数学人教版第九章 不等式与不等式组9.2 一元一次不等式优秀测试题

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第23课 一元一次不等式的解法

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课程标准
1．理解一元一次不等式的概念；
2.会解一元一次不等式．
知识精讲

知识点01 一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
注意：
(1)一元一次不等式满足的条件：
①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1．
(2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．

知识点02 一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式．
2.一元一次不等式的解法：
与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：
(1)去分母；
(2)去括号；
(3)移项；
(4)化为（或）的形式（其中）；
(5)两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集.
注意：
（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用．
（2）解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变．
3.不等式的解集在数轴上表示：
在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助．
注意：
在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：
（1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：大向右，小向左．
能力拓展


考法01 一元一次不等式的概念
【典例1】下列式子哪些是一元一次不等式？哪些不是一元一次不等式？为什么？
（1） （2） （3） （4） （5）
【分析】根据一元一次不等式的定义判断．
【答案与解析】
解：(1)是一元一次不等式．（2）（3）(4)(5)不是一元一次不等式，因为：（2）中分母中含有字母，（3）未知量的最高次项不是1次，（4）不等式左边含有两个未知量，（5）不是不等式，是一元一次方程．
【点睛】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可．

考法02 解一元一次不等式
【典例2】解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先用分数的基本性质，将分母变为整数，再去分母，在去分母时注意分数线兼有括号的作用．
【答案与解析】
解：将分母变为整数，得：
去分母，得：
去括号，合并同类项，得：
系数化1，得：
这个不等式的解集表示在数轴上，如下图：

【点睛】在不等式的两边同乘以(或除以)负数时，必须改变不等号的方向．

【即学即练】解不等式：
【答案】
解：去括号，得
移项、合并同类项得：
系数化1，得
故原不等式的解集是

【典例3】m为何值时，关于x的方程：的解大于1？
【分析】从概念出发，解出方程（用m表示x），然后解不等式．
【答案与解析】
解： x-12m+2=6x-15m+3
5x=3m-1

由
解得m＞2
【点睛】此题亦可用x表示m，然后根据x的范围运用不等式基本性质推导出m的范围．

【即学即练】已知关于方程的解是非负数，是正整数，则 ．
【答案】1或2

【典例4】已知关于的方程组的解满足，求的取值范围．
【分析】先解出方程组再解不等式．
【答案与解析】
解：由，解得：
∵
∴
解得
∴的取值范围为
【点睛】有时根据具体问题，可以不必解出的具体值．

考法03 解含字母的一元一次不等式
【典例5】解关于x的不等式：(1-m)x>m-1
【分析】由此不等式的结构，这里只需将未知数的系数化1即可，两边同时除以（1-m），但由不等式的基本性质我们知，若不等式两边同时除以一个负数，原不等号的方向得改变，这里1-m的符号我们不知道，故需分类讨论．
【答案与解析】
解：当1- m ＞0即 m ＜1时，原不等式的解集为：x＞-1；
当1- m ＜0即m ＞1时，原不等式的解集为：x＜-1；
当1-m=0即m=1时，没有数能使得不等式成立，故原不等式无解．
【点睛】不难发现，我们可以总结概括，如下：
若ax＞b（a≠0），
当时，不等式的解集是；
当时，不等式的解集是．

【即学即练】解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.
【答案】
解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1），
　　① 当m-1＞0时，x＞2；
　　② 当m-1＜0时，x＜2；
　　③ 当m-1=0时，无解.

【即学即练】已知x＞a的解集中最小整数为－2，则a的取值范围是______．
【答案】﹣3≤a＜﹣2．

考法04 逆用不等式的解集
【典例6】如果关于x的不等式（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，那么a的取值范围是　 　．
【分析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，从而来求得a的值．
【答案】a＜﹣1
【解析】
解：∵（a+1）x＞a+1的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1．
【点睛】解答本题的关键是根据不等号的方向改变确定a+1＜0．

【即学即练】已知不等式3x﹣a≤0的解集为x≤5，则a的值为　　．
【答案】15.
【解析】解：3x﹣a≤0，
x≤ ，
∵不等式的解集为x≤5，
∴=5，
解得a=15．
故答案为：15．
分层提分


题组A 基础过关练
1．下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【详解】
一元一次不等式有三个特点：①不等式的两边都是整式；②只含1个未知数；③未知数的最高次数为1次．由此可得（1）；（3）；（6）是一元一次不等式，故选B.
2．不等式的解为（ ）
A．  B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
【详解】
，
3-x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．
3．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．
【详解】
解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，
移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，
合并，得：x＞﹣1，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式及用数轴表示不等式的解集，正确解不等式是解题关键，注意“＞”向右，“＜”向左，带等号用实心，不带等号用空心．
4．不等式的非负整数解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．
【详解】
解：不等式4-3x≥2x-6，
整理得，5x≤10，
∴x≤2；
∴其非负整数解是0、1、2．
故选C．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
5．已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的不等式，最后求出a的取值范围．
【详解】
解：原方程可整理为：（2-1）x=a-1，
解得：x=a-1，
∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非负数，
∴a-1≥0，
解得：a≥1．
故选A．
点睛：本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解关于x的不等式是本题的一个难点．
6．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据加减消元法求解二元一次方程组，结合题意，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．
【详解】

①②得：
∴
将代入②得：
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组、一元一次不等式的性质，从而完成求解．
7．小丽同学准备用自己节省的零花钱购买一台学生平板电脑，她已存有750元，并计划从本月起每月节省30元，直到她至少存有1080元，设x个月后小丽至少有1080元，则可列计算月数的不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
解：由题意可得：．
故选D．
8．关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0
【答案】A
【解析】
【分析】
本题是关于x的不等式，不等式两边同时除以（m+1）即可求出不等式的解集，不等号发生改变，说明m+1<0，即可求出m的取值范围．
【详解】
∵不等式(m+1)x>m+1的解集为x<1，
∴m+1<0，
∴m<−1，
故选A.
【点睛】
考查解一元一次不等式，熟练掌握不等式的3个基本性质是解题的关键.
9．若关于x的方程2(x+k)=x+6的解是非负数，则k的取值范围是（　　）
A．k≤3 B．k＞3 C．k≥3 D．k＜3
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出方程的解，根据题意得出关于k的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解：2(x+k)=x+6，
x=6-2k，
∵关于x的方程2(x+k)=x+6的解是非负数，
∴6-2k≥0，
解得：k≤3，
故选：A．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，解此题的关键是能根据题意得出关于k的不等式，难度适中．
题组B 能力提升练
10．不等式＞＋2的解是__________．
【答案】x＞－3
【解析】
【详解】
＞＋2, 去分母得： 去括号得： 移项及合并得： 系数化为1得： .
故答案为x＞－3.
11．若关于x，y的方程组的解使4x＋7y＞2成立，则k的取值范围是________．
【答案】k＞3
【解析】
【分析】
将第一个方程×2－第二个方程，得到4x+7y=2k-2-2，然后代入4x+7y＞2，解关于k的一元一次不等式即可．
【详解】

由①×2﹣②得：4x+7y=2k-2-2，∴2k-2-2＞2，∴2k＞6，解得：k＞3．
故答案为k＞3．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法．利用整体法求解是解答本题的关键．
12．若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．
【答案】≤m≤6
【解析】
【分析】
解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．
【详解】
解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，
∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，
①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；
②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，
∴m﹣6＜0，即m＜6，
∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，
∵x＞﹣4都能使x＞成立，
∴﹣4≥，
∴﹣4m+24≤2m+1，
∴m≥，
综上所述，m的取值范围是≤m≤6．
故答案为：≤m≤6．
【点睛】
本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．
13．若不等式（a﹣3）x＞1的解集为，则a的取值范围是_____．
【答案】．
【解析】
【详解】
∵(a−3)x>1的解集为x<，
∴不等式两边同时除以(a−3)时不等号的方向改变，
∴a−3<0，
∴a<3.
故答案为a<3.
点睛：本题考查了不等式的性质:在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.本题解不等号时方向改变,所以a-3小于0.
14．关于x的不等式只有两个正整数解，则a的取值范围是_______
【答案】6≤a＜9．
【解析】
【分析】
解不等式得x≤，由于只有两个正整数解，即1，2，故可判断的取值范围，求出a的取值范围．
【详解】
原不等式解得x≤，
∵解集中只有两个正整数解，
则这两个正整数解是1，2，
∴2≤＜3，
解得6≤a＜9．
故答案为6≤a＜9．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
15．若不等式的正整数解是，则的取值范围是____．
【答案】9≤a＜12
【解析】
【分析】
解不等式3x−a≤0得x≤，其中，最大的正整数为3，故3≤＜4，从而求解．
【详解】
解：解不等式3x−a≤0，得x≤，
∵不等式的正整数解是1，2，3，
∴3≤＜4，
解得9≤a＜12．
故答案为：9≤a＜12．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式的解法．先解含字母系数的不等式，再根据正整数解的情况确定字母的取值范围．
题组C 培优拔尖练
16．求不等式≤+1的非负整数解．
【答案】不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．
【解析】
【分析】
去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．
【详解】
去分母得：5（2x+1）≤3（3x-2）+15，
去括号得：10x+5≤9x-6+15，
移项得：10x-9x≤-5-6+15，
合并同类项得x≤4，
∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．
【点睛】
考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.
17．已知关于x的不等式＜7的解也是不等式－1的解，求a的取值范围．
【答案】－≤a＜0
【解析】
【分析】
解关于x的不等式，可得其解为x；
而已知关于x的不等式7的解也是不等式的解，故a＜0，所以不等式7的解是x＞7a；从而得到7a；
解可得a；结合a＜0，可得答案．
【详解】
关于x的不等式，解得：x．
∵关于x的不等式7的解也是不等式的解，故a＜0，所以不等式7的解集是x＞7a．
所以7a，解得：a．
∵a＜0，∴a＜0．
【点睛】
当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成已知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．本题需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向，余下运算不受影响，该怎么算还怎么算．
18．已知且，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：两个方程作差，可得用k表示.
试题解析：
解：∵
①②，
∵，
∴，
∴．
19．阅读下面的材料：
对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）______；
（2）当时，求x的取值范围．
【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥
【解析】
【分析】
（1）比较大小，即可得出答案；
（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．
【详解】
解：（1）由题意得﹣1
故答案为：﹣1；
（2）由题意得：
3（2x－3）≥2（x+2）
6x－9≥2x+4
4x≥13
X≥
∴x的取值范围为x≥．
【点睛】
本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．
20．对于任意有理数x，我们用表示不大于x的最大整数，则如：，，，请根据以上信息，回答下列问题
填空：______，______；
若，求x的取值范围；
已知，求x的值．
【答案】(1)7,-6;(2) ;(3).
【解析】
【分析】
根据最大整数的定义即可求解；根据最大整数的定义即可得到一个关于x的不等式组，即可求得x的范围．根据新定义列出关于x的不等式组，解之求得x的范围及的范围，再根据为整数可得的值，解之可得．
【详解】
，，
故答案为7、；
，
，
解得：；
，
，
解得，
，
为整数，
或1，
．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能得出关于x的不等式组是解此题的关键．