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2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列数中，是无理数的是( )
A. −3 B. 0 C. π D. 13
2. 已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若a>b，则下列结论一定成立的是( )
A. −4a<−4b B. a+2b+1
4. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是( )
A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性
5. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 三角形的一个外角大于它的任何一个内角
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
7. 黄金分割数 5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 5−1的值( )
A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间
8. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组( )
A. 3y+5=x5y−1=x B. 3y−5=x5y=x−1 C. 13x+5=y5y=x−5 D. x−53=yx5=y−1
9. 如图，AD是△ABC的中线，AB=3，AC=5，△ACD的周长与△ABD的周长差为( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 不确定
10. 已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( )
A. 125≤x≤3 B. 125≤x<4 C. 125≤x≤4 D. 125≤x≤5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 比较大小：− 10______−3．
12. 36的平方根是______ ．
13. 若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为______ ．
14. 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE=2：1，则∠AOD=______．
15. 在平面直角坐标系中，已知线段AB//x轴，且AB=5，点A的坐标是(−2,4)，则点B的坐标为______ ．
16. 已知关于x的不等式组x−3x−52<22x−a≤−1的整数解仅有4个，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：−12022−364− 4+| 3−2|.
18. (本小题6.0分)
解不等式组x−3(x−2)≤4①1+2x3>x−1②，并把解集表示在数轴上．
19. (本小题6.0分)
解方程组3x−y=5,4x−3y=10．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A(2,−1)，B(4,3)，C(1,2).将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
(1)请在图中画出△A1B1C1；
(2)写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1(______，______)
B1(______，______)
C1(______，______)
(3)求△ABC的面积．
21. (本小题8.0分)
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观.为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长(单位：min)进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述.下面是其中的部分信息：
90名学生每日平均家务劳动时长频数分布表
分组
20≤x<25
25≤x<30
30≤x<35
35≤x<40
40≤x<45
45≤x<50
合计
频数
9
m
15
24
n
9
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布表中的组距是 ，m= ；
(2)求出频数分布表中n的值并补全频数分布直方图；
(3)学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于40min的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有1500名学生，请估计获奖的学生人数．
22. (本小题9.0分)
如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠EHF=75°，∠D=35°，求∠AEM的度数．
23. (本小题9.0分)
中医药是中华民族的宝贵财富.为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知.明德麓谷学校开展“中草药种植进校园传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元．
(1)求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？
(2)若学校需购进乙种中草药种子m斤(其中m为整数)，且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
24. (本小题10.0分)
若不等式(组)①的解集中的任意解都满足不等式(组)②，则称不等式(组)①被不等式(组)②“包含”，其中不等式(组)①与不等式(组)②均有解．
例如：不等式x>1被不等式x>0“包含”．
(1)下列不等式(组)中，能被不等式x<−3“包含”的是______ ．
A.3x−2<0
B.−2x+2<0
C.−19<2x<−6
D.3x<−84−x<3
(2)若关于x的不等式a−22a+3“包含”，若M=5a+4b+2c且a+b+c=3，3a+b−c=5，求M的最小值．
(3)已知2m+n=k，m−n=3，m≥12，n<−1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6>x+4，Q：6(2x−1)≤4x+2，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25. (本小题10.0分)
已知A(0,a)，B(b,0)，满足(2a+b−10)2+ b−a−1=0，C，D分别为x轴，y轴正半轴上的点，且满足CD//AB．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)作∠DAB和∠CBA的角平分线交于点M，试求∠AMB∠OCD+∠OAB的比值．
(3)分别过点A、点B作x、y轴的平行线交于点N，有一动点P从B点出发沿BO−OA方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点Q从A点出发沿AN−NB方向以每秒32个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时另一个随之停止运动，设运动时间为t，求t为何值时，以P、A、Q、B为顶点的图形的面积为四边形OBNA面积的一半？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3，0，13是有理数；
π是无理数．
故选：C．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可．
【解答】
解：因为5−2=3，5+2=7，
所以第三边的长在3和7之间(不包括3和7)的任意一个数，
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，∴−4a<−4b，正确，符合题意；
B、∵a>b，∴a+2>b+2，原变形错误，不符合题意；
C、∵a>b，∴a2>b2，原变形错误，不符合题意；
D、∵a>b，∴a−1>b−1，原变形错误，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键．
【解答】
解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，符合题意；
B.三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角，所以选项B不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，所以选项C不符合题意；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项D不符合题意．
故选：A．
A、运用平行线的判定即可判断选项A是否正确；
B、运用三角形外角的性质即可判断选项B是否正确；
C、运用平行线的性质以及同旁内角的定义即可判断选项C是否正确；
D、分点在直线上与直线外两种情况以及平行线的定义即可判断选项D是否正确．
本题侧重考查命题与定理，掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴估算 5−1的值在1和2之间，
故选：B．
先估算出 5的值的范围，然后再估算出 5−1的值的范围，即可解答．
本题考查了黄金分割，估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，得：x−53=yx5=y−1．
故选：D．
根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=12BC，
∴△ACD和△ABD的周长的差，
=(AC+12BC+AD)−(AB+12BC+AD)
=AC−AB
=5−3
=2，
故选：A．
根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，当CD⊥AB时CD取得最小值，此时CD=AC⋅BCAB=4×35=125，
当点D与点A重合时CD取得最大值，最大值为4，
则125≤x≤4，
故选C．
由CD⊥AB时CD取得最小值、点D与点A重合时CD取得最大值求解可得．
本题主要考查垂线段最短，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
11.【答案】<
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把−3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：∵10>9
∴ 10> 9=3,
∴− 10<− 9=−3，
故填空答案<．
12.【答案】±6
【解析】解：∵(±6)2=36，
∴36的平方根是±6．
故答案为：±6．
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
13.【答案】800°
【解析】解：由题意可得七边形的内角和为：(7−2)×180°=900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°−100°=800°，
故答案为：800°．
利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】120°
【解析】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC：∠COE=2：1，
∴设∠AOC=2x，∠COE=x，
则2x+x=90°，
解得：x=30°，
故∠AOC=60°，
则∠AOD=180°−60°=120°．
故答案为：120°．
直接利用垂直的定义得出∠AOE=90°，进而利用∠AOC：∠COE=2：1，得出∠AOC的度数，进而得出答案．
此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC度数是解题关键．
15.【答案】(3,4)或(−7,4)
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，线段AB//x轴，
∴点A，B的纵坐标相同，
∵A(−2,4)，
∴设B(a,4)，
∵AB=5，
∴|−2−a|=5，
解得：a=3或a=−7，
∴B(3,4)或(−7,4)．
故答案为：B(3,4)或(−7,4)．
根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同可设B(a,4)，由两点间的距离公式可得|−2−a|=5，以此求解即可．
本题主要考查坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．
16.【答案】11≤a<13
【解析】解：x−3x−52<2①2x−a≤−1②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤a−12，
∴不等式组的解集为：1
∴5≤a−12<6，
解得：11≤a<13．
故答案为：11≤a<13．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据整数解的个数即可得出a的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．
17.【答案】解：−12022−364− 4+| 3−2|
=−1−4−2+2− 3
=−5− 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
则不等式组的解集为1≤x<4，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：3x−y=5①4x−3y=10②，
①×3−②得5x=5，
解得x=1，
将x=1代入①得3−y=5，
解得y=−2，
则方程组的解为x=1y=−2．
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)A1(−2,−3)，B1(0,1)，C1(−3,0)；
(3)如图可得：
S△ABC=S长方形EFGB−S△BEC−S△CFA−S△AGB
=BE⋅EF−12EB⋅CE−12CF⋅FA−12AG⋅BG
=3×4−12×3×1−12×3×1−12×2×4
=5．
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用(1)中所画图形得出对应点坐标；
(3)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)频数分布表中的组距是25−20=5，
25≤x<30的频数m=12，
故答案为：5，12．
(2)n=90−(9+12+15+24+9)=21，
(3)1500×21+990=500(名)，
答：估计获奖的学生有500名．
【解析】(1)由频数分布表可得组距，由频数分布直方图可得m的值；
(2)由各组人数之和等于总人数可得n的值，即可补全图形；
(3)用总人数乘样本中第5、6组人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布直方图及用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵∠CED=∠GHD，
∴CE//FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB//CD．
(2)解：∵CE//FG，∠EHF=∠GHD=75°，
∴∠CED=∠GHD=75°，
∵AB//CD，∠D=35°，
∴∠HEF=∠D=35°，
∴∠AEM=∠CEF=∠CED+∠HEF=75°+35°=110°．
【解析】(1)只要证明∠FGD=∠EFG即可解决问题．
(2)根据∠AEM=∠CEF=∠CED+∠HEF，求出∠CED，∠HEF即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，
根据题意得：x−y=405x+10y=1100，
解得：x=100y=60．
答：每斤甲种中草药种子的价格是100元，每斤乙种中草药种子的价格是60元；
(2)∵学校需购进乙种中草药种子m斤(其中m为整数)，且甲、乙两种中草药种子共120斤，
∴需购进甲种中草药种子(120−m)斤．
根据题意得：100(120−m)+60m<8500m≤3(120−m)，
解得：1752
∴m可以为88，89，90，
∴该学校共有3种购买方案，
方案1：购买32斤甲种中草药种子，88斤乙种中草药种子，所需费用为100×32+60×88=8480(元)；
方案2：购买31斤甲种中草药种子，89斤乙种中草药种子，所需费用为100×31+60×89=8440(元)；
方案3：购买30斤甲种中草药种子，90斤乙种中草药种子，所需费用为100×30+60×90=8400(元)．
∵8480>8440>8400，
∴最低费用是8400元．
答：该学校共有3种购买方案，最低费用是8400元．
【解析】(1)设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，根据“每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)由购进甲、乙两种中草药种子数量间的关系，可得出需购进甲种中草药种子(120−m)斤，根据“总费用低于8500元，且购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该学校共有3种购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】C
【解析】解：(1)A.3x−2<0，解得：x<23，故不符合题意；
B.−2x+2<0，解得：x>1，故不符合题意；
C.−19<2x<−6，解得：−192
故答案为：C．
(2)∵不等式a−22a+3“容纳”，
∴−2a−3>a−22a+3≤a−2，
解得a≤−5，
又∵a+b+c=33a+b−c=5，
解得b=4−2ac=a−1，
∴M=5a+4b+2c=−a+14，
∵a≤−5，
∴M≥19，
∴M的最小值是19；
(3)由2m+n=km−n=3求得m=k+33n=k−63，
∵m≥12，n<−1，
∴k+33≥12k−63<−1，
解得−1.5≤k<3，
∵k为整数，
∴k的值为−1，0，1，2；
不等式P：kx+6>x+4整理得，(k−1)x>−2；不等式Q：6(2x−1)≤4x+2的解集为x≤1，
①当k=1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k>1时，不等式P的解集为x>−2k−1，
不能满足P与Q存在“包含”关系，
③当k<1时，不等式P：kx+6>x+4的解集为x<−2k−1，
∵P与Q存在“包含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k−1<0，且−2k−1>1，
解得−1
综上所述，k的值为0或1．
(1)逐个将每个不等式解出来，再根据定义判断即可；
(2)由a−22a+3包含可解出a的取值范围，将M表示为a+b+c和3a+b−c的形式，a取最小值时，M最小；
(3)由2m+n=k，m−n=3，m≥12，n<−1，且k为整数求出k的取值范围，再由P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”求出k的取值范围，判断两个关于k的不等式是否有公共部分且为整数，如果有则存在，否则不存在．
本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：2a+b−10=0b−a−1=0，
解得：a=3b=4
∴.A(0,3)，B(4,0)；
(2)如图，
∵AM平分∠DAB，BM平分∠CBA，
∴∠DAM=∠MAB=12∠DAB，∠ABM=∠MBC=12∠CBA，
∵∠DAO+∠OBC=360°，
∴∠DAB+∠OAB+∠CBA+∠OBA=360°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAB+∠CBA=270°，
∴∠DAB+∠CBA=270°，
∴12∠DAB+12∠CBA=135°，
即∠MAB+∠ABM=135°，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−135°=45°，
∵DC//AB，
∴∠OCD=∠OBA，
∴∠OCD+∠OAB=90°，
∴∠AMB∠OCD+∠OAB=12；
如图，
∵AM平分∠DAB，BM平分∠CBA，
∴∠DAM=∠MAB=12∠DAB，∠ABM=∠MBC=12∠CBA，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−12∠DAB−12∠CBA，
在△ABO中，∠DAB+∠CBA=90°，
∴12∠DAB+12∠CBA=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−45°=135°，
∵DC//AB，
∴∠OCD=∠OBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OCD+∠OAB=90°，
∴∠AMB∠OCD+∠OAB=32，
综上所述，∠AMB∠OCD+∠OAB=12或32；
(3)根据题意得S四边形AOBN=12，S四边形AQBP=6，
当0
∴S四边形AQBP=12(AQ+BP)×OA=12×(32t+t)×3=154t，
∵S四边形AQBP=6，
∴154t=6，
∴t=85，
当83
∴S四边形AQBP=S四边形AOBN−S△AOP−S△AQN，
=12−12(4−t)×3−12(32t−4)×4=14−32t，
∵S四边形AQBP=6，
∴14−32t=6，
∴t=163，不符合题意，
当4
S四边形AQBP=12(AP+BQ)×OB=12(7−t+7−32t)×4=28−5t，
由28−5t=6得t=225，
综上，当t=85或t=225时，以P、A、B、Q组成的图形面积为四边形AOBN面积的一半．
【解析】(1)根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标；
(2)画出图形，分CD在AB上方和CD在AB下方两种情况分别进行求解即可；
(3)按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可．
此题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
2022-2023学年湖南省长沙市明德教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列数中，是无理数的是( )
A. −3 B. 0 C. π D. 13
2. 已知三角形两边的长分别是2和5，则此三角形第三边的长可能是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若a>b，则下列结论一定成立的是( )
A. −4a<−4b B. a+2
4. 我国建造的港珠澳大桥全长55公里，集桥、岛、隧于一体，是世界最长的跨海大桥.如图，这是港珠澳大桥中的斜拉索桥，那么你能推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是( )
A. 三角形的不稳定性 B. 三角形的稳定性 C. 四边形的不稳定性 D. 四边形的稳定性
5. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
B. 三角形的一个外角大于它的任何一个内角
C. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放，使得BA//EF，则∠AOF等于( )
A. 75° B. 90° C. 105° D. 115°
7. 黄金分割数 5−12是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算 5−1的值( )
A. 在0和1之间 B. 在1和2之间 C. 在2和3之间 D. 在3和4之间
8. 古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数：三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组( )
A. 3y+5=x5y−1=x B. 3y−5=x5y=x−1 C. 13x+5=y5y=x−5 D. x−53=yx5=y−1
9. 如图，AD是△ABC的中线，AB=3，AC=5，△ACD的周长与△ABD的周长差为( )
A. 2
B. 3
C. 6
D. 不确定
10. 已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，AB=5，点D从点A到点B沿AB运动，CD=x，则x的取值范围是( )
A. 125≤x≤3 B. 125≤x<4 C. 125≤x≤4 D. 125≤x≤5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 比较大小：− 10______−3．
12. 36的平方根是______ ．
13. 若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为______ ．
14. 如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOC：∠COE=2：1，则∠AOD=______．
15. 在平面直角坐标系中，已知线段AB//x轴，且AB=5，点A的坐标是(−2,4)，则点B的坐标为______ ．
16. 已知关于x的不等式组x−3x−52<22x−a≤−1的整数解仅有4个，则a的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：−12022−364− 4+| 3−2|.
18. (本小题6.0分)
解不等式组x−3(x−2)≤4①1+2x3>x−1②，并把解集表示在数轴上．
19. (本小题6.0分)
解方程组3x−y=5,4x−3y=10．
20. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A(2,−1)，B(4,3)，C(1,2).将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A1B1C1．
(1)请在图中画出△A1B1C1；
(2)写出平移后的△A1B1C1三个顶点的坐标；
A1(______，______)
B1(______，______)
C1(______，______)
(3)求△ABC的面积．
21. (本小题8.0分)
劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于树立正确的劳动价值观.为了培养大家的劳动习惯与劳动能力，某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动，开学后从本校七至九年级各随机抽取30名学生，对他们的每日平均家务劳动时长(单位：min)进行了调查，并对数据进行了收集、整理和描述.下面是其中的部分信息：
90名学生每日平均家务劳动时长频数分布表
分组
20≤x<25
25≤x<30
30≤x<35
35≤x<40
40≤x<45
45≤x<50
合计
频数
9
m
15
24
n
9
90
根据以上信息，回答下列问题：
(1)频数分布表中的组距是 ，m= ；
(2)求出频数分布表中n的值并补全频数分布直方图；
(3)学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长不少于40min的学生评为“家务小能手”，如果该校七至九年级共有1500名学生，请估计获奖的学生人数．
22. (本小题9.0分)
如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB//CD；
(2)若∠EHF=75°，∠D=35°，求∠AEM的度数．
23. (本小题9.0分)
中医药是中华民族的宝贵财富.为更好地弘扬中医药传统文化，传播中医药知识，增进青少年对中华优秀传统文化的了解与认知.明德麓谷学校开展“中草药种植进校园传承中医药文化”活动，特开设中草药种植课程，计划购买甲、乙两种中草药种子，经过调查得知：每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元．
(1)求每斤甲、乙种子的价格分别是多少元？
(2)若学校需购进乙种中草药种子m斤(其中m为整数)，且甲、乙两种中草药种子共120斤，总费用低于8500元，并且要求购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
24. (本小题10.0分)
若不等式(组)①的解集中的任意解都满足不等式(组)②，则称不等式(组)①被不等式(组)②“包含”，其中不等式(组)①与不等式(组)②均有解．
例如：不等式x>1被不等式x>0“包含”．
(1)下列不等式(组)中，能被不等式x<−3“包含”的是______ ．
A.3x−2<0
B.−2x+2<0
C.−19<2x<−6
D.3x<−84−x<3
(2)若关于x的不等式a−2
(3)已知2m+n=k，m−n=3，m≥12，n<−1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6>x+4，Q：6(2x−1)≤4x+2，请分析是否存在k，使得P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25. (本小题10.0分)
已知A(0,a)，B(b,0)，满足(2a+b−10)2+ b−a−1=0，C，D分别为x轴，y轴正半轴上的点，且满足CD//AB．
(1)求A，B两点的坐标．
(2)作∠DAB和∠CBA的角平分线交于点M，试求∠AMB∠OCD+∠OAB的比值．
(3)分别过点A、点B作x、y轴的平行线交于点N，有一动点P从B点出发沿BO−OA方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时有一动点Q从A点出发沿AN−NB方向以每秒32个单位长度的速度运动，当两个点有一个到达终点时另一个随之停止运动，设运动时间为t，求t为何值时，以P、A、Q、B为顶点的图形的面积为四边形OBNA面积的一半？
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3，0，13是有理数；
π是无理数．
故选：C．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可．
【解答】
解：因为5−2=3，5+2=7，
所以第三边的长在3和7之间(不包括3和7)的任意一个数，
故选D．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵a>b，∴−4a<−4b，正确，符合题意；
B、∵a>b，∴a+2>b+2，原变形错误，不符合题意；
C、∵a>b，∴a2>b2，原变形错误，不符合题意；
D、∵a>b，∴a−1>b−1，原变形错误，不符合题意．
故选：A．
根据不等式的性质对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．
本题考查三角形的稳定性在实际生活中的应用问题，正确把握其性质是解题的关键．
【解答】
解：可以推断出斜拉索大桥中运用的数学原理是三角形的稳定性．
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，符合题意；
B.三角形的一个外角大于它的任何一个不相邻的内角，所以选项B不符合题意；
C.两直线平行，同旁内角互补，所以选项C不符合题意；
D.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以选项D不符合题意．
故选：A．
A、运用平行线的判定即可判断选项A是否正确；
B、运用三角形外角的性质即可判断选项B是否正确；
C、运用平行线的性质以及同旁内角的定义即可判断选项C是否正确；
D、分点在直线上与直线外两种情况以及平行线的定义即可判断选项D是否正确．
本题侧重考查命题与定理，掌握平行线的性质及三角形外角性质是解决此题的关键．
6.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的性质等知识，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
依据AB//EF，即可得∠FCA=∠A=30°，利用三角形内角和和邻补角，即可得到∠AOF=75°．
【解答】
解：∵BA//EF，∠A=30°，
∴∠FCA=∠A=30°.∠B=∠BCE=60°，
∴∠OCF=180°−90°−60°=30°，
∵∠F=∠E=45°，
∴∠COF=180°−45°−30°=105°，
∴∠AOF=75°．
故选A．
7.【答案】B
【解析】解：∵4<5<9，
∴2< 5<3，
∴1< 5−1<2，
∴估算 5−1的值在1和2之间，
故选：B．
先估算出 5的值的范围，然后再估算出 5−1的值的范围，即可解答．
本题考查了黄金分割，估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，得：x−53=yx5=y−1．
故选：D．
根据“三个坐一棵，五个地上落；五个坐一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=DC=12BC，
∴△ACD和△ABD的周长的差，
=(AC+12BC+AD)−(AB+12BC+AD)
=AC−AB
=5−3
=2，
故选：A．
根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
本题考查三角形的中线的定义以及周长的计算方法，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意，当CD⊥AB时CD取得最小值，此时CD=AC⋅BCAB=4×35=125，
当点D与点A重合时CD取得最大值，最大值为4，
则125≤x≤4，
故选C．
由CD⊥AB时CD取得最小值、点D与点A重合时CD取得最大值求解可得．
本题主要考查垂线段最短，解题的关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
11.【答案】<
【解析】
【分析】
此题主要考查了实数的大小比较．注意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．
先把−3变为9算术平方根的相反数，再根据比较实数大小的方法进行比较即可．
【解答】
解：∵10>9
∴ 10> 9=3,
∴− 10<− 9=−3，
故填空答案<．
12.【答案】±6
【解析】解：∵(±6)2=36，
∴36的平方根是±6．
故答案为：±6．
如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，由此即可得到答案．
本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
13.【答案】800°
【解析】解：由题意可得七边形的内角和为：(7−2)×180°=900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°−100°=800°，
故答案为：800°．
利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14.【答案】120°
【解析】解：∵EO⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC：∠COE=2：1，
∴设∠AOC=2x，∠COE=x，
则2x+x=90°，
解得：x=30°，
故∠AOC=60°，
则∠AOD=180°−60°=120°．
故答案为：120°．
直接利用垂直的定义得出∠AOE=90°，进而利用∠AOC：∠COE=2：1，得出∠AOC的度数，进而得出答案．
此题主要考查了垂直的定义以及邻补角，正确得出∠AOC度数是解题关键．
15.【答案】(3,4)或(−7,4)
【解析】解：∵在平面直角坐标系中，线段AB//x轴，
∴点A，B的纵坐标相同，
∵A(−2,4)，
∴设B(a,4)，
∵AB=5，
∴|−2−a|=5，
解得：a=3或a=−7，
∴B(3,4)或(−7,4)．
故答案为：B(3,4)或(−7,4)．
根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相同可设B(a,4)，由两点间的距离公式可得|−2−a|=5，以此求解即可．
本题主要考查坐标与图形性质，熟知平行于x轴的直线上的点纵坐标相同是解题关键．
16.【答案】11≤a<13
【解析】解：x−3x−52<2①2x−a≤−1②，
解不等式①得：x>1，
解不等式②得：x≤a−12，
∴不等式组的解集为：1
∴5≤a−12<6，
解得：11≤a<13．
故答案为：11≤a<13．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据整数解的个数即可得出a的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式的解集并能正确表示不等式组的解集是解题关键．
17.【答案】解：−12022−364− 4+| 3−2|
=−1−4−2+2− 3
=−5− 3．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<4，
则不等式组的解集为1≤x<4，
将解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】解：3x−y=5①4x−3y=10②，
①×3−②得5x=5，
解得x=1，
将x=1代入①得3−y=5，
解得y=−2，
则方程组的解为x=1y=−2．
【解析】利用加减消元法求解即可．
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1即为所求；
(2)A1(−2,−3)，B1(0,1)，C1(−3,0)；
(3)如图可得：
S△ABC=S长方形EFGB−S△BEC−S△CFA−S△AGB
=BE⋅EF−12EB⋅CE−12CF⋅FA−12AG⋅BG
=3×4−12×3×1−12×3×1−12×2×4
=5．
【解析】(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(2)利用(1)中所画图形得出对应点坐标；
(3)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
21.【答案】解：(1)频数分布表中的组距是25−20=5，
25≤x<30的频数m=12，
故答案为：5，12．
(2)n=90−(9+12+15+24+9)=21，
(3)1500×21+990=500(名)，
答：估计获奖的学生有500名．
【解析】(1)由频数分布表可得组距，由频数分布直方图可得m的值；
(2)由各组人数之和等于总人数可得n的值，即可补全图形；
(3)用总人数乘样本中第5、6组人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布直方图及用样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵∠CED=∠GHD，
∴CE//FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB//CD．
(2)解：∵CE//FG，∠EHF=∠GHD=75°，
∴∠CED=∠GHD=75°，
∵AB//CD，∠D=35°，
∴∠HEF=∠D=35°，
∴∠AEM=∠CEF=∠CED+∠HEF=75°+35°=110°．
【解析】(1)只要证明∠FGD=∠EFG即可解决问题．
(2)根据∠AEM=∠CEF=∠CED+∠HEF，求出∠CED，∠HEF即可．
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，
根据题意得：x−y=405x+10y=1100，
解得：x=100y=60．
答：每斤甲种中草药种子的价格是100元，每斤乙种中草药种子的价格是60元；
(2)∵学校需购进乙种中草药种子m斤(其中m为整数)，且甲、乙两种中草药种子共120斤，
∴需购进甲种中草药种子(120−m)斤．
根据题意得：100(120−m)+60m<8500m≤3(120−m)，
解得：1752
∴m可以为88，89，90，
∴该学校共有3种购买方案，
方案1：购买32斤甲种中草药种子，88斤乙种中草药种子，所需费用为100×32+60×88=8480(元)；
方案2：购买31斤甲种中草药种子，89斤乙种中草药种子，所需费用为100×31+60×89=8440(元)；
方案3：购买30斤甲种中草药种子，90斤乙种中草药种子，所需费用为100×30+60×90=8400(元)．
∵8480>8440>8400，
∴最低费用是8400元．
答：该学校共有3种购买方案，最低费用是8400元．
【解析】(1)设每斤甲种中草药种子的价格是x元，每斤乙种中草药种子的价格是y元，根据“每斤甲种种子的价格比每斤乙种种子的价格贵40元，买5斤甲种种子和10斤乙种种子共用1100元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)由购进甲、乙两种中草药种子数量间的关系，可得出需购进甲种中草药种子(120−m)斤，根据“总费用低于8500元，且购进乙种的数量必须不超过甲种数量的3倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出该学校共有3种购买方案，再求出各购买方案所需费用，比较后即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24.【答案】C
【解析】解：(1)A.3x−2<0，解得：x<23，故不符合题意；
B.−2x+2<0，解得：x>1，故不符合题意；
C.−19<2x<−6，解得：−192
故答案为：C．
(2)∵不等式a−2
∴−2a−3>a−22a+3≤a−2，
解得a≤−5，
又∵a+b+c=33a+b−c=5，
解得b=4−2ac=a−1，
∴M=5a+4b+2c=−a+14，
∵a≤−5，
∴M≥19，
∴M的最小值是19；
(3)由2m+n=km−n=3求得m=k+33n=k−63，
∵m≥12，n<−1，
∴k+33≥12k−63<−1，
解得−1.5≤k<3，
∵k为整数，
∴k的值为−1，0，1，2；
不等式P：kx+6>x+4整理得，(k−1)x>−2；不等式Q：6(2x−1)≤4x+2的解集为x≤1，
①当k=1时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当k>1时，不等式P的解集为x>−2k−1，
不能满足P与Q存在“包含”关系，
③当k<1时，不等式P：kx+6>x+4的解集为x<−2k−1，
∵P与Q存在“包含”关系，且Q是P的“子式”，
∴k−1<0，且−2k−1>1，
解得−1
综上所述，k的值为0或1．
(1)逐个将每个不等式解出来，再根据定义判断即可；
(2)由a−2
(3)由2m+n=k，m−n=3，m≥12，n<−1，且k为整数求出k的取值范围，再由P和Q存在“包含”关系，且Q被P“包含”求出k的取值范围，判断两个关于k的不等式是否有公共部分且为整数，如果有则存在，否则不存在．
本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组及其应用．本题是阅读型题目，准确理解新定义并正确应用是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：2a+b−10=0b−a−1=0，
解得：a=3b=4
∴.A(0,3)，B(4,0)；
(2)如图，
∵AM平分∠DAB，BM平分∠CBA，
∴∠DAM=∠MAB=12∠DAB，∠ABM=∠MBC=12∠CBA，
∵∠DAO+∠OBC=360°，
∴∠DAB+∠OAB+∠CBA+∠OBA=360°，
∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠DAB+∠CBA=270°，
∴∠DAB+∠CBA=270°，
∴12∠DAB+12∠CBA=135°，
即∠MAB+∠ABM=135°，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−135°=45°，
∵DC//AB，
∴∠OCD=∠OBA，
∴∠OCD+∠OAB=90°，
∴∠AMB∠OCD+∠OAB=12；
如图，
∵AM平分∠DAB，BM平分∠CBA，
∴∠DAM=∠MAB=12∠DAB，∠ABM=∠MBC=12∠CBA，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−12∠DAB−12∠CBA，
在△ABO中，∠DAB+∠CBA=90°，
∴12∠DAB+12∠CBA=45°，
在△ABM中，∠AMB=180°−∠MAB−∠ABM=180°−45°=135°，
∵DC//AB，
∴∠OCD=∠OBA，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OCD+∠OAB=90°，
∴∠AMB∠OCD+∠OAB=32，
综上所述，∠AMB∠OCD+∠OAB=12或32；
(3)根据题意得S四边形AOBN=12，S四边形AQBP=6，
当0
∴S四边形AQBP=12(AQ+BP)×OA=12×(32t+t)×3=154t，
∵S四边形AQBP=6，
∴154t=6，
∴t=85，
当83
∴S四边形AQBP=S四边形AOBN−S△AOP−S△AQN，
=12−12(4−t)×3−12(32t−4)×4=14−32t，
∵S四边形AQBP=6，
∴14−32t=6，
∴t=163，不符合题意，
当4
S四边形AQBP=12(AP+BQ)×OB=12(7−t+7−32t)×4=28−5t，
由28−5t=6得t=225，
综上，当t=85或t=225时，以P、A、B、Q组成的图形面积为四边形AOBN面积的一半．
【解析】(1)根据非负数的性质得到关于a、b的方程组，解方程组得到a、b的值，即可得到A，B两点的坐标；
(2)画出图形，分CD在AB上方和CD在AB下方两种情况分别进行求解即可；
(3)按照t的取值范围，分情况列出方程求解即可．
此题考查了坐标与图形、一元一次方程的应用、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键．
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