第02讲 等差数列及其前n项和 (讲义）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc19037" 第一部分：知识点必背 PAGEREF _Tc19037 \h 1
\l "_Tc29583" 第二部分：高考真题回归 PAGEREF _Tc29583 \h 2
\l "_Tc26295" 第三部分：高频考点一遍过 PAGEREF _Tc26295 \h 7
\l "_Tc508" 高频考点一：等差数列基本量的运算 PAGEREF _Tc508 \h 7
\l "_Tc20260" 高频考点二：等差数列的判断与证明 PAGEREF _Tc20260 \h 8
\l "_Tc21303" 角度1：定义法证明或判断 PAGEREF _Tc21303 \h 8
\l "_Tc27408" 角度2：等差中项法证明或判断 PAGEREF _Tc27408 \h 9
\l "_Tc17214" 高频考点三：等差数列的性质 PAGEREF _Tc17214 \h 12
\l "_Tc30648" 高频考点四：等差数列的单调性 PAGEREF _Tc30648 \h 15
\l "_Tc3756" 高频考点五：等差数列的前项和 PAGEREF _Tc3756 \h 17
\l "_Tc10837" 角度1：等差数列的项和的基本量计算 PAGEREF _Tc10837 \h 17
\l "_Tc31931" 角度2：含绝对值的等差数列的项和 PAGEREF _Tc31931 \h 18
\l "_Tc149" 角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和 PAGEREF _Tc149 \h 19
\l "_Tc593" 高频考点六：等差数列的前项和的性质 PAGEREF _Tc593 \h 23
\l "_Tc6643" 角度1：等差数列的片段和性质 PAGEREF _Tc6643 \h 23
\l "_Tc28290" 角度2：两个等差数列前项和的比的问题 PAGEREF _Tc28290 \h 24
\l "_Tc2214" 高频考点七：等差数列的前项和的函数特征 PAGEREF _Tc2214 \h 27
\l "_Tc29749" 角度1：等差数列的前项和的最值问题 PAGEREF _Tc29749 \h 27
\l "_Tc16198" 角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数 PAGEREF _Tc16198 \h 29
\l "_Tc16839" 第四部分：数学文化题 PAGEREF _Tc16839 \h 32
\l "_Tc10328" 第五部分：高考新题型 PAGEREF _Tc10328 \h 37
\l "_Tc7900" 角度1：开放性试题 PAGEREF _Tc7900 \h 37
\l "_Tc8020" 角度2：探究性试题 PAGEREF _Tc8020 \h 38
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第一部分：知识点必背
1.等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
2.等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
3.等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
4.等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
第二部分：高考真题回归
1．（2021·北京·统考高考真题）已知是各项均为整数的递增数列，且，若，则的最大值为（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【详解】若要使n尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，
不妨设数列是首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为，
则，，
所以.
对于，，
取数列各项为(，,
则，
所以n的最大值为11．
故选：C．
2．（2022·全国·统考高考真题）记为等差数列的前项和．若，则公差_______．
【答案】2
【详解】由可得，化简得，
即，解得.
故答案为：2.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．
(1)若，求；
(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又，
所以，
所以，
所以，
（2）因为，，成等比数列，
所以，
，
，
由已知方程的判别式大于等于0，
所以，
所以对于任意的恒成立，
所以对于任意的恒成立，
当时，，
当时，由，可得
当时，，
又
所以
4．（2021·全国（新高考Ⅱ卷）·统考高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
5．（2021·全国（乙卷理）·统考高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【详解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
[方法二]【最优解】：
由已知条件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因为，所以，所以．
在中，当时，．
故数列是以为首项，为公差的等差数列．
[方法四]：数学归纳法
由已知，得，，，，猜想数列是以为首项，为公差的等差数列，且．
下面用数学归纳法证明．
当时显然成立．
假设当时成立，即．
那么当时，．
综上，猜想对任意的都成立．
即数列是以为首项，为公差的等差数列．
（2）
由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：等差数列基本量的运算
典型例题
例题1．（2023春·贵州·高二校联考期中）已知等差数列的前8项和为68，，则（ ）
A．300B．298C．295D．296
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，
因为等差数列的前8项和为，可得，
即，即，
又由，可得，
联立方程组，解得，
所以.
故选：C.
例题2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列{an}中，，，试判断153是不是这个数列的项，如果是，是第几项？
【答案】45
【详解】由题意得，解得，
令，得,
所以153是这个数列的第45项.
练透核心考点
1．（2023春·高二课时练习）在数列中，，，则的值为（ ）
A．96B．98C．100D．102
【答案】D
【详解】因为，可得数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
故选：D.
2．（2023春·山西·高三校联考阶段练习）记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．30B．28C．26D．13
【答案】C
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
则，，，
所以.
故选：C
高频考点二：等差数列的判断与证明
角度1：定义法证明或判断
典型例题
例题1．（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）数列中，，且 ，则这个数列的前20项的和为（ ）
A．495B．765C．450D．120
【答案】C
【详解】因为在数列中，，且 ，即
所以数列 是首项为，公差为3的等差数列，
数列的前项和.
故选：C.
例题2．（2023春·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考阶段练习）已知数列满足，，的通项公式为_________
【答案】
【详解】由可得，即，
从而数列是以为首项，公差的等差数列，
故，即的通项公式为
故答案为：
例题3．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知数列中，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，，所以，即，
所以，即数列是首项为1，公差为3的等差数列.
（2）由（1）可知，数列是首项为1，公差为3的等差数列，
所以，所以.
角度2：等差中项法证明或判断
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期中）已知数列满足：.
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）
所以数列是等差数列，
设其公差为，则，
.
所以数列的通项公式为.
例题2．（2023春·江西·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且满足，..
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，为等差数列，设公差为，
又，，
；
角度3：通项公式形如的形式
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）判断下列数列是否为等差数列：
(1)；
(2).
【答案】(1)是等差数列
(2)不是等差数列
【详解】（1）因为，是常数，
所以数列{a}是以为公差的等差数列．
（2）因为，不是常数，
所以数列{a}不是等差数列．
角度4：前项和形如的形式
典型例题
例题1．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
【答案】(1)，
【详解】（1）因为①，
所以时，②，
由①②相减，可得，，
当时，，满足，
故的通项公式为，．
例题2．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列的前n项和为，且．
(1)求及数列的通项公式；
(2)求的最小值及对应的的值．
【答案】(1)，
(2)，n＝8或n＝9
【详解】（1）由等差数列的前n项和公式可知，所以k＝0，
即，所以，
当时，．
当n＝1时也符合上式，故．
（2）由（1）可得，所以是关于n的二次函数，
又，所以当n＝8或n＝9时，取得最小值，故．
练透核心考点二
1．（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知数列的前项和为，且，，则（ ）
A．是等差数列B．是等比数列C．是递增数列D．是递减数列
【答案】AD
【详解】解：因为，所以，又，
所以是由为首项，为公差的等差数列，
因为公差小于，所以是递减数列；
故选：AD
2．（2023·全国·高三专题练习）已知，则______．
【答案】100
【详解】由可知是一个等差数列，且公差为，首项为19，
所以，
故答案为：100
3．（2023春·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）已如数列的前项和为，，当时，．
(1)证明数列为等差数列，并求；
(2)求数列的前项和为．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）解：当时，由，得，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．
所以，即．
（2）解：由（1）知，
所以，①
所以，②
①②得
，
所以．
4．（2023秋·陕西西安·高二西安市远东一中校考期末）已知数列的前n项和为，且．
(1)求的通项公式；
【答案】(1)
【详解】（1）解：当时，．
当时，，
所以，
因为也满足，
所以通项公式为．
高频考点三：等差数列的性质
典型例题
例题1．（2023春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）设等差数列的前项和为，且，．则（ ）
A．29B．32C．35D．38
【答案】B
【详解】因为数列为等差数列，则，
可得，
设等差数列的公差为，可得，
所以.
故选：B.
例题2．（多选）（2023春·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期中）已知首项为的等差数列的前项和为，公差为，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【详解】对于A：因为，所以，
则，解得，故A正确；
对于B：，则，故B错误；
对于C：因为，所以数列为递增数列，
因为，，即数列的前8项为负数，从第9项开始，都为正数，
则，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选：AC
例题3．（2023春·高二课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.
【答案】3
【详解】由是方程的根得＝3.
又数列为等差数列，∴＝＝3.
故答案为：3
例题4．（2023·青海西宁·统考二模）已知为等差数列的前项和.若，，则当取最大值时，的值为___________.
【答案】6
【详解】因为，
所以，又，
所以0，所以，则，
故答案为：6.
练透核心考点三
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）在项数为的等差数列中，其前项的和为，最后项的和为，所有项的和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设等差数列的前项和为，则，
由等差数列的性质可得，
所以，，
所以，，解得.
故选：B.
2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列中，，则（ ）
A．30B．15C．5D．10
【答案】B
【详解】∵数列为等差数列，，所以
∴.
故选：B
3．（2023春·广东广州·高二广东华侨中学校考期中）若前项和为的等差数列满足，则（ ）
A．46B．48C．50D．52
【答案】C
【详解】由，有，
根据等差数量性质可知，
所以，故，
所以，
所以.
故选：C.
4．（多选）（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）等差数列的前n项和记为，若，，则成立的是（ ）
A．B．
C．的最大值是D．当且仅当时，
【答案】BC
【详解】因为，所以，即，又，所以，故A错；
因为，所以数列为递减数列，又，所以，，的最大值为，故BC正确；
，故D错.
故选：BC.
高频考点四：等差数列的单调性
典型例题
例题1．（2023·全国·高三专题练习）设为等差数列的前项和，且，都有，若，则（ ）
A．的最小值是B．的最小值是
C．的最大值是D．的最大值是
【答案】C
【详解】由得，∴数列为递减的等差数列，
∵，∴，，
∴当且时，，当且时，，
∴有最大值，最大值为.
故选：C.
例题2．（多选）（2023秋·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考期末）已知是等差数列的前项和，且，，则（ ）
A．数列为递增数列B．数列为递减数列
C．D．
【答案】BC
【详解】由题设，，而，
∴，则，则为递减数列，A错误，B正确；
，，C正确，D错误.
故选：BC.
例题3．（2023春·高二课时练习）设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________.
【答案】 6 13
【详解】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.
故答案为：6；13．
练透核心考点
1．（2023·高二课时练习）等差数列是递增数列，且公差为，满足，前项和为，下列选项错误的是（ ）
A．B．
C．当时最小D．时的最小值为
【答案】C
【详解】对于A选项，因为等差数列是递增数列，则，A对；
对于B选项，因为，即，可得，B对；
对于C选项，，
所以，当或时，最小，C错；
对于D选项，，因为，解得，故时的最小值为，D对.
故选：C.
2．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，
即“”“数列为单调递增数列”；
若等差数列为单调递增数列，则，
即“”“数列为单调递增数列”.
因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，，，当取最大值时的值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【详解】，所以，
又，故，故公差，
所以是递减数列，前9项为正，其余项为负，即时，取最大值.
故选：C.
高频考点五：等差数列的前项和
角度1：等差数列的项和的基本量计算
典型例题
例题1．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．44B．48C．55D．72
【答案】A
【详解】设的公差为d，则，即，
则，
故选：A.
例题2．（2023春·北京·高二北京市第一六六中学校考期中）等差数列中，公差，，则当前项和最大时，________
【答案】或
【详解】等差数列中，公差，，
所以，解得，
所以，
当前项和最大时，或，
故答案为：或.
例题3．（2023·上海·高三专题练习）若数列为等差数列，且，，则该数列的前项和为_________．
【答案】
【详解】由题意数列为等差数列，且，，
设数列公差为d，则，解得，
故，
故答案为：
角度2：含绝对值的等差数列的项和
典型例题
例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知在前项和为的等差数列中，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前20项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，则，
由，则，
所以，即，故，
则.
（2）由（1）知：，可得，即，故时，
所以.
例题2．（2023·高二课时练习）已知数列的前项和是，
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
当时，
把代入上式，满足题意.
数列的通项公式.
（2）数列的首项为正，是一个递减数列，先正后负，
令，则数列前34为正，后面的项全为负，
设数列的前项和为，则当，，
当时，
数列的前项和为
角度3：等差数列的奇数项（偶数项）的和
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）已知某等差数列的项数为奇数，前三项与最后三项这六项之和为，所有奇数项的和为，则这个数列的项数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由已知，，
所以，
所有奇数项的和为，
于是可得.
故选：A.
例题2．（2023春·高二课时练习）等差数列共有项，所有的奇数项之和为，所有的偶数项之和为，则等于________．
【答案】
【详解】因为等差数列共有项，
所有奇数项之和为，
所有偶数项之和为，
所以，，解得.
故答案为：.
例题3．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前项和为377，项数为奇数，且前项中，奇数项的和与偶数项的和之比为7:6，则中间项为________．
【答案】29
【详解】因为为奇数，所以，解得．
所以，所以．故所求的中间项为29．
故答案为：29
练透核心考点五
1．（2023秋·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列的前项和为.若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得：，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
故选：C.
2．（2023春·新疆伊犁·高二奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．
【答案】666
【详解】设等差数列的公差为，
则由得，解得，
又，所以，由可得，
所以.
故答案为：666.
3．（2023·高二课时练习）在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于（ ）
A．9B．10
C．11D．12
【答案】B
【详解】分别设该数列奇数项和与偶数项和分别为
∴，∴，∴n＝10，
故选:B.
4．（2023·全国·高二专题练习）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故
，
，
故选：B.
5．（2023·高二课时练习）一个等差数列共有10项，其中奇数项的和为，偶数项的和为15，则这个数列的第6项是______．
【答案】3
【详解】设等差数列公差为d，则由奇数项的和为，偶数项的和为15，
得，，
解得，，所以，
故这个数列的第6项是3，
故答案为：3．
6．（2023春·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知在等差数列中，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前项和，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，
所以，.
（2）解：.
因此，.
7．（2023·高二课时练习）在等差数列中，，，求数列的前n项和．
【答案】
【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，．
所以．
由得，即数列的前5项为正，其余各项为负．
数列的前n项和．
所以当时，；
当时，
，
即．
高频考点六：等差数列的前项和的性质
角度1：等差数列的片段和性质
典型例题
例题1．（2023春·高二课时练习）等差数列前项的和为，前项的和为，则它的前项的和为（ ）
A．130B．170C．210D．260
【答案】C
【详解】利用等差数列的性质：成等差数列，
所以，即，解得.
故选：C.
例题2．（2023春·高二课时练习）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由等差数列的性质可知、、、成等差数列，
∵，即，，
∴，，∴，，
∴.
故选：A.
例题3．（2023秋·广东河源·高二龙川县第一中学校考期末）记为等差数列的前项和．若，，则______．
【答案】
【详解】由等差数列片段和的性质可知，、、成等差数列，
所以，，即，解得.
故答案为：.
角度2：两个等差数列前项和的比的问题
典型例题
例题1．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）等差数列的前项和分别为，且，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】B
【详解】∵，
∴由等差数列的性质及等差数列的求和公式可得，
.
故选：B.
例题2．（2023·陕西咸阳·统考三模）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】即，又等差数列的前项和形式满足，
故.则，
故.
故选：A
例题3．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则__________．
【答案】
【详解】两个等差数列和的前项和分别为和，且，
故设，
则，
,
所以，
故答案为：
练透核心考点六
1．（2023春·福建莆田·高二莆田第十中学校考阶段练习）设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A．9B．11C．13D．25
【答案】B
【详解】设公差为，，
因为，
，
所以，
故选:B.
2．（2023春·广东梅州·高二丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（ ）
A．70B．90C．100D．120
【答案】D
【详解】在等差数列中，成等差数列，
所以，则，即.
故选：D.
3．（2023春·高二课时练习）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为和是等差数列,故
故选:C
4．（2023春·广东佛山·高二佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）已知两个等差数列{}和}的前n项和分别为和，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】因等差数列前n项和为关于n的不含常数项的二次函数，又，
则可设，，则.
故选：A
5．（2023春·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________
【答案】
【详解】由题设成等差数列，
所以，则，
所以.
故答案为：
6．（2023春·湖北·高二校联考期中）设等差数列，的前项和分别为，，若，则________．
【答案】
【详解】因为，
所以
.
故答案为：
高频考点七：等差数列的前项和的函数特征
角度1：等差数列的前项和的最值问题
典型例题
例题1．（2023春·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考期中）已知数列满足，且，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由得，
则，有，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，则，
，
令，，
所以数列是等差数列，，对称轴，
由的最大值仅为可得
解得．
故选：B．
例题2．（2023春·江西赣州·高二统考期中）已知等差数列的前项和为，，若时，最小，则=___________.
【答案】
【详解】解法一：因为，所以当，时，，
当，时，，
，
所以，最小，即.
解法二：因为，所以，，
又，所以时，最小，最小为.
故答案为：.
例题3．（2023春·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）设为数列的前项和，已知.
(1)证明：是等差数列；
(2)若，，成等比数列，求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为，即 ①，
当时， ②
得，，
即，
即,
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，
所以，
所以当或时，取得最小值，.
角度2：根据等差数列的前项和的最值求参数
典型例题
例题1．（多选）（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）数列的通项公式为，其前项和为，
则使最大的的取值可以是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】BC
【详解】令，则，且，故时恒成立，
所以使最大的的取值为10或11.
故选：BC
例题2．（2023春·上海闵行·高二上海市七宝中学校考期中）已知等差数列的公差为，首项，当且仅当时，其前项和取得最大值，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】等差数列的首项，当且仅当时，其前n项和取得最大值，
则，即，解得．
故答案为：
例题3．（2023春·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）设等差数列的前项和为，且.
(1)若，求的公差；
(2)若，且是数列中最大的项，求所有可能的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则
，解得.
（2）由（1）得，
由于是数列中最大的项，①，
所以，即
即
解得，由于是整数，所以的可能取值是.
练透核心考点七
1．（2023·陕西西安·西北工业大学附属中学校考模拟预测）已知数列满足：对恒成立，且，其前n项和有最大值，则使得的最大的n的值是（ ）
A．10B．12C．15D．17
【答案】C
【详解】由数列满足对恒成立可知，数列为等差数列；
设数列的首项为，公差为，则，
若前n项和有最大值，则可知，因此，
又，所以，可得，
所以，即
；
所以，使得的最大的n的值是.
故选：C
2．（2023春·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）在等差数列中，，若它的前项和有最大值，则当时，的最大值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】A
【详解】因为数列为等差数列，设公差为，
因为有最大值，故，即，
又，即一正一负，而，
所以，，又由得，故
所以，，则，，
则当时，的最大值为.
故选：A.
3．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则的最大值为 ________.
【答案】
【详解】由是与的等比中项，
得，即，
即，又，所以，
所以，
所以，
所以当或时，取得最大值.
故答案为：.
4．（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_____．
【答案】
【详解】∵Sn＝7n，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，
∴，即，解得：，
综上：d的取值范围为．
故答案为：
5．（2023春·北京·高二北京市第一六一中学校考阶段练习）已知数列是等差数列，是的前项和，，.
(1)判断是否是数列中的项，并说明理由；
(2)求的最值.
【答案】(1)不是，理由见解析
(2)的最小值为，无最大值.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
所以，.
令，解得，
因此，不是数列中的项.
（2）由题意可得，，
当时，取得最小值，且最小值为，无最大值.
6．（2023·全国·高三专题练习）在数列中，已知，令为数列的前项和．问是否有最值?若有，请求出最值．
【答案】有最大值，没有最小值
【详解】由，得，
所以数列是以为公差，为首项的等差数列，
，
当时，有最大值，
有最大值，但没有最小值．
第四部分：数学文化题
1．（2023·全国·高三专题练习）公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究，他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数，形数是联系算数和几何的纽带；下图为五角形数的前4个，现有如下说法：①第9个五角形数比第8个五角形数多25；②前8个五角形数之和为288；③记所有的五角形数从小到大构成数列，则的前20项和为610；则正确的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【详解】根据图形知：，，
则
，①正确；
，②正确；
，数列是首项为1公差为的等差数列，
前20项和为，③错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1，3，6，10，15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”锥垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球…），若一“落一形”三角锥垛有20层，则该锥垛球的总个数为（ ）
（参考公式：）
A．1450B．1490C．1540D．1580
【答案】C
【详解】由于“三角形数”可以写为，
故第层“三角形数”为，
所以层时，三角锥垛垛球的总个数为：
，
所以若一“落一形”三角锥垛有20层，
则该锥垛球的总个数为，
故选：C．
3．（2023·全国·高三专题练习）“垛积术”在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括（北宋时期数学家）、杨辉（南宋时期数学家）研究成果的基础上，在《四元玉鉴》中利用了“三角垛”求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列，，，…，，的和，可设计一个正立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个，第2行为2个，第3行为3个，…，第行为个1；再选一个数列（其前项和已知），可设计一个倒立的行三角数阵，即正三角形的区域中所有数的分布规律为：第1行为个，第2行为个，第3行为个，…，第行为1个1.这两个三角数阵就组成一个行列的菱形数阵.若已知，则运用垛积术，求得数列，，，…，，的和为____________.

【答案】
【详解】正三角形的区域与正三角形的区域的所有数的和为
而正三角形区域的所有数的和为
，
所以正三角形的区域的所有数的和为
，
故答案为：
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期中）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上一个伟大成就．现在从“杨辉三角”中去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前54项和为______．

【答案】4061
【详解】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如，系数分别为，，，对应杨辉三角形的第行，
令，就可以求出该行的系数之和；第行为，第行为，第行为，以此类推，即每一行数字之和构成首项是，公比是的等比数列，
则杨辉三角形的前行的和为，
每一行的个数为，，，...，可看成以为首项，以为公差的等差数列，则，
当时，，去除两端的可得，
则此数列的前项的和为：.
故答案为：4061
5．（2023·全国·高三专题练习）古希腊毕达哥拉斯学派研究了“多边形数”，人们把多边形数推广到空间，研究了“四面体数”，下图是第一至第四个四面体数，（已知）
观察上图，由此得出第5个四面体数为______（用数字作答）；第个四面体数为______.
【答案】 35
【详解】由题，第一个四面体数为1；第二个四面体数为；第三个四面体数为；第四个四面体数为；……；
由此可归纳，第个四面体数为，
即为.
设该式中的每个数从左至右的排列为数列，即为：1，3，6，10，……，
得到递推关系为，，…，，
相加后得，
，
故数列的和
，
当时，.
故答案为：35，
第五部分：高考新题型
角度1：开放性试题
1．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前n项和，且满足：①；②对，．写出一个同时满足上述两个条件的数列的通项公式______．
【答案】（答案不唯一，满足，且公差即可）
【详解】由，得，即公差，
所以数列单调递增，
又对，，即当n＝8时，取得最小值，
故只需数列的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，
结合可知，满足条件的一个数列的通项公式可以为（答案不唯一，满足，且公差即可），
故答案为：（答案不唯一，满足，且公差即可）．
2．（2023春·山东德州·高二统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列的通项公式：___________．
①；②单调递增．
【答案】（符合此种形式即可）
【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为，由性质①可得： ，
即，
再根据②可知，公差，显然（）满足题意.
故答案为：（符合此种形式即可）
3．（2023春·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）写出同时满足下面两个条件的数列{}的一个通项公式=________.
①{}是递减数列；②对任意m，，都有.
【答案】（答案不唯一）
【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，
由性质②可得： ，所以，
再根据①{}是递减数列，可知，取，则，
此时，满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
角度2：探究性试题
1．（多选）（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列是
公积不为0的等积数列，且，前5项的和为12，则下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．公积为3D．
【答案】BCD
【详解】设该等积数列的公积为（为常数，），根据等积数列的定义可得，，所以，即，故A正确；
，又，则，又前5项的和为12，则，解得，即公积为6，所以，故B、C错误；
当为奇数时，当为偶数时，故D错误．
故选：BCD
2．（2021秋·安徽铜陵·高三铜陵一中校联考阶段练习）已知数列为等差数列，公差，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，探究：是否存在正整数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(1)由题意可知，，∴.
又，，∴，，，∴，
故数列的通项公式为;
(2)
,
,
令，即，
而 ，
令，即，
所以中的最大项为，所以不存在正整数,使得.