516
即CE的长为：5516．
【点睛】本题考查勾股定理以及图形的变换中的折叠问题．在折叠过程中，对应角和对应边相等是解题的关键；在直角三角形中，知道一条边长以及另外两条边的关系时，通常采用方程思想来解题．
20．（êêê）（2022秋·江苏·八年级专题练习）综合与探究
在学习了轴对称变换后，我们经常会遇到三角形中的“折叠”问题，在解答这种问题时，通常会考虑到折叠前与折叠后的图形全等，并利用全等图形的性质，即对应角相等，对应边相等来研究解决数学中的“折叠”问题，每个小组剪了一些如图1所示的Rt△ABC纸片（∠B=90°，AB=6，BC=8）并进行探究：
（1）如图2，“奋斗”小组将Rt△ABC纸片沿DE折叠，使点C落在△ABC外部的C'处
①若∠1=40°，∠C=37°，则∠2的度数为 ．
②∠1，∠2，∠C之间的数量关系为 ．
（2）如图3，“勤奋”小组将△ABC沿DE折叠，使点C与点A重合，求BD的长；
（3）如图4，“雄鹰”小组将△ABC沿AD折叠，使点B落在点E处，连接CE，当△CDE为直角三角形时，求BD的长．

【答案】（1）①114°；②∠2=∠1+2∠C；（2）74；（3）3或6
【分析】（1）①根据三角形外角的性质求得∠DFC的度数，然后再次利用三角形外角的性质求得∠2的度数；
②利用三角形外角的性质推理计算；
（2）设BD=x，根据折叠的性质结合勾股定理列方程求解；
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，根据勾股定理求得AC=10，根据翻折的性质得AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°，然后分∠DEC=90°和∠EDC=90°两种情况，结合勾股定理求解．
【详解】解：（1）①由折叠性质可得∠C=∠C′=37°
∴∠DFC=∠1+∠C′=77°
∴∠2=∠DFC+∠C=77+37=114°
故答案为：114°
②由折叠性质可得∠C=∠C′
∴∠DFC=∠1+∠C′
∴∠2=∠DFC+∠C=∠1+∠C′+∠C=∠1+2∠C
故答案为：∠2=∠1+2∠C
（2）∵∠B=90°，AB=6，BC=8
设BD=x，则CD=AD=8-x
∴在Rt△ABD中，x2+62=(8-x)2，解得：x=74
∴BD的长为74
（3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，
∴AC=AB2+BC2=10，
∵△AED是△ABD以AD为折痕翻折得到的，
∴AE=AB=6，DE=BD，∠AED=∠B=90°．
当△DEC为直角三角形，
①如图，当∠DEC=90°时，

∵∠AED+∠DEC=180°，
∴点E在线段AC上，
设BD=DE=x，则CD=8-x，
∴CE=AC-AE=4，
∴DE2+CE2=CD2，
即x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，即BD=3；
②如图，当∠EDC=90°，
    
∴∠BDE=90°，
∵∠BDA=∠ADE，
∴∠BDA=∠ADE=45°，
∴∠BAD=45°，
∴AB=BD=6．
综上所述：当△DEC为直角三角形时，BD的长为3或6．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质及折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想的应用是解题的关键．解题时设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．