华师大版数学八年级上册12.5 第2课时 运用平方差公式分解因式 学案（含答案）

第2课时 运用平方差公式分解因式

学习目标：

1.学会运用平方差公式进行因式分解．（重点）

2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）

自主学习

一、知识链接

填一填：（1）（a+5）（a-5）=___________；（2）（4m+3n）（4m-3n）=___________．

二、新知预习

试一试：观察以上计算结果，分解下列因式：

（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n2=___________．

合作探究

一、探究过程

探究点1：用平方差公式分解因式

思考1：“试一试”中的两个式子，从左到右的变化有什么共同的特点？

思考2：根据“填一填”、“试一试”中的式子，你能将a2－b2因式分解吗？若能，写出分解因式的结果.

【要点归纳】a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.

例1下列各式中，能用平方差公式分解因式的有(　　)

①2x2＋y2；②x2－4；③－4x2－y2；④1－a2b2.

A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个

【方法总结】能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．

【针对训练】下列运用平方差公式因式分解正确的是(　　)

A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b)　　　　　B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)

C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b)    D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)

例2分解因式：

(1)a2－4b2；   (2)(m＋n)2－(m－n)2.

【方法总结】因式分解时，出现两个平方相减的形式，应将它们分别转化为两数（或式）整体的平方，再用平方差公式因式分解.

【针对训练】因式分解：(1)a2－b2；                      (2)(2x＋3y)2－(3x－2y)2.

【易错题醒】因式分解需注意系数的变化，例如T（1）中的b2要改写成（b）2，再进行计算.

例3因式分解：(1)x－xy2；     (2)3xy3－3xy.

【针对训练】分解因式：

(1)a4－b4；   (2)a2－4b2－a－2b.

【方法总结】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．

例4计算：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.

【方法总结】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.

【针对训练】用简便方法计算：3.6×1.8－2.4×1.2.

例5已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．

【方法总结】在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.

【针对训练】已知|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，求a2﹣b2的值．

二、课堂小结

当堂检测

1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)

A．a2＋(－b)2         B．5m2－20mn        C．－x2－9y2           D．－x2＋9

2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）

A．3(x2+4x+3)         B．3(x2+2x+3)          C．(3x+3)(x+3)        D．3(x+1)(x+3)

3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）

A．-21               B．21                C．-10                D．10

4.把下列各式分解因式：

（1）9m2﹣n2＝　         　；        （2）x2﹣（y﹣2）2＝　       　；

（3）ax3y﹣axy3＝　       　；        （4）2m﹣32m5＝　        　．

5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是______.

6.已知4m+n＝40，2m﹣3n＝5．求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．

7.在边长为a 厘米的正方形木板上开出边长为 b（b）厘米的四个正方形小孔（如图），求剩余部分的面积（用含a，b的代数式表示），并求当a＝14.6，b＝2.7时，剩余部分的面积.

拓展提升

8. (1)993﹣99能被100整除吗？

  (2)n为整数，（2n+1）2﹣25能否被4整除？

参考答案

自主学习

一、知识链接    填一填：a2-25   16m2-9n2

二、新知预习    试一试：（1）（a+5）（a-5）   （2）（4m+3n）（4m-3n）

合作探究

一、探究过程

思考1：解：都是从两个数的平方相减，变成两个式子相乘，且两个式子中间的符号相反

思考2：解：能，a2-b2=（a+b）（a－b）.

【要点归纳】（a+b）（a－b）   和   差   积

例1 B     【针对训练】B 

例2   解：(1)原式=(a+2b)(a-2b).      (2)原式=（m+n-m+n）（m+n+m-n）=4nm.

【针对训练】 解：（1）原式=(a+b)(a-b).  （2）原式= (5x＋y)( 5y－x).  

例3 解：（1）原式=x（1+y）（1－y）.    （2）原式=3xy（y+1）（y－1）.

【针对训练】解：（1）原式=（a²+b²）（a+b）（a-b）.  （2）原式=（a+2b）（a-2b-1）.

例4   解：（1）原式=（101+99）（101-99）=400.  （2）原式=4（53.5+46.5）（53.5-46.5）=4×100×7=2800. 

【针对训练】解：原式=1.82×2－1.22×2=2×（1.82－1.22）=2×（1.8+1.2）（1.8－1.2）=2×3×0.6=3.6.

 例5  解：因式分解得x²-y²=（x+y）（x-y）=-2，∵x+y=1，∴x-y =-2．联立  解得 

【针对训练】解：∵|a﹣b﹣3|+（a+b﹣2）2＝0，∵，∴a﹣b＝3，a+b＝2，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×3＝6．

二、课堂小结 

（a+b）（a－b）  公因式   公式

当堂检测 

1.D      2.D     3.A   

4.（1）（3m+n）（3m﹣n）   （2）（x+y﹣2）（x﹣y+2）

（3）axy（x+y）（x﹣y）    （4）2m（1+4m2）（1+2m）（1﹣2m）

5.4       

6. 解：（m+2n）2﹣（3m﹣n）2＝（m+2n+3m﹣n）（m+2n﹣3m+n）＝（4m+n）（3n﹣2m）＝﹣（4m+n）·（2m﹣3n）.当4m+n＝40，2m﹣3n＝5时，原式＝﹣40×5＝﹣200．

7. 解：根据题意，得剩余部分的面积＝a2﹣4b2.∵a＝14.6，b＝2.7，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（14.6+2×2.7）（14.6﹣2×2.7）＝184(平方厘米)．

8. 解：（1）能，理由如下：∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝98×99×100，则993﹣99能被100整除．

（2）能.理由如下：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1+5）（2n+1-5）＝4（n+3）(n-2)，n为整数，∴（2n+1）2﹣25能被4整除．