2023年中考数学 章节专项练习17 反比例函数图象、性质及其应用

这是一份2023年中考数学 章节专项练习17 反比例函数图象、性质及其应用，共28页。试卷主要包含了，sin∠COA=等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1.（2019山东滨州，12，3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【思路分析】连接AC，由菱形的性质得出D是AC的中点，用字母分别表示A和C的坐标，利用中点公式表示出点D的坐标，在由点C和点D都在反比例函数的图象上，代入坐标求出k的值．
【解题过程】如图，连接AC，∵四边形OABC是菱形，∴AC经过点D，且D是AC的中点．设点A的坐标为（a，0），点C坐标为（b，c），则点D坐标为（，）．∵点C和点D都在反比例函数y=的图象上，∴bc=×，∴a=3b；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k=4．故选C．

法2：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则，点D的坐标为（），∴，解得，k＝4，故选C．
【知识点】菱形的性质；反比例函数k的几何意义

2.（2019江苏无锡，9，3分）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（ ）
A.2 B. -2 C. 4 D.-4

【答案】D
【思路分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，根据k的几何意义直接求k.
【解题过程】如图，∵AB⊥y轴， S△OAB＝2，而S△OAB|k|，∴|k|＝2，∵k＜0，∴k＝﹣4．故选D．
【知识点】反比例函数性质

3.（2019山东省济宁市，9，3分）如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A'BC'．若反比例函数y＝的图象恰好经过A'B的中点D，则k的值是（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18

【答案】C
【思路分析】中点公式表示AB的中点，旋转求D得坐标，最后由一点求反比例函数k
【解题过程】取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）∴k＝3×5＝15，选C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的图象和性质．

4. (2019山东枣庄,9,3分) 如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC＝90°,CA⊥x轴,点C在函数(x>0)的图象上,若AB＝1,则k的值为（ ）
A.1 B. C. D.2

第9题图
【答案】A
【解析】在等腰直角三角形ABC中,AB＝1,∴AC＝,∵CA⊥x轴,∴yC＝,Rt△ABC中,∠BAC＝45°,CA⊥x轴,∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA＝,∴xC＝,k＝xC`yC＝1,故选A
【知识点】等腰直角三角形,反比例函数

5.（2019山东淄博，12，4分）如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ）

A. B.6 C. D.
【答案】20
【思路分析】根据△OC1A1是等腰直角三角形，过点C1作C1M⊥x轴，则C1M＝OM＝MA1，所以可设C1的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式得到a＝2，从而求出A1的坐标是（4，0），再根据△C2A1A2是等腰直角三角形，设C2的纵坐标是b，则C2的横坐标是4＋b，把（4＋b，b）代入函数解析式得到b的值，故可得出C2的纵坐标y2，同理可以得到C3的纵坐标，…C100的纵坐标，根据规律可以求出y1＋y2＋…＋y100．
【解题过程】如图，过点C1作C1M⊥x轴，
∵△OC1A1是等腰直角三角形，∴C1M＝OM＝MA1，
设C1的坐标是（a，a）（a＞0），，把（a，a）代入解析式（a＞0）中，得a＝2，
∴y1＝2,
∴A1的坐标是（4，0），
又∵△C2A1A2是等腰直角三角形，
∴设C2的纵坐标是b（b＞0），则C2的横坐标是4＋b，
把（4＋b，b）代入函数解析式得b＝，解得b＝2﹣2，
∴y2＝2﹣2，
∴A2的坐标是（4，0），
设C3的纵坐标是c（c＞0），则C3横坐标为4＋c，把（4＋c，c）代入函数解析式得c＝，
解得c＝2﹣2，
∴y3＝2﹣2.
∵y1＝2﹣2，y2＝2﹣2，y3＝2﹣2，…
∴y100＝2﹣2，
∴y1＋y2＋y3＋…＋y100＝2＋2﹣2＋2﹣2＋…＋2﹣2＝2＝20.

【知识点】规律探究问题，反比例函数图象和性质，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，二次根式的计算

6.（2019四川凉山，8，4分）如图，正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（ ）
A.8 B.6 C.4 D.2

第8题图


【答案】C
【思路分析】根据点A在反比例函数图像上假设点A坐标，利用对称性求出C的坐标，最后求得△ABC的面积.
【解题过程】设A点的坐标为（m，），则C点的坐标为（-m，-），∴，故选C.
【知识点】正比例函数与反比例函数图像的对称性；三角形的面积

7.（2019天津市，10，3分） 若点A(-3，y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是
(A)y2 【答案】B
【解析】因为反比例函数的图像在二四象限，如图，将A,B,C三点在图像上表示，答案为B


【知识点】反比例函数图像的性质.

8.(2019浙江台州,9,4分)已知某函数的图象C与函数的图象关于直线y＝2对称.下列命题:①图象C与函数的图象交于点(,2);②点(,－2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1),B(x2,y2)是图象C上任意两点,若x1>x2,则y1>y2.其中真命题是( )
A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③④
【答案】A
【解析】令y＝2,得x＝,这个点在直线y＝2上,∴也在图象C上,故①正确;令x＝,得y＝6,点(,6)关于直线y＝2的对称点为(,－2),∴点(,－2)在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一支上,满足x1>x2,则y1>y2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.
【知识点】反比例函数图象的性质,对称变换,交点坐标,增减性

9.（2019重庆市B卷，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10,0），sin∠COA=.若反比例函数y=(k﹥0,x﹥0)经过点C，则k的值等于（ ）

【答案】C
【思路分析】根据菱形的性质得出OC=OA=10.过点C作CD⊥OA.
由sin∠COA=可得 OD=6，CD=8 ∴C（6,8）
根据发反比例函数图像过点C，求出k=48
【解题过程】解：过C作CD⊥OA交x轴于D
∵OABC为菱形，A（10,0）∴OC=OA=10.
∵sin∠COA=∴ = 即=
∴CD=8, ∴OC=6, ∴C（6,8） ∵反比例函数y=(k﹥0,x﹥0)经过点C,k=6×8=48.故选Ｃ．

【知识点作】反比例函数图像上点的特征；菱形的性质；锐角三角函\数

10.（2019重庆A卷，9，4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．40
第9题图

【答案】B．
【解析】如答图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ED＝EB，∠DAB＝90°．
∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．
∴∠OAD＝∠FBA．
∴△AOD∽△BFA．
∴．
∵BD∥x轴，A（2，0），D（0，4），
∴OA＝2，OD＝4＝BF．
∴．
∴AF＝8．
∴OF＝10，E(5，4)．
∵双曲线y＝过点E，
∴k＝5×4＝20．
故选B．
第9题答图

【知识点】反比例函数；矩形的性质；相似三角形的判定与性质

11.（2019安徽省，5，4分）已知点关于的对称点在反比例函数的图象上，则实数的值为　　
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：点关于轴的对称点的坐标为，把代入得，故选B．
【知识点】反比例函数的系数

12.（2019广东广州，8，3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3
【答案】C
【解析】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y的图象上，
∴y16，y23，y32，又∵﹣6＜2＜3，∴y1＜y3＜y2．故选：C．
【知识点】反比例函数的图象

13.（2019贵州黔东南，9，4分）若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y1＞y3 D．y1＞y3＞y2
【答案】C
【解析】解：∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数y的图象上，
∴y1，y2，y3，
又∵，
∴y3＜y1＜y2．
故选：C．
【知识点】反比例函数的图象

14.（2019湖北鄂州，8，3分）在同一平面直角坐标系中，函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0）的图象大致是（　　）

【答案】C
【解析】解：∵函数y＝﹣x+k与y（k为常数，且k≠0），
∴当k＞0时，y＝﹣x+k经过第一、二、四象限，y经过第一、三象限，故选项A、B错误，
当k＜0时，y＝﹣x+k经过第二、三、四象限，y经过第二、四象限，故选项C正确，选项D错误，
故选：C．
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象

二、填空题
1.（2019山东潍坊，15，3分）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上．则tan∠BAO的值为 ．

【答案】
【解析】分别过点A、B作x轴的垂线AC和BD，垂足为C、D.

则△BDO∽△OCA，
∴
∵S△BDO=，S△ACO=，
∴，
∴tan∠BAO=．
【知识点】反比例函数，反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定和性质

2. (2019四川巴中,13,4分)如图,反比例函数(x>0)经过A,B两点,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点D,过点B作BE⊥x轴于点E,连接AD,已知AC＝1,BE＝1,S矩形BDOE＝4,则S△ACD＝________.

第13题图
【答案】
【解析】连接AO,由反比例函数k的几何意义可知,S△AOC＝S矩形BDOE＝2,因为AC＝1,所以CO＝4,因为DO＝BE＝1,所以CD＝3,所以S△ACD＝.

第13题答图
【知识点】反比例函数k的几何意义

3.（2019四川达州，题号15，3分）如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=4，EF=3，则=___________
.〈
【答案】4
【解析】设A（m，） B（m，） C（n，） D（n，）
由题意得：m-n=3
联立三个式子，解得：
【知识点】反比例函数、二元一次方程组的解法

4.（2019四川眉山，18，3分）如图，反比例函数的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，若四边形ODBE的面积为12，则k的值为 ．

【答案】4
【思路分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值.
【解题过程】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|，
过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S矩形ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则，∴k=4．故选：B.

【知识点】反比例函数中k的几个意义，矩形的性质

5.（2019浙江湖州，15，4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x－1分别交x轴、y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图像于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是 ．
第15题图

【答案】2．
【解析】如答图，过点D作DF⊥y轴于点F，则由CE⊥x轴于点E可知：S△OCE＝k，S△ODF＝2k．∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴S△OBD＝S△FBD．易知A(2，0)，B(0，－1)，从而OB＝BF＝1，OF＝2．令D(m，－2)，则由D点在直线y＝x－1上，得－2＝m－1，解得m＝－2，故D(－2，－2)，从而2k＝(－2)×(－2)，解得k＝2．
第15题答图

【知识点】一次函数；反比例函数；面积桥法．

6.(2019浙江宁波,18,4分)如图,过原点的直线与反比例函数(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C在x轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC＝3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.

第18题图
【答案】6
【思路分析】连接OE,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,得到等腰三角形,结合平分线得到平行,将△ADE的面积转化为△ADO的面积,再利用反比例函数的性质,将△ADO的面积转化为梯形AMND的面积,再根据相似三角形和反比例函数的性质,可依次得到△AMC和△AOM的面积,则k值可求.
【解题过程】连接OE,在Rt△ABE中,点O是AB的中点,∴OE＝＝OA,∴∠OAE＝∠OEA,∵AE为∠BAC的平分线,∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,过点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,易得S梯AMND＝S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△CAM＝9,延长CA交y轴于点P,易得△CAM∽△CPO,可知DC＝AP,∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△CAM:S△AMO＝3:1,∴S△AMO＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6.

第18题答图
【知识点】直角三角形斜边中线等于斜边一半,等边对等角,平行线判定,反比例函数k的几何意义,三角形面积转化,相似三角形的性质

7.（2019浙江衢州，15，4分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为OE的中点，DE与BC交于点F.若y=（k≠0）图象经过点C.且S△BEF=1，则k的值为 。

【答案】24
【解析】连接OC，作FM⊥AB于M，延长MF交CD于N，设BE= a，FM=b，由题意知OB=BE=a，OA=2a，DC=3a,因为四这形ABCD为平行四边形，所以DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以BE：CD=EF:DF=1:3，所以NF=3b，OD=FM+FN=4b，因为S△BEF=1，即ab=1，S△CDO=CD·OD=3a×4b=6ab=12，所以k=xy=2S△CDO=24.
【知识点】平行四边形相似三角形的判定和性质反比例函数的性质轴对称

8.（2019四川南充，15，4分）如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，，则　　　　．

【答案】6
【解析】解：根据题意，知，，又因为反比例函数位于第一象限，，
所以，故答案为6．
【知识点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数的图象；反比例函数的性质
三、解答题
1.（2019浙江省金华市，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图像上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．
（1）点A是否在该反比例函数的图像上？请说明理由．
（2）若该反比例函数图像与DE交于点Q，求点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图像上，试描述平移过程．


（第22题图）
【思路分析】本题主要考查了反比例函数解析式，正六边形的性质及图形的平移．（1）根据正六边形的性质先求出点P的坐标，进而求得反比例函数的表达式．由题意先求得点的坐标，进而判断是否在反比例函数图像上．
（2）设点Q的坐标为（b＋3，b），根据点Q在反比例函数图像上构建关于b的方程，解方程可求得点Q的横坐标．
（3）平移正六边形ABCDEF，并描述平移过程．
【解题过程】解：（1）连结PC，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上，
∴△OBD和△PCH都含有30°角的直角三角形，BC＝PC＝CD＝2．
∴OC＝CH＝1，PH＝．
∴点P的坐标为（2，）
∴k＝2．
∴反比例函数的表达式为y＝（x＞0）．
连结AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，
∴BG＝1，AG＝CG＝．
∴点A的坐标为（1，2）．
当x＝1时，y＝2，
所以点A该反比例函数的图像上．

（2）过点Q作QM⊥x轴于点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠EDM＝60°．
设DM＝b，则QM＝b．
∴点Q的坐标为（b＋3，b）．
∴b（b＋3）＝2．
解得b1＝，b2＝（舍去）
∴b＋3＝．
∴点Q的横坐标为．
（3）连结AP．
∵AP＝BC＝EF，AP∥BC∥EF，
∴平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，再向上平移个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位．
【知识点】反比例函数的表达式；正六边形的性质；图形的平移；含有30°角的直角三角形性质

2.（2019四川自贡，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a,-3）两点，与x轴交于点C.

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；
（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围.
【思路分析】
（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求出m，即可得到反比例函数解析式；把y=-3代入反比例函数解析式求出a的值，得到B点坐标，再将A，B坐标代入一次函数解析式求出k，b，即可求出一次函数解析式；
（2）利用A、B坐标求出直线AB解析式，由解析式求出C、D两点坐标；分别对B、C、P三点是否共线进行讨论，得出PB-PC≤BC；从而当P与D重合时，PB-PC最大，最大值为BC.
【解题过程】
解：（1）A（3,5）代入y2=得，5=，
∴m=15.
∴反比例函数是y2=.
当y2=-3时，-3=，
∴x=-5，
∴B坐标为（-5，-3）.
将A（3,5），B（-5，-3）代入y1=kx+b得，

解得，.
∴一次函数为y1=x+2.
（2） 令y1=0时，x+2=0,x=-2.
∴点C坐标为（-2,0）.
令x=0，则y1=2.
∴点D坐标为（0，-2）.
连接PB，PC，

当B，C和P不共线时，由三角形三边关系，PBPC＜BC；
当B，C和P共线时，PBPC=BC，
∴PBPC≤BC.
由勾股定理可知，BC==.
∴当P与D重合，即P为（0,2）时，PB-PC取最大值，最大值为.
【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.

3.（2019四川攀枝花，20，8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点B，与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且CA＝CB，点C的坐标为（－3，0），cos∠ACO＝．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出当x＜0时，kx＋b＜的解集。

【思路分析】(1)要求反比例函数的表达式，需要求得点B的坐标．作BH⊥x轴于点H，由点C的坐标为（－3，0），cos∠ACO＝，得AC＝3,AO＝6．由△BHC≌△COA得BH＝3，CH＝6．∴B (－9,3)．
（2）由图象法直接得出.
【解题过程】解：（1）如图作BH⊥x轴于点H ,
则∠BHC＝∠BCA＝∠COA＝90°,
∴∠BCH＝∠CAO,
∵点C的坐标为(－3,0)
∴OC＝3,
∵cos∠ACO＝,
∴AC＝3,AO＝6,
在△BHC和△COA中
有
∴△BHC≌△COA．
∴BH＝CO＝3，CH＝AO＝6．
∴OH＝9，即B (－9,3)．
∴m＝－9×3＝－27
∴反比例函数解析式为y＝－

（2）因为在第二象限中，B点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方
所以当x＜0时，kx＋b＜的解集为－9＜x＜0.
【知识点】锐角三角函数；反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数解析式；图象法求不等式的解集

4.(2019山东泰安,21,11分)已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.

第21题图
【思路分析】(1)根据OB的长度和△AOB的面积可求得点A的纵坐标,利用勾股定理求得点A的横坐标,进而用待定系数法可以求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)设点P的坐标为(x,0),利用等腰三角形的边相等的关系,列出方程,进行求解,即可得到点P的坐标.
【解题过程】(1)过点A作AM⊥x轴于点M,则S△OAB＝＝,∵B(5,0),∴OB＝5,即＝,AM＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ABM中,BM＝＝4,∴OM＝OB+BM＝9,∴A(9,3),∵点A在反比例函数图象上,∴,m＝27,反比例函数的表达式为:,设一次函数表达式为y＝kx+b,∵点A(9,3),B(5,0)在直线上,∴3＝9k+b,0＝5k+b,解之,得k＝,b＝,∴一次函数的表达式为:y＝x;

第21题答图(1)
(2)设点P(x,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AB2＝(9－5)2+32＝25,AP2＝(9－x)2+32＝x2－18x+90,BP2＝(5－x)2＝x2－10x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论:
①令AB2＝AP2,得25＝x2－18x+90,解之,得:x1＝5,x2＝13,当x＝5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0);
②令AB2＝BP2,得25＝x2－10x+25,解之,得:x3＝0,x4＝10,当x＝0时,点P与原点重合,故P2(0,0),P3(10,0);
③令AP2＝BP2,得x2－18x+90＝x2－10x+25,解之,得:x＝,∴P4(,0);
综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4(,0).

第21题答图(2)
【知识点】勾股定理,待定系数法求解析式,等腰三角形的存在性

5.(2019山东聊城,23,8分)如图,点A(,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数(x>0)图象的两个交点,AC⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.
(1)求直线AB的表达式;
(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2,求S2－S1.

第23题图
【思路分析】(1)先用点A坐标求出反比例函数表达式,然后求出点B坐标,再用待定系数法求得AB的表达式;(2)利用坐标,分别算出两个三角形的面积,进而求得二者之差.
【解题过程】(1)由点A,B在反比例函数的图象上,∴4＝,∴n＝6,∴反比例函数表达式为(x>0),将点B(3,m)代入,得m＝2,∴B(3,2),设直线AB的表达式为y＝kx+b,∴,解得:,∴直线AB的表达式为:.
(2)由点A,B的坐标得AC＝4,点B到AC的距离为3－＝,∴S1＝×4×＝3,设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),∴DE＝6－1＝5,由点A(,4),B(3,2)知点A,B到ED的距离分别为,3,∴S2＝S△BED－S△AED＝,∴S2－S1＝.
【知识点】待定系数法求反比例函数,一次函数解析式,三角形面积

6.（2019湖南岳阳，19，8分）如图，双曲线经过点P（2，1），且与直线y=kx－4（k＜0）有两个不同的交点．
（1）求m的值；
（2）求k的取值范围．

【思路分析】（1）把点P的坐标代入反比例函数解析式可求出m；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k的取值范围．
【解题过程】（1）把点P（2，1）代入反比例函数，得：
，m=2；
（2）由（1）可知反比例函数解析式为，
∴，
整理得：，
∵双曲线与直线有两个不同的交点，
∴△＞0．
即：．
解得：k＞－2．
又∵k＜0，
∴k的取值范围为－2＜k＜0．
【知识点】一次函数与反比例函数综合
7.（2019四川南充，23，7分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过等边三角形的顶点，，点在反比例函数图象上，连接，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若四边形的面积是，求点的坐标．

【思路分析】（1）作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得三角形的面积，根据系数的几何意义即可求得，从而求得反比例函数的表达式；
（2）求得三角形的面积，即可求得的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点的坐标．
【解题过程】解：（1）作于，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象在一三象限，
，
反比例函数的表达式为；
（2），
，
，
，
把代入，求得，
点的坐标为，．

【知识点】等边三角形的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数的几何意义；反比例函数的性质；反比例函数的图象

8.（2019甘肃天水，21，10分）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图象交于A（m，4）、B（2，n）两点，与坐标轴分别交于M、N两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出kx+b0中x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．


【思路分析】（1）将点A、点B的坐标分别代入解析式即可求出m、n的值，从而求出两点坐标；
（2）根据题意，结合图象确定出x的范围即可；
（3）将△AOB的面积转化为S△AON﹣S△BON的面积即可．
【解题过程】解：（1）∵点A在反比例函数y上，
∴4，解得m＝1，
∴点A的坐标为（1，4），
又∵点B也在反比例函数y上，
∴n，解得n＝2，
∴点B的坐标为（2，2），
又∵点A、B在y＝kx+b的图象上，
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x+6．
（2）根据图象得：kx+b0时，x的取值范围为x＜0或1＜x＜2；
（3）∵直线y＝﹣2x+6与x轴的交点为N，
∴点N的坐标为（3，0），
S△AOB＝S△AON﹣S△BON3×43×2＝3．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点

9.（2019甘肃武威，25，10分）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）已知点，，过点作平行于轴的直线，在第一象限内交一次函数的图象于点，交反比例函数上的图象于点．若，结合函数图象直接写出的取值范围．


【思路分析】（1）利用待定系数法即可求得；（2）根据图象可解．
【解题过程】解：（1）反比例函数的图象与一次函数的图象在第一象限交于，两点，
，，
，，
∴反比例函数和一次函数的表达式分别为，；
（2）由图象可得：当时，．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点

10.（2019甘肃省，25，7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，与轴相交于点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点与点关于轴对称，求的面积；
（3）若，、，是反比例函数上的两点，当时，比较与的大小关系．


【思路分析】（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）利用反比例函数的增减性解决问题即可．
【解题过程】解：（1）反比例函数经过点，
，
点在上，
，
，
把，坐标代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）直线交轴于，
，
，关于轴对称，
，
轴，
．
（3），、，是反比例函数上的两点，且，
．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点

11.（2019广东广州，22，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y的图象相交于A，P两点．
（1）求m，n的值与点A的坐标；
（2）求证：△CPD∽△AEO；
（3）求sin∠CDB的值．

【思路分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；
（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；
（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．
【解题过程】解：解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，
解得：m＝﹣2，
∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；
将点P（﹣1，2）代入y，得：2＝﹣（n﹣3），
解得：n＝1，
∴反比例函数解析式为y．
联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点A的坐标为（1，﹣2）．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB∥CD，
∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．
∵AB⊥x轴，
∴∠AEO＝∠CPD＝90°，
∴△CPD∽△AEO．
（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），
∴AE＝2，OE＝1，AO．
∵△CPD∽△AEO，
∴∠CDP＝∠AOE，
∴sin∠CDB＝sin∠AOE．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法反比例函数解析式；一次函数的图象；反比例函数的图象；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形

12.（2019广东省，23，9分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

【思路分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；
（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k2，n，k1，b的值，从而求得解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
【解题过程】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：kx+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n
∴n＝﹣1
∴B（4，﹣1）
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B
∴，
解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC3×1，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×14，
∵S△AOP：S△BOP＝1：2，
∴S△AOP，
∴S△COP1，
∴3•xP＝1，
∴xP，
∵点P在线段AB上，
∴y3，
∴P（，）．

【知识点】反比例函数与一次函数的交点