2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）调研数学试卷（2月份）（含解析）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）调研数学试卷（2月份）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省武汉市汉阳区八年级（下）调研数学试卷（2月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 中国传统服装历史悠远，下列服装中，是轴对称的是(    )
A. 汉朝 B. 唐朝
C. 明朝 D. 清朝
2. 下列计算正确的是(    )
A. a3⋅a4=a12 B. (2a)2=2a2
C. (a3)2=a9 D. (−2×102)3=−8×106
3. 要使分式1x+2有意义，则x的取值应满足(    )
A. x=−2 B. x≠−2 C. x>−2 D. x<−2
4. 某种微粒的直径为0.00000508米，那么该微粒的直径用科学记数法可以表示为(    )
A. 0.508×10−7米 B. 5.08×10−7米 C. 50.8×10−7米 D. 5.08×10−6米
5. 图中的两个三角形全等，则∠α等于(    )
A. 50°
B. 55°
C. 60°
D. 65°
6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C(3,−1)，则点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为(    )
A. (3,1)，(−3,−1)
B. (−3,1)，(−3,−1)
C. (3,1)，(1,3)
D. (−3,−1)，(3,1)


7. 下列从左边到右边的变形是因式分解的是(    )
①15x2y=3x⋅5xy；
②(x+y)(x−y)=x2−y2；
③m2−2m+1=(m−1)2；
④x2−3x+1=x(x−3+1x).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
8. 下列式子中是分式的个数有(    )
①a+b3；②1+1a；③2π；④45b+c．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
9. 下列分式是最简分式的个数为(    )
①x+yx2+y2；②2mn3a2b；③x+2x2−4；④x−6x2−5x−6
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，三角形角平分线BE、CD交为O点.现有如下结论，其中正确结论的个数为(    )
①A点在BC所在直线的上方运动时，∠BOC的度数不变；②A点在BC所在直线的上方运动时，ODOE的值不变；③图中线段，总有ABAC=AEAD⋅BDCE成立；④若过O点作DE的垂线交DE于F，交BC于G点，如图2，则总有OG=2OF．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 1x+1−11−x= ______ ．
12. 如果关于x的方程axx−2+42−x=1无解，则a的值为______ ．
13. 如图，△ABC中，AB=AC=12，BC=5，分别以A，B为圆心，152为半径画弧交于两点，过这两点的直线交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为______ ．


14. 如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成)，其中已经涂黑了3个小等边三角形(阴影部分表示)，请你只涂黑一个小等边三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形，满足题意的涂色方式有______ 种.
15. 已知实数a、b、c满足a+b=ab=c，有下列结论：
①若c≠0，则1a+1b=1；
②若a=3，则b+c=9；
③若a=b=c，则abc=0；
④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8．
其中正确的是______ (把所有正确结论的序号都选上)．
16. 某校在一段时间核酸检测过程中，甲班的m个男生和11个女生的核酸总次数与乙班的9个男生和n个女生的核酸总次数相等，都是(m⋅n+9m+11n+145)次，已知每人的核酸次数相同，则每人的核酸次数为______ 次.
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
(1)计算2a2⋅a4+(a3)2−3a6；
(2)因式分解：3x3+12x2+12x．
18. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AB=AC，D为BA延长线上一点，AE//BC.求证：AE平分∠CAD．

19. (本小题8.0分)
(1)化简x2x−2+42−x；
(2)解方程xx−1−1=3(x−1)(x+2)．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：a2−2ab+b22a−2b÷(1b−1a)，其中a= 5+1，b= 5−1．
21. (本小题8.0分)
张明3小时清点完一批图书的一半，李强加入清点另一半图书的工作，两人合作65小时清点完另一半图书.如果李强单独清点这批图书需要几小时？
22. (本小题10.0分)
如图1，D为BA延长线上一点，∠CAD的角平分线交BC垂直平分线于点E，交BC延长线上一点F．

(1)作△AEC关于直线EF的轴对称图形△AEG；
(2)求证：∠BEC=∠BAC；
(3)如图2，P为线段EF(不与E、F点重合)上异于A点的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小关系，并说明理由．
23. (本小题10.0分)
问题呈现：通过整式乘法的学习，我们进一步了解了利用图形面积来说明法则、公式等的正确性的方法，例如利用图甲可以给予解释的一个公式为______ ；
问题解决：图乙中的△ABC是一个直角三角形，∠C=90°，人们很早就发现将图乙的直角三角形拼成图丙的正方形，会发现并找到a、b、c一个确定的数量关系，请你找到这个关系，并说明理由；
拓展应用：根据问题解决，下列几何图形中，可以正确的解释“问题解决”中直角三角形ABC三边a、b、c这一关系的图有______ (先将图序号填在横线上，然后选一种序号图说明理由)


24. (本小题12.0分)
已知，A为y轴正半轴上一动点，B(a,b)为第二象限内一动点，D(−a,−b)，E点为B点关于y轴的对称点，如图1．

(1)射线AE交x轴于C点，连接CD，如图2．
①直接写出线段AB、AC、CD间的数量关系为______ ；
②求证：AB/​/CD；
(2)在射线AE上取一点C，连接OC、CD，使∠AOC=120°，且OC刚好平分∠ACD，如图3．
①试探究线段AB、BD、CD、AC间的数量关系，并说明理由；
②若∠AOB=30°，则直接写出ACAB+BD+DC的值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：A、不是轴对称图形，故不合题意；
B、是轴对称图形，故符合题意；
C、不是轴对称图形，故不合题意；
D、不是轴对称图形，故不合题意；
故选：B．
直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案．
此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．

2.【答案】D 
【解析】解：(A)原式=a7，故A错误；
(B)原式=4a2，故B错误；
(C)原式=a6，故C错误；
故选：D．
根据同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方的运算法则即可求出答案．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

3.【答案】B 
【解析】解：由题意得：x+2≠0，
解得：x≠−2，
故选：B．
根据分式有意义的条件可得x+2≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．

4.【答案】D 
【解析】解：0.00000508米，那么该微粒的直径用科学记数法可以表示为5.08×10−6米，
故选：D．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5.【答案】B 
【解析】解：
∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴α=180°−60°−65°=55°，
故选：B．
由全等三角形的对应角相等可求得答案．
本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．

6.【答案】A 
【解析】解：∵在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点C(3,−1)，
∴点C关于x轴、y轴对称的点的坐标分别为(3,1)，(−3,−1)．
故选：A．
直接利用关于坐标轴对称点的性质得出点C关于x轴、y轴对称的点的坐标即可．
此题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，(1)关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．(2)关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．

7.【答案】A 
【解析】解：因式分解的概念是：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式．
①左边是单项式，②是整式乘法不是因式分解，④分解后有一个因式不是整式，只有③符合因式分解的变形．
故选：A．
根据因式分解的概念，按照“等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积”的特征判断即可．
本题考查因式分解的概念，按照特征准确判断即可．

8.【答案】B 
【解析】解：①a+b3不是分式；
②1+1a是分式；
③2π不是分式；
④45b+c是分式；
综上分式可知，分式有2个，故B正确．
故选：B．
根据分式的定义进行判断即可．
本题主要考查了分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式定义，一般地，如果A、B(B不等于零)表示两个整式，且B中含有字母，那么式子AB就叫做分式，其中A称为分子，B称为分母．

9.【答案】B 
【解析】解：①x+yx2+y2是最简分式；
②2mn3a2b是最简分式；
③x+2x2−4=x+2(x+2)(x−2)=1x−2，不是最简分式；
④x−6x2−5x−6=x−6(x−6)(x+1)=1x+1，不是最简分式；
综上分析可知，最简分式有2个，故B正确．
故选：B．
根据最简分式的定义进行判断即可．
本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握最简分式定义，分子、分母中没有公因式的分式是最简分式．

10.【答案】C 
【解析】解：①在△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，
∵BE、CD为角平分线，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)
=180°−12(∠ABC+∠ACB)
=180°−12×120°
=120°，
∴A点在BC所在直线的上方运动时，∠BOC的度数不变，故①正确；
②连接AO，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，如图所示：

∵点O为三角形角平分线BE、CD交点，
∴AO平分∠BAC，
∵OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG=OH，∠AGO=∠AHO=90°，
∵∠BAC=60°，
∴∠GOH=360°−90°−90°−60°=120°，
∵∠DOE=∠BOC=120°，
∴∠DOG+∠GOE=∠GOE+∠EOH=120°，
∴∠DOG=∠EOH，
在△DOG与△EOH中，
∠DOG=∠EOHOG=OH∠DGO=∠EHO，
∴△DOG≌△EOH(ASA)，
∴OD=OE，
∴ODOE=1，保持不变，故②正确；
③∵AO平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠BAO=∠CAO=12×60°=30°，
∵OD=OE，∠DOE=120°，
∴∠ODE=∠OED=12×(180°−120°)=30°，
∴∠BED=∠BAO=∠CDE=∠CAO=30°，
∵∠DBE=∠OBA，
∴△DBE∽△OBA，
∴BDBO=DEOA=BEAB，
同理可得：△DEC∽△AOC，
∴DEAO=DCAC=ECOC，
∴DCAC=BEAB=DEAO，
∴ABAC=BEDC，
∴ABAC=BEDC≠AEAD⋅BDCE，故③错误；
④根据解析②可知，OD=OE，∠DOE=120°，
∵OF⊥DE，
∴∠DOF=∠EOF=12×120°=60°，
∵∠OEF=180°−90°−60°=30°，
∴OE=2OF，
∵∠EOC=180°−∠BOC=60°，
∠COG=∠DOF=60°，
∴∠EOC=∠GOC，
∵∠ECO=∠GCO，CO=CO，
∴△COE≌COG，
∴OG=OE=2OF，故④正确；
综上分析可知，正确的有3个，故C正确．
故选：C．
①根据∠BAC=60°，BE、CD为角平分线，结合三角形内角和定理即可得出答案；
②连接AO，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，证明△DOG≌△EOH(ASA)，得出OD=OE，即可得出结论；
③证明△DBE∽△OBA，得出BDBO=DEOA=BEAB，△DEC∽△AOC，得出DEAO=DCAC=ECOC，得出ABAC=BEDC≠AEAD⋅BDCE，即可证明结论；
④根据含30度角的直角三角形性质证明OE=2OF，证明△COE≌COG，得出OG=OE=2OF即可．
本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法．

11.【答案】−2x1−x2 
【解析】解：1x+1−11−x
=1−x(1+x)(1−x)−1+x(1+x)(1−x)
=1−x−1−x(1+x)(1−x)
=−2x1−x2．
故答案为：−2x1−x2．
根据异分母分式加减运算法则进行计算即可．
本题主要考查了分式加减运算，解题的关键是熟练掌握异分母分式运算法则，准确计算．

12.【答案】1或2 
【解析】解：axx−2+42−x=1，
去分母得：ax−4=x−2，
整理得：(a−1)x=2，
∵该分式方程无解，
∴a−1=0或2a−1=2，
∴a=1或2．
故答案为：1或2．
根据方程无解得出其对应的整式方程的解是x=2或整式方程无解，即可求出a．
本题考查了分式方程的解，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．

13.【答案】17 
【解析】解：根据题意得，D在线段AB的垂直平分线上，
∴AD=BD，
∵△ABC中，AB=AC=12，BC=5，
∴△BCD的周长为：
BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=5+12=17．
故答案为：17．
根据题意，可得点D在线段AB的垂直平分线上，然后由线段垂直平分线的性质，证得AD=BD，可得△BCD的周长=BC+AC．
本题主要考查了线段垂直平分线的作图和性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图及线段垂直平分线的性质定理．

14.【答案】3 
【解析】解：如图所示，满足题意的涂色方式有3种，
故答案为：3．
对称轴的位置不同，结果不同，根据轴对称的性质进行作图即可．
本题主要考查了利用轴对称设计图案，等边三角形的性质，利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．

15.【答案】①③④ 
【解析】
【分析】
此题考查分式的混合运算，一元一次方程的运用，灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．
按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．
【解答】
解：①∵a+b=ab≠0，∴1a+1b=1，此选项正确；
②∵a=3，则3+b=3b，b=32，c=92，∴b+c=32+92=6，此选项错误；
③∵a=b=c，则2a=a2=a，∴a=0，abc=0，此选项正确；
④∵a、b、c中只有两个数相等，不妨a=b，则2a=a2，a=0，或a=2，
a=0不合题意，a=2，则b=2，c=4，∴a+b+c=8．
当a=c时，则b=0，不符合题意，b=c时，a=0，也不符合题意；
故只能是a=b=2，c=4；此选项正确，
其中正确的是①③④．
故答案为：①③④．  
16.【答案】25或37 
【解析】解：每人的核酸次数为x次，则：mx+11x=9x+nx，即m+11=9+n，
则有：m⋅n+9m+11n+145=(m+11)(n+9)+46，
∴m+11，n+9都整除46，则m=12n=14或m=35n=37，
当m=12n=14时，每人核酸次数为m⋅n+9m+11n+145m+11=12×14+9×12+11×14+14512+11=25；
当m=35n=37时，每人核酸次数为m⋅n+9m+11n+145m+11=35×37+9×35+11×37+14525+11=37．
综上，每人的核酸次数为25或37次．
故答案为：25或37．
由题意可得m+11=9+n，然后再将m⋅n+9m+11n+145化成(m+11)(n+9)+46，即m+11，n+9都整除46，然后运用列举法可得m=12n=14或m=35n=37，最后分两种情况求得核酸次数即可．
本题主要考查了整数的整除性，根据整除确定m、n的值是解答本题的关键．

17.【答案】解：(1)2a2⋅a4+(a3)2−3a6
=2a6+a6−3a6
=0；
(2)3x3+12x2+12x
=3x(x2+4x+4)
=3x(x+2)2． 
【解析】(1)先算单项式乘单项式，幂的乘方，再合并同类项即可求解；
(2)先提取公因式3x，再根据完全平方公式分解因式即可求解．
考查了单项式乘单项式，幂的乘方，合并同类项，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算．同时考查了因式分解−提公因式法和公式法的综合运用．

18.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AE//BC，
∴∠DAE=∠ABC，∠EAC=∠C，
∴∠DAE=∠EAC，
∴AE平分∠CAD． 
【解析】先证明∠B=∠C，再利用平行线的性质得到∠DAE=∠ABC，∠EAC=∠C，最后得到∠DAE=∠EAC，即可求证．
本题考查了等边对等角、平行线的性质和角平分线的定义等知识，解题关键是牢记相应的概念与性质．

19.【答案】解：(1)原式=x2−4x−2
=(x+2)(x−2)x−2
=x+2；
(2)xx−1−1=3(x−1)(x+2)，
x(x+2)−(x−1)(x+2)=3，
x2+2x−x2−x+2=3，
x=1，
检验：当x=1时，(x−1)(x+2)=0，
∴x=1不是该方程的解，
∴该分式方程无解． 
【解析】(1)根据分式的基本性质和因式分解的知识进行通分与约分即可．
(2)先将分式方程化为整式方程，再求解，最后检验即可．
本题考查了分式的化简与解分式方程，解题关键是掌握分式化简的方法与解分式方程的步骤．

20.【答案】解：原式=(a−b)22(a−b)⋅aba−b=ab2，
当a= 5+1，b= 5−1时，
原式=2． 
【解析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则化简后代入计算即可求出答案．

21.【答案】解：设李强单独清点这批图书需要x小时，
根据题意，得656+65x=12，
解得：x=4，
经检验x=4是原方程的根．
答：李强单独清点这批图书需要4小时． 
【解析】根据关键描述语是：“张明3小时清点完一批图书的一半”；等量关系为：“两人合作65小时清点完另一半图书”，依此列出方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式：工作总量=工作效率×工作时间．

22.【答案】(1)解：在AD上截取AG=AC，连接EG，则△AEG即为所求，如图所示：

∵AF平分∠CAD，
∴∠CAF=∠GAF，
∴180°−∠CAF=180°−∠GAF，
即∠EAC=∠EAG，
∵AC=AG，AE=AE，
∴△CAE≌△GAE(SAS)，
∴△AEG与△AEC关于直线EF对称；
(2)证明：根据解析(1)可知△CAE≌△GAE，
∴EG=EC，∠EGA=∠ECA，
∵点E在BC的垂直平分线上，
∴EB=EC，
∴EB=EG，
∴∠EBG=∠EGA，
∴∠ECA=∠EBA，
∵∠AHB=∠AHC，
∴180°−∠EBG−∠EHB=180°−∠AHC−∠BAC，
即∠BEC=∠BAC；

(3)解：PB+PC>AB+AC；理由如下：
在AD上截取AM=AC，连接PM，如图所示：

根据解析(1)可知，∠PAC=∠PAM，
∵AM=AC，AP=AP，
∴△PAC≌△PAM，
∴PM=PC，
∵PM+PB>BM，BM=AB+AM，
∴PB+PC>AB+AC． 
【解析】(1)根据AF平分∠CAD，在AD上截取AG=AC，连接EG，即可得出△AEG；
(2)根据△CAE≌△GAE，得出EG=EC，∠EGA=∠ECA，证明EB=EC，得出∠EBG=∠EGA，证明∠ECA=∠EBA，根据∠AHB=∠AHC，结合三角形内角和定理，即可证明结论；
(3)在AD上截取AM=AC，连接PM，证明△PAC≌△PAM，得出PM=PC，根据PM+PB>BM，BM=AB+AM，即可证明PB+PC>AB+AC．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，补角的性质，作轴对称图形，解题的关键是数形结合，三角形三边关系，熟练掌握三角形全等的判定方法．

23.【答案】(a+b)(a−b)=a2−b2  ①④⑤ 
【解析】解：问题呈现：根据长方形面积公式，图甲中长方形ABCD的面积可以表示为：(a+b)(a−b)，
图甲中长方形ABCD的面积可以用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2−b2，
∴(a+b)(a−b)=a2−b2，
∴利用图甲可以解释的一个公式为(a+b)(a−b)=a2−b2．
故答案为：(a+b)(a−b)=a2−b2．
问题解决：a、b、c一个确定的数量关系为：c2=a2+b2；理由如下：
图丙中大正方形的边长为c，则面积可以表示为：c2，
另外大正方形的面积可以用中间小正方形的面积加四周四个直角三角形的面积，
即(b−a)2+4×12ab=a2−2ab+b2−2ab=a2+b2，
∴c2=a2+b2；
拓展应用：①过点C作CD⊥AB于点D，如图所示：

∵S△ACE=12AE⋅AD=12c⋅AD，S△CBG=12BG⋅BD=12c⋅BD，
∴S△ACE+S△CBG=12c⋅AD+12c⋅BD=12c(AD+BD)=12c2，
∵∠CAF=∠BAE=90°，
∴∠CAF+∠BAC=∠BAE+∠BAC，
∴∠BAF=∠CAE，
∵AC=AF，AB=AE，
∴△CAE≌△FAB，
同理可得：△CBG≌△HBA，
∴S△CAE=S△FAB=12b2，S△CBG=S△HBA=12a2，
∴S△CAE+S△CBG=12a2+12b2，
∴12c2=12a2+12b2，
即c2=a2+b2，故①符合题意；
②大长方形的长为(a+b+c)，宽为c，则面积为c(a+b+c)，
另外，图中两个小长方形的面积为ac，bc，小正方形的边长为c，面积为c2，
即大长方形的面积可以表示为ac+bc+c2，
∴c(a+b+c)=ac+bc+c2，故②不符合题意；

③梯形的面积为c(c+a+b+c)2=12c(a+b+2c)，
另外，图中两个直角三角形的面积分别为12ac，12bc，小正方形的边长为c，面积为c2，
即图中梯形的面积可以表示为12ac+12bc+c2，
∴12c(a+b+2c)=12ac+12bc+c2，故③不符合题意；

④中间小正方形的边长为c，面积为c2，
另外，图中大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，四个直角三角形的面积为12ab，
即中间小正方形的面积可以表示为：
(a+b)2−4×12ab=a2+2ab+b2−2ab=a2+b2，
∴c2=a2+b2，故④符合题意；

⑤图中直角三角形的面积为12c2，
另外，图中梯形的面积为(a+b)22，两个直角三角形面积每个为12ab，
即图中直角三角形面积可以表示为：
(a+b)22−2×12ab=12a2+ab+12b2−ab=12a2+12b2，
∴12c2=12a2+12b2，
即c2=a2+b2，故⑤符合题意；

综上分析可知，可以正确的解释“问题解决”中直角三角形ABC三边a、b、c这一关系的图有①④⑤．
故答案为：①④⑤．
问题呈现：根据图形中面积关系可以得出答案；
问题解决：根据图丙大正方形面积的两种表示方法，可以得出答案；
拓展应用：根据图中的面积关系进行判断即可．
本题主要考查了勾股定理的图形证明，三角形全等的判定和性质，平方差公式的图形证明，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形、梯形、正方形、长方形的面积公式．

24.【答案】AC=AB+CD 
【解析】(1)①解：∵B(a,b)，E点为B点关于y轴的对称点，
∴E(−a,b)，AE=AB，
∵D(−a,−b)，E(−a,b)，
∴D、E关于x轴对称，
∴CE=CD，
∴AC=AE+CE=AB+CD，
即AC=AB+CD，
故答案为：AC=AB+CD；
②证明：∵E点为B点关于y轴的对称点，
∴∠BAO=∠CAO，
∵D、E关于x轴对称，
∴∠ACO=∠DCO，
∵∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BAO+∠DCO=∠CAO+∠BAO=90°，
∴∠BAC+∠DCA=90°+90°=180°，
∴AB/​/CD；
(2)解：①AC−AB−CD=12BD；理由如下：
连接OE，在AC上截取CF=CD，连接OF，如图所示：

∵OC平分∠ACD，
∴∠DCO=∠FCO，
∵OC=OC，CD=CF，
∴△DCO≌△FCO，
∴OF=OD，∠COD=∠COF，DC=FC，
∵E点为B点关于y轴的对称点，
∴∠AOB=∠AOE，AE=AB，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOB+∠DOC=180°−∠AOC=60°，
∴∠AOE+∠COF=∠AOB+∠DOC=60°，
∴∠EOF=∠AOC−(∠AOE+∠COF)=60°，
∵B(a,b)，D(−a,−b)，
∴B、D关于原点对称，
∴OB=OD，
∴OE=OF，
∴△OEF为等边三角形，
∴OE=OF=EF，
∴AC−AE−CF=EF=OE=OB=12BD，
即AC−AB−CD=12BD；
②∵△OEF为等边三角形，
∴∠OEF=∠EOF=∠EFO=60°，
∵∠AOE=∠AOB=30°，
∴∠OAE=∠OEF−∠AOE=30°，
∴∠AOE=∠OAE=30°，
∴AE=OE，
∵EF=OE=OF，AE=AB，OB=OE，
∴AB=AE=OE=OB=EF=OF，
∵∠AOC=120°，
∴∠FOC=∠AOC−∠AOE−∠EOF=30°，
∴∠FCO=∠EFO−∠FOC=60°−30°=30°，
∴∠FOC=∠FCO，
∴OF=CF，
∵CD=CF，
∴CD=OF，
∴AB=AE=EF=CF=CD=12BD，
∴AC=3AB，AB+CD+BD=4AB，
∴ACAB+BD+DC=3AB4AB=34．
(1)①根据对称性得出AE=AB，CE=CD，即可证明结论；
②根据对称性得出∠BAO=∠CAO，∠ACO=∠DCO，根据∠CAO+∠ACO=90°，得出∠BAC+∠DCA=90°+90°=180°，根据平行线的判定方法即可得出结论；
(2)①连接OE，在AC上截取CF=CD，连接OF，证明△DCO≌△FCO，得出OF=OD，∠COD=∠COF，DC=FC，根据对称性得出∠AOB=∠AOE，AE=AB，证明△OEF为等边三角形，得出OE=OF=EF，根据AC−AE−CF=EF=OE=OB=12BD，即可得出结论；
②证明∠AOE=∠OAE=30°，得出AE=OE，求出AB=AE=OE=OB=EF=OF，证明∠FOC=∠FCO，得出OF=CF，证明AB=AE=EF=CF=CD=12BD，求出AC=3AB，AB+CD+BD=4AB，即可得出结果．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质和等腰三角形的判定和性质．