湖北省武汉市东西湖区为明学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

湖北省武汉市东西湖区为明学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 二次根式有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数中，以、、为边的三角形不是直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 下列二次根式中，化简后不能与进行合并的是

A.  B.  C.  D.

5. 如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部处，旗杆折断之前的高度是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，以点为圆心，以的长为半径画弧，交轴的负半轴于点，则点的横坐标介于

A. 和之间
B. 和之间
C. 和之间
D. 和之间

7. 如图，在的正方形网格中，从在格点上的点，，，中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为

A.
B.
C.
D.

8. 如图，正方体的棱长为，为一条棱的中点．已知蚂蚁沿正方体的表面从点出发，到达点，则它运动的最短路程为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，已知点，，点在轴上，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第个，第个，第个，，则第个等边三角形的边长等于

A.  B.  C.  D.

10. 如图，以直角三角形、、为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足图形个数有   

1. 
    B.  C.  D.

二．填空题（本题共6小题，共18分）

11. 已知，则的近似值为______．
12. 已知是一个整数，则满足条件的正整数的最小值为______．
13. 实数，在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______．

14. 如图，七个正方形如此排列，相邻两个正方形都有公共顶点，数字字母代表各自正方形面积．则______．

15. 已知在中，，，，则的面积______．
16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形边长为，点，，均为格点，以点为圆心，长为半径作弧，交格线于点，则的长为______．
    
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共7小题，共64分）

18. 如图，，，，求及．

19. 若，是实数，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，点，，，均在格点上，请在此网格中仅用无刻度的直尺画图保留连线痕迹．
    在图中找格点，使且；
    点在以为圆心、为半径的圆上运动，则点在运动的过程中，与点最远的距离是______；
    请以为斜边，在直线左侧画出等腰直角三形．

21. 如图所示，在离水面高度米的岸上有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为米，此人以每秒米的速度收绳．问：
    未开始收绳的时候，图中船距岸的长度是多少米？
    收绳秒后船向岸边移动了多少米？结果保留根号
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在四边形中，，点为的中点，交于点，，，．
    求的度数．
    求的长．

23. 已知：是等腰直角三角形，动点在斜边所在的直线上，以为直角边作等腰直角三角形，其中，探究并解决下列问题：
    如图，若点在线段上，且，，则：
    线段______，______；
    猜想：，，三者之间的数量关系为______；
    如图，若点在的延长线上，在中所猜想的结论仍然成立，请你利用图给出证明过程；
    若动点满足，求的值．提示：请利用备用图进行探求 

24. 如图，在矩形中，，，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点的运动时间为．
    
    当时．
    如图当点落在上时，显然是直角三角形，求此时的值；
    当点不落在上时，请直接写出是直角三角形时的值；
    若直线与直线相交于点，且当时，问：当时，的大小是否发生变化，若不变，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：由题意得，
解得，，
故选：．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：、原式，所以选项错误；
B、原式，所以选项错误；
C、原式，所以选项正确；
D、原式，所以选项错误．
故选：．
利用二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

3.【答案】

【解析】

解：、因为，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
B、因为，能构成直角三角形，此选项不符合题意；
C、因为，不能构成直角三角形，此选项符合题意；
D、因为，能构成直角三角形，此选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

4.【答案】

【解析】

解：、能与进行合并，故A不符合题意；
B、能与进行合并，故B不符合题意；
C、不能与进行合并，故C符合题意；
D、能与进行合并，故D不符合题意；
故选：．
根据二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式可以合并，可得答案．
此题主要考查了二次根式的化简，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式可以合并．
 

5.【答案】

【解析】

解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为，
所以旗杆折断之前高度为．
故选D．
图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．
本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
 

6.【答案】

【解析】

解：点坐标为，
，
点、均在以点为圆心，以为半径的圆上，
，
，
．
点在轴的负半轴上，
点的横坐标介于和之间．
故选：．
先根据勾股定理求出的长，由于，故估算出的长，再根据点在轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出的长是解答此题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：连接、、、、、，

设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，，，，
，，，
、、是直角三角形，共个直角三角形，
故选：．
先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

8.【答案】

【解析】

解：如图，它运动的最短路程，
故选：．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出路径长，
本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出．
 

9.【答案】

【解析】

解：如图，点，，
．
，
，．
而为等边三角形，，
，则．
在中，．
同理得：，
依此类推，第个等边三角形的边长等于，
第个等边三角形的边长．
故选：．
根据题目已知条件可推出，，，依此类推，第个等边三角形的边长等于．
本题主要考查等边三角形的性质及解直角三角形，从而归纳出边长的规律．
 

10.【答案】

【解析】

【解答】
解：，，，
，
，
．
，，，
，
，
．
，，，
，
，
．
，，，
，
．
综上可得，面积关系满足图形有个．
故选D．
【分析】
此题主要考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是要明确：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．此题还考查了等腰直角三角形、等边三角形、圆以及正方形的面积的求法，要熟练掌握．
根据直角三角形、、为边，应用勾股定理，可得．
第一个图形中，首先根据等边三角形的面积的求法，表示出个三角形的面积；然后根据，可得．
第二个图形中，首先根据圆的面积的求法，表示出个半圆的面积；然后根据，可得．
第三个图形中，首先根据等腰直角三角形的面积的求法，表示出个等腰直角三角形的面积；然后根据，可得．
第四个图形中，首先根据正方形的面积的求法，表示出个正方形的面积；然后根据，可得．  

11.【答案】

【解析】

解：原式．
，
原式．
故答案为：．
先化简，再把近似值代入求解即可．
本题考查了二次根式的化简，把式子化为最简二次根式是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：，是一个整数，
是完全平方数，
正整数的最小值是．
故答案为：．
先把化简成，再根据是整数分析最小正整数的值即可．
此题主要考查二次根式的定义和化简，有一定难度，考生需重点关注到是整数以及是求的最小正整数值．同时，熟练掌握二次根式的定义和化简方法，也是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：由数轴可得，，，，
原式


，
故答案为：．
依据数轴即可得到，，，根据二次根式的性质化简即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质．
 

14.【答案】

【解析】

解：观察发现，
，，
，，
，
≌，
，
，
，
即，
同理．
则．
故答案为：．
运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．
本题考查了全等三角形的判定以及性质、勾股定理．发现两个小正方形的面积和正好是之间的正方形的面积是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：作，垂足为点．
在中，
，，
，，
在中，
，
，
，
．
作，垂足为点，在中，利用先求出及的长，然后在中利用勾股定理求出的长，从而根据三角形的面积可得出答案．
本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到球线段的长度及线段的长度上来．
 

16.【答案】

【解析】

解：连接，，如图所示：
，
，
．
故答案为：．
由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可得出的长．
本题考查了勾股定理，由勾股定理求出，是解决问题的关键．
 

17.【答案】

解：原式
；
原式
．
 

【解析】

原式化简后，去括号合并即可得到结果；
原式化简后，合并即可得到结果．
此题考查了实数的运算，二次根式性质，熟练掌握运算法则及二次根式性质是解本题的关键．
 

18.【答案】

解：延长，过点作交于点，
，
，
，
，
，
，，
，
．
 

【解析】

延长，过点作交于点，首先根据邻补角互补计算出，再计算出，根据直角三角形的性质可得，然后利用勾股定理计算长，再计算出长，最后利用的面积减去的面积可得．
此题主要考查了勾股定理，关键是正确作出辅助线，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

19.【答案】

解：根据题意，与互为相反数，
则，
故，
所以．
故的值为．
 

【解析】

首先根据二次根式的定义即可确定的值，进而求出的取值范围，再根据绝对值的性质即可得出的值．
本题主要考查了二次根式的意义和性质及绝对值的性质．二次根式的概念：式子叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是．
 

20.【答案】

【解析】

解：如图，点即为所求；
如图点即为所求，点最远的距离，
故答案为：；
如图，即为所求．

利用勾股定理，数形结合的思想画出图形即可；
连接，延长交于点，点即为所求；
取点，，连接，交于点，即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】

解：在中，
米，
所以船距岸的长度是米．
设秒后船移动到点，在中，
米，
米，
米，
所以，收绳秒船向岸边移动了米．
 

【解析】

在中，利用勾股定理求得线段的长即可
在中，利用勾股定理求得线段的长后即可求得线段的长．
本题考查勾股定理的应用，解题的关键是从几何图形中整理出直角三角形并利用勾股定理正确的求解．
 

22.【答案】

解：连接，作于，如图所示：
则，
点为的中点，，
，，
，
，，，
，
是直角三角形，，
；
由可得：，
，，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：．
 

【解析】

连接，作于，由线段垂直平分线的性质得出，，得出，由直角三角形的性质得出，，证出是直角三角形，，易得答案；
由可以得出，得出，，求出，在中，由勾股定理即可得出结果．
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键．
 

23.【答案】

，；
  ；
如图：过点作，垂足为．

为等腰直角三角形，，
．
，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
．
为等腰直角三角形，
．
．

如图：过点作，垂足为．

当点位于点处时．
，
．
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
当点位于点处时．
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的比值为或．
 

【解析】

解：如图：

是等腰直直角三角形，
，
，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
≌．
，．
为直角三角形．
．
．
故答案为：，；
如图．
为等腰直角三角形，，
．
，
，
在中，由勾股定理可知：，
．
为等腰直角三角形，
．


如图：过点作，垂足为．

为等腰直角三角形，，
．
，
，
，
在中，由勾股定理可知：，
．
为等腰直角三角形，
．
．

如图：过点作，垂足为．

当点位于点处时．
，
．
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
当点位于点处时．
，
．
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
．
综上所述，的比值为或．
在等腰直角三角形中，由勾股定理先求得的长，然后根据的长，可求得的长；过点作，垂足为，从而可求得、的长，然后在三角形中依据勾股定理可求得的长；为等腰直角三角形，，从而可求得：，然后根据，，可证明，因为在中，，所以可得出的结论；
过点作，垂足为，则，，可证明，因为在中，，所以可得出的结论；
根据点所在的位置画出图形，然后依据题目中的比值关系求得的长用含有的式子表示，然后在和中由勾股定理求得和的长度即可．
本题主要考查的是等腰直角三角形的性质和勾股定理的应用，根据等腰直角三角形的性质证得：，将、、、、用含的式子表示出来是解题的关键．
 

24.【答案】

如图中，四边形是矩形，
，
，
翻折，，
，，
在中，，
，
；

如图中，当，在上时，

四边形是矩形，
，，，
，
，
在中，，
，
；
如图中，当，在的延长线上时，

在中，，
，
在中，则有：，
解得；
如图中，当时，

，，
四边形为正方形，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或或；

当时，如图中，

，
，，
又关于直线的对称，
，，
又，，
≌，
，即四边形是正方形；
当时，如图中，

设，
，
，
，，
≌，
，
作关于直线的对称，
，
，
，
．
 

【解析】

利用勾股定理求出，由∽，推出，即可解决问题．
分三种情形分别求解即可，如图中，当时．如图中，当时．如图中，当时．
如图中，首先证明四边形是正方形，如图中，利用全等三角形的性质，翻折不变性即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．