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七年级数学（人教版）上册同步试卷 第三章 章末检测 一元一次方程单元测试
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第三章 一元一次方程单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b
C．如果，那么a＝b D．如果，那么a＝b
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A．等式两边都减去c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
B．等式两边都加c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
C．有可能等于0，不能两边都除以，故该选项符合题意；
D．∵c≠0，
∴等式两边乘c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
2．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．
3．（2022·山东济南·七年级期末）若代数式与是同类项，则m的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．－2
【答案】D
【分析】根据同类项的定义，字母相同，相同字母的指数也相同，建立含m的方程，即可得出m的值．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，解得，
故选D．
【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是本题的关键．
4．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
6．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为元，则三个年级的总的捐款数为：，
故八年级的捐款为：，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【答案】C
【分析】先求出3×3的方格中下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求y﹣x的值．
【详解】解：﹣3+3﹣2＝﹣2，
﹣2+3﹣（﹣3）＝4，
2+3+4＝9，
由表格中的数据知：
则x﹣3+3＝9，
解得x＝9，
y+3﹣2＝9，
解得y＝8，
则y﹣x＝8﹣9＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
8．（2022·陕西渭南·七年级期末）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“-2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得x=2是方程4x-2=3x+3a-2的解，代入计算即可．
【详解】∵
∴去分母，-2”漏乘，得
4x-2=3x+3a-2，
∴是该方程的解，
∴8-2=6+3a-2，
解得a=，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确理解解得意义，熟练掌握解方程是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【答案】D
【分析】根据换元法得出，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于的方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，熟练掌握换元法是解题的关键．
10．（2022·江苏盐城·七年级期末）学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h完成．现计划由一部分工人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x人做4h．所列方程为，其中“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加5人后人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下：，其中，“”表示的含义是（ ）
A．x人先做4h完成的工作量．
B．先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．
C．增加5人后，新增加的5人完成的工作量．
D．增加5人后，人再做6h完成的工作量．
【答案】B
【分析】根据x人先做4h完成的工作量+然后增加5人与他们一起做6h的工作量=1，解答即可．
【详解】解：∵设安排x人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+6)小时，
∴列式为：先工作的x人共做了(4+6)小时的工作量+后来5人6小时的工作量=1，而x人1小时的工作量为，
∴x人(4+6)小时的工作量为，
∴表示先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要50小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲、乙两车分别在相距240千米的A、B两地，甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，两车同时出发相向而行，（ ）小时两车相距20千米．
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】有两种情况，第一次是还没相遇时相距20千米，第二次是相遇后交错离开相距20千米，根据路程＝速度×时间，设t小时两车相距20千米，可列方程求解．
【详解】解：设t小时两车相距20千米，根据题意得：
120t+80t＝240﹣20或120t+80t＝240+20，
解得t＝或t＝．
答：或小时两车相距20千米．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系．
12．（2022·河北·二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a和两张边长为的正方形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为，右上阴影矩形的周长为．陈老师说，如果，求a或b的值．下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（ ）
A．甲：， B．乙：，b的值不确定
C．丙：a的值不确定， D．丁：a，b的值都不确
【答案】C
【分析】设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x, 分别表示出左下阴影矩形的周长为，右上阴影矩形的周长为，根据已知条件即可求得，进而即可求解．
【详解】设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x,
右上阴影矩形的宽为a+x－2b
左下阴影矩形的周长l1=2(a+x)，右上阴影矩形的周长l2=2(a+x－b)
l1－l2=2(a+x)－2(a+x－b)=2b，即2b=6，解得b=3，此时a不确定，
故选C.
【点睛】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
13．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元
A．284 B．308 C．312 D．320
【答案】B
【分析】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额=0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额=0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．
【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，
当0＜x＜100时，x=85；
当100≤x＜350时，0.9x=85，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当100≤y＜350时，则0.9y=270，
∴y=300．
当y>350时，0.8y=270，
∴y=337.5（不符合题意，舍去）；
∴；
∴（元）．
∴小敏至少需付款308元．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
14．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·河北保定·七年级期末）已知＝1是方程的解，则的值是______________
【答案】-1
【分析】把x=1代入原方程中求出k的值，再把k的值代入2k+3中计算即可．
【详解】把x=1代入中，得
，
解得k=-2，
则2k+3=-4+3=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的根，求参数的值，要点是把方程的根代入原方程即可，掌握这种解题方法是本题的关键．
16．（2022·湖北孝感·七年级期末）如果 的值比 的值大1，那么的值为_______．
【答案】-3
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值，即可求出原式的值．
【详解】解：根据题意得：−＝1，
去分母得：7a＋21−8a＋12＝28，
移项合并得：−a＝−5，
解得：a＝5，
则2−a＝2−5＝−3，
故答案为：−3
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．（2022·浙江湖州·七年级期末）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=代入方程得：
，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
18．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在BA边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
∴，
∴第2022次相遇在边DC上，
故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知是关于的方程的解，求的值．
【答案】1
【分析】先将x=2代入方程求出m，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了方程的解的含义的知识，掌握方程解的含义是解答本题的关键．
20．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)x=-7；(2)x=1．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（1）解：去括号，得：4x-4-6x-3=7，
移项，得：4x-6x=7+4+3，
合并同类项，得：-2x=14，
系数化为1，得：x=-7．
（2）解：去分母，得：6-3（x-1）=2（x+2），
去括号，得：6-3x+3=2x+4，
移项，得：-3x-2x=4-6-3，
合并同类项，得：-5x=-5，
系数化为1，得：x=1．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
21．（2022·四川广元·七年级期末）2021年某校为顺利开展课后服务的电子琴项目，急需采购一批电子琴，现有光明工厂和希望工厂都想制作这批电子琴，已知光明厂单独制作这批电子琴比希望工厂单独制作这批电子琴多用20天，光明工厂每天可制作16架电子琴，希望厂每天可制作24架电子琴，经核算，学校每天需付给光明厂800元制作费，每天需付给希望厂1200元制作费．
(1)这个学校需要采购多少架电子琴？
(2)在制作过程中，学校需派一名职工每天到工厂进行监督，并为该职工提供20元的午餐补助，学校制定了电子琴加工方案如下：可由一个工厂单独完成，也可由两个工厂合作完成．请你帮助学校选择一种既省钱又省时的制作方案．
【答案】(1)960架(2)由两个工合作完成既省钱又省时
【分析】（1）设这个学校需要采购x架电子琴，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可，
（2）根据题意分三种情况讨论，分别计算时间和费用，进而比较即可求解．
(1)解：设这个学校需要采购x架电子琴，
由题意，得
解得
∴这个学校需要采购960架电子琴．
(2)①由光明厂单独完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
②由希望厂单独完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
③由两个工厂合作完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
∵；
∴由两个工合作完成既省钱又省时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22．（2022·安徽合肥·一模）如图，某学校准备新建一个读书长廊，井用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米．
(1)按图示规律，第3图案的长度l3= ；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为 ．
(2)若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为 块．（用含n的代数式表示）
(3)若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？
【答案】(1)3.5米，18块(2)5n+3(3)503
【分析】（1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量；
（2）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数；
（3）由（1）得出第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5，Ln=100.5米代入求出n的值，再根据（2）中的代数式，把n代入即可．
(1)解：观察可得，
第3图案的长度l3=0.5×7=3.5（米）
第3个图案没有花纹的正方形地砖数为18块．
(2)解：观察可得：
第1个图案中有花纹的地面砖有1块，没有花纹的地面砖有8块；第2个图案中有花纹的地面砖有2块，没有花纹的地面砖有13块⋯⋯
根据规律，
∴图案有花纹的地面砖为n块，则是第n个图案
∴第n个图案中没有花纹的地面砖有5n+3块．
(3)解：由（1）得，
第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5
把L=100.5代入，得：
100.5=（2n+1）×0.5
解得：n=100
把n=100代入5n+3，得
5×100+3=503（块）．
【点睛】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，并解一元一次方程．解题的关键是找到规律．
23．（2022·陕西咸阳·七年级期末）进入冬季，某地车厘子开始上市，一水果商从批发市场用12000元购进了大、小车厘子各300千克，大车厘子的进价比小车厘子的进价每千克多20元．大车厘子的售价为每千克40元，小车厘子的售价为每千克15元．（利润=售价-进价）
(1)大车厘子和小车厘子的进价分别是每千克多少元？
(2)将第一次购进的两种车厘子销售完后，该水果商共获得利润多少元？
(3)该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了大车厘子和小车厘子各300千克，进价不变，但在运输过程中大车厘子损耗了15%．若大车厘子的售价不变，若想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，小车厘子的售价应调整为每千克多少元？
【答案】(1)大车厘子的进价是每千克30元，小车厘子的进价是每千克10元
(2)4500元
(3)小车厘子的售价应调整为每千克18元
【分析】（1）设小车厘子的进价是每千克元，则大车厘子的进价是每千克元，根据“用12000元购进了大、小车厘子各300千克”列一元一次方程，即可求解；
（2）根据“利润=售价-进价”，分别计算大、小车厘子的利润，相加即可；
（3）设小车厘子的售价应调整为每千克元，根据“第二次所获利润等于第一次所获利润的80%”列一元一次方程，即可求解．
（1）解：设小车厘子的进价是每千克元，则大车厘子的进价是每千克元，依题意得：，解得：，所以（元）．答：大车厘子的进价是每千克30元，小车厘子的进价是每千克10元．
（2）解：（元）．答：将第一次购进的两种车厘子销售完后，该水果商共获得利润4500元．
（3）解：设小车厘子的售价应调整为每千克元，依题意得：，解得：．答：小车厘子的售价应调整为每千克18元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
24．（2022·福建福州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
（1）数对，是“同心有理数对”的是 ；
（2）若是“同心有理数对”，求的值；
（3）若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
【答案】（1）；（2）；（3）是．
【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，判断出数对，是“同心有理数对”的是哪个即可；
（2）根据是“同心有理数对”，得到，求解即可；
（3）根据是“同心有理数对”，得到，进行判断即可；
【详解】解：（1）∵，
，，
∴数对，、不是“同心有理数对”；
∵，，
∴，
∴是“同心有理数”，
∴数对，是“同心有理数对”的是；
（2）∵是“同心有理数对”，
∴，
∴．
（3）是．
理由：∵是“同心有理数对”，
∴，
∴，
∴是“同心有理数对”．
【点睛】本题主要考查了有理数和等式的性质，准确理解计算是解题的关键．
25．（2022·山东枣庄·七年级期末）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
【答案】(1)3，﹣4(2)15(3)①100；②7或9分钟，0.5或1.5
【分析】(1)根据非负数的性质即可求解；
(2)根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解方程即可求得．
(1)解：∵|3b+12|+(a−3)2=0，
∴3b+12=0，a−3=0，
解得a=3，b=−4；
故答案为：3，-4；
(2)解：根据题意，得P点表示的数为：−4-2×4=-12，
P点与A点之间的距离为：3-(-12)=15，
故答案为：15；
(3)解：①由题意可知：数轴的单位长度为实际的100米，
故答案为：100；
②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500−100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
26．（2022·湖北武汉·七年级期末）某商场在元旦期间开展优惠促销活动，规定如下：
购物金额
优惠方案
一次性购物小于200元时
不予优惠
一次性购物不小于200元且不大于500元时
不超过200元的部分
9折优惠
超过200元的部分
8折优惠
一次性购物大于500元时
一律a折优惠
(1)张老师购买400元的文具，他实际付款 元；他的学生一次性购买180元的物品，该生实际付款 元．
(2)在（1）的条件下，如果师生合作付款，则比两人分开付款的总和少114元．求a值；
(3)张老师元旦购物实际付款364元，求他本次购物若没有享受优惠应付款多少元？
【答案】(1)340，180；(2)7(3)他本次购物若没有享受优惠应付款430或520元
【分析】（1）根据商场优惠方案列式计算即可；
（2）根据师生合作付款比两人分开付款的总和少114元列出关于a的方程，即可求出a的值；
（3）设他本次购物若没有享受优惠应付款x元，则x＞200．分①200＜x＜500；②x＞500两种情况，根据实际付款364元分别列出方程，即可求解．
(1)解：由题意可知，
张老师购买400元的文具，∵200＜400＜500，
∴他实际付款200×0.9＋（400−200）×0.8＝340（元）；
他的学生一次性购买180元的物品，∵180＜200，
∴该生实际付款180元．
故答案为：340，180；
(2)师生合作付款，∵400＋180＝580＞500，一律a折优惠，
∴此时实际付款580×元．
根据题意得580×＝340＋180−114，
解得a＝7；
(3)设他本次购物若没有享受优惠应付款x元，则x＞200．
①如果200＜x＜500，根据题意得
200×0.9＋（x−200）×0.8＝364，
解得x＝430；
②如果x＞500，根据题意得
0.7x＝364，
解得x＝520．
答：他本次购物若没有享受优惠应付款430或520元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解商场优惠方案，找准等量关系，正确列式．
第三章 一元一次方程单元测试
一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）下列运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）
A．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c B．如果a﹣c＝b﹣c，那么a＝b
C．如果，那么a＝b D．如果，那么a＝b
【答案】C
【分析】根据等式的性质判断即可．
【详解】解：A．等式两边都减去c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
B．等式两边都加c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
C．有可能等于0，不能两边都除以，故该选项符合题意；
D．∵c≠0，
∴等式两边乘c，所的结果仍是等式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了等式的性质，掌握等式两边加或减去同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
2．（2022·河南郑州·七年级期末）若使方程是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程进行求解即可．
【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程，
∴即．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键在于能够熟练掌握一元一次方程的定义．
3．（2022·山东济南·七年级期末）若代数式与是同类项，则m的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．－2
【答案】D
【分析】根据同类项的定义，字母相同，相同字母的指数也相同，建立含m的方程，即可得出m的值．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，解得，
故选D．
【点睛】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是本题的关键．
4．（2022·黑龙江大庆·期末）关于x的方程的解是的解的2倍，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出两个方程的解，根据解的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【详解】解：方程4x-2m=3x-1，
解得：x=2m-1，
方程x=2x-3m，
解得：x=3m，
根据题意得：2m-1=6m，
解得：m=-．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
5．（2022·贵州黔西·中考真题）小明解方程的步骤如下：
解：方程两边同乘6，得①
去括号，得②
移项，得③
合并同类项，得④
以上解题步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【详解】解：方程两边同乘6，得①
∴开始出错的一步是①，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤以及注意事项是解决问题的关键．
6．（2022·福建·泉州市城东中学七年级期中）疫情无情人有情，爱心捐款传真情．某校三个年级为疫情重灾区捐款，经统计，七年级捐款数占全校三个年级捐款总数的，八年级捐款数是全校三个年级捐款数的平均数，已知九年级捐款1916元，求其他两个年级的捐款数若设七年级捐款数为x元，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据七年级的捐款为x元，可以求得三个年级的总的捐款数，然后即可得到八年级的捐款数，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
七年级捐款数为元，则三个年级的总的捐款数为：，
故八年级的捐款为：，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）在一个3×3的方格中填写9个数字，使得每行每列每条对角线上的三个数之和相等，得到的3×3的方格称为一个三阶幻方．如图方格中填写了一些数和字母，为使该方格构成一个三阶幻方，则y﹣x的值是（ ）
A．1 B．17 C．﹣1 D．﹣17
【答案】C
【分析】先求出3×3的方格中下面中间的数，进一步得到右上面的数，从而得到x、y的值，相加可求y﹣x的值．
【详解】解：﹣3+3﹣2＝﹣2，
﹣2+3﹣（﹣3）＝4，
2+3+4＝9，
由表格中的数据知：
则x﹣3+3＝9，
解得x＝9，
y+3﹣2＝9，
解得y＝8，
则y﹣x＝8﹣9＝﹣1．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的加减，根据表格，先求出三个数的和是解题的关键，也是本题的突破口．
8．（2022·陕西渭南·七年级期末）在解关于x的方程时，小冉在去分母的过程中，右边的“-2”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，得x=2是方程4x-2=3x+3a-2的解，代入计算即可．
【详解】∵
∴去分母，-2”漏乘，得
4x-2=3x+3a-2，
∴是该方程的解，
∴8-2=6+3a-2，
解得a=，
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，正确理解解得意义，熟练掌握解方程是解题的关键．
9．（2022·河南·郑州市第四初级中学七年级期末）已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为（ ）
A．y＝1 B．y＝﹣1 C．y＝﹣3 D．y＝﹣4
【答案】D
【分析】根据换元法得出，进而解答即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝﹣3，
∴关于的方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解为，
解得：，
故选D．
【点睛】此题考查一元一次方程的解，熟练掌握换元法是解题的关键．
10．（2022·江苏盐城·七年级期末）学校需制作若干块标志牌，由一名工人做要50h完成．现计划由一部分工人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h完成这项工作．假设这些工人的工作效率一样，具体应先安排多少人工作？小华的解法如下：设先安排x人做4h．所列方程为，其中“”表示的意思是“x人先做4h完成的工作量”，“”表示的意思是“增加5人后人再做6小时完成的工作量”．小军所列的方程如下：，其中，“”表示的含义是（ ）
A．x人先做4h完成的工作量．
B．先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量．
C．增加5人后，新增加的5人完成的工作量．
D．增加5人后，人再做6h完成的工作量．
【答案】B
【分析】根据x人先做4h完成的工作量+然后增加5人与他们一起做6h的工作量=1，解答即可．
【详解】解：∵设安排x人先做4h，然后增加5人与他们一起做6h，完成这项工作．
∴可得先工作的x人共做了(4+6)小时，
∴列式为：先工作的x人共做了(4+6)小时的工作量+后来5人6小时的工作量=1，而x人1小时的工作量为，
∴x人(4+6)小时的工作量为，
∴表示先工作的x人前4h和后6h一共完成的工作量，
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，是一个工作效率问题，理解一个人做要50小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这一个关系是解题的关键．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·七年级期末）甲、乙两车分别在相距240千米的A、B两地，甲车速度为120千米/小时，乙车速度为80千米/小时，两车同时出发相向而行，（ ）小时两车相距20千米．
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】有两种情况，第一次是还没相遇时相距20千米，第二次是相遇后交错离开相距20千米，根据路程＝速度×时间，设t小时两车相距20千米，可列方程求解．
【详解】解：设t小时两车相距20千米，根据题意得：
120t+80t＝240﹣20或120t+80t＝240+20，
解得t＝或t＝．
答：或小时两车相距20千米．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是能够理解有两种情况、能够根据题意找出题目中的相等关系．
12．（2022·河北·二模）数学实践活动课上，陈老师准备了一张边长为a和两张边长为的正方形纸片如图1、图2所示，将它们无重叠的摆放在矩形ABCD内，矩形未被覆盖的部分用阴影表示，设左下阴影矩形的周长为，右上阴影矩形的周长为．陈老师说，如果，求a或b的值．下面是四位同学得出的结果，其中正确的是（ ）
A．甲：， B．乙：，b的值不确定
C．丙：a的值不确定， D．丁：a，b的值都不确
【答案】C
【分析】设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x, 分别表示出左下阴影矩形的周长为，右上阴影矩形的周长为，根据已知条件即可求得，进而即可求解．
【详解】设左下阴影矩形的宽为x，则AB=CD=a+x,
右上阴影矩形的宽为a+x－2b
左下阴影矩形的周长l1=2(a+x)，右上阴影矩形的周长l2=2(a+x－b)
l1－l2=2(a+x)－2(a+x－b)=2b，即2b=6，解得b=3，此时a不确定，
故选C.
【点睛】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键．
13．（2022·安徽·桐城市第二中学七年级期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；
小敏在该超市两次购物分别付了85元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）元
A．284 B．308 C．312 D．320
【答案】B
【分析】设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，分0＜x＜100及100≤x＜350两种情况可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x的值，由第二次购物付款金额=0.9×第二次购物购买商品的价格可得出关于y的一元一次方程，解之可求出y值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额=0.8×两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．
【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，
当0＜x＜100时，x=85；
当100≤x＜350时，0.9x=85，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当100≤y＜350时，则0.9y=270，
∴y=300．
当y>350时，0.8y=270，
∴y=337.5（不符合题意，舍去）；
∴；
∴（元）．
∴小敏至少需付款308元．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的90元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
14．（2022·江苏无锡·七年级期末）如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可．
【详解】解：由题意进行分类讨论：
①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4），
BP＝2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：；
②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6），
DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即14﹣2t＝6﹣t，
解得：t＝8（舍去）；
③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7），
DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得t＝；
④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11），
DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ，
即2t﹣14＝t﹣6，
解得：t＝8；
⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14），
BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6，
要使△BDP与△ACQ面积相等，则
，
解得：t＝；
综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论．
二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）
15．（2022·河北保定·七年级期末）已知＝1是方程的解，则的值是______________
【答案】-1
【分析】把x=1代入原方程中求出k的值，再把k的值代入2k+3中计算即可．
【详解】把x=1代入中，得
，
解得k=-2，
则2k+3=-4+3=-1．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了已知一元一次方程的根，求参数的值，要点是把方程的根代入原方程即可，掌握这种解题方法是本题的关键．
16．（2022·湖北孝感·七年级期末）如果 的值比 的值大1，那么的值为_______．
【答案】-3
【分析】根据题意列出方程，求出方程的解得到a的值，即可求出原式的值．
【详解】解：根据题意得：−＝1，
去分母得：7a＋21−8a＋12＝28，
移项合并得：−a＝−5，
解得：a＝5，
则2−a＝2−5＝−3，
故答案为：−3
【点睛】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．
17．（2022·浙江湖州·七年级期末）小磊在解方程时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是________．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=代入方程得：
，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
18．（2022·山东济南·七年级期末）如图，已知正方形的边长为4，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的项点A、C同时沿正方形的边开始移动，甲点依顺时针方向环行，乙点依逆时针方向环行，若乙的速度是甲的速度的3倍，则它们第2022次相遇在边________上．
【答案】DC
【分析】此题利用行程问题中的相遇问题，根据乙的速度是甲的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答．
【详解】正方形的边长为4，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为1：3，由题意知：
①第一次相遇甲乙行的路程和为8，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
②第二次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在DC边的中点处；
③第三次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在CB边的中点处；
④第四次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在BA边的中点处；
⑤第五次相遇甲乙行的路程和为16，甲行的路程为，乙行的路程为，此时相遇在AD边的中点处；
∴，
∴第2022次相遇在边DC上，
故答案为：DC．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，是行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题．
三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）
19．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知是关于的方程的解，求的值．
【答案】1
【分析】先将x=2代入方程求出m，再将m的值代入即可求解．
【详解】解：∵是关于x的方程的解，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了方程的解的含义的知识，掌握方程解的含义是解答本题的关键．
20．（2022·安徽·定远县第一初级中学七年级期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)x=-7；(2)x=1．
【分析】（1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
（1）解：去括号，得：4x-4-6x-3=7，
移项，得：4x-6x=7+4+3，
合并同类项，得：-2x=14，
系数化为1，得：x=-7．
（2）解：去分母，得：6-3（x-1）=2（x+2），
去括号，得：6-3x+3=2x+4，
移项，得：-3x-2x=4-6-3，
合并同类项，得：-5x=-5，
系数化为1，得：x=1．
【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
21．（2022·四川广元·七年级期末）2021年某校为顺利开展课后服务的电子琴项目，急需采购一批电子琴，现有光明工厂和希望工厂都想制作这批电子琴，已知光明厂单独制作这批电子琴比希望工厂单独制作这批电子琴多用20天，光明工厂每天可制作16架电子琴，希望厂每天可制作24架电子琴，经核算，学校每天需付给光明厂800元制作费，每天需付给希望厂1200元制作费．
(1)这个学校需要采购多少架电子琴？
(2)在制作过程中，学校需派一名职工每天到工厂进行监督，并为该职工提供20元的午餐补助，学校制定了电子琴加工方案如下：可由一个工厂单独完成，也可由两个工厂合作完成．请你帮助学校选择一种既省钱又省时的制作方案．
【答案】(1)960架(2)由两个工合作完成既省钱又省时
【分析】（1）设这个学校需要采购x架电子琴，根据题意列出一元一次方程，解方程求解即可，
（2）根据题意分三种情况讨论，分别计算时间和费用，进而比较即可求解．
(1)解：设这个学校需要采购x架电子琴，
由题意，得
解得
∴这个学校需要采购960架电子琴．
(2)①由光明厂单独完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
②由希望厂单独完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
③由两个工厂合作完成
需耗时：（天）
需费用：（元）
∵；
∴由两个工合作完成既省钱又省时．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
22．（2022·安徽合肥·一模）如图，某学校准备新建一个读书长廊，井用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为0.5米．
(1)按图示规律，第3图案的长度l3= ；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为 ．
(2)若某个图案中带有花纹的地砖为n块，则没有花纹的地砖为 块．（用含n的代数式表示）
(3)若学校读书长廊的长度为Ln=100.5米，求没有花纹的正方形地砖有多少块？
【答案】(1)3.5米，18块(2)5n+3(3)503
【分析】（1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量；
（2）观察题目中的已知图形，可得前两个图案中有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和没有花纹的地面砖数；
（3）由（1）得出第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5，Ln=100.5米代入求出n的值，再根据（2）中的代数式，把n代入即可．
(1)解：观察可得，
第3图案的长度l3=0.5×7=3.5（米）
第3个图案没有花纹的正方形地砖数为18块．
(2)解：观察可得：
第1个图案中有花纹的地面砖有1块，没有花纹的地面砖有8块；第2个图案中有花纹的地面砖有2块，没有花纹的地面砖有13块⋯⋯
根据规律，
∴图案有花纹的地面砖为n块，则是第n个图案
∴第n个图案中没有花纹的地面砖有5n+3块．
(3)解：由（1）得，
第n个图案边长为L=（2n+1）×0.5
把L=100.5代入，得：
100.5=（2n+1）×0.5
解得：n=100
把n=100代入5n+3，得
5×100+3=503（块）．
【点睛】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，并解一元一次方程．解题的关键是找到规律．
23．（2022·陕西咸阳·七年级期末）进入冬季，某地车厘子开始上市，一水果商从批发市场用12000元购进了大、小车厘子各300千克，大车厘子的进价比小车厘子的进价每千克多20元．大车厘子的售价为每千克40元，小车厘子的售价为每千克15元．（利润=售价-进价）
(1)大车厘子和小车厘子的进价分别是每千克多少元？
(2)将第一次购进的两种车厘子销售完后，该水果商共获得利润多少元？
(3)该水果商第二次仍用12000元从批发市场购进了大车厘子和小车厘子各300千克，进价不变，但在运输过程中大车厘子损耗了15%．若大车厘子的售价不变，若想要第二次所获利润等于第一次所获利润的80%，小车厘子的售价应调整为每千克多少元？
【答案】(1)大车厘子的进价是每千克30元，小车厘子的进价是每千克10元
(2)4500元
(3)小车厘子的售价应调整为每千克18元
【分析】（1）设小车厘子的进价是每千克元，则大车厘子的进价是每千克元，根据“用12000元购进了大、小车厘子各300千克”列一元一次方程，即可求解；
（2）根据“利润=售价-进价”，分别计算大、小车厘子的利润，相加即可；
（3）设小车厘子的售价应调整为每千克元，根据“第二次所获利润等于第一次所获利润的80%”列一元一次方程，即可求解．
（1）解：设小车厘子的进价是每千克元，则大车厘子的进价是每千克元，依题意得：，解得：，所以（元）．答：大车厘子的进价是每千克30元，小车厘子的进价是每千克10元．
（2）解：（元）．答：将第一次购进的两种车厘子销售完后，该水果商共获得利润4500元．
（3）解：设小车厘子的售价应调整为每千克元，依题意得：，解得：．答：小车厘子的售价应调整为每千克18元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的实际应用，根据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
24．（2022·福建福州·七年级期末）观察下列两个等式：，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，记为，如：数对，，都是“同心有理数对”．
（1）数对，是“同心有理数对”的是 ；
（2）若是“同心有理数对”，求的值；
（3）若是“同心有理数对”，则 “同心有理数对”（填“是”或“不是”）．
【答案】（1）；（2）；（3）是．
【分析】（1）根据：使等式成立的一对有理数，为“同心有理数对”，判断出数对，是“同心有理数对”的是哪个即可；
（2）根据是“同心有理数对”，得到，求解即可；
（3）根据是“同心有理数对”，得到，进行判断即可；
【详解】解：（1）∵，
，，
∴数对，、不是“同心有理数对”；
∵，，
∴，
∴是“同心有理数”，
∴数对，是“同心有理数对”的是；
（2）∵是“同心有理数对”，
∴，
∴．
（3）是．
理由：∵是“同心有理数对”，
∴，
∴，
∴是“同心有理数对”．
【点睛】本题主要考查了有理数和等式的性质，准确理解计算是解题的关键．
25．（2022·山东枣庄·七年级期末）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足|3b＋12|＋（a﹣3）2＝0．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)P从B出发，以每秒2个长度的速度沿数轴负方向运动4秒，此时P点与A点之间的距离为 ；
(3)应用：
小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．
①画出如图的数轴（学校为原点，小华家为A点，小明家为B点），数轴的单位长度为实际的 米．
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，求几分钟后两人相距100米？并直接写出此时小明在数轴上的位置对应的数．
【答案】(1)3，﹣4(2)15(3)①100；②7或9分钟，0.5或1.5
【分析】(1)根据非负数的性质即可求解；
(2)根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解方程即可求得．
(1)解：∵|3b+12|+(a−3)2=0，
∴3b+12=0，a−3=0，
解得a=3，b=−4；
故答案为：3，-4；
(2)解：根据题意，得P点表示的数为：−4-2×4=-12，
P点与A点之间的距离为：3-(-12)=15，
故答案为：15；
(3)解：①由题意可知：数轴的单位长度为实际的100米，
故答案为：100；
②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500−100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
26．（2022·湖北武汉·七年级期末）某商场在元旦期间开展优惠促销活动，规定如下：
购物金额
优惠方案
一次性购物小于200元时
不予优惠
一次性购物不小于200元且不大于500元时
不超过200元的部分
9折优惠
超过200元的部分
8折优惠
一次性购物大于500元时
一律a折优惠
(1)张老师购买400元的文具，他实际付款 元；他的学生一次性购买180元的物品，该生实际付款 元．
(2)在（1）的条件下，如果师生合作付款，则比两人分开付款的总和少114元．求a值；
(3)张老师元旦购物实际付款364元，求他本次购物若没有享受优惠应付款多少元？
【答案】(1)340，180；(2)7(3)他本次购物若没有享受优惠应付款430或520元
【分析】（1）根据商场优惠方案列式计算即可；
（2）根据师生合作付款比两人分开付款的总和少114元列出关于a的方程，即可求出a的值；
（3）设他本次购物若没有享受优惠应付款x元，则x＞200．分①200＜x＜500；②x＞500两种情况，根据实际付款364元分别列出方程，即可求解．
(1)解：由题意可知，
张老师购买400元的文具，∵200＜400＜500，
∴他实际付款200×0.9＋（400−200）×0.8＝340（元）；
他的学生一次性购买180元的物品，∵180＜200，
∴该生实际付款180元．
故答案为：340，180；
(2)师生合作付款，∵400＋180＝580＞500，一律a折优惠，
∴此时实际付款580×元．
根据题意得580×＝340＋180−114，
解得a＝7；
(3)设他本次购物若没有享受优惠应付款x元，则x＞200．
①如果200＜x＜500，根据题意得
200×0.9＋（x−200）×0.8＝364，
解得x＝430；
②如果x＞500，根据题意得
0.7x＝364，
解得x＝520．
答：他本次购物若没有享受优惠应付款430或520元．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解商场优惠方案，找准等量关系，正确列式．
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