【阶段测试】高中数学人教A版(2019)选修第一册--第三章 圆锥曲线的方程 单元测试（含解析）

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人教A版（2019）选修一第三章圆锥曲线的方程
（共19题）

一、选择题（共12题）
1. 已知椭圆 C:x216+y212=1 的离心率与双曲线 Cʹ:x24−y2b2=1b>0 的离心率互为倒数关系，则 b=   
A． 22 B． 23 C． 4 D． 6

2. 若双曲线 C:x23−y2m=1 的离心率为 3，则 C 的虚轴长为   
A． 4 B． 23 C． 26 D． 2

3. 已知椭圆 x24+y23=1 上一点 Px,y 到其一个焦点的距离为 3，则点 P 到其另一个焦点的距离为   
A． 2 B． 3 C． 1 D． 10

4. 过点 2,4 作直线与抛物线 y2=8x 只有一个公共点，这样的直线有   
A． 1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条

5. 双曲线的方程为 x216−y29=1，则其离心率为   
A． 45 B． 54 C． 43 D． 34

6. 抛物线 x2=4y 的准线方程为   
A． y=−2 B． y=−1 C． y=1 D． y=2

7. 抛物线 y=mx2（m≠0）的准线与直线 y=1 的距离为 3，则此抛物线的方程为   
A． x2=−16y B． x2=8y
C． x2=16y 或 x2=−8y D． x2=8y 或 x2=−16y

8. 设抛物线的顶点为 O，焦点为 F，准线为 l．P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ⊥l 于 Q，则线段 FQ 的垂直平分线   
A．经过点 O B．经过点 P
C．平行于直线 OP D．垂直于直线 OP

9. 已知双曲线 x2m−y2n=1（m>0，n>0）和椭圆 x25+y22=1 有相同的焦点，则 4m+1n 的最小值为   
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

10. 设 P 是椭圆 x225+y216=1 上的点．若 F1，F2 是椭圆的两个焦点，则 PF1+PF2=   
A． 4 B． 5 C． 8 D． 10

11. 已知 P 为双曲线 x216−y29=1 右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，M 为 △PF1F2 的内心．若 S△PMF1=S△PMF2+8，则 △MF1F2 的面积为   
A． 27 B． 10 C． 8 D． 6

12. 过双曲线 E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左焦点 F1−2,0 作垂直于实轴的弦 MN，A 为 E 的右顶点．若 AM⊥AN，则 E 的方程为   
A． x23−y29=1 B． x23−y2=1 C． x2−y23=1 D． x29−y23=1

二、填空题（共4题）
13. 已知 F 是椭圆 x2a2+y2b2=1a>b>0 的右焦点，点 P 在椭圆上，且 P 到原点 O 的距离等于半焦距，△POF 的面积为 6，则 b= ．

14. 已知双曲线的两个焦点分别是 F1−5,0，F25,0，P 是双曲线上一点，且 PF1⋅PF2=0，∣PF1∣⋅∣PF2∣=2，则双曲线的标准方程为 ．

15. 已知抛物线 C，x2=2pyp>0 的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上，过点 P 作 l 的垂线交 l 于点 E，且 ∠PFE=60∘，∣PE∣=4，则抛物线 C 的方程为： ．

16. 已知抛物线 C:x2=2pyp>0 的焦点为 F，准线为 l，点 P 在 C 上，过点 P 作 l 的垂线交 l 于点 E，且 ∠PFE=60∘，∣PF∣=4，则抛物线 C 的方程为： ．

三、解答题（共3题）
17. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=12，抛物线 E:y2=4x 的焦点恰好是椭圆 C 的右焦点 F．
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 过点 F 作两条斜率都存在的直线 l1，l2，l1 交椭圆 C 于点 A，B，l2 交椭圆 C 于点 G，H，若 AF 是 AH−FH 与 AH+FH 的等比中项，求 AF⋅FB+GF⋅FH 的最小值．

18. 已知椭圆的焦点在 x 轴上，一个顶点为 0,1，离心率为 e=25，过椭圆的右焦点 F 的直线 l 与坐标轴不垂直，且交椭圆于 A，B 两点．

(1) 求椭圆的方程；
(2) 设点 C 是点 A 关于 x 轴的对称点，在 x 轴上是否存在一个定点 N，使得 C，B，N 三点共线？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由；
(3) 设 Mm,0 是线段 OF ( O 为坐标原点）上的一个动点，且 MA+MB⊥AB，求 m 的取值范围．


19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 32，短轴长为 2．
(1) 求椭圆 C 的标准方程；
(2) 已知点 A，B 分别为椭圆 C 的左、右顶点，点 D 为椭圆 C 的下顶点，点 P 为椭圆 C 上异于椭圆顶点的动点，直线 AP 与直线 BD 相交于点 M，直线 BP 与直线 AD 相交于点 N．证明：直线 MN 与 x 轴垂直．
答案
一、选择题（共12题）
1. 【答案】B
【解析】由椭圆 C:x216+y212=1 的离心率与双曲线 Cʹ:x24−y2b2=1b>0 的离心率互为倒数关系，且椭圆 C:x216+y212=1 的离心率为 16−1216=12，
得双曲线 Cʹ:x24−y2b2=1b>0 的离心率为 4+b24=2，解得 b=23．故选B．

2. 【答案】C
【解析】因为双曲线 C:x23−y2m=1 的离心率为 3，
故 3+m3=3，
解得 m=6，
所以虚轴长为 26．

3. 【答案】C
【解析】根据题意知 a=4=2，若椭圆上一点 P 到其一个焦点的距离为 3，那么点 P 到其另一个焦点的距离为 2a−3=1．

4. 【答案】B
【解析】由题意知，点 2,4 在抛物线 y2=8x 上，所以过点 2,4 作与抛物线 y2=8x 只有一个公共点的直线有 2 条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行．

5. 【答案】B
【解析】因为双曲线的方程为 x216−y29=1，
所以 a2=16，b2=9，因此 c2=16+9=25，
所以离心率为 e=ca=c2a2=54．
故选B．

6. 【答案】B
【解析】 x2=4y 焦点在 y 轴正半轴上，2p=4，p2=1，准线为 y=−1．

7. 【答案】D
【解析】将 y=mx2（m≠0）化为 x2=1my，
其准线方程为 y=−14m．
由题意知 −14m=−2 或 −14m=4，解得 m=18 或 m=−116．
则所求抛物线的标准方程为 x2=8y 或 x2=−16y．

8. 【答案】B
【解析】由抛物线的定义知，∣PF∣=∣PQ∣，
所以 △FPQ 为等腰三角形，且 FQ 为等腰三角形 FPQ 的底边，
所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P．

9. 【答案】B
【解析】因为双曲线 x2m−y2n=1（m>0，n>0）和椭圆 x25+y22=1 有相同的焦点，
所以 m+n=5−2=3，
所以 4m+1n=13m+n4m+1n=13×5+4nm+mn≥13×5+24nm⋅mn=3，
当且仅当 4nm=mn，即 m=2n 时等号成立，此时 m=2，n=1，
故 4m+1n 的最小值为 3．

10. 【答案】D
【解析】椭圆方程为 x225+y216=1，
则椭圆焦点在 x 轴上，且 a2=25，b2=16，c2=a2−b2=9，
即 a=5，b=4，c=3，
P 是椭圆上一点，则 PF1+PF2=2a=10．

11. 【答案】B
【解析】设 △PF1F2 内切圆的半径为 R，
由双曲线的标准方程可知 a=4，b=3，c=5．
因为 S△PMF1=S△PMF2+8，
所以 12∣PF1∣−∣PF2∣R=8，即 aR=8，
所以 R=2，
所以 S△MF1F2=12⋅2c⋅R=10．

12. 【答案】C
【解析】由题意可得 c=2，易知 M−2,b2a，N−2,−b2a 或 M−2,−b2a，N−2,b2a．
不妨令 M−2,b2a，N−2,−b2a，
由双曲线的对称性及 AM⊥AN 可得 a+c=b2a，c2=a2+b2=4，解得 a2=1，b2=3，
所以双曲线的方程为 x2−y23=1，故选C．


二、填空题（共4题）
13. 【答案】 23
【解析】设 Px,y，则 x2a2+y2b2=1, ⋯⋯①x2+y2=c2, ⋯⋯②
由②得 x2=c2−y2，代入①式得 c2−y2a2+y2b2=1⇒y2=b4c2⇒∣y∣=b2c．
所以 S△POF=12∣OF∣⋅∣y∣=12×c×b2c=12b2=6，
所以 b2=12，
又 b>0，
所以 b=23．

14. 【答案】 x24−y2=1
【解析】由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 ∣F1F2∣=2c=25．
由双曲线的定义，知 ∣∣PF1∣−∣PF2∣∣=2a，
得 ∣PF1∣2−2∣PF1∣⋅∣PF2∣+∣PF2∣2=4a2. ⋯⋯①
由 PF1⋅PF2=0 知 PF1⊥PF2，
因为 ∣PF1∣⋅∣PF2∣=2，
所以 ∣PF1∣2+∣PF2∣2=∣F1F2∣2=20，
代入①式，解得 a2=4．
又 c=5，
所以 b2=c2−a2=1，
所以双曲线的标准方程为 x24−y2=1．

15. 【答案】 x2=4y
【解析】如图抛物线 C:x2=2pyp>0，
焦点 F0,p2，准线：y=−p2，
如图 PE 垂直于直线 y=−p2，
∠PFE=60∘，∣PF∣=4，
则 ∣PE∣=∣PF∣=4，
所以 △PEF 为等边三角形，
过焦点 F 作 FM⊥PE 交 PE 交 M，
则 M 为 PE 中点，
∣PM∣=∣ME∣=2，
即 p2−−p2=p=2，
故拋物线为 x2=4y．


16. 【答案】 x2=4y
【解析】如图抛物线 C:x2=2pyp>0，
焦点 F0,p2，准线 y=−p2，
如图 PE 垂直于直线 y=−p2，
∠PFE=60∘，∣PF∣=4，
则 ∣PE∣=∣PF∣=4，
所以 △PEF 为等边三角形，
过焦点 F 作 FM⊥PE，交 PE 于 M，
则 M 为 PE 中点，
∣PM∣=∣ME∣=2，
即 p2−−p2=p=2，
故抛物线为 x2=4y．


三、解答题（共3题）
17. 【答案】
(1) 依题意得椭圆 C 的右焦点 F 的坐标为 1,0，即 c=1，
又 e=ca=12，
所以 a=2，b2=3，
故椭圆 C 的标准方程为 x24+y23=1．
(2) [法一]
因为 AF 是 AH−FH 与 AH+FH 的等比中项，
所以 AF2=AH2−FH2，即 AF2+FH2=AH2，
所以直线 l1⊥l2，
又直线 l1，l2 的斜率均存在，
所以两直线的斜率都不为零，
故可设直线 l1:x=ky+1k≠0，直线 l2:x=−1ky+1，
Ax1,y1，Bx2,y2，Gx3,y3，Hx4,y4，
由 x24+y23=1,x=ky+1 消去 x，得 3k2+4y2+6ky−9=0，
所以 y1+y2=−6k3k2+4,y1y2=−93k2+4,
同理得 y3+y4=6k3+4k2,y3y4=−9k23+4k2.
所以 AF⋅FB=x1−12+y12⋅x2−12+y22=1+k2y1y2，
GF⋅FH=x3−12+y32⋅x4−12+y42=1+1k2y3y4，
AF⋅FB+GF⋅FH=1+k2y1y2+1+1k2y3y4=1+k2⋅93k2+4+1+1k2⋅9k24k2+3=9k2+1⋅13k2+4+14k2+3=63k4+2k2+112k4+25k2+12=214⋅12k4+25k2+12−k212k4+25k2+12=214⋅1−112k2+1k2+25*.
又 k2>0，
所以 k2+1k2≥2*≥214⋅1−149=367（当且仅当 k2=1 时取等号），
故 AF⋅FB+GF⋅FH 的最小值为 367．
[法二]
因为 213k2+4+14k2+3≤3k2+4+4k2+32=7k2+12，
所以 13k2+4+14k2+3≥47k2+1，
所以 AF⋅FB+GF⋅FH≥9k2+1⋅47k2+1=367（当且仅当 3k2+4=4k2+3，即 k2=1 时取等号）．


18. 【答案】
(1) 由已知 b=1，由 e=25 得 a2−b2a2=45，所以 a2=5，椭圆的方程为 x25+y2=1．
(2) 右焦点为 F2,0，设直线 l 的方程为 y=kx−2 k≠0，Ax1y1，Bx2,y2．
联立直线和椭圆的方程有 x2+5y2=5,y=kx−2, 化简整理后得 1+5k2x2−20k2x+20k2−5=0，
Δ>0 恒成立．
由根与系数的关系，有 x1+x2=20k21+5k2,x1x2=20k2−51+5k2.
因为点 C 与点 A 关于 x 轴对称，所以 Cx1,−y1．
假设存在 Nx0,0 满足题意，则 BN=x0−x2,−y2，CN=x0−x1,y1．
因为 C，B，N 三点共线，所以 BN∥CN，所以 x0−x2y1=−y2x0−x1，即 y1+y2x0=x2y1+x1y2．
因此
x0=kx1−2x2+kx2−2x1kx1−2+kx2−2=2x1x2−2x1+x2x1+x2−4=2⋅20k2−51+5k2−2⋅20k21+5k220k21+5k2−4=52.
所在存在定点 N52,0，使得 C，B，N 三点共线．
(3) 由已知 0≤m≤2，而 MA+MB=x1−m,y1+x2−m,y2=x1+x2−2m,y1+y2，
AB=x2−x1,y2−y1．
因为 MA+MB⊥AB，所以 x1+x2−2m,y1+y2⋅x2−x1,y2−y1=0，
即 x1+x2−2mx2−x1+kx1−2+kx2−2kx2−2−kx1−2=0，
因为 x1≠x2，所以 1+k2x1+x2−2m−4k2=0，所以 m=8k21+5k2．
因为 k2=m8−5m>0，所以 0 综合以上：m 的范围为：0,85 .

19. 【答案】
(1) 设椭圆的半焦距为 c，
由题意可得 e=ca=1−b2a2=32，
所以 b=12a，
由短轴长为 2，可得 b=1，
所以 a=2，
所以椭圆 C 的标准方程为 x24+y2=1．
(2) 由题意可得 A−2,0，B2,0，D0,−1 ,
设 Ps,t，则 s2+4t2=4，
由 y=ts+2x+2,y=12x−1, 可得 xM=4t+2s+4s+2−2t=2s+2+2ts+2−2t，
由 y=ts−2x−2,y=−12x−1, 可得 xN=4+4t−2ss−2+2t=22−s+2ts−2+2t，
所以
xM−xN=2s+2+2ts+2−2t−22−s+2ts−2+2t=2s+2+2ts−2+2t−2s+2−2t−s+2+2ts+2−2ts−2+2t,
上式分子为
2s+2+2ts−2+2t−2s+2−2t−s+2+2t=2s2+4st+4t2−4+s2+4t2−4st−4=22s2+8t2−8=2×8−8=0,
所以 M，N 的横坐标相等，故直线 MN 与 x 轴垂直．