初中数学沪教版 (五四制)九年级上册25.1 锐角的三角比的意义优秀习题

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（沪教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学25.1 锐角的三角比的意义 同步测试
一、单选题
1．（2021九上·遂宁期末）在 Rt△ABC 中， ∠C=90°,AB=2,BC=32 ，则 sinB 的值是（　　）.
A．34 B．43 C．74 D．477
2．（2021九上·海州期末）如图，已知△ABC与△ADE中，∠C=∠AED=90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△DAE的是（　　）

A．∠B=∠D B．ACDE=ABAD C．AD//BC D．∠BAC=∠D
3．（2021九上·天桥期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，则BC的长是（　　）

A．5sinA B．5cosA C．5tanA D．5tanA
4．（2021九上·商河期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值为（　　）
A．53 B．45 C．54 D．35
5．（2021九上·舒城期末）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若AE=5，则sin∠BFD的值为（ ）

A．35 B．45 C．58 D．13
6．（2021九上·溧阳期末）在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40° ，则直角边AC的长是（　　）
A．m sin40° B．mcos40° C．mtan 40° D．mtan40°
7．（2021九上·吴兴期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（　　）

A．45 B．34 C．35 D．43
8．（2021九上·静安期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（　　）
A．0 9．（2021九上·广饶期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相交于点O，则cos∠BOD=(　　)

A．12 B．55 C．255 D．2
10．（2021九上·黄浦期末）Rt△ABC中，∠C=90∘，若BC=2，AC=3，下列各式中正确的是 ()
A．sinA=23 B．cosA=23 C．tanA=23 D．cotA=23
二、填空题
11．（2021九上·永定期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则sinB等于 　 　.
12．（2021九上·历下期末）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，AB=3，则sinB=　 　．

13．（2021九上·商河期末）如图，在正方形网格中，四边形ABCD为菱形，则tan∠BAD2等于　 　．

14．（2021九上·槐荫期末）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则sin∠BAC的值为　 　．

15．（2021九上·怀宁期末）如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，D、E分别在CA、CB上，点F在△ABC内．若四边形CDFE是边长为2的正方形，则sin∠FBA＝　 　．

三、解答题
16．（2021九上·肃州期末）在 △ ABC中，AD是BC边上的高，∠C=45°， sinB=13 ，AD=1，求BC的长.

17．（2021九上·枣庄月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，延长斜边BC到点D，使CD=12BC，联结AD，如果tanB=43，求tan∠CAD的值．

18．（2021九上·淮阴月考）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，求tanA与tanB的值.

19．（2021九上·长春期中）如图，在 Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 ．求 ∠A 的三个三角函数值．

20．（2021九上·建湖期末）如图，在 △ABC 中， ∠B=45° ， ∠C=75° ， BC=32 .求： AB 、 AC .

21．（2020九上·长春月考）如图，在 △ABC 中， AD⊥BC 于点D，若 AD=6 ． tanC=32 ， BC=12 ，求 cosB 的值．

22．（2020九上·平度期末）太阳能光伏建筑是太阳能光伏系统与现代绿色环保住宅的完美结合，老刘准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC如图2所示，BC=10米，∠ABC=∠ACB=36°，改建后顶点D在BA的延长线上，且∠BDC=90°.求改建后南屋面边沿增加部分AD的长，(结果精确到0.1米)
(参考数据：sin18°≈031，cos18°≈0.95，tan18v≈0.32，sin36°≈0.59)

23．（2020九上·通州期末）将矩形纸片 ABCD 沿 AE 翻折，使点B落在线段 DC 上，对应的点为F，若 AE=55，tan∠EFC=34 ，求 AB 的长.

24．（2019九上·西城月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，求cos∠EFC的值．


答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：根据勾股定理可得：AC＝AB2−BC2 ＝ 22−(32)2=72 ，
∴sinB＝ ACAB ＝ 722=74 .
故答案为：C.
【分析】首先根据勾股定理求出AC的值，然后利用三角函数的概念进行计算即可.
2．【答案】A
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=∠AED=90°，∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，故A选项不能证明相似，符合题意；
∵∠C=∠AED=90°， ACDE=ABAD ，
∴ACAB=DEAD ，即sin∠B=sin∠DAE，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE，故选项B可以证明相似，不符合题意；
∵AD∥BC，
∴∠B=∠DAE，
∵∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项C可以证明相似，不符合题意；
∵∠BAC=∠D，∠C=∠AED=90°，
∴△ABC∽△DAE，故选项D可以证明相似，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】直接根据相似三角形的判定定理可判断A、D；根据B中的式子结合三角函数的概念可得∠B=∠DAE，然后利用相似三角形的判定定理可判断B；根据平行线的性质可得∠B=∠DAE，然后利用相似三角形的判定定理可判断C.
3．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，
∴sinA=BCAB，
∴BC=ABsinA=5sinA，
故答案为：A．
【分析】根据sinA=BCAB求出BC 即可.
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵sinA=BCAB=35
∴∠A的正弦值为35
故答案为：D．

【分析】由正弦的定义可得。
5．【答案】A
【知识点】翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，
∴∠A=∠B，
由折叠的性质得到：△AEF≌△DEF，
∴∠EDF=∠A，
∴∠EDF=∠B，
∴∠CDE+∠BDF+∠EDF=∠BFD+∠BDF+∠B=180°，
∴∠CDE=∠BFD．
又∵AE=DE=5，
∴CE=8-5=3，
∴在直角△ECD中，sin∠CDE=CEED=35，
∴sin∠BFD=35.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得∠A=∠B，由折叠的性质可得∠EDF=∠A，推出∠EDF=∠B，根据内角和定理以及平角的概念可得∠CDE=∠BFD，然后根据三角函数的概念及等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵ 在Rt△ABC中， sinB=ACAB=sin40°
∴AC=msin40° .
故答案为：A.
【分析】一个锐角的正弦函数值等于其对边比斜边，据此可表示出AC.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC=52-42=3，
∴tanB=ACBC=43.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理先求出BC=3，再根据锐角三角函数的定义得出tanB=ACBC=43，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：∵0°＜25°＜30°
∴0 ∴0 故答案为：A．

【分析】根据0°＜25°＜30°可得0 9．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接CE、DE，如图：

∵由图可知：∠1=∠2=∠3=∠4=∠ABE=45°
∴∠CED=∠2+∠3=90°，AB//CE
∴∠BOD=∠DCE
∵小正方形的边长为1
∴在Rt△CDE中，CE=12+12=2， CD=12+32=10
∴cos∠DCE=CECD=210=55
∴cos∠BOD=cos∠DCE=55．
故答案为：B
【分析】先求出∠BOD=∠DCE，再利用勾股定理和锐角三角函数计算求解即可。
10．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90∘，BC=2，AC=3，
∴AB=13，
A.sinA=BCAB=213=21313，故此选项不符合题意；
B.cosA=ACAB=31313，故此选项不符合题意；
C.tanA=BCAC=23，故此选项符合题意；
D.cotA=ACBC=32，故此选项不符合题意．
故答案为：C．

【分析】利用锐角三角函数的定义逐项判断即可。
11．【答案】35
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= AC2+BC2=62+82=10 ，
∴sinB= ACAB=610=35 ，
故答案为： 35 .
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，利用sinB= ACAB即可求解.
12．【答案】23
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在RtΔABC中，∠C=90°，AC=2，AB=3，
∴sinB=ACAB=23
故答案为：23

【分析】由正弦的定义可得。
13．【答案】34
【知识点】菱形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：由菱形的性质可知∠BAD2=∠BAC
由图可知tan∠BAC=34
∴tan∠BAD2=tan∠BAC=34
故答案为：34．

【分析】由菱形的性质可知∠BAD2=∠BAC，根据正切的定义可得。

14．【答案】35
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：连接格点DC、BD．

在Rt△ABD中，
∵CD=3，AD=4，
∴AC=CD2+AD2=5．
∴sin∠BAC=CDAC=35．
故答案为：35．

【分析】连接格点DC、BD．在Rt△ABD中，先根据勾股定理求出斜边长，然后根据正弦定义可得．
15．【答案】1010
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点F作FG⊥AB于G，连接AF，

∵四边形CDFE是边长为2的正方形，
∴CD＝CE＝DF＝EF＝2，∠C＝∠ADF＝90°，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AD＝4，BE＝6，
∴AB＝AC2+BC2＝10，AF＝AD2+DF2＝25，BF＝BE2+EF2＝210，
设BG＝x，
∵FG2＝AF2﹣AG2＝BF2﹣BG2，
∴（25）2﹣（10﹣x）2＝（210）2﹣x2，解得：x＝6，
∴FG＝BF2−BG2＝2，
∴sin∠FBA＝FGBF＝1010．
故答案为：1010.
【分析】过点F作FG⊥AB于G，连接AF，由四边形CDFE是边长为2的正方形，得出AD＝4，BE＝6，根据勾股定理得出AB、AF、BF的值，设BG＝x，利用勾股定理求出x的值，得出FG的值。即可得出sin∠FBA的值。
16．【答案】解：∵tanC=ADDC ，即 tan45°=1DC=1 ，
∴DC=1
∵sinB=ADAB=13 ，即 1AB=13 ，
∴AB=3
在 Rt△ABD 中， AD2+BD2=AB2 ，
∴BD=AB2−AD2=32−12=8=22
∴BC=BD+DC= 22+1 .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据∠C的正切函数可得CD的值，根据∠B的正弦函数可得AB的值，然后在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD，最后根据BC=BD+DC进行计算.
17．【答案】解：过点C作CF⊥AC交AD于点F，

则∠ACF=90°,
∵∠BAC=90°，
∴AB//CF，
∴∠DCF=∠DBA，
∴△DCF∽△DBA，
∴CFAB=CDBD，
∵CD=12BC，
∴CD=13BD，
即CDBD=13，
∴CFAB=13，
∴CF=13AB，
在Rt△ABC中，
∵tanB=43，即ACAB=43，
设AC=4x，则AB=3x，
∴CF=13×3x=x，
∴tan∠CAD=CFAC=x4x=14．
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点C作CF⊥AC交AD于点F，先证明△DCF∽△DBA，再利用相似的性质可得CFAB=CDBD，再结合CD=12BC，可得CF=13AB，再根据 tanB=43，即ACAB=43，设AC=4x，则AB=3x， 最后利用tan∠CAD=CFAC=x4x=14计算即可。
18．【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=3，
∴tanA=BCAC=13=33，
tanB=ACBC=31=3.
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在Rt△ABC中，一个锐角的正切三角函数值等于其对边比邻边，据此分别计算 tanA与tanB 即可.
19．【答案】解： Rt△ABC 中， ∠C=90° ， AC=12 ， BC=5 ，
∴AB=BC2+AC2=169=13 ，
sinA=BCAB=513 ，
cosA=ACAB=1213 ，
tanA=BCAC=512 ．
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】利用三角函数的定义求解即可。
20．【答案】解：如图，过点C作 CD⊥AB 于点D，

∵∠B=45° ， CD⊥AB ，
∴∠BCD=45° ，
在 Rt△BCD 中， ∠BDC=90° ， BC=32 ， cos∠B=BDBC ，
∴BD=cos∠B⋅BC=22×32=3 ，
∵sin∠B=BDBC ，
∴CD=sin∠B⋅BC=22×32=3 ，
∵在 Rt△ACD 中， ∠ADC=90° ， ∠ACD=75°−45°=30° ，
∴tan∠ACD=ADCD ，
∴AD=tan∠ACD⋅CD=33×3=3 ，
∴AB=AD+BD=3+3 ，
∵cos∠ACD=CDAC ，
∴AC=CDcos∠ACD=332=23 ，
即： AB=3+3 ， AC=23 .
【知识点】等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】 过点C作CD⊥AB于点D，利用等腰三角形的性质或勾股定理先求出BD、CD，再利用直角三角形的边角间关系求出AB、AC的长即可．
21．【答案】解：

∵tanC=ADCD=6CD=32 ，
∴CD=4 ．
∴BD=12−4=8 ．
在 Rt△ABD 中
AB=BD2+CD2=10 ，
∴cosB=BDAB=810=45
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 Rt△ADC 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
22．【答案】解：∵∠BDC=90°，BC=10， sin∠B=CDBC ，
∴CD=BC⋅sin∠B≈10×0.59 = 5.9 ，
∵在Rt△BCD中， ∠BCD=90°−∠B=90°−36°=54°
∴∠ACD=∠BCD−∠ACB=54°−36°=18° ，
∴在Rt△ACD中， tan∠ACD=ADCD ，
∴AD=CD⋅tan∠ACD≈5.9×0.32 = 1.888≈1.9 （米）．
答：改建后南屋面边沿增加部分 AD 的长约为1.9米。
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据锐角三角函数的性质计算得到CD的长度，在直角三角形ACD中，根据锐角三角形函数的性质，即可得到AD的长度。
23．【答案】解：∵ABCD 是矩形，沿 AE 翻折
∴AB=DC=AF，AD=BC ，BE=EF，∠AFE=∠B=∠D = 90∘ ，
∴∠AFD+∠DAF=∠AFD+∠EFC= 90∘ ,
∴∠DAF=∠EFC,
∴tan∠DAF=tan∠EFC=34 ,
设 EC=3k ，则 FC=4k,
∴BE=EF=5k ,
∴BC=BE+EC=8k ,
∴AD=8k，
∴DFAD=DF8k=34 ，
∴DF=6k ，
∴DC=DF+CF=10k ,
∴AB=10k ,
∵AB2+BE2=AE2 ,
∴(10k)2+(5k)2=(55)2 ，
∴k=1 ,
∴AB=10 .
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】设 EC=3k ，根据三角函数表示出其它线段，最终表示出BE、AB，然后在三角形ABE中根据勾股定理即可求出AB.
24．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝5，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝ AF2−AB2 ＝ 52−32 ＝4，
∴CF＝BC﹣BF＝5﹣4＝1，
设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x
在Rt△ECF中，∵CE2+FC2＝EF2，
∴x2+12＝（3﹣x）2，解得x＝ 43 ，
∴EF＝3﹣x＝ 53 ，
∴cos∠EFC＝ CFEF ＝ 35 ．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，再根据折叠的性质得AF＝AD＝5，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝4，则CF＝BC﹣BF＝1，设CE＝x，则DE＝EF＝3﹣x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2+12＝（3﹣x）2，解方程得到x的值，进一步得到EF的长，再根据余弦函数的定义即可求解．