初中数学湘教版九年级上册第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法一等奖教学课件ppt

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2.2.1.1 直接开平方法
湘教版数学九年级上册
1
2
会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）
掌握直接开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p (p≥0)的方程.(重点）
学习目标
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都从B点同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8平方厘米？
 
问题情境
新课导入
试一试 解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
(1) x2=4；
(2) x2=0；
(3) x2+1=0.
解:根据平方根的意义，得x1=2, x2=-2.
解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.
解:根据平方根的意义，得x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.
★ 直接开平方法的概念
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
知识讲解
（2）当p=0 时，方程x2 = p有两个相等的实数根 =0；
（3）当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以方程x2 = p无实数根.
如果我们把x2=4， x2=0， x2+1=0变形为x2 = p 会是什么情形？
一般的，对于方程 x2 = p,
（1）当p>0 时，根据平方根的意义，方程x2 = p有两个不等的实数根 ， ；
解：
（1） x2=25，
根据平方根的意义，得
（2）移项，得
x2=900.
根据平方根的意义，得
x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
根据平方根的意义解下列方程:
例1
★ 用直接开平方法解方程
在解方程例1(I)时，由方程x2=25得x=±5.由此想到:（x+2)2=5 ，解得
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
于是，方程（x+2）2=25的两个根为
上面的解法中 ，由方程 得到②，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的意义直接求解.
分析：只要将（x＋2）看成是一个整体，就可以运用平方根的意义求解.
解：（1）∵x+2是7的平方根，
解下列方程：⑴ （x＋2）2= 7 ；
例2
（2）（2x+3）2 = 16；
 
解：∵2x+3是16的平方根，
∴ 2x+3 =±4.
即2x+3 =4或2x+3 =-4
(3) 2（ 1－3x ）2－18 = 0.
分析：先将－18移到方程的右边，再两边都除以2，再同第（1）小题一样地去解，然后两边都除以-3即可.
解：移项，得2（ 1－3x ）2=18，
两边都除以2，得（ 1－3x ）2=9.
∵ 1－3x是9的平方根，
∴ 1－3x =±3.
即1－3x =3或1－3x =-3.
1.采用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的意义，直接开平方法只适用于能转化为x2=p或（mx＋n）2= p（p≥0）的形式的方程，可得方程的根为x= 或mx＋n=
2.利用直接开平方法解一元二次方程时，只有当p为非负常数时，方程才有解，并且要注意开方的结果有“正、负”两种情况.
注 意
1．下列方程可用直接开平方法求解的是( )A． x2＝4 B．4 x2－4x －3＝0C． x2－3x ＝0 D． x2－2x －1＝9
 
C
A
随堂训练
4．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是 ．
3.若(a2＋b2－2)2＝25，则a2＋b2＝ ．
7
a＞0
 
 
 
(2)(3x＋2)2＝25；
 
(3)(x＋1)2－4＝0;
解：移项，得(2－x)2＝9，开平方，得2－x= ± 3，即 2－x=3或2－x=-3，　∴ x1＝-1，x2＝5.
(4)(2－x)2－9＝0.
 
②
 
5.用直接开平方法解一元二次方程4(2x－1)2－25(x＋1)2＝0.小明的解答如下：移项，得4(2x－1)2＝25(x＋1)2.①根据平方根的意义，得2(2x－1)＝5(x＋1)．②小明的解答有无错误？若有，错在第 步，原因是 ，写出正确的解答过程．
直接开平方法
概念
利用平方根的定义求方程的根的方法
步骤
关键要把方程化成x2=p(p ≥0)或（x+n)2=p（p ≥0)
基本思路
一元二次方程
两个一元一次方程
降次
根据平方根的意义
课堂小结