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专题中考数学相交线与平行线（课件）
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这是一份专题中考数学相交线与平行线（课件），共60页。PPT课件主要包含了原命题，逆命题等内容，欢迎下载使用。
1. 点动成线、线动成面、面动成体．
2. 角：有 端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条 绕着它的端点旋转而形成的图形．
3. 度分秒的换算： 1周角＝ 平角＝ 直角＝360°． 1°= '，1'= ″ ．
4. 量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．
5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于 90° ，就说这两个角互为余角． 同角 或 等角 的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角． 同角 或 等角 的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
【考点】认识立体图形【分析】根据“面动成体”进行判断即可．【解答】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，故选：B．【点评】本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．
【例2】（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
【考点】认识立体图形【分析】简单几何体的识别．【解答】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．
【例3】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．强B．富C．美D．高
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，“盐”与“高”是相对面，“城”与“富”是相对面，“强”与“美”是相对面，故选：D．
【例4】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟14/26）74°19′30″= °．
【例5】（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．
【例6】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【例7】（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ） A．50°B．60° C．140°D．160°
【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°－40°＝50°，故选：A．
【例8】（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．【解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°－60°＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
1. 直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．
4. 线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB= AC -BC；BC=AC- AB ． 5. 线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB= AB．
6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
【例9】（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ） A．aB．b C．c D．d
【例10】（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B．
【例11】（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝ cm．
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4 cm．【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4 cm，故答案为：4．【点评】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
【例12】（3分）（2021•包头3/26）已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1B．3C．1或3 D．2或3
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
1. 相交线中的角：（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角． （2）邻补角互补，对顶角相等．
（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并且在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．
2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)， 读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．
4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离等．如下图，若l⊥AB，OA=OB，则AP=BP． 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，
【解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，∴∠2＝∠1＝70°．故答案为：70．
【例14】（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【例15】（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点C．C点 D．D点
【例16】（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D． 54°
【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1＋∠COE＋∠2＝180°，∴∠2＝180°－∠1－∠COE＝180°－54°－90°＝36°．故选：B．
【例17】（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．
【例18】（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【例19】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【例20】（2分）（2021•河北12/26）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ） A．0B．5 C．6 D．7
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．
【例21】（3分）（2021•青海5/25）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．8B．7.5 C．15 D．无法确定
【例22】（10分）（2021•赤峰20/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．
【解答】（1）解：如右图，AE为所作；
1. 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2. 平行线公理及其推论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3. 平行线的判定：平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行． 平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．
4. 平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．5. 两平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处 相等 ．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．
【例24】（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．
【例25】（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【例26】（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＋∠5＝180°C．∠1＝∠2D．∠1＝∠4
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1＋∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4＋∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1＋∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．
【例27】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．3. 互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为 ，那么另一个命题就是这个原命题的 ．
4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的 逆定理 ，一个定理和它的逆定理是互逆定理．7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．
【例28】（2022•上海）下列说法正确的是（ ）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．
【例29】（2022•盘锦）下列命题不正确的是（ ）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360°
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360°，故D正确；故选：C．
【例30】（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
1. 点动成线、线动成面、面动成体．
2. 角：有 端点的两条射线组成的图形叫做角．角也可以看作由一条 绕着它的端点旋转而形成的图形．
3. 度分秒的换算： 1周角＝ 平角＝ 直角＝360°． 1°= '，1'= ″ ．
4. 量角器的使用：量角器的中心和角的顶点对齐，量角器的零刻度线和角的一条边对齐，做到两对齐后看角的另一边与刻度线对应的度数．
5. 两角间的关系：（1）余角：如果两个角的和等于 90° ，就说这两个角互为余角． 同角 或 等角 的余角相等．（2）补角：如果两个角的和等于 180°，就说这两个角互为补角． 同角 或 等角 的补角相等．6. 角平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线．
【考点】认识立体图形【分析】根据“面动成体”进行判断即可．【解答】解：将矩形绕着它的一边所在的直线l旋转一周，可以得到圆柱体，故选：B．【点评】本题考查认识立体图形，理解“面动成体”是正确判断的前提．
【例2】（2022•北京）下面几何体中，是圆锥的为（ ）
【考点】认识立体图形【分析】简单几何体的识别．【解答】解：A是圆柱；B是圆锥；C是三棱锥，也叫四面体；D是球体，简称球；故选：B．【点评】本题考查简单几何体的识别，正确区分几何体是解题的关键．
【例3】（2022•盐城）正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．强B．富C．美D．高
【解答】解：正方体的表面展开图相对的面之间一定相隔一个正方形，“盐”与“高”是相对面，“城”与“富”是相对面，“强”与“美”是相对面，故选：D．
【例4】（3分）（2021•呼伦贝尔•兴安盟14/26）74°19′30″= °．
【例5】（2022•北京）如图，利用工具测量角，则∠1的大小为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：根据对顶角相等的性质，可得：∠1＝30°，故选：A．
【例6】（2022•益阳）如图，PA，PB表示以P为起点的两条公路，其中公路PA的走向是南偏西34°，公路PB的走向是南偏东56°，则这两条公路的夹角∠APB＝ °．
【例7】（2022•甘肃）若∠A＝40°，则∠A的余角的大小是（ ） A．50°B．60° C．140°D．160°
【解答】解：∵∠A＝40°，∴∠A的余角为：90°－40°＝50°，故选：A．
【例8】（2022•连云港）已知∠A的补角为60°，则∠A＝ °．
【分析】根据补角的定义即可得出答案．【解答】解：∵∠A的补角为60°，∴∠A＝180°－60°＝120°，故答案为：120．【点评】本题考查了余角和补角，掌握如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角是解题的关键．
1. 直线的概念：一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．2. 射线的概念：直线上一点和它一旁的部分叫做射线．这个点叫做射线的端点．3. 线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段．这两个点叫做线段的端点．
4. 线段的和差：如下图，在线段AC上取一点B，则有：AB+ BC =AC；AB= AC -BC；BC=AC- AB ． 5. 线段的中点：如下图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点．几何语言：AM=MB= AB．
6. 直线的性质：（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线．它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）．（2）过一点的直线有无数条．（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小．（4）直线上有无穷多个点．（5）两条不同的直线至多有一个公共点．
7. 线段的性质：（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短．也可简单说成：两点之间线段最短．（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离．（3）线段的中点到两端点的距离相等．（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的．
【例9】（3分）（2021•河北1/26）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m在同一直线上，请借助直尺判断该线段是（ ） A．aB．b C．c D．d
【例10】（2022•柳州）如图，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【解答】解：根据题意可得，从学校A到书店B有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是②．故选：B．
【例11】（2022•桂林）如图，点C是线段AB的中点，若AC＝2 cm，则AB＝ cm．
【分析】根据中点的定义可得AB＝2AC＝4 cm．【解答】解：根据中点的定义可得：AB＝2AC＝2×2＝4 cm，故答案为：4．【点评】本题主要考查中点的定义，熟知中点的定义是解题关键．
【例12】（3分）（2021•包头3/26）已知线段AB=4，在直线AB上作线段BC，使得BC=2，若D是线段AC的中点，则线段AD的长为（ ）A．1B．3C．1或3 D．2或3
【分析】根据题意可分为两种情况，①点C在线段AB上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案；②BC在线段AB的延长线上，可计算出AC的长，再由D是线段AC的中点，即可得出答案．
1. 相交线中的角：（1）两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角．我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做邻补角． （2）邻补角互补，对顶角相等．
（3）直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角（三线八角）．其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并且在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角．
2. 垂线：（1）两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直．其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)， 读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）．（2）垂线的性质：性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．简称：垂线段最短．
3. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的 垂线段 的长度，叫做点到直线的距离．如下图，点P与直线l上各点连接的所有线段中，PB最短，点P到直线l的距离是PB的长度．
4. 线段垂直平分线的性质定理及逆定理：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线．线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离等．如下图，若l⊥AB，OA=OB，则AP=BP． 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
5. 角平分线的性质定理及逆定理：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何语言：如下图，逆定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何语言：如下图，
【解答】解：∵∠1和∠2是一对顶角，∴∠2＝∠1＝70°．故答案为：70．
【例14】（2022•苏州）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝75°，∠1＝25°，则∠2的度数是（ ）
A．25° B．30° C．40° D．50°
【例15】（2022•威海）图1是光的反射规律示意图．其中，PO是入射光线，OQ是反射光线，法线KO⊥MN，∠POK是入射角，∠KOQ是反射角，∠KOQ ＝∠POK．图2中，光线自点P射入，经镜面EF反射后经过的点是（ ）
A．A点 B．B点C．C点 D．D点
【例16】（2022•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O．若∠1＝54°，则∠2的度数为（ ）
A．26° B．36° C．44° D． 54°
【解答】解：∵EO⊥CD，∴∠COE＝90°，∵∠1＋∠COE＋∠2＝180°，∴∠2＝180°－∠1－∠COE＝180°－54°－90°＝36°．故选：B．
【例17】（2022•青海）数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）．从左至右依次表示（ ）
A．同旁内角、同位角、内错角 B．同位角、内错角、对顶角C．对顶角、同位角、同旁内角 D．同位角、内错角、同旁内角
【解答】解：根据同位角、内错角、同旁内角的概念，可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角．故选：D．
【例18】（2022•贺州）如图，直线a，b被直线c所截，下列各组角是同位角的是（ ）
A．∠1与∠2B．∠1与∠3 C．∠2与∠3 D．∠3与∠4
【例19】（2022•常州）如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短B．两点确定一条直线C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【例20】（2分）（2021•河北12/26）如图，直线l，m相交于点O．P为这两直线外一点，且OP＝2.8．若点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ） A．0B．5 C．6 D．7
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，∵点P关于直线l，m的对称点分别是点P1，P2，∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，OP1+OP2＞P1P2，P1P2＜5.6，故选：B．
【例21】（3分）（2021•青海5/25）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（ ） A．8B．7.5 C．15 D．无法确定
【例22】（10分）（2021•赤峰20/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是斜边AB上一点，且AC=AD．（1）作∠BAC的平分线，交BC于点E；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接DE，求证：DE⊥AB．
【解答】（1）解：如右图，AE为所作；
1. 平行线的概念：在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”．同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行．2. 平行线公理及其推论：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
3. 平行线的判定：平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行．简称：同位角相等，两直线平行． 平行线的两条判定定理：（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行．简称：内错角相等，两直线平行．（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行．简称：同旁内角互补，两直线平行．
4. 平行线的性质：（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．5. 两平行线间的距离：（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的 距离 ，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：两条平行线之间的距离处处 相等 ．
【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故选：D．
【例24】（2022•六盘水）如图，a∥b，∠1＝43°，则∠2的度数是（ ）
A．137° B．53° C．47° D．43°
【解答】解：∵a∥b，∠1＝43°，∴∠2＝∠1＝43°．故选：D．
【例25】（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．70°
【例26】（2022•郴州）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件不能判定直线c∥d的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠1＋∠5＝180°C．∠1＝∠2D．∠1＝∠4
【解答】解：A、若∠3＝∠4时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；B、若∠1＋∠5＝180°时，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意；C、若∠1＝∠2时，由“内错角相等，两直线平行”可以判定a∥b，不能判定c∥d，符合题意；D、由a∥b推知∠4＋∠5＝180°．若∠1＝∠4时，则∠1＋∠5＝180°，由“同旁内角互补，两直线平行”可以判定c∥d，不符合题意．故选：C．
【例27】（2022•武汉）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝80°．（1）求∠BAD的度数；（2）AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°．求证：AE∥DC．
1. 命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．2. 命题的分类：按正确、错误与否分为：真命题和假命题．所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题．所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题．3. 互逆命题：一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个命题，称为互逆命题，如果我们把其中一个命题称为 ，那么另一个命题就是这个原命题的 ．
4. 公理：人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理．5. 定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．6. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么这个逆命题也可以称为原定理的 逆定理 ，一个定理和它的逆定理是互逆定理．7. 证明：判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明．
【例28】（2022•上海）下列说法正确的是（ ）A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
【解答】解：A、命题一定有逆命题，本选项说法正确，符合题意，B、不是所有的定理一定有逆定理，例如全等三角形的对应角相等，没有逆定理，故本选项说法错误，不符合题意；C、真命题的逆命题不一定是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；D、假命题的逆命题不一定是假命题，例如假命题对应角相等的三角形全等，其逆命题是真命题，故本选项说法错误，不符合题意；故选：A．
【例29】（2022•盘锦）下列命题不正确的是（ ）A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行B．负数的立方根是负数C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．五边形的外角和是360°
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；B、负数的立方根是负数；故B正确；C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；D、五边形的外角和是360°，故D正确；故选：C．
【例30】（2022•湖州）命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是 ．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【解答】解：命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b．”的逆命题是如果a＝b，那么|a|＝|b|，故答案为：如果a＝b，那么|a|＝|b|．【点评】本题考查的是逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
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