第16讲第三章一元函数的导数及其应用（提高卷）-【满分之路】2024年高考数学一轮复习高频考点逐级突破（2024新教材新高考）

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第16讲 第三章 一元函数的导数及其应用（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）设函数在R上可导，则（   ）  
A． B． C．3 D．以上都不对
【答案】A
【详解】因为，所以.
故选：A.
2．（2023春·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ）
A．[0， B． C． D．[0，
【答案】D
【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以，
故选：D.
3．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（    ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【详解】.
故选：B.
4．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知是函数图象上的任意一点，是直线上的动点，则之间的最短距离是（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设为函数上一点，且以点为切点的直线与直线平行，
由，则 ，由已知有，
解得或(舍去)，
则之间的最短距离为点到直线的距离，由点到直线的距离公式，
故选：A.
5．（2023春·浙江金华·高二校考阶段练习）设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则正确的是（     ）

A．的极大值为，极小值为
B．的极大值为，极小值为
C．的极大值为，极小值为
D．的极大值为，极小值为
【答案】D
【详解】当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
当时，则，可得；
故三次函数在上单调递增，在上单调递减，
可得的极大值为，极小值为.
故选：D.
6．（2023春·安徽六安·高二校考阶段练习）已知偶函数在上存在导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】令，
由于为偶函数，则，
因为，所以为奇函数，
所以，
因为当时，，
即，即，
所以当时，，
所以在上单调递增，
因为在上为奇函数且在上具有导函数，
所以在内单调递增，
因为，
所以，
又等价于，
所以，解得或，
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
7．（2023春·河南·高二校联考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设，，则有，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
所以，，即有，．
令，则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
所以，即，故，，
令，有，
可得函数单调递增，故有，可得，
可得，故，综上所述，．
故选：B．
8．（2023春·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）若关于x的不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意知，，即，
令，则在上恒成立，
由，在上；在上，
所以在上递增；在上递减，且，
在上，上，而，
当时，，成立；
当时，根据在上单调递增，在上恒成立，
综上所述：只需满足，即，
令，则在上恒成立，即在上递增，
故，
综上所述：a的取值范围为．
故选：B．
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023春·山东烟台·高二山东省烟台第一中学校考开学考试）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（   ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】由知，在R上单调递增，则,故A正确；
恒有，即，
所以的图象是向上凸起的，如图所示，

由导数的几何意义知，随着x的增加，的图象越来越平缓，即切线斜率越来越小（斜率为正），
所以，故B正确，
设，则，
所以由图象知，故D正确，C错误，
故选：
10．（2023春·河北保定·高二河北省唐县第二中学校考阶段练习）已知定义在区间[a,b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a,b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A选项，，，
由，所以，，
当时，，如下图所示：

由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，
A选项满足条件；
对于B选项，，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，B不满足条件；
对于C选项，，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，C选项不满足条件；
对于D选项，，，
由，可得，
故函数在上有两个“中值点”，D满足条件.
故选：AD.
11．（2023·全国·高三专题练习）e是自然对数的底数，，已知，则下列结论一定正确的是（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【详解】原式变形为，
构造函数，则，
∵，
当时，，则，即；
当时，，则，即；
故在上单调递减，在上单调递增，
对于A：取，则
∵在上单调递增，故，
即满足题意，但，A错误；
对于B：若，则有：
当，即时，则，即；
当，即时，由在时单调递增，且，
故，则；
综上所述：， B正确；
对于C：若，则有：
当，即时，显然成立；
当，即时，令，
∵，当且仅当，即时等号成立，
∴当时，所以，即，
由可得，即
又∵由在时单调递增，且，
∴，即；
综上所述：，C正确；
对于D：取，，则，
∵在上单调递减，故，
∴故，满足题意，但，D错误.
故选：BC.
12．（2023·吉林·统考二模）如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（    ）

A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】，
令，则；令，则且；
的增区间为：，减区间为：与，
对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确；
对于B选项：当时，，即，
，
，
在上单调递减，
，即，即B选项错误；
对于C选项：令，.
，
在上递减，即.
，
，
.
，
，
又在上单调递增，
，即，即C选项正确；
对于D选项：，
，即，
，
，
，
令，，则，
令，则，
令，解得，令，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
则在上的最小值为，
故，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.）
13．（2023春·上海杨浦·高二复旦附中校考阶段练习）已知函数，则________．
【答案】
【详解】解：由题意知，令，解得．
故答案为：-1
14．（2023·云南红河·统考二模）若是函数的极小值点，则函数在区间上的最大值为______．
【答案】##
【详解】由，得，
因为是函数的极小值点，所以，即，
即，解得或．
当时，，
当或时，，当时，，
所以，在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极大值点，不符合题意；
当时，，
当或时，，当时，，
所以在区间，上单调递增，在上单调递减，
所以是函数的极小值点，是函数的极大值点，故
又因为，，
所以函数在的最大值为．
故答案为：．
15．（2023·山东济南·一模）机器学习是人工智能和计算机科学的分支，专注于使用数据和算法来模仿人类学习的方式．在研究时需要估算不同样本之间的相似性，通常采用的方法是计算样本间的“距离”，闵氏距离是常见的一种距离形式．两点的闵氏距离为，其中为非零常数．如果点在曲线上，点在直线上，则的最小值为_____________．
【答案】
【详解】设，，则，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
即；
当时，；
当时，；
当时，；
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.
【答案】         
【详解】，，令，得出，故的单调增区间为.
时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得.
令，时单调递增，时单调递减，，.
故答案为：，.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求的极值；
(2)设函数，讨论的零点个数.
【答案】(1)极大值为，无极小值；
(2)详见解析.
【详解】（1）因为，则，
由，可得，由，可得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处有极大值，极大值为，无极小值；
（2）因为，
所以，
由，可得或，由，可得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有极大值，当时，函数有极小值，当时， ，当时，
∴当或，即或时，有一个零点，
当或，即或时，有两个零点，
当且，即，有三个零点，
综上：当或时，有一个零点；或时，有两个零点；，有三个零点.
18．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）已知函数，，（是自然对数的底数）
(1)若在点处的切线方程为，求实数a的值
(2)求的单调区间
(3)若恒成立，求实数a的取值范围
【答案】(1)
(2)当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【详解】（1）因为，定义域为，所以，
所以，又直线的斜率为，由导数几何意义得，解得.（本问也可直接把点代入直线方程直接求解）
（2）因为函数的定义域为，且，
当时，，所以函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，令，得，令，得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
综上，当时，函数的单调递增区间为，无减区间；
当时，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）因为恒成立，即恒成立，则恒成立，
所以恒成立，
记，则，令，得，
令，得，令，得，
列表如下：









↗

↘

所以函数的极大值也是最大值为，
由恒成立得，
所以.
19．（2023春·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有最小值，求a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），
令，即，
，
当，即时，，
即，所以函数在上是增函数，
当，即时，
方程的解为，
当或时，，
当时，，
所以函数的单调增区间为，减区间为，
综上所述，当时，函数在上是增函数；
当时，函数的单调增区间为，减区间为；
（2）由（1）可得当时，函数在上是增函数，
所以当时，函数没有最大值，
当时，函数的单调增区间为，减区间为，
所以，
，
当时，且，当时，，
因为函数有最小值，
所以，
即，解得，
所以a的取值范围为.
20．（2023·陕西安康·统考二模）已知，
(1)讨论的单调性；
(2)当时，若不等式在上恒成立，求的取值范围（为自然对数的底数）
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），
当时，，所以在上单调递增，
当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）当时，，
由，得，
∴，
由已知，由（1）可得在上单调递增，
∴，即，
∴，∴，
令，，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
∴，∴.
21．（2023春·江西赣州·高三统考阶段练习）已知函数.
(1)当时，讨论的单调性.
(2)证明：①当时，；
②，.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知
当时，，令，得
在单调递减，在单调递增；
当时，
（i）当时，零点为，
令解得，
故在单调递增，在，单调递减
（ii）当时，，，在单调递减；
综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递增，在，单调递减；
当时，在单调递减．
（2）①
，令，其中
则不等式成立，即函数在恒小于零
由（1）可知，在定义域内单调递减，，因此当时，；
②由①可知
因此
解得，.
证毕.
22．（2023春·上海宝山·高三统考阶段练习）已知函数，其中实数，，．
(1)时，求函数的极值点；
(2)时，在上恒成立，求b的取值范围；
(3)证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
【答案】(1)0是的极大值点，2是的极小值点；
(2)；
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，定义域为：R.
则，
因为，
所以或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以0是的极大值点，2是的极小值点.
（2）当时，，
所以，
又因为，
所以，.
令，，
，
所以在上单调递增，
所以，
所以.
（3）证明：因为，所以，则，
设切点为，则，，
则切线方程为，即：，
将点代入切线方程得：，即：，
令，则，
或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值为，
当时，有极小值为，
又因为，，所以，
所以与有三个不同的交点.
即：方程有三个不同的根.
所以且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条.