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初中数学19．9 勾股定理精品学案
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这是一份初中数学19．9 勾股定理精品学案，共26页。
勾股定理及两点间的距离公式
内容分析
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．
知识结构
模块一：勾股定理的证明及应用
知识精讲
1、 勾股定理：
（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；
（2） 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．
例题解析
【例1】 （1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；
（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．
【难度】★
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；
（2） 设，则由勾股定理可得：，解得：，
∴．
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．
【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；
（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为，则三角形的面积为；
（2） 作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为
【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．
【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；
（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；
（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．
【难度】★★
【答案】（1）5或；（2）；（3）．
【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边；
（2） 由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为；
（3） ∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2，
作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：
底边上的高为，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为．
【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．
【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；
（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．
【难度】★★
【答案】（1）2；（2）24．
【解析】（1）由题意有：，解：（负值舍去）；
（2）可设直角三角形的三边长分别为N-2，N，N+2
∴，∴
∴三角形的周长为
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
【例5】 如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D是斜边AB的中点，BC=2，求△ADC的周长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，
∴．
∵∠B=60°，∴△BDC是等边三角形，∴．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴．
∵，∴．∵∠ACB=90°，BC=2，，
∴，∴
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．
A
B
C
D
【例6】 如图，已知：R△ABC中，∠ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
∵，∴，解得：
∴由等面积法可知：．
【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．
【例7】 已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．
∵直角三角形的周长为，∴两直角边之和为．
∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，
∴设两直角边分别为，则有，解得：，
∴直角三角形的面积为．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．
A
B
C
MM
N
DM
EM
【例8】 如图，直线MN是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，
请你求出这条小路的长（结果保留根号）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据垂线段最短，过C作垂线的垂线段是最短的．
过C作CD⊥MN，垂足为D，过B作BE⊥AC，垂足为E．
由题意可知：，，∴．
在Rt△ABE中，，，∴．
∴由勾股定理可得：
在Rt△CBE中，，，∴
∴
在Rt△ACD中，，，
∴．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．
A
P
Q
M
N
B
【例9】 如图，公路MN和公里PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?
【难度】★★
【答案】24秒．
【解析】过A做AB⊥MN，垂足为B．
在Rt△ABP中，∠QPN=30°，，
∴
∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．
假设在C处开始受到噪音影响，在D处开始不受影响，
∴
由勾股定理可得：
∴受影响的路程为120米=0.12千米
∴学校受影响的时间为．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．
A
B
C
D
E
F
【例10】 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分△AFC的面积．
【难度】★★
【答案】10．
【解析】∵，，
∴，∴
设，则
∵，∴，解得：
∴
【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．
A
B
C
D
A
B
C
D
P
E
F
【例11】 如图，AB两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．
【难度】★★★
【答案】10万元．
【解析】延长AC至点E，使得CE=AC，连接EB交CD于一点，，
则此时铺设水管费用最低．
过E作EF∥CD，交BD延长线于F
∵四边形CEFD是长方形，∴
∵，∴由勾股定理可得：
此时
∴总费用为万元．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例12】 如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的两点，且
∠EAF=45°，求证：．
【难度】★★★
A
B
C
E
F
G
【答案】见解析
【解析】过C作CG⊥BC，使，连接、FG．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴．
∵CG⊥BC， ∴，
∴．
∵AB=AC，BE=CG，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，可得：，
又，，
∴．
【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．
模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用
知识精讲
2、 逆定理：
（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．
（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．
例题解析
【例13】 下列命题中是假命题的是（ ）
A． 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B． 在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C． 在△ABC中，若∠B：∠C：∠A=3:4:5，则△ABC是直角三角形
D． △ABC中，若，则△ABC是直角三角形
【难度】★
【答案】C
【解析】A答案中：，且，∴，所以是直角三角形；B答案中：，∴，所以是直角三角形；
C答案中：，∴，∴，∴，
∴不是直角三角形；
D答案中：设，∵，所以是直角三角形．
【总结】考察判断直角三角形的方法．
【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；
（2）若△ABC的三边A、B、C满足则△ABC是________三角形．
【难度】★
【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．
【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三
角形是直角三角形；
（2） 由题意有：或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
【总结】考察勾股定理的应用．
【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?
（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．
【难度】★★
【答案】（1）24米；（2）15米．
【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为，
则旗杆长为9+15=24米；
（2） 由题意可得：可达到建筑物的高度为．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例16】 的三边分别为A、B、C，且满足，
判断△ABC的形状．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，
∴，∴．
∵，∴△ABC是直角三角形．
【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．
【例17】 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E．
（1） 若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处?
（2） 若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处?
A
B
C
D
E
F
E’
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
∴，
∵，∴，
∴，即．
（2） 找出C点关于AB的对称点F，联结DF交AB于点，
则此时的满足C、D两村到E站的距离和最小，
设，
∴，
∵，∴，
解得：，∴
【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．
A
B
C
D
【例18】 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
【难度】★★
【答案】135°．
【解析】连接AC
∵AB=BC=2，∠B=90°，∴，．
∵，∴，
∴，∴．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．
A
B
C
D
E
F
【例19】 如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是BC边上的中线，EF是AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，求AE：BE的值．
【难度】★★
【答案】5：3．
【解析】连接ED，
∵EF是AD的垂直平分线，∴
设，，则
∵，∴，解得：．
则，
∴．
【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．
【例20】 如图，ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求
∠APB的度数．
B
A
P
C
D
【难度】★★★
【答案】150°．
【解析】在BC的下方作，在BD上截取一点D，
使得BD=BP，连接CD、PD
∵，
∴
∵，，
∴，∴
∵，，∴△BPD为等边三角形，∴．
∵，∴，∴
∴
∵，
∴
【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．
A
B
C
D
E
F
G
H
P
【例21】 如图，P是凸四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BEAE=1，
求四边形ABCD的周长．
【难度】★★★
【答案】34．
【解析】由勾股定理可得：
，
，
，
，
等式相加后代入数据可得：，
整理得：，即，∵BEAE=1，
解得：． 所以周长为：．
【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．
【例22】 已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=，BC=，AB=，CD= ．
A
B
C
D
求证：
（1）；
（2）以、、为三边可构成一个直角三角形．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）由等面积可知：，∵，
∴，．
∵，∴，∴．
（2） ∵；，，
∴，∴以、、为三边可构成一个直角三角形．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．
模块三：两点间的距离公式
知识精讲
3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A、B两点间的距离为：
．
（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=；
（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=．
例题解析
【例23】 已知点A（2，2）、B（5，1）．
（1） 求A、B两点间的距离；
（2） 在轴上找一点C，使AC=BC．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2） 设，
∵AC=BC，∴，，
∴．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例24】 （1）已知A（，3）、B（3，+1）之间的距离为5，则的值是_________；
（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意有：，∴；
（2） 设，∴，∴，∴或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例25】 （1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；
（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．
【难度】★
【答案】（1）等腰直角三角形；（2）或．
【解析】（1）∵，，，
∴，，
∴该三角形为等腰直角三角形；
（2） ，
（3） ∵，∴，，
解得：，，
∴或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例26】 已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使PA=PB．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】①当点P在x轴上时，
设，∵PA=PB，∴，，∴
②当点P在y轴上时，
设，∵PA=PB，∴，，∴
∴满足条件的P点的坐标为或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P在坐标轴上，注意分类讨论．
【例27】 已知直角坐标平面内的点P（4，），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意可知：，解得：，
∴．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例28】 已知点A（2，3）B（4，5），在轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
【难度】★★
【答案】存在，最小值为．
【解析】找出A（2，3）关于x轴对称的点为，连接BC，
则的值最小值为．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例29】 已知直角坐标平面内的点A（4，）、B（6，3），在轴上求一点C，使得
△ABC是等腰三角形．
【难度】★★★
【答案】或或．
【解析】设，
当CA=CB时，∴，，∴；
当CA=AB时，∴，，∴或；
当CB=AB时，∴，方程无解，所以不存在．
综上，满足条件的点C的坐标为：或或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．
【例30】 已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（，2-），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．
【难度】★★★
【答案】或或或或．
【解析】由两点间距离公式，可得：
，，．
当CA=CB时，即，
解得：，∴；
当CA=AB时，即，
解得：，∴或；
当CB=AB时，即，
解得：，所以或．
综上，满足条件的C点的坐标为：或或
或或．
【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．
随堂检测
【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（ ）．
A． 2、4、8 B．4、8、10 C．6、8、10 D．8、10、12
【难度】★
【答案】C
【解析】只有C答案满足勾股定理逆定理．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
【习题2】 已知点A（2，4）B（-1，-3）C（-3，-2），那么△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上都不是
【难度】★
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形．
【总结】考察两点之间的距离公式的应用．
【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；
（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．
【难度】★★
【答案】（1）2，或；（2）13或．
【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边．
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
E
F
【习题4】 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使得点D落在BC上的点F处，AB=8，AD=10．求EC的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由翻折性质，可知：，
∴，∴．
设
∵，∴，解得：．
∴．
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
【习题5】 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=9，BC=12，CD=15，DA=．求四边形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】联结AC，过C作CE⊥AD
∵AB⊥BC，AB = 9，BC=12，∴．
∵CD=15，，，∴，
∴为直角三角形．
∴
．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．
A
B
D
C
E
【习题6】 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5，AC=3，AD=2．求：△ABC的面积．
【难度】★★
【答案】6．
【解析】延长AD至E，使得DF=AD，联结CE
∵，，DF=AD，
∴，∴
∵，∴，
∴，∴．
∵，∴．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．
【习题7】 若A、B、C是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】由题意可知：，∴，
∴这个三角形为直角三角形．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
A
B
Q
P
M
【习题8】 如图，在一条公路上有P、Q两个车站，相距27，A、B是两个村庄，AP⊥PQ，BQ⊥PQ，且AP=15，BQ=24，现在要在公路上建立一个商场M使得A、B两个村庄到商场M的距离相等，求PM的长 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
∵，∴，
解得：， ∴．
【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．
【习题9】 已知点,点C在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C的坐标．
【难度】★★
【答案】或或或．
【解析】设，则，，．
当时，则，
解得：，∴或；
当时，则，解得：，
∴；
当时，则，解得：，
∴．
∴综上所述，满足条件的C点的坐标为：或或或
．
【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．
A
B
C
M
D
【习题10】 如图，在中，是内一点，且
,求的度数．
【难度】★★★
【答案】135°．
【解析】在过点C作CD⊥CM于点C，在CD上截取一点D，
使得CD=CM，连接BD
∵，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．
【习题11】 若在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，则试用两种方法证明．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】方法一：如图，△CDE≌△ADE，且B、C、D在一条直线上，联结AE
∵△CDE≌△ADE，∴
∵，∴，∴
∴梯形ABDE的面积为
整理得：，即得证．
方法二、如图，由四个△ABC拼成以下图形，
则四边形BCEG和四边形ADFH都为正方形
∵四边形BCEG的面积为，
∴四边形ADFH的面积为，
整理得：，即得证．
【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．
课后作业
【作业1】 下列命题中，正确的有( )个
（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等
（2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
（3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★
【答案】C
【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C．
【总结】考察三角形全等的判定．
【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A=______．
【难度】★
【答案】22．
【解析】根据勾股定理得A的面积等于另外两正方形面积之差．
【总结】考察勾股定理的应用．
【作业3】 如图，中，斜边，则的值是_________．
【难度】★
【答案】2．
【解析】．
【总结】考察勾股定理的应用．
【作业4】 已知点，点B的横坐标为-3，且A、B两点之间的距离为10，那么点B的坐标是____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】设，∵BA=10，∴，解得：，
∴．
【总结】考察两点之间的距离公式的应用．
【作业5】 现将直角三角形ABC的直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合，已知AC=3，BC=4，则CD等于_____________.
【难度】★★
【答案】．
【解析】由翻折性质，可得：，∴．设，
∵，∴，解得：，∴．
【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．
【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是
____________．
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】∵，，
联立方程，解得：．
∵，∴为直角三角形．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
【作业7】 已知等腰直角三角形斜边BC的长为2，为等边三角形，那么A、D两点的距离为_______.
【难度】★★
【答案】或．
【解析】∵，∴垂直平分．
设DA交BC于E，
∵等腰直角三角形斜边BC的长为2，∴
∵为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：
当A点在内部时，；
当A点在外部时，．
【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．
A
B
C
Q
P
D
【作业8】 已知：如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_________.
【难度】★★
【答案】．
【解析】设AC与PQ相交于D
由题意可得：，，
∵，，∴设
∴，解得：．
∴．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．
A
B
C
D
Q
P
【作业9】 已知：如图，四边形ABCD的三边（、、）和都为5厘米，动点P从A出发（），速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（）到A，速度为2.8厘米/秒，5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时的形状.
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】P点的运动路程为10厘米，则此时P与D重合；
Q点的运动路程为14厘米，此时BQ=4厘米．
∵
∴△BPQ为直角三角形，且，即．
∴的形状为直角三角形．
【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．
【作业10】 阅读下列题目的解题过程：
已知、、为的三边，且满足，试判断的形状.
解：（A），(B)
(C)，是直角三角形.
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错?
请写出该步的代号：____________；
（2）错误的原因：_______________；
（3）本题正确的结论为：____________.
【难度】★★
【答案】（1）C；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等
腰三角形．
【解析】C步骤应该为：，
所以应为直角三角形或者等腰三角形．
【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．
【作业11】 如图，一根长度为50CM的木棒的两端系着一根长度为70CM的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？
【难度】★★
【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米．
【解析】设其中的一段长为cm，则另一段长为
∴，解得：．
∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米．
【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．
【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P，使得为直角三角形，求点P的坐标.
【难度】★★★
【答案】或或或或或或．
【解析】当点P在y轴上时，设，
当，∴，解得：，
∴或；
当，∴，解得：，∴；
当，∴，解得：，∴；
当点P在x轴上时，设，
当，∴，解得：，
∴或
当，∴，解得：，∴
当，∴，解得：，∴．
综上所述：满足条件的点P的坐标为：或或或或
或或．
【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．
勾股定理及两点间的距离公式
内容分析
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．
知识结构
模块一：勾股定理的证明及应用
知识精讲
1、 勾股定理：
（1） 直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；
（2） 应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．
例题解析
【例1】 （1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；
（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．
【难度】★
【答案】（1）2；（2）．
【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；
（2） 设，则由勾股定理可得：，解得：，
∴．
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．
【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；
（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为，则三角形的面积为；
（2） 作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为
【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．
【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；
（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；
（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．
【难度】★★
【答案】（1）5或；（2）；（3）．
【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边；
（2） 由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为；
（3） ∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2，
作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：
底边上的高为，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为．
【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．
【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；
（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．
【难度】★★
【答案】（1）2；（2）24．
【解析】（1）由题意有：，解：（负值舍去）；
（2）可设直角三角形的三边长分别为N-2，N，N+2
∴，∴
∴三角形的周长为
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
【例5】 如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，D是斜边AB的中点，BC=2，求△ADC的周长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵∠ACB=90°，D是斜边AB的中点，
∴．
∵∠B=60°，∴△BDC是等边三角形，∴．
∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴．
∵，∴．∵∠ACB=90°，BC=2，，
∴，∴
【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．
A
B
C
D
【例6】 如图，已知：R△ABC中，∠ACB是直角，BC=15，AB比AC大9，CD⊥AB于点D，求CD的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
∵，∴，解得：
∴由等面积法可知：．
【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．
【例7】 已知已直角三角形的周长为，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．
∵直角三角形的周长为，∴两直角边之和为．
∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，
∴设两直角边分别为，则有，解得：，
∴直角三角形的面积为．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．
A
B
C
MM
N
DM
EM
【例8】 如图，直线MN是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C，朝正北方向走了400米到达点B后，测得别墅C在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C修一条通向MN的最短小路，
请你求出这条小路的长（结果保留根号）．
【难度】★★
【答案】．
【解析】根据垂线段最短，过C作垂线的垂线段是最短的．
过C作CD⊥MN，垂足为D，过B作BE⊥AC，垂足为E．
由题意可知：，，∴．
在Rt△ABE中，，，∴．
∴由勾股定理可得：
在Rt△CBE中，，，∴
∴
在Rt△ACD中，，，
∴．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．
A
P
Q
M
N
B
【例9】 如图，公路MN和公里PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?
【难度】★★
【答案】24秒．
【解析】过A做AB⊥MN，垂足为B．
在Rt△ABP中，∠QPN=30°，，
∴
∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．
假设在C处开始受到噪音影响，在D处开始不受影响，
∴
由勾股定理可得：
∴受影响的路程为120米=0.12千米
∴学校受影响的时间为．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．
A
B
C
D
E
F
【例10】 如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC进行翻折，点D落在E处，求出重叠部分△AFC的面积．
【难度】★★
【答案】10．
【解析】∵，，
∴，∴
设，则
∵，∴，解得：
∴
【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．
A
B
C
D
A
B
C
D
P
E
F
【例11】 如图，AB两个村子在河边CD的同侧，A、B两村到河边的距离分别为AC=1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A、B两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD选择水厂位置P确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．
【难度】★★★
【答案】10万元．
【解析】延长AC至点E，使得CE=AC，连接EB交CD于一点，，
则此时铺设水管费用最低．
过E作EF∥CD，交BD延长线于F
∵四边形CEFD是长方形，∴
∵，∴由勾股定理可得：
此时
∴总费用为万元．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例12】 如图，在直角△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E、F是BC上的两点，且
∠EAF=45°，求证：．
【难度】★★★
A
B
C
E
F
G
【答案】见解析
【解析】过C作CG⊥BC，使，连接、FG．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴．
∵CG⊥BC， ∴，
∴．
∵AB=AC，BE=CG，
∴
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理，可得：，
又，，
∴．
【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．
模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用
知识精讲
2、 逆定理：
（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．
（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．
例题解析
【例13】 下列命题中是假命题的是（ ）
A． 在△ABC中，若∠B=∠C-∠A，则△ABC是直角三角形
B． 在△ABC中，若，则△ABC是直角三角形
C． 在△ABC中，若∠B：∠C：∠A=3:4:5，则△ABC是直角三角形
D． △ABC中，若，则△ABC是直角三角形
【难度】★
【答案】C
【解析】A答案中：，且，∴，所以是直角三角形；B答案中：，∴，所以是直角三角形；
C答案中：，∴，∴，∴，
∴不是直角三角形；
D答案中：设，∵，所以是直角三角形．
【总结】考察判断直角三角形的方法．
【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；
（2）若△ABC的三边A、B、C满足则△ABC是________三角形．
【难度】★
【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．
【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三
角形是直角三角形；
（2） 由题意有：或，∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
【总结】考察勾股定理的应用．
【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?
（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．
【难度】★★
【答案】（1）24米；（2）15米．
【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为，
则旗杆长为9+15=24米；
（2） 由题意可得：可达到建筑物的高度为．
【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．
【例16】 的三边分别为A、B、C，且满足，
判断△ABC的形状．
【难度】★★
【答案】见解析．
【解析】∵，
∴，∴．
∵，∴△ABC是直角三角形．
【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．
【例17】 如图，公路上A、B两点相距25千米，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15千米，CB=10千米，现要在公路AB上建一车站E．
（1） 若使得C、D两村到E站的距离相等，E站建在离A站多少千米处?
（2） 若使得C、D两村到E站的距离和最小，E站建在离A站多少千米处?
A
B
C
D
E
F
E’
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）设，
∴，
∵，∴，
∴，即．
（2） 找出C点关于AB的对称点F，联结DF交AB于点，
则此时的满足C、D两村到E站的距离和最小，
设，
∴，
∵，∴，
解得：，∴
【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．
A
B
C
D
【例18】 如图，在四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=3，DA=1，且∠B=90°，求∠DAB的度数．
【难度】★★
【答案】135°．
【解析】连接AC
∵AB=BC=2，∠B=90°，∴，．
∵，∴，
∴，∴．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．
A
B
C
D
E
F
【例19】 如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是BC边上的中线，EF是AD的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，求AE：BE的值．
【难度】★★
【答案】5：3．
【解析】连接ED，
∵EF是AD的垂直平分线，∴
设，，则
∵，∴，解得：．
则，
∴．
【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．
【例20】 如图，ABC是等边三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求
∠APB的度数．
B
A
P
C
D
【难度】★★★
【答案】150°．
【解析】在BC的下方作，在BD上截取一点D，
使得BD=BP，连接CD、PD
∵，
∴
∵，，
∴，∴
∵，，∴△BPD为等边三角形，∴．
∵，∴，∴
∴
∵，
∴
【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．
A
B
C
D
E
F
G
H
P
【例21】 如图，P是凸四边形内一点，过点P作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H，已知AH=3，DH=4，DG=1，GC=5，CF=6，BF=4，且BEAE=1，
求四边形ABCD的周长．
【难度】★★★
【答案】34．
【解析】由勾股定理可得：
，
，
，
，
等式相加后代入数据可得：，
整理得：，即，∵BEAE=1，
解得：． 所以周长为：．
【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．
【例22】 已知，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，设AC=，BC=，AB=，CD= ．
A
B
C
D
求证：
（1）；
（2）以、、为三边可构成一个直角三角形．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】（1）由等面积可知：，∵，
∴，．
∵，∴，∴．
（2） ∵；，，
∴，∴以、、为三边可构成一个直角三角形．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．
模块三：两点间的距离公式
知识精讲
3、 距离公式：如果平面内有两点、，则A、B两点间的距离为：
．
（1） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=；
（2） 当、两点同在轴上或平行于轴的直线上，则有，AB=．
例题解析
【例23】 已知点A（2，2）、B（5，1）．
（1） 求A、B两点间的距离；
（2） 在轴上找一点C，使AC=BC．
【难度】★
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）；
（2） 设，
∵AC=BC，∴，，
∴．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例24】 （1）已知A（，3）、B（3，+1）之间的距离为5，则的值是_________；
（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．
【难度】★
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意有：，∴；
（2） 设，∴，∴，∴或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例25】 （1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；
（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．
【难度】★
【答案】（1）等腰直角三角形；（2）或．
【解析】（1）∵，，，
∴，，
∴该三角形为等腰直角三角形；
（2） ，
（3） ∵，∴，，
解得：，，
∴或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例26】 已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使PA=PB．
【难度】★★
【答案】或．
【解析】①当点P在x轴上时，
设，∵PA=PB，∴，，∴
②当点P在y轴上时，
设，∵PA=PB，∴，，∴
∴满足条件的P点的坐标为或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P在坐标轴上，注意分类讨论．
【例27】 已知直角坐标平面内的点P（4，），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由题意可知：，解得：，
∴．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例28】 已知点A（2，3）B（4，5），在轴上是否存在点P，使得的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．
【难度】★★
【答案】存在，最小值为．
【解析】找出A（2，3）关于x轴对称的点为，连接BC，
则的值最小值为．
【总结】考察两点之间距离公式的应用．
【例29】 已知直角坐标平面内的点A（4，）、B（6，3），在轴上求一点C，使得
△ABC是等腰三角形．
【难度】★★★
【答案】或或．
【解析】设，
当CA=CB时，∴，，∴；
当CA=AB时，∴，，∴或；
当CB=AB时，∴，方程无解，所以不存在．
综上，满足条件的点C的坐标为：或或．
【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．
【例30】 已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（，2-），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．
【难度】★★★
【答案】或或或或．
【解析】由两点间距离公式，可得：
，，．
当CA=CB时，即，
解得：，∴；
当CA=AB时，即，
解得：，∴或；
当CB=AB时，即，
解得：，所以或．
综上，满足条件的C点的坐标为：或或
或或．
【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．
随堂检测
【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（ ）．
A． 2、4、8 B．4、8、10 C．6、8、10 D．8、10、12
【难度】★
【答案】C
【解析】只有C答案满足勾股定理逆定理．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
【习题2】 已知点A（2，4）B（-1，-3）C（-3，-2），那么△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．以上都不是
【难度】★
【答案】D
【解析】∵，，，
∴，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形．
【总结】考察两点之间的距离公式的应用．
【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；
（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．
【难度】★★
【答案】（1）2，或；（2）13或．
【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边．
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
E
F
【习题4】 如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使得点D落在BC上的点F处，AB=8，AD=10．求EC的长．
【难度】★★
【答案】．
【解析】由翻折性质，可知：，
∴，∴．
设
∵，∴，解得：．
∴．
【总结】考察勾股定理的应用．
A
B
C
D
【习题5】 如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB=9，BC=12，CD=15，DA=．求四边形ABCD的面积．
【难度】★★
【答案】．
【解析】联结AC，过C作CE⊥AD
∵AB⊥BC，AB = 9，BC=12，∴．
∵CD=15，，，∴，
∴为直角三角形．
∴
．
【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．
A
B
D
C
E
【习题6】 如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AB=5，AC=3，AD=2．求：△ABC的面积．
【难度】★★
【答案】6．
【解析】延长AD至E，使得DF=AD，联结CE
∵，，DF=AD，
∴，∴
∵，∴，
∴，∴．
∵，∴．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．
【习题7】 若A、B、C是三角形的边长且关于的方程有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】由题意可知：，∴，
∴这个三角形为直角三角形．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
A
B
Q
P
M
【习题8】 如图，在一条公路上有P、Q两个车站，相距27，A、B是两个村庄，AP⊥PQ，BQ⊥PQ，且AP=15，BQ=24，现在要在公路上建立一个商场M使得A、B两个村庄到商场M的距离相等，求PM的长 ．
【难度】★★
【答案】．
【解析】设，
∵，∴，
解得：， ∴．
【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．
【习题9】 已知点,点C在轴上，使为直角直角三角形，求满足条件的点C的坐标．
【难度】★★
【答案】或或或．
【解析】设，则，，．
当时，则，
解得：，∴或；
当时，则，解得：，
∴；
当时，则，解得：，
∴．
∴综上所述，满足条件的C点的坐标为：或或或
．
【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．
A
B
C
M
D
【习题10】 如图，在中，是内一点，且
,求的度数．
【难度】★★★
【答案】135°．
【解析】在过点C作CD⊥CM于点C，在CD上截取一点D，
使得CD=CM，连接BD
∵，
∴
∵，，
∴，
∴
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∵，
∴
【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．
【习题11】 若在△ABC中，AB=c，AC=b，BC=a，∠ACB=90°，则试用两种方法证明．
【难度】★★★
【答案】见解析．
【解析】方法一：如图，△CDE≌△ADE，且B、C、D在一条直线上，联结AE
∵△CDE≌△ADE，∴
∵，∴，∴
∴梯形ABDE的面积为
整理得：，即得证．
方法二、如图，由四个△ABC拼成以下图形，
则四边形BCEG和四边形ADFH都为正方形
∵四边形BCEG的面积为，
∴四边形ADFH的面积为，
整理得：，即得证．
【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．
课后作业
【作业1】 下列命题中，正确的有( )个
（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等
（2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等
（3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
A．0 B．1 C．2 D．3
【难度】★
【答案】C
【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C．
【总结】考察三角形全等的判定．
【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A=______．
【难度】★
【答案】22．
【解析】根据勾股定理得A的面积等于另外两正方形面积之差．
【总结】考察勾股定理的应用．
【作业3】 如图，中，斜边，则的值是_________．
【难度】★
【答案】2．
【解析】．
【总结】考察勾股定理的应用．
【作业4】 已知点，点B的横坐标为-3，且A、B两点之间的距离为10，那么点B的坐标是____________．
【难度】★
【答案】．
【解析】设，∵BA=10，∴，解得：，
∴．
【总结】考察两点之间的距离公式的应用．
【作业5】 现将直角三角形ABC的直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合，已知AC=3，BC=4，则CD等于_____________.
【难度】★★
【答案】．
【解析】由翻折性质，可得：，∴．设，
∵，∴，解得：，∴．
【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．
【作业6】 如果的周长为12，而那么的形状是
____________．
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】∵，，
联立方程，解得：．
∵，∴为直角三角形．
【总结】考察勾股定理逆定理的应用．
【作业7】 已知等腰直角三角形斜边BC的长为2，为等边三角形，那么A、D两点的距离为_______.
【难度】★★
【答案】或．
【解析】∵，∴垂直平分．
设DA交BC于E，
∵等腰直角三角形斜边BC的长为2，∴
∵为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：
当A点在内部时，；
当A点在外部时，．
【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．
A
B
C
Q
P
D
【作业8】 已知：如图，已知在中，，将绕点逆时针旋转后得到，若，则两个三角形重叠部分的面积为_________.
【难度】★★
【答案】．
【解析】设AC与PQ相交于D
由题意可得：，，
∵，，∴设
∴，解得：．
∴．
【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．
A
B
C
D
Q
P
【作业9】 已知：如图，四边形ABCD的三边（、、）和都为5厘米，动点P从A出发（），速度为2厘米/秒，动点Q从点D出发（）到A，速度为2.8厘米/秒，5秒后P、Q相距3厘米，试确定5秒时的形状.
【难度】★★
【答案】直角三角形．
【解析】P点的运动路程为10厘米，则此时P与D重合；
Q点的运动路程为14厘米，此时BQ=4厘米．
∵
∴△BPQ为直角三角形，且，即．
∴的形状为直角三角形．
【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．
【作业10】 阅读下列题目的解题过程：
已知、、为的三边，且满足，试判断的形状.
解：（A），(B)
(C)，是直角三角形.
问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错?
请写出该步的代号：____________；
（2）错误的原因：_______________；
（3）本题正确的结论为：____________.
【难度】★★
【答案】（1）C；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等
腰三角形．
【解析】C步骤应该为：，
所以应为直角三角形或者等腰三角形．
【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．
【作业11】 如图，一根长度为50CM的木棒的两端系着一根长度为70CM的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？
【难度】★★
【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米．
【解析】设其中的一段长为cm，则另一段长为
∴，解得：．
∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米．
【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．
【作业12】 在直角坐标平面内，已知，在坐标轴上求一点P，使得为直角三角形，求点P的坐标.
【难度】★★★
【答案】或或或或或或．
【解析】当点P在y轴上时，设，
当，∴，解得：，
∴或；
当，∴，解得：，∴；
当，∴，解得：，∴；
当点P在x轴上时，设，
当，∴，解得：，
∴或
当，∴，解得：，∴
当，∴，解得：，∴．
综上所述：满足条件的点P的坐标为：或或或或
或或．
【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．
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