沪科版九年级下册24.4.2 切线的判定与性质课时练习

这是一份沪科版九年级下册24.4.2 切线的判定与性质课时练习，共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京市2022-2023年上学期期末数学试题知识点分类汇编-10切线的判定与性质①

一、单选题
1．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如图，AC，BD分别与⊙O切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若，⊙O的半径为6cm，则图中的长为（   ）

A．π cm B．2π cm C．3π cm D．4π cm
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，的半径为2，，是的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为（    ）

A． B． C．6 D．3
3．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，在一张纸片中，，，，是它的内切圆．小明用剪刀沿着的切线剪下一块三角形，则的周长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．8

二、填空题
4．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是 ．

5．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，已知⊙O上有三点A、B、C，半径OC＝2，∠ABC＝30°，切线AP交OC延长线于点P，则△OAP的周长为


三、解答题
6．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在上．
求作：的切线．

作法： ①作射线；
②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；
③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；
④作直线．
则直线即为所求作的的切线.
根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明.
证明：连接，．
由作图可知，
， ．
∴ ．
∵ 点A在上，
∴直线是的切线( ) (填写推理依据) ．
7．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，AC是⊙O的弦，过O作OH⊥AC于点H．若OH＝3，AB＝12，BO＝13，求：⊙O的半径和AC的长．

8．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA

（1）求证：OA＝OB；
（2）连接AD，若AD＝，求⊙O的半径．
9．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．

(1)求证：是的切线；
(2)已知，，求的半径长．
10．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．

(1)求证：是的切线；
(2)连接交于点F，若，，求长．
11．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如图，内接于，，是的直径，交于点，是的切线交的延长线于点．
求证：．

12．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，是的直径，点在上．过点作的切线，过点作于点．

(1)求证：平分；
(2)连接，若，，求的长．
13．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：如图，是的切线，为切点．
求作：的另一条切线，为切点．
作法：以为圆心，长为半径画弧，交于点；
作直线．
直线即为所求．

(1)根据上面的作法，补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明过程．
证明：连接，，．
∵是的切线，为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（____________________）（填推理的依据）．
14．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F．求∠C和∠E的度数．

15．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，AB为的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作，ED与相切于点D．

(1)求证：AD平分．
(2)若，，求CE和DE的长．
16．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若°，，求DF的长．
17．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点．

(1)求证：与相切；
(2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离．
18．（2023·北京海淀·九年级期末）已知：点，，在上，且．
求作：直线，使其过点，并与相切．
作法：①连接；
②分别以点，点为圆心，长为半径作弧，两弧交于外一点；
③作直线．
直线就是所求作直线．

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接，，
∵，
∴四边形是菱形，
∵点，，在上，且，
∴______°（_________________）（填推理的依据）．
∴四边形是正方形，
∴，即，
∵为半径，
∴直线为的切线（_________________）（填推理的依据）．
19．（2023·北京海淀·九年级期末）如图，点，在上，且，点为的中点，过点作交的延长线于点．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若的半径为4，求的长．
20．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是小乐设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．
已知：及外一点．
求作：直线和直线，使切于点，切于点．
作法：如图，
①连接，分别以点和点为圆心，大于的同样长为半径作弧，两弧分别交于点，；
②连接，交于点，再以点为圆心，的长为半径作弧，交于点和点；
③作直线和直线．
所以直线和就是所求作的直线．
根据小乐设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
(2)完成下面的证明．
证明：∵是的直径，
∴________（________）（填推理的依据）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
21．（2023·北京海淀·九年级期末）下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程．

已知：如图1，和外一点．
求作：过点的的切线．
作法：如图2，
①连结，作线段的中点；
②以为圆心，的长为半径作圆，交于点；
③作直线和，直线即为所求作的切线．
请在图2中补全图形，并完成下面的证明．
证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（_____________）（填推理的依据），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（_____________）（填推理的依据），
同理，直线也是圆的切线．
22．（2023·北京海淀·九年级期末）探究：如图①，点P在⊙O上，利用直尺（没有刻度）和圆规过点P作⊙O的切线，
小明所在的数学小组经过合作探究，发现了很多作法，精彩纷呈．
作法一：
①作直径PA的垂直平分线交⊙O于点B；
②分别以点B、P为圆心，OP为半径作弧，交于点C；
③作直线PC．
作法二：
①作直径PA的四等分点B、C；
②以点A为圆心，CA为半径作弧，交射线PA于点D；
③分别以点A、P为圆心，PD、PC为半径作弧，两弧交于点E；
④作直线PE．
以上作法是否正确？选一个你认为正确的作法予以证明．


参考答案：
1．B
【分析】连接OC、OD，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】连接OC、OD，

分别与相切于点C，D，
∴，
，
∴，
的长，
故选：B
【点睛】此题考查圆的切线的性质定理，四边形的内角和，弧长的计算公式，熟记圆的切线的性质定理及弧长的计算公式是解题的关键．
2．A
【分析】由切线的性质可得出，由切线长定理可得出，从而可判断为等边三角形，又易证，即可求出，从而可求出，进而可求出，最后由三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵，是的两条切线，切点分别为A，B，
∴，．
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选A．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质．掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题关键．
3．C
【分析】设的内切圆切三边于点，连接，得四边形是正方形，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，再求出内切圆的半径，进而可得的周长．
【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，
∴四边形是正方形，
由切线长定理可知，
∵是的切线，
∴，
∵，，，
∴
∵是的内切圆，
∴内切圆的半径，
∴，
∴，
∴的周长．
故选：C．

【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．
4．/20度
【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．
【详解】连接

∵
∴
∵过点A作的切线与的延长线交于点P
∴
∴
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．
5．/
【分析】连接OA，根据圆周角定理求出的度数，再利用切线的性质得到，进而得到，然后利用含的直角三角形的性质求出OP的长度，用勾股定理求出AP的长度，即可得到的周长．
【详解】解：连接OA，如下图．


．
为的切线，
，
，
．
，
，
，
的周长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，勾股定理．掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解答关键．
6．(1)见解析；
(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；
（2）结合作图，完成证明过程即可．
【详解】（1）补全图形如图所示，

（2）证明：连接，．
由作图可知，
，．
∴，
∵ 点A在上，
∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，
故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．
7．⊙O的半径为5，AC的长为8
【分析】利用切线的性质得∠OAB＝90°，则根据勾股定理可计算出OA＝5，再根据垂径定理得到AH＝CH，接着利用勾股定理计算出AH，从而得到AC的长．
【详解】解：∵AB为切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
在中，OA＝＝＝5，
∵OH⊥AC，
∴AH＝CH，
在中，AH＝＝＝4，
∴AC＝2AH＝8，
答：⊙O的半径为5，AC的长为8．
【点睛】本题考查切线的性质，垂径定理，勾股定理，掌握利用垂径定理与勾股定理结合，求线段长是解题的关键．
8．（1）见解析；（2）1
【分析】（1）根据切线的性质可得OE⊥AB，再依据题中已知条件E是AB中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；
（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得，再由三个角之间的等量关系可得：，设⊙O的半径为r，则，在和中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．
【详解】解：（1）证明：在⊙O中，连接，
∵ 直线AB与⊙O相切于点E，
∴ OE⊥AB．
∵ E是AB中点，
∴；
（2）解：∵，
∴ ．
∵，

∴AE，AC是⊙O的切线，
∴，（切线长定理）
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设⊙O的半径为r，则，
在中，，
∴ ，
在中，
∵，
，
∴ ，
解得，
∴ ⊙O的半径为1．
【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．
9．(1)见解析
(2)2

【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；
（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．
【详解】（1）解：连接，

∵是的直径，是的弦，，
∴垂直平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的度数，度数的度数，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于点H，连接，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设的半径长为r，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是方程的解.
∴的半径长为2．
【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；
（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．
【详解】（1）证明：连接，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）如图：连接，
∵为直径，，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∴，
在中，根据勾股定理可得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．

【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．
11．证明见解析
【分析】根据等弧或同弧所对的圆周角相等可得，利用直径所对的圆周角是直角和切线性质得到，，继而得到即可解答．
【详解】解：连接，如图所示：

∵，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵是的切线，
∴，即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理和平行线的判定，熟练掌握圆周角定理和切线性质，根据角度的转换得到内错角相等是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，求得，得到，即可求得平分．
（2）连接，求得，在中，求得；在中，，；在中，利用勾股定理可求得．
【详解】（1）证明：如图，连接．

∵直线与相切于点，
∴于点．
∴．
∵于点，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴平分．
（2）解：连接．

∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
在中，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴．
∵，  
∴．
∴．
在中，
∵，
∴．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
13．(1)见解析
(2)，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】（1）按照作法作出图形即可；
（2）连接，，，证明即可证明是的切线．
【详解】（1）补全图形，如图所示：

（2）连接，，．

∵是的切线，A为切点，
∴．
∴．
在与中，
∴．∴．
∴于点．∵是的半径，
∴是的切线（经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
故答案为：，经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查了尺柜作图，切线的性质和判定，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
14．，
【分析】根据切线性质得出OB⊥AB，根据平行四边形的性质，得出，，证明△OCB为等腰直角三角形，得出∠C＝∠OBC＝45°，根据平行线的性质得出∠AOB＝∠OBC＝45°最后根据圆周角定理即可得出∠E．
【详解】解：连接OB，如图所示：

∵⊙O与AB相切于点B，
∴OB⊥AB，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴，，
∴OB⊥OC，
∴∠BOC＝90°，
∵OB＝OC，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠C＝∠OBC＝45°，
∵，
∴∠AOB＝∠OBC＝45°，
∴∠E∠AOB＝22.5°．
【点睛】本题主要考查了切线的性质定理、圆周角定理，等腰直角三角形性质、平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握圆的有关性质，是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）连接OD．根据切线的性质及平行线的判定得出，利用平行线的性质及等边对等角即可证明；
（2）连接BC交OD于点G，根据垂径定理得出．由勾股定理得出，利用三角形中位线的性质及各线段间的数量关系即可得出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接OD．

∵ED与相切于点D，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即AD平分．
（2）如图，连接BC交OD于点G．
∵AB为的直径，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴G为BC的中点，
∴．
∵，，
∴，
∵点O点G分别为AB、BC的中点，
∴，，
∴，
∵，，，
∴四边形CEDG是矩形，
∴，．
【点睛】题目主要考查三角形与圆的综合问题，包括切线的性质，等边对等角的性质，勾股定理解三角形，垂径定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
16．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明可得结论；
（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；
【详解】（1）证明：连接．

∵ 是的直径，平分，

∴ .
又∵ ，
∴ ．
即 ．
∴ 直线为的切线．
（2）解：∵ 是的直径，
∴．
又∵，，
∴ ．
∴ ．
∵ ，

∴ .
∵ ，
∴ ,
，
设则，
又，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
故
【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
17．(1)见解析
(2)或

【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；
（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：如图，

为的中点，是中点，
，
是的直径，
，
，
，
又，
，
，
是切线
，
，
，
是切线；
（2）当点在上时，连接，交于点，

，
，
，
，
直径，
，

，
当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点，

四边形是矩形，
在中，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．
18．(1)见解析；
(2)90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】（1）按照题中作法步骤作图即可；
（2）根据圆周角定理和切线的判定定理填空．
【详解】（1）解：补全图形，如图所示；

（2）90°；一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，圆周角定理，切线的判断和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，证明是等边三角形，得出，根据，可得，即可得证；
（2）过点作于点，得出四边形是矩形，进而得出，根据（1）可得，进而根据含30度角的直角三角形的性质求得，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，点为的中点，
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
（2）如图，过点作于点，

∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为2．
【点睛】本题考查了切线的判定，矩形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)，直径所对的圆周角为直角

【分析】（1）根据题意，画出图形即可；
（2）根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据垂线的定义，得出，，再根据切线的判定定理，即可得出结论．
【详解】（1）解：补全图形如图：

（2）证明：∵是的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角）．
∴，．
∵，是的半径，
∴，是的切线．
故答案为：，直径所对的圆周角为直角
【点睛】本题考查了尺规作图，线段的垂直平分线的性质、圆周角定理、切线的判定定理，解本题的关键在理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．见详解，直径所对的圆周角为直角，经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线
【分析】根据题干步骤补全作图即可；根据圆周角定理的推论和切线的判定定理即可填空．
【详解】解：补画图形如下，



证明：连接，如图2，
由作法可知，为的直径，
∴（直径所对的圆周角为直角），
∴，
∵点在上，
∴直线是圆的切线（经过圆半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理，直线也是圆的切线．
【点睛】本题主要考查了作图—过圆外一点作圆的切线、圆周角定理的推论和切线的判定定理等知识，熟练掌握基本作图方法和熟记直径所对的圆周角为直角是解题关键．
22．两种作法都正确，证明见解答．
【分析】选作法一、连接BC，判断出四边形OBCP为菱形，得出∠BOP=90°，进而判断出∠OPC=90°，即可得出结论；
选作法二、连接DE，设PD=5x，AP=4x，PC=3x，得出，进而得出∠APE=90°，即可得出结论．
【详解】解：选作法一、如图作法一，

连接BC，由题意得，OB=OP=BC=PC，
∴四边形OBCP为菱形，
∴∠BOP=90°，
∴OBCP，
∵∠BOP=90°，
∴∠OPC=90°，
∵OP为⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
选作法二、如图作法二，

连接DE，由题意设，AP=4x，
∴PE=3x，AE=PD=4x，
∴，
∴△APE是直角三角形，∠APE=90°，
∵OP为⊙P的半径，
∴PE是⊙O的切线．
【点睛】此题主要考查了尺规作图，正方形的判定和性质，勾股定理的逆定理，正确作出辅助线是解本题的关键．