【同步练习】人教版数学九年级上册--24.3 正多边形和圆 课时练习 (含解析)

这是一份【同步练习】人教版数学九年级上册--24.3 正多边形和圆 课时练习 (含解析)，共20页。

24.3 正多边形和圆（附解析）
一、单选题(共10个小题)
1．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（     ）
A．7 B．8 C．9 D．10
2．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（   ）

A． B．3 C． D．6
3．如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n的值是（　　 ）

A．6 B．12 C．24 D．48
4．如图所示的图案，其外轮廓是一个正五边形，绕它的中心旋转一定的角度后能够与自身重合，则这个旋转角可能是（     ）

A． B． C． D．
5．若一个正多边形的中心角为40°，则这个多边形的边数是（     ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．⊙O半径为4，以⊙O的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为边作一个三角形，则所得三角形的面积是（　 　）
A． B． C．2 D．2
7．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（　　 ）

A．6 B．8 C．10 D．12
8．如图，已知正六边形的边心距为3，则它的周长是（     ）

A．6 B．12 C． D．
9．如图，正五边形和正三角形都是的内接多边形，则的度数是（     ）

A． B． C． D．
10．已知四个正六边形如图摆放在图中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（     ）

A． B． C． D．
二、填空题(共10个小题)
11．如图，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，若AC＝4，则点O到AC的距离为_________．

12．若正六边形和正五边形按如图所示的方式放置，其中两个正多边形底边重合，则的度数为_________．

13．如图，正六边形ABCDEF的周长为24cm，则它的外接圆⊙O的半径为________cm．

14．已知的内接正六边形的边心距为2．则该圆的的半径为______．
15．如图，AC、AD为正六边形ABCDEF的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD的周长为____________．

16．如图，在正五边形ABCDE中，连结AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF．则∠FDC的度数是 _____．

17．如图，已知点G是正六边形对角线上的一点，满足，联结，如果△EFG的面积为1，那么△FBC的面积等于_______.

18．已知一个正六边形外接圆的半径为8cm，则该正六边形的边心距长为________．
19．如图，六边形是正六边形，边长为1，点P是边的中点，则______，若、分别与交于点M，N，则的值为_______．

20．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1+∠2=64°，∠3+∠4=__________°.

三、解答题(共3个小题)
21．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r6、面积S6．









22．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．

(1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF．
(2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）．









23．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON

（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是　　，图3中∠MON的度数是　　
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____



















24.3 正多边形和圆解析
1．
【答案】D
【详解】解：，
故选：D．
2．
【答案】C
【详解】解：连接BE、GO，则BE经过O点，且O是BE的中点，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴，
，
∵DE=EC，
∴，
∵，
∴，
∴，
设EG的长为x，则OG的长为，
∴，
解得：．

故选：C．
3．
【答案】C
【详解】解：连接OC，

∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴∠AOB＝360°÷6＝60°，
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴∠BOC＝360°÷8＝45°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－45°＝15°
∴n＝360°÷15°＝24．
故选：C．
4．
【答案】B
【详解】解：正五边形的中心角，
绕它的中心旋转角度后能够与自身重合，
故选：B．
5．
【答案】A
【详解】解：设这个正多边形的边数是n，
由题意得：，
解得：n＝9，
故选A．
6．
【答案】C
【详解】解：如图1，△ABC为⊙O的内接正三角形，作OM⊥BC于M，连接OB，
∵∠OBC＝∠ABC＝30°，
∴OM＝OB＝2；
如图2，四边形ABCD为⊙O的内接正方形，作ON⊥DC于N，连接OD，
∵∠ODC＝∠ADC＝45°，
∴ON＝DN＝OD＝2；
如图3，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，作OH⊥DE于H，连接OE，
∵∠OED＝∠FED＝60°，
∴EH＝OE＝2，OH＝EH＝2，
∴半径为4的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为2，2，2，
∵22+（2）2＝（2）2，
∴以三条边心距所作的三角形为直角三角形，
∴该三角形的面积＝×2×2＝2．
故选：C．

7．
【答案】D
【详解】解：如图，连接，

四边形为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，
点在上，且是和的角平分线，，
，
，
，
恰好是圆O的一个内接正边形的一边，
，
故选：D．
8．
【答案】D
【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：边心距，
六边形是正六边形，
，
是等边三角形，
，
，
，
解得，
则正六边形的周长为，
故选：D．
9．
【答案】C
【详解】解：如图，连接．

是等边三角形，
，
，
是正五边形，
，
．
故选：C．
10．
【答案】D
【详解】解：如图，连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．

11．
【答案】2
【详解】解：连接OB交AC于M，
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴∠AOB＝∠BOC＝＝45°，AB＝BC，
∴＝，∠AOC＝90°，
∴AM＝CM＝AC＝2，OM⊥AC，
∵OA＝OC，
∠OAM＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝45°，
∴∠OAM＝∠AOB，
∴AM＝OM，
在Rt△AOC中，
∵OA＝OC，OA2+OC2＝AC2，
∴2OA2＝AC2＝42＝16，
∴OA＝2，
在Rt△AOM中，
∵OM2+AM2＝OA2，
∴2OM2＝（2）2，
∴OM＝2，
∴点O到AC距离为2，
故答案为：2．

12．
【答案】12°
【详解】解：∵在正六边形ABCDEF和正五边形ABGHK中，∠，∠，
∴∠GBC=∠ABC-∠ABG=120°-108°=12°，
故答案为：12°．
13．
【答案】4
【分析】先根据正六边形的性质求得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接OA，OB，

∵正六边形ABCDEF
∴∠AOB=60°，OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=24÷6=4（cm），即R=4cm．
故答案为4．
14．
【答案】
【详解】如图所示，连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，则OM=2

∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAM=60°，
∴，
∴，
∴该圆的半径为
故答案为：．
15．
【答案】
【详解】解：∵正六边形ABCDEF，
∴∠B＝∠BCD120°，AB＝BC，
∴∠ACB＝∠BCA＝30°，
∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，
由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，
∴∠ADC＝∠ADE∠CDE＝60°，
在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，
∴AD＝2CD＝4，ACCD＝2，
∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝22+4＝26，
故答案为：26．
16．
【答案】36
【详解】解：∵正五边形ABCDE，
∴∠ABC＝∠EAB==108°，AB＝BC＝CD＝DE＝AE，
∴∠ACB＝∠BAC==36°，
∴∠EAC＝∠DCA＝108°﹣36°＝72°，
∴∠DEA+∠EAC＝108°+72°＝180°，
∴DE∥AC，
又∵DE＝AE＝AF，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴AE∥DF，
∴∠DFC＝∠EAC＝72°＝∠DCA，
∴∠FDC＝180°﹣72°﹣72°＝36°，
故答案为：36°．
17．
【答案】4
【详解】解：如图，连接CE，

，
，
六边形是正六边形，
AB=AF=EF=BC，，
，
，
，
，
四边形BCEF是平行四边形，
，
的面积为1，，
的面积为，
故答案为4．
18．
【答案】cm
【详解】解：如图：连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于点G
∵在Rt△AOG中，OA=8，∠AOG=30°，
∴AG=4
∴OG= ．

故答案为：cm．
19．
【答案】          3：8
【详解】（1），
（2），
由题意是△PCD的中位线，
，
，
，
，
，
，
20．
【答案】64
【详解】解：如图

∵四边形ABCD接于⊙O，
∴,
又∵△AOC为等腰三角形，
，
∵∠1+∠2=64°，
∴∠3+∠4=180°-64°-2∠5=116°-2∠5，+
∵∠1+∠2+∠B=180°，∠B+∠D=180°，
∴∠B=∠1+∠2=64°
∴∠O=2∠D=128°
在等腰三角形AOC中，
∵2∠5=180°-∠0=180°-128°=52°
∴∠3+∠4=116°-2∠5=116°-52°=64°
故答案为64；
21．
【答案】
【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，

∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，
∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半径R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴，
在Rt△COG中，（cm），
∴（cm2）．
22．
【答案】(1)证明见解析;(2)
【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴EF＝ED＝CD＝BC，
∴，
∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，
∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF；
（2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，
设⊙O的半径为r，

∵∠DOE60°，OD＝OE＝r，
∴△ODE是等边三角形，
∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°，
∴∠EOG＝30°，
∴EGr，
∴OGr，
∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2，
∵⊙O的面积＝πr2，
∴．
23．
【答案】（1）；（2），；（3）．
【详解】（1）如图，连接OB、OC，则，
∵△ABC是⊙O内接正三角形，
中心角∠BOC=，
∵点O是⊙O内接正三角形ABC的内心，
∴，
∴，
在和△ONC中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是⊙O内接正方形，
中心角，
同（1）的方法可证：；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是⊙O内接正五边形，
中心角，
同（1）的方法可证：，
故答案为：，；

（3）由上可知，的度数与正三角形边数的关系是，
的度数与正方形边数的关系是，
的度数与正五边形边数的关系是，
归纳类推得：的度数与正n边形边数n的关系是，
故答案为：．