人教版22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质复习练习题

这是一份人教版22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质复习练习题，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题22.6 二次函数y=a(x−h)2(a≠0)与y=a(x−h)2+k(a≠0)图象与性质（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．抛物线的顶点坐标是（    ）
A． B． C． D．
2．设，，是抛物线上的三点，则的大小关系为（      ）
A． B． C． D．
3．下列关于抛物线的判断中，错误的是（    ）
A．形状与抛物线相同 B．对称轴是直线
C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，
4．二次函数的图像只有在这一段位于x轴的下方，则a的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
5．已知二次函数（为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（　　）
①不论为何值，函数图像的顶点始终在一条直线上；
②当时，随的增大而增大，则的取值范围为．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
6．已知点，都在二次函数的图象上．若，则m的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
7．下列关于二次函数有如下说法：①图象的开口向上；②图象最低点到轴的距离为；③图象的对称轴为直线；④当时，随的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（    ）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
8．已知抛物线与轴有两个交点，，抛物线与轴的一个交点是，则的值是（      ）
A．5 B． C．5或1 D．或
9．已知抛物线过不同的两点，，则当点在该函数图象上时， m的值为（    ）
A．0 B．1 C．0或1 D．
10．一款畅销商品的销售价格为m元，一个月可以获利．下列表达式中可以直接看出最大获利润和此时销售价格的是（      ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．二次函数的图象开口方向是 ．
12．将抛物线沿轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ；
13．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系为 （用“”连接）
14．已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为 ．
15．二次函数的顶点形式是，请你写出一个以直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上的抛物线对应的二次函数解析式的顶点形式 ．
16．二次函数的图象上任意二点连线不与轴平行，则的取值范围为 .
17．在研究二次函数的图象和性质时，甲、乙、丙、丁四位同学的说法如下：甲：图象的顶点坐标为；乙：函数的图象关于直线对称；丙：当时，函数取得最大值；丁：当时，随的增大而增大．其中，说法错误的是 同学．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴的交点为，顶点为，点 为该抛物线上一点，且在对称轴右侧第一象限内（点不与点重合），连接、、、，若的周长为，则四边形的周长为 （用含的代数式表示）．

三、解答题
19．已知二次函数
(1) 将化成的形式；并写出其对称轴和顶点坐标；
(2) 当取何值时，随的增大而减小．








20．已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程：

……①；
……②；
……③；
顶点坐标是……④；
（1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步．
（2）请写出此题正确的求顶点的计算过程．







21．已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3．
（1）写出此函数图象的开口方向和顶点坐标；
（2）当y随x增大而减小时，写出x的取值范围；
（3）当1＜x＜4时，求出y的取值范围．







22．已知抛物线y=a（x-h）+k的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）写出抛物线的解析式；
（2）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；
（3）当自变量取何值时，函数有最大值？最大值为多少？









23．已知抛物线的顶点坐标为，且经过轴上一点．
(1) 求抛物线解析式；
(2) 求抛物线与轴的交点坐标；
(3) 试说明：当时，函数值随着的增大而变化的情况．







24．如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)．
（1）求的值和抛物线顶点的坐标；
（2）求直线的解析式．






参考答案
1．B
【分析】根据题目中的解析式，即可直接写出抛物线的顶点坐标．
解：∵抛物线解析式为：，
∴抛物线的顶点坐标为：，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数得性质，解题的关键是熟练掌握抛物线顶点式的特点与性质．
2．B
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性即可判断函数值的大小．
解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小，
∵，，在抛物线上，且，
∴，
故选：．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，也考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质．
3．C
【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为，判断对称轴顶点坐标，开口方向以及与轴的交点坐标，逐项分析判断即可求解．
解：，，故A选项正确，
对称轴为直线，故B选项正确，
当时，y随x的增大而减小，故C选项不正确，
令，解得：，
∵抛物线开口向下，则当时，，故D选项正确，
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意得出和是方程的两个根，解方程即可．
解：，
抛物线的对称轴为，
又图像只有在这一段位于x轴的下方，
和x＝6是方程a（x﹣4）2﹣4＝0的两个根，且a＞0，
把x＝2或代入得：，
解得，
故选：A．
【点拨】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，利用二次函数的性质得到和是方程的两个根是解题的关键．
5．C
【分析】由二次函数解析式可得抛物线顶点坐标，从而判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可得随增大而增大时的取值范围，从而判断②．
解：，
抛物线顶点坐标为，
抛物线顶点在直线上，①正确．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
时，随增大而减小，时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
②不正确．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
6．D
【分析】分别把点，代入，再由得到关于m的不等式，解不等式即可．
解：∵点，都在二次函数的图象上，
∴，，
∵，
∴，
解得：．
故选：D
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
7．B
【分析】根据顶点式，得出，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小，逐项分析判断即可求解．
解：∵，，顶点坐标为，对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴①图象的开口向上；故①正确；
②图象最低点到轴的距离为，故②不正确；
③图象的对称轴为直线，故③正确，
④当时，随的增大而减小，故④不正确．
故选：B.
【点拨】本题考查了二次函数图象的性质，掌握的图象与性质是解题的关键．
8．C
【分析】将往右平移m个单位后得到，由此即可求解．
解：比较抛物线与抛物线，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵与轴的一个交点是，与轴有两个交点，，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与轴的一个交点是，故m=5，
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
9．C
【分析】由都在抛物线上，得到，进而得到由也在抛物线上，代入化简得到，解出即可得出结果．
解：，都在抛物线上，
，
，
，
，
是不同的两个点，
，
，
，
在抛物线的图象上，
，
，
，
，
，
或．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了点在抛物线图象上，即点的坐标满足函数解析式，理解好题意是解此题的关键．
10．A
【分析】根据二次函数的性质求解即可求解．
解：根据题意，设一个月可以获利为，则
根据顶点式即可求得最大获利润和此时销售价格，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
11．向下
【分析】根据二次系数即可解答．
解：∵二次函数中，，
∴二次函数图像的开口方向是向下．
故答案为：向下．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
12．
【分析】根据抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数可直接得出答案．
解：∵将抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数，
∴得到的新的抛物线的解析式是，
故答案为：．
【点拨】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知抛物线沿轴翻折后，横坐标不变，纵坐标变为相反数是解答此题的关键．
13．
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，再根据开口向上离对称轴越远函数值越大进行求解即可．
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点，，在抛物线上，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14．
【分析】由二次函数解析式可得二次函数对称轴为直线，且开口向下，则离对称轴越远，函数值越小，推出当时，，据此求解即可．
解：∵二次函数解析式为，
∴二次函数对称轴为直线，且开口向下，
∴离对称轴越远，函数值越小，
∵当时，的最小值为，，
∴当时，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了二次函数的最值问题，熟知二次函数开口向下时，离对称轴越远函数值越小是解题的关键．
15．（答案不唯一）
【分析】先写出顶点式的顶点坐标，再结合题意根据二次函数的性质确定答案即可．
解：的顶点坐标为，
直线为对称轴，顶点在x轴下方，开口向上，
，
（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了二次根式顶点式及二次根式的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
16．或
【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答．
解：∵二次函数表达式为，
∴该函数的对称轴为直线，
∵图象上任意二点连线不与x轴平行，
∴或，
∵，
∴，
解得：或．
故答案为：或．
【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．
17．丙
【分析】根据总结归纳抛物线的性质，再逐一比对即可．
解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为：，抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向下，
当时，函数取得最大值，
当时，随的增大而增大．
∴甲，乙，丁的说法正确，丙的说法错误；
故答案为：丙．
【点拨】本题考查的是抛物线的性质，熟练的掌握的图象与性质是解本题的关键．
18．/
【分析】由抛物线的对称性得到：，，则四边形的周长为等于的周长加上的长，由此得出答案即可．
解：抛物线，
对称轴为直线，
，
由抛物线的对称性知，
∴四边形的周长为
的周长为，
即，
∴四边形的周长为，
即四边形的周长为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的交点坐标，此题利用了抛物线的对称性，解题的关键在于把求四边形的周长转化为的周长加的长．
19．(1)；对称轴是直线，顶点坐标是；(2)当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项函系数的一半的平方来凑完全平方公式，把一般式转化为顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标．
（2）根据二次函数的图像即可解答．
解：（1）
该二次函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是；
（2）如图，当时，y随x的增大而减小．

【点拨】本题考查了二次函数的图像与性质及顶点坐标的求法，熟知二次函数的顶点式是解题关键．
20．（1）①；（2）见详解
【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案；
（2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得到答案．
解：（1）y＝0.5x2−x−0.5
＝0.5（x2−2x）−0.5 ①
＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ②
＝0.5（x−1）2−1③
∴顶点坐标是（1，−1）④；
故答案为：①；
（2）y＝0.5x2−x−0.5
＝0.5（x2−2x）−0.5
＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5
＝0.5（x−1）2−1
∴顶点坐标是（1，−1）．
【点拨】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，掌握配方法，是解题的关键．
21．（1）开口向下，顶点坐标是（2，3）；（2）x＞2；（3）﹣1＜y≤3
【分析】（1）根据a的符号判断抛物线的开口方向；根据顶点式可求顶点坐标；
（2）根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
（3）因为顶点坐标（2，3）在1＜x＜4的范围内，开口向下，所以y最的大值为3；当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，即可确定函数值y的范围．
解：（1）∵a＝﹣1＜0，
∴图象开口向向下；
∵y＝﹣（x﹣2）2+3，
∴顶点坐标是（2，3）；
（2）∵对称轴x＝2，图象开口向选，y随x增大而减小
∴x的取值范围为x＞2；
（3）∵抛物线的对称轴x＝2，满足1＜x＜4，
∴此时y的最大值为3，
∵当x＝1时，y＝2；当x＝4时，y＝﹣1，
∴当1＜x＜4时，y的取值范围是﹣1＜y≤3．
【点拨】此题考查了二次函数的性质，顶点坐标，对称轴，开口方向；还考查了二次函数的增减性．
22．（1）；（2）；（3）当时，有最大值，最大值为2
【分析】（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，设顶点式，将代入解析式，即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大；
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，进而求得当时，最值为2．
解：（1）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且过点，
设顶点式，将代入得，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）根据函数图象可知，在对称轴的左侧，随的增大而增大，即时，随的增大而增大，
（3）根据图象可知，抛物线的顶点坐标为，且开口朝下，
当时，有最大值，最大值为2．
【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握的图象与性质是解题的关键．
23．(1)抛物线的解析式为；(2)抛物线与轴的交点坐标为；(3)时，函数值随着的增大而减小
【分析】（1）设顶点式，然后把代入求出的值即可；
（2）计算自变量的值为所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
解：（1）设抛物线的解析式为，
把代入得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）当时，，
抛物线与轴的交点坐标为；
（3）抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
当时，函数值随着的增大而减小．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二次函数的性质．
24．（1），M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
解： （1）∵抛物线过点A(2，0)，
，解得，
，
,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为，
∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
，解得，
∴直线AM的解析式为．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．