【讲义】人教版七年级数学上册 专题1.3+有理数的加减法【八大题型】（含答案解析）

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专题1.3 有理数的加减法【八大题型】 【人教版】 TOC \o "1-3" \h \u   HYPERLINK \l "_Toc2231" 【题型1 根据有理数的加减法法则判断不等关系】  PAGEREF _Toc2231 \h 1  HYPERLINK \l "_Toc29690" 【题型2 运用运算律简化有理数的加减运算】  PAGEREF _Toc29690 \h 3  HYPERLINK \l "_Toc21583" 【题型3 巧用拆项法简化有理数的加减运算】  PAGEREF _Toc21583 \h 7  HYPERLINK \l "_Toc2277" 【题型4 有理数加减法中的规律问题】  PAGEREF _Toc2277 \h 9  HYPERLINK \l "_Toc30354" 【题型5 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】  PAGEREF _Toc30354 \h 13  HYPERLINK \l "_Toc9900" 【题型6 应用有理数的加减运算解决实际问题】  PAGEREF _Toc9900 \h 15  HYPERLINK \l "_Toc6319" 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】  PAGEREF _Toc6319 \h 19  HYPERLINK \l "_Toc12963" 【题型8 利用有理数的加减法解决数轴上两点间的距离问题】  PAGEREF _Toc12963 \h 23  【知识点 有理数加减法的法则】 有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； ③一个数同0相加，仍得这个数． 有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数． 【题型1 根据有理数的加减法法则判断不等关系】 【例1】（2023春·江苏淮安·七年级统考期中）有理数a、b在数轴上对应的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．b−a>0 B．a−b>0 C．−b−a>0 D．a+b>0 【答案】C 【分析】根据数轴可得b<−1<0a， ∴−b−a>0，故C正确； D、a+b<0，故D错误 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据数轴比较有理数的大小和有理数的运算法则，解题的关键是掌握在数轴上左边的数小于右边的数；两数相乘（除），同号得正，异号得负；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相加． 【变式1-1】（2023春•莱西市期末）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则n−m的值可能是（    ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据数轴确定m和n的范围，再根据有理数的减法法则即可做出选择． 【详解】解：根据数轴可得−21，再由a+b<0，可得b<0，且b>a>1，从而得到b<−a<−1，即可求解． 【详解】解∶根据题意得∶1a>1， ∴b<−a<−1， ∴b的值可以是−2． 故选：A 【点睛】本题考查了有理数加法的运算法则和数轴上的点和有理数的对应关系．解决本题的关键是根据加法的符号规律确定b的取值范围． 【变式1-3】（2023·江苏常州·统考二模）如图，将数轴上−4与8两点间的线段六等分，五个等分点所对应的数依次为a1，a2，a3，a4，a5，则a1+a4______0（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】> 【分析】先计算两点间的距离，再计算每段的长度，运用平移思想计算出a1，a2，a3，a4，a5分别表示的数，计算a1+a4判断即可． 【详解】∵数轴上−4与8的距离为8−−4=12，且轴上−4与8两点间的线段六等分，∴每段长度为12÷6=2， ∴a1=−4+2=−2，a2=−2+2=0，a3=0+2=2，a4=2+2=4，a5=4+2=6， ∴a1+a4=−2+4=2＞0， 故答案为：>． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，平移计算各点表示的数，熟练平移思想是解题的关键． 【题型2 运用运算律简化有理数的加减运算】 【例2】（2023·上海·七年级假期作业）计算： (1)1+2+3+⋅⋅⋅+18+19+20 (2)4+6+8+10+⋅⋅⋅+32+34+36 (3)1+22+333+4444+5555+666+77+8 【答案】(1)210 (2)340 (3)11106 【分析】（1）根据加法交换律和结合律，即1+20=2+19=3+18=…=10+11，得出共有202个1+20，计算即可； （2）根据加法交换律和结合律，即4+36=6+34=8+32=…=18+22，得出共有162个4+36，然后再加上20，计算即可； （3）根据加法结合律和交换律，计算即可． 【详解】（1）解：1+2+3+⋅⋅⋅+18+19+20 =1+20×202 =210； （2）解：4+6+8+10+⋅⋅⋅+32+34+36 =4+36×162+20 =340； （3）解：1+22+333+4444+5555+666+77+8 =1+8+22+77+333+666+4444+5555 =9+99+999+9999 =10+100+1000+10000−4 =11106． 【点睛】本题考查了简便运算，解本题的关键在熟练掌握加法交换律和加法结合律． 【变式2-1】（2023春·全国·七年级专题练习）（1）−525−−2.25−−235−+534； （2）5−12−13−5； （3）0−−2+−7−+1+−10； （4）−0.5−537−1+337−412+213． 【答案】（1）−6310；（2）−15；（3）−16；（4）−523 【分析】（1）首先去括号，然后根据加法交换律和加法结合律，计算即可； （2）先算括号里面的，然后再算减法即可； （3）首先去括号，然后根据有理数的减法法则，计算即可； （4）根据加法交换律和加法结合律，计算即可． 【详解】解：（1）−525−−2.25−−235−+534 =−525+2.25+235−534 =−525+235+214−534 =−245−312 =−6310； （2）5−12−13−5 =−7−8 =−15； （3）0−−2+−7−+1+−10 =2−7−1−10 =−16； （4）−0.5−537−1+337−412+213 =−0.5−1−412+−537+337+213 =−6−2+213 =−8+213 =−523． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解本题的关键在熟练掌握有理数的加减混合运算的顺序和法则． 【变式2-2】（2023春·七年级课时练习）计算： 1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020+2021 【答案】（1）1 【分析】原式除去第一项，以及后二项，两两结合，利用化为相反数两数之和为0计算，即可得到结果． 【详解】解：原式＝1+(2﹣3)+(﹣4+5)+(6﹣7)+(﹣8+9)+…+(2014﹣2015)+(﹣2016+2017)+(2018﹣2019)﹣2020+2021 ＝1﹣1﹣2020+2021 ＝1． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【变式2-3】（2023·江苏·七年级假期作业）计算： (1)−9.2−−7.4+915+−625+−4+−3； (2)−1423+1125−−1223−14+−1125； (3)23−18−−13+−38． 【答案】(1)0 (2)−16 (3)12 【分析】（1）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （2）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可； （3）先把减法统一为省略加号的和的形式，再结合加法的运算律进行计算即可． 【详解】（1）解：−9.2−−7.4+915+−625+−4+−3 =−9.2+7.4+915−625−4+3 =−1.8+2.8−1 =0； （2）−1423+1125−−1223−14+−1125 =−1423+1223+1125−1125−14 =−2−14 =−16； （3）23−18−−13+−38 =23+13−18−38 =1−12 =12． 【点睛】本题考查的是有理数的加减运算，先把减法统一成加法，省略加号后，运用加法运算律，简化运算，求出结果．其中互为相反数的两数先结合；能凑成整数的各数先结合．另外，同号各数先结合；同分母或易通分的各数先结合．方法总结：（1）为使运算简便，可适当运用加法的结合律与交换律．在交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．（2）注意同分母分数相加，互为相反数相加，凑成整数的数相加，这样计算简便．（3）当一个算式中既有小数又有分数时，一般要统一，具体是统一成分数还是小数，要看哪一种计算简便． 【题型3 巧用拆项法简化有理数的加减运算】 【例3】（2023春·福建泉州·七年级校考阶段练习）先阅读下列解题过程，再解答问题： （﹣516）+756=[（﹣5）+（−16）]+（7+56） ＝[（﹣5）+7]+[（−16）+56] ＝2+46 ＝223； 上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法请你计算：（﹣200056）+（﹣199923）+400023+（﹣112）. 【答案】−43 【分析】按示例的方法求解即可. 【详解】解：（﹣200056）+（﹣199923）+400023+（﹣112） =[（﹣2000）+（−56）]+ [（﹣1999）+（−23）]+（4000+23）+[（﹣1）+（−12）] =[（﹣2000）+（﹣1999）+4000+（﹣1）]+ [（−56）+（−23）+23+（−12）] =0+（−43） =−43. 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是利用示例的拆项法求解. 【变式3-1】（2023春·全国·七年级专题练习）计算：112−256+3112−41920+5130−64142+7156−87172+9190−10109110+111132． 【答案】2312 【分析】将原式的分数进行适当的变形，利用互为相反数的和为0，进行计算即可． 【详解】解：原式＝（1+12）﹣（3−16）＋（3+112）﹣（5−120）＋（5+130）﹣（7−142）＋（7+156）﹣（9−172）＋（9+190）﹣（11−1110）＋（11+1132） ＝1+12−3+16+3+112−5+120+5+130−7+142+7+156−9+172+9+190−11+1110+11+1132 ＝（1﹣3＋3﹣5＋5﹣7＋7﹣9＋9﹣11＋11）＋（12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110+1132） ＝1+1−12+12−13+13−14+...+18−19+19−110+110−111+111−112 ＝1＋（1−112） ＝1+1112 =2312． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练运用加法的交换律和结合律是解答本题的关键． 【变式3-2】（2023春·陕西西安·七年级校考期中）计算：12+16+112+120+130+⋯+19900 【答案】99100 【分析】根据题目式子的特点，将式子变形，然后裂项作差即可求得所求式子的值． 【详解】解：12+16+112+120+130+⋯+19900 =11×2+12×3+13×4+14×5+⋯+199×100 =12+12−13+13−14+⋯+199−1100 =1−1100 =99100． 【点睛】本题考查了有理数的加减法的简便运算，解答本题的关键是发现题目中式子的特点，裂项作差解答． 【变式3-3】（2023·上海·七年级假期作业）计算： (1)98+396+495+691+799+21 (2)98−96−97−105+102+101 【答案】(1)2700 (2)3 【分析】根据有理数加减法则直接计算即可得到答案； 根据有理数加减法则直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式=(300−2)+(400−4)+(500−5)+(700−9)+(800−1)+21 =300+400+500+700+800−21+21 =2700； （2）解：原式=98+102+101−(100−4)−(100−3)−(100+5) =301−100−100−100+2 =3； 【点睛】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握法则及运用交换律结合律简便计算． 【题型4 有理数加减法中的规律问题】 【例4】（2023春·辽宁抚顺·七年级阶段练习）如图，康康将−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，其中a、b、c.分别代表其中的一个数. (1)求a， b， c的值各为多少： (2)在第（1）间中，九个数的总和为多少？位于正方形表格最中间格子的数是多少？它们之间有怎样的数量关系？ (3)利用上面你发现的规律，将3，5，−7，1，7，−3，9，−5，1这九个数字分别填入如图的九个方格中，使得横、竖、斜对角的三个数的和都相等， 【答案】(1)a=−2，b=−1，c=2 (2)九个数的总和为9，表格中间的数字为1，九个数的总和是表格中间的数字的9倍 (3)见解析 【分析】（1）根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，先求出中间一竖列的和为3，再分别以每一横行的和为3，依次求a,b,c的值； （2）每一竖列的和为3，九个数的总和为3×3，观察表格中间的数字为1，可从倍数上回答数量关系； （3）九方格题目先将数字按从小到大的顺序填入方格后，将对角数字交换位置，再顺时针旋转一格即可． （1） 解：∵中间竖列的三个数的和为5+1+−3=3， ∵每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴第一横行三个数的和为3． ∴a=3−5−0=−2． 同样的方法可得：b=3−3−1=−1．c=3−−3−4=2． 答：a=−2，b=−1，c=2． （2） 每列上的三个数之和相等， 中间竖列的三个数的和为3，且共有三个竖列， 九个数的总和为：3×3=9． 观察表格中间的数字为1， ∴九个数的总和为表格中间的数字的9倍． 答：在第（1）问中，九个数的总和为9，表格中间的数字为1，九个数的总和是表格中间的数字的9倍． （3） 九个数填表如下： 【点睛】考查了有理数的加法，注重考查学生的思维能力．九方格题目趣味性较强，从小到大排列，对角交换，旋转一格，为九宫格通法． 【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）有一组数：−1，1，2，−3，5，8，−13，21，34，……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第11个数为_______，前_______个数的和首次超过100． 【答案】 89 12 【分析】观察得到规律，利用有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：观察得，规律是：从第三个数开始往后，每一个数的绝对值是前两个数绝对值的和，数所站位置数字被3除，余数为1的，此位置的数的符号为负，其余的数的符号为正， 则第11个数为89， 前12个数的和为-1+1+2-3+5+8-13+21+34-55+89+144 =-1+(1+2-3)+(5+8-13)+ (21+34-55) +89+144 =89+144-1 =232． 则前11个数的和为232-144=88， 所以前12个数的和首次超过100． 故答案为：89，12． 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律，解决问题． 【变式4-2】（2023春·七年级课时练习）（1）从图①中找规律； （2）按图①中的规律在图②中的空格里填上合适的数． 【答案】（1）下面两个数的和等于上面的一个数字；（2）见解析 【分析】（1）仔细观察数字的分布，找到规律即可； （2）根据第一个图形的规律，写出答案即可． 【详解】解：（1）观察图①发现：-5+（-6）=-11； -6+（-2）=-8； -11+（-8）=-19， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； （2）根据规律得到： 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细观察第一个图形并找到数字变化的规律，难度不大． 【变式4-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·七年级校联考期中）下面是按一定规律得到的一列数． 第1个数：12−1+12=−1；第2个数：13−1−13=−13； 第3个数：14−1+14=−1；第4个数：15−1−15=___________； 第5个数：16−1+16=−1；第6个数：17−1−17=___________； (1)将上述内容进行填空； (2)按照以上规律，用算式表示出第7，第8和第10个数； (3)将（2）中的三个数用“<”连接起来． 【答案】(1)−35，−57； (2)第7个数是18−1+18=−1，第8个数是19−1−19=−79，第10个数是111−1−111=−911； (3)−79＞−911＞−1． 【分析】（1）根据所给的式子依次计算即可得解； （2）根据所给的式子，发现括号中的运算第奇数个数是加法，第偶数个数是减法，由此规律即可求解； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小，比较即可得解． 【详解】（1）解：15−1−15 =15−45 =−35， 17−1−17 =17−67 =−57， 故答案为：−35，−57； （2）解∶第7个数是18−1+18=18−98=−1， 第8个数是19−1−19=19−89=−79， 第10个数是111−1−111=111−1011=−911， ∴第7个数是18−1+18=−1，第8个数是19−1−19=−79，第10个数是111−1−111=−911； （3）解：∵−79=7799，−911=911=8199， −1=1=9999，7799＜8199＜9999， ∴−79＞−911＞−1． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及比较两个负数的大小，通过所给的式子，探索出式子的一般规律是解题的关键． 【题型5 有理数的加减运算与相反数、绝对值等的综合应用】 【例5】（2023春·陕西西安·七年级校考期末）若|a|=4，|b|=2，且a+b的绝对值与相反数相等，则a−b的值是（    ） A．−2 B．−6 C．−2或−6 D．2或6 【答案】C 【分析】求出a、b的值，进行计算即可． 【详解】解：∵|a|=4，|b|=2， ∴a=±4，b=±2， ∵a+b的绝对值与相反数相等， ∴a+b＜0， ∴a=−4，b=±2， a−b=−4−2=−6或a−b=−4+2=−2， 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义和有理数的计算，解题关键是理解绝对值的意义，确定a、b的值． 【变式5-1】（2023春·浙江·七年级专题练习）（1）求313的相反数与−223的绝对值的和； （2）若|a−2|与|b+5|互为相反数，求a+b的值． 【答案】（1）−23；（2）a+b=−3 【分析】（1）把313的相反数和−223的绝对值相加计算即可； （2）根据相反数的定义可得|a−2|+|b+5|=0，再根据非负数的性质求出a和b的值，然后代入a+b计算即可． 【详解】（1）−313+|−223| =−103+83 =−(103−83) =−23． （2）因为|a−2|与|b+5|互为相反数， 所以|a−2|+|b+5|=0， 所以|a−2|=0,|b+5|=0， 所以a=2,b=−5， 所以a+b=2+(−5)=−3． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的意义，绝对值的非负性，以及有理数的加法，综合运用各知识点是解答本题的关键． 【变式5-2】（2023春·陕西榆林·七年级统考期末）若a−2的绝对值为5，b的绝对值为9，且a+b<0，求a−b的值． 【答案】16或6 【分析】根据绝对值的意义分别求出a,b的值，然后根据a+b<0确定出其范围，即可得出答案． 【详解】解：∵a−2的绝对值为5，b的绝对值为9， ∴a−2=±5，b=±9， 解得a=7或a=−3， ∵a+b<0， ∴a=7或−3时，b=−9， ∴a−b=7−−9=16，或a−b=−3−−9=6， 即a−b的值为16或6． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算等知识点，熟练掌握绝对值的意义以及有理数的加减运算法则是解本题的关键． 【变式5-3】（2023春·福建龙岩·七年级统考期中）已知a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数，已知m+a+b−n=0,则m+n的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．3或5 【答案】D 【分析】根据相反数的定义以及绝对值的定义可得a=−4，b=1，再根据非负数的性质解答即可． 【详解】解：∵a与4互为相反数，b的绝对值是最小的正整数， ∴a=−4,b=±1, ∵|m+a|+|b−n|=0, ∴|m−4|+|1−n|=0，或|m−4|+|−1−n|=0, 又∵|m−4|≥0,|1−n|≥0,或|m−4|≥0,|−1−n|≥0, ∴m−4=0,1−n=0,或m−4=0,−1−n=0 ∴m=4,n=1,或m=4,n=−1, ∴m+n=4+1=5,或m+n=4−1=3, ∴m+n的值为3或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相反数，绝对值的非负数性质，解题的关键是由条件求得a=−4,b=±1． 【题型6 应用有理数的加减运算解决实际问题】 【例6】（2023春·广东肇庆·七年级校考期中）足球训练中，为了训练球员快速抢断转身，教练设计了折返跑训练．教练在东西方向的足球场上画了一条直线插上不同的折返旗帜，如果约定向西为正，向东为负，练习一组的行驶记录如下（单位：米）：+20，−10，+30，−15，+10，−15，+15，−8，+16，−8． (1)球员最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ (2)球员在一组练习过程中，跑了多少米？ 【答案】(1)球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点27米； (2)球员在一组练习过程中，跑了147米． 【分析】（1）根据加法法则，将正数与正数相加，负数与负数相加，进而得出计算得结果； （2）利用绝对值的性质以及有理数加法法则求出即可． 【详解】（1）解： +20+−10++30+−15++10+−15++15+−8++16+−8=+35 (米) ． 答：球员最后到达的地方在出发点的正西方向，距出发点35米． （2）解：+20+−10++30+−15++10+−15++15+−8++16+−8 =147 (米) ． 答：球员在一组练习过程中，跑了147米． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算、绝对值的应用等知识点，熟练利用加法的运算法则进行运算是解题的关键． 【变式6-1】（2023春·山东济南·七年级统考期中）今年的“十•一”黄金周是7天的长假，某公园在7天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少） 若9月30日的游客人数为0.3万人，问： (1)10月5日的旅客人数为　 　万人； (2)七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多　 　万人？ (3)如果每万人带来的经济收入约为120万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1)0.8 (2)1.4 (3)1092万元 【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果； （2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果； （3）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以120即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意列得：0.3++1.7−0.5+0.3−0.7−0.3=0.8； 故答案为：0.8； （2）根据表格得：7天中旅客最多的是1日为2万人，最少的是7日为0.7万人， 则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多2−0.6=1.4（万人）； 故答案为：1.4； （3）10月1日有游客：0.3+1.7=2 （万）； 10月2日有游客：2−0.5=1.5（万） 10月3日有游客：1.5+0.3=1.8（万）； 10月4日有游客：1.8−0.7=1.1 （万） 10月5日有游客：1.1−0.3=0.8 （万）； 10月6日有游客：0.8+0.5=1.3 （万） 10月7日有游客：1.3−0.7=0.6 （万）； 黄金周七天游客：2+1.5+1.8+1.1+0.8+1.3+0.6=9.1（万） 120×9.1=1092（万元） 答：黄金周七天的旅游总收入约为1092万元． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键． 【变式6-2】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市第一初级中学校校考期末）2028年洛杉矶夏季奥运会将于7月14日开幕，这是洛杉矶历史第三次举办奥运会，假设开幕时间为2028年7月14日晚21时 (洛杉矶当地时间)开幕， 5个城市的国标标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么洛杉矶时间2028年7月27日21时应是（   ） A．北京时间2028年7月15日13时 B．巴黎时间2028年7月14日12时 C．伦敦时间2028年7月14日13时 D．汉城时间2028年7月15日6时 【答案】A 【分析】根据数轴以及一天有24小时，分别求出北京，巴黎，伦敦，汉城的时间，然后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、北京时间：21+8−−8=37， ∵一天有24小时， ∴37−24=13， ∴北京时间2012年7月15日13时，故本选项正确； B、巴黎时间：21+1−−8=30， ∵一天有24小时， ∴30−24=6， 巴黎时间为2012年7月15日6时，故本选项错误； C、伦敦时间：21+0−−8=29， ∵一天有24小时， ∴29−24=5， 伦敦时间为2012年7月15日5时，故本选项错误； D、汉城时间：21+9−−8=38， ∵一天有24小时， ∴38−24=14， ∴汉城时间2012年7月15日14时，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了数轴，根据数轴判断出各地与伦敦的时差是解题的关键，要注意一天24小时的限制． 【变式6-3】（2023春·全国·七年级期末）我国股市交易中，每买卖一次需付交易款的千分之七点五作为交易费用，某投资者以每股50元的价格买入某股票1 000股，下表为第一周内每日股票的涨跌情况(单位：元)： (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)本周内每股最高价为多少元？最低价是多少元？ (3)若该投资者在星期五收盘前将股票全部卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)53元； (2)每股最高价是53.5元，最低价是48.5元； (3)收益为242.5元． 【分析】（1）由题意可知：星期一比刚买的时候涨了2元，星期二比星期一涨了1.5元，星期三比星期二跌了0.5元，则周三收盘价表示为50+(+2)+(+1.5)+(−0.5)，然后计算即可； （2）周一每股的价格是：50+（+2）=52元，周二每股的价格是：52+（+1.5）=53.5元，周三每股的价格是：53.5+（-0.5）=53元，周四每股的价格是：53+（-4.5）=48.5元，周五每股的价格是：48.5+（+2.5）=51元；则星期二的收盘价为最高价，星期四的收盘价为最低价； （3）计算出以50元买进时的价钱，再计算本周五卖出时的价钱，用卖出时的价钱-买进时的价钱即为收益． 【详解】（1）解：星期三收盘时，每股的价格是50＋(＋2)＋(＋1.5)＋(－0.5)＝53(元)． （2）解：本周内每股最高价是50＋(＋2)＋(＋1.5)＝53.5(元)，最低价是50＋(＋2)＋(＋1.5)＋(－0.5)＋(－4.5)＝48.5(元)． （3）解：星期五每股卖出价为：50＋(＋2)＋(＋1.5)＋(－0.5)＋(－4.5)＋(＋2.5)＝51(元)， 其收益：51×1000×(1−7.51000)−50×1000−50×1000×7.51000=242.5(元)． 【点睛】本题考查了有理数的运算的应用，解题时根据图表找出它们之间的关系，列出算式计算比较即可，计算时一定要细心，认真，避免出错． 【题型7 有理数加减法中的新定义问题】 【例7】（2023春·全国·七年级期末）新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：f（−2）=−2−1=−3，f（−1）=−1−1=−2，f（0）=0−1=−1，f（1）=1−1=0，f（2）=2−1=1，…… 运算（二）：f(−13)=−3，f(−12)=−2，f(12)=2，f(13)=3，…… 利用以上规律计算： (1)f（10）= ___________，f（−10）= ___________，f(110)=___________，f(−110)=___________， (2)f(−2015)−f(−12016)=___________； (3)计算：f（−5）+f（−4）+f（−3）+f（−2）+f（−1）+f（0）+f（1）+f(−12)+f(−13)+f(−14)+f(−15) 【答案】(1)9，−11，10，−10 (2)0 (3)35 【分析】（1）根据运算（一）和运算（二）的新运算计算即可； （2）结合运算（一）和运算（二）的新运算将原式化简，然后根据有理数减法进行运算即可； （3）根据运算（一）和运算（二）的新运算结合有理数加法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：f（10）=10−1=9； f（−10）=−10−1=−11； f(110)=10； f(−110)=−10； 故答案为：9，−11，10，−10； （2）f(−2015)−f(−12016)=−2015−1−(−2016)=−2016+2016=0， 故答案为：0； （3）f（−5）+f（−4）+f（−3）+f（−2）+f（−1）+f（0）+f（1）+f(−12)+f(−13)+f(−14)+f(−15) =(−6)+(−5)+(−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+(−2)+(−3)+(−4)+(−5) =−35． 【点睛】本题考查了定义新运算，理解题意中的新运算，结合有理数加减运算法则进行计算是解本题的关键． 【变式7-1】（2023春·山东枣庄·七年级统考期中）现定义一种新的运算： a☆b=(a−b)−(a+b)，例如2☆3=(2−3)−(2+3)=−1−5=−6，你按以上方法计算5☆−3☆2=____． 【答案】8 【分析】根据新定义列出算式，先算出括号内的，再算括号外的，即可求得． 【详解】解：5☆−3☆2 =5☆[(−3)−2−(−3+2)] =5☆(−5+1) =5☆(−4) =(5+4)−(5−4) =9−1 =8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的加减运算，理解新定义运算是解决本题的关键 【变式7-2】（2023春·全国·七年级期末）定义“⊕”运算，例如： +2⊕+13=15,−17⊕−23=40； −2⊕+10=−12,+10⊕−2=−12； 0⊕+15=−15,−12⊕0=12． 观察上述运算，解答下列问题； (1)根据上述运算，归纳“⊕”运算的法则： 两数进行“⊕”运算时，同号______，异号______，并把绝对值______； 特别地，0与任何数进行“⊕”运算或任何数与0进行“⊕”运算都得这个数的______； (2)计算：−8⊕−12=______； (3)计算：−6⊕−10⊕0； (4)通过−2⊕+10=−12,+10⊕−2=−12发现“⊕”运算满足加法交换律，请举例说明“⊕”运算是否满足加法结合律． 【答案】(1)得正，得负，相加，相反数 (2)20 (3)−16 (4)见解析 【分析】（1）根据上述计算，归纳“⊕”运算的法则即可； （2）根据（1）中的法则进行计算即可； （3）根据（1）中的法则进行计算即可； （4）根据题意，举例说明即可． 【详解】（1）根据上述运算，归纳“⊕”运算的法则： 两数进行“⊕”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0与任何数进行“⊕”运算或任何数与0进行“⊕”运算都得这个数的相反数； 故答案为：得正，得负，相加，相反数； （2）计算：−8⊕−12=8+12=20． 故答案为：20； （3）计算：−6⊕−10⊕0 =−6⊕10 =−6+10 =−16； （4）−2⊕+10⊕3 =−12⊕3 =−15 所以[−2⊕+10]⊕3=−2⊕[+10⊕3]， 所以满足结合律． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，正确理解新定义的运算法则是解题的关键． 【变式7-3】（2023春·福建漳州·七年级统考期中）借助有理数的运算，对任意有理数a，b，定义一种新运算“⊕”，规则如下：a⊕b=|a+b|例如，2⊕(−1)=|2+(−1)|=1． （1）填空：①5⊕−2 ＝　 　；②3⊕x=4，则x＝　 　； （2）我们知道有理数加法运算具有结合律，即：(a+b)+c=a+(b+c)，请你探究这种新运算“⊕”是否也具有结合律？若具有，请说明理由；若不具有，请举一个反例说明． 【答案】（1）①3；②1或-7；（2）新运算“⊕”不具有结合律，理由见解析． 【分析】（1）①②根据a⊕b=|a+b|，可以求得所求式子的值； （2）先判断新运算“⊕”是否也具有结合律，然后说明理由或者举出反例即可． 【详解】解：（1）①∵a⊕b=|a+b|， ∴5⊕（-2） =|5+（-2）| =3； ②∵a⊕b=|a+b|， ∴3⊕x=|3+x|=4 ∴3+x=±4 ∴x1=1，x2=−7 ∴x的值为1或-7 故答案为：3，1或-7 （2）新运算“⊕”不具有结合律， 反例：∵（4⊕-5）⊕-5 =|4+（-5）|⊕-5 =1⊕-5 =|1+（-5）| =4， 4⊕（-5⊕-5） =4⊕|（-5）+（-5）| =4⊕10 =|4+10| =14， ∴（4⊕-5）⊕-5≠4⊕（-5⊕-5）， ∴新运算“⊕”不具有结合律． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【题型8 利用有理数的加减法解决数轴上两点间的距离问题】 【例8】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB=2BC，设点A、B、C所对应数的和为m． (1)若点C为原点，BC=1，则点A对应的数为____，点B对应的数为_____，m的值为______； (2)若点B为原点，AC=9，求m 的值； (3)若原点O到点C的距离为6，且OC=AB，直接写出m的值_____． 【答案】(1)−3、−1、−4 (2)−3 (3)6或−30 【分析】（1）根据点C为原点，BC=1，AB=2BC，可求的AC的长度，从而确定点A，B，C所对应的数及m的值即可； （2）当点B为原点时，由BC=13AC=3，AB=23AC=6，且点C位于B点右侧，点A位于B点左侧，从而确定点A，B，C所对应的数及m的值即可； （3）分原点在C点左侧或右侧两种情况，根据OC=AB，AB=2BC，确定点A，B，C所对应的数及m的值即可． 【详解】（1）解：当点C为原点时，则点C对应的数为0， ∵BC=1，且B点位于C点左侧， ∴点B对应的数为−1， 又∵AB=2BC=2， ∴AC=AB+BC=3，且点A位于点C的左侧， ∴点A对应的数为−3， ∴m=−3+(−1)+0=−4， 故答案为：−3、−1、−4； （2）解：当点B为原点时，点B对应的数为0， ∵AC=9，AB=2BC， ∴BC=13AC=3，AB=23AC=6，且点C位于B点右侧，点A位于B点左侧， ∴点A对应的数为−6，点C对应的数为3， ∴m=−6+0+3=−3； （3）解：∵原点O到点C的距离为6， ∴OC=6， ①当O点位于C点左侧，此时点C对应的数为6， ∵OC=AB，且AB=2BC， ∴AB=6，BC=3， ∴OB=OC−BC=6−3=3，即点B对应的数为3， ∴OA=AB−OB=6−3=3，即点A对应的数为−3， ∴m=−3+3+6=6； ②当O点位于C点右侧，此时点C对应的数为−6， ∵OC=AB，且AB=2BC， ∴AB=6，BC=3， ∴OB=OC+BC=6+3=9，即点B对应的数为−9， ∴OA=AB+OB=6+9=15，即点A对应的数为−15， ∴m=−15−9−6=−30； 综上，m的值为6或−30． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，线段的和差，利用数形结合和分类讨论思想解题是关键． 【变式8-1】（2023春·四川绵阳·七年级校考阶段练习）如图所示：如果数轴上点A在原点右边且到原点的距离为3，点B到原点的距离为5 (1)请你在数轴上标出这个两点，并写出点A、点B所表示的数； (2)直接写出点A与点B之间的距离 【答案】(1)图见解析，点A表示的数为3，点B表示的数为：5或−5； (2)2或8 【分析】（1）点A在原点右边且到原点的距离为3，得到点A表示的数为3，点B到原点的距离为5，得到点B表示的数为：5或−5； （2）分点B表示的数为：5或−5两种情况求出点A与点B之间的距离，即可． 【详解】（1）解：由题意，得：点A、点B在数轴上的位置，如图所示： 或： 点A表示的数为3，点B表示的数为：5或−5； （2）解：当点A表示的数为3，点B表示的数为：5时：AB=5−3=2； 当点A表示的数为3，点B表示的数为：−5时：AB=3−−5=8； 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，以及数轴上两点间的距离．根据题意，正确的表示出点在数轴上的位置，是解题的关键． 【变式8-2】（2023春·吉林长春·七年级统考期中）如图所示，在一条不完整的数轴上从左到右有点A、B、C，其中点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，设点A、B、C所对应的数的和是m，点A、B、C所对应的数的绝对值的和是n． (1)若以A为原点，则数轴上点B所表示的数是 ； (2)若以B为原点，则m＝ ，n＝ ； (3)若原点O在图中数轴上，且点B到原点O的距离为3，求m的值． 【答案】(1)4 (2)4，12 (3)m的值为−5或13 【分析】（1）根据点A到点B的距离为4，再由A为原点即可求出三个点所表示的数； （2）先根据点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，再由以B原点求出三个点所表示的数，从而求出m和n； （3）分两种情况：当O在B的左边时，当O在B的右边时，求出每种情况A、B、C对应的数，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵点A到点B的距离为4，A为原点， ∴数轴上点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）解：∵AB=4,BC=8,， ∴以B为原点，点A表示的数为−4，点C表示的数为8， ∴m=−4+0+8=4，n=|−4|+|0|+|8|=4+0+8=12， 故答案为：4，12； （3）解：∵点A到点B的距离为4，点B到点C的距离为8，点B到原点O的距离为3， ∴当O在B的左边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为−1、3、11， ∴m=−1+3+11=13， 当O在B的右边时，A、B、C三点在数轴上所对应的数分别为−7、−3、5， ∴m=−7−3+5=−5． 综上所述：m的值为−5或13． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离，绝对值的定义，以及有理数的加法，会确定A、B、C对应的数及分类讨论是解决问题的关键． 【变式8-3】（2023春·浙江嘉兴·七年级校考阶段练习）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的表示为距离AB=a−b，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示2和−1的两点之间的距离为________． (2)数轴上表示x和−1两点之间的距离为_____．若x表示一个有理数，且−4