2022-2023学年广东省汕头市濠江区广大实验学校九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年广东省汕头市濠江区广大实验学校九年级（下）期中数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省汕头市濠江区广大实验学校九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是(    )


A. B. C. D.
2. 为了考查一批日光灯管的使用寿命，从中抽取了30只进行试验，在这个问题中，下列说法正确的有(    )
①总体是指这批日光灯管的全体；
②个体是指每只日光灯管的使用寿命；
③样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命；
④样本容量是30只．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列计算正确的是(    )
A. x2+x=x3 B. 2ab2−ba2=ab2
C. 3x2y+2yx2=5x2y D. 3÷(−12)×2=−3
4. 若方程(a−2)x2+ax−3=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是(    )
A. a≥2 且 a≠2 B. a≥0 且 a≠2 C. a≥2 D. a≠2
5. 有以下四个命题：①反比例函数y=2x，y随x的增大而减小；②抛物线y=x2−2x+2与x轴无交点；③同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；④有一个角相等的两个等腰三角形相似.其中正确命题的个数为(    )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF=2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为(    )
A. 2cm2
B. 3cm2
C. 4cm2
D. 5cm2
7. 已知反比例函数y=4x，当−4≤x≤m时，n≤y≤n+3，则m的值是(    )
A. −2 B. −1 C. 2 D. 1
8. 若数a使关于x的分式方程1x−3+x+a3−x=1有非负整数解，且使关于x的二次函数y=4x2+(a+6)x−a−3其对称轴在y轴左侧，则符合条件的所有整数a的和是(    )
A. −5 B. −3 C. 0 D. 2
9. 如图，半⊙O的半径为2，点P是⊙O直径AB延长线上的一点，PT切⊙O于点T，M是OP的中点，射线TM与半⊙O交于点C.若∠P=20°，则图中阴影部分的面积为(    )

A. 1+π3 B. 1+π6 C. 2sin20°+29π D. 23π
10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=BC=4，AD=3，E是边AB上一点，且∠DCE=45°，则DE的长度是(    )
A. 3.2
B. 3.4
C. 3.6
D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 抛物线y=x2+4的对称轴是______．
12. 一个正数a的两个平方根是2m−1和m+4，则这个正数a=______．
13. 有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡AB的坡度i=1：2，则此斜坡AB的长为______ m.
14. 如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，则第2019次输出的结果为______．

15. 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC.以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，当以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形时点N的坐标为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)计算：|−3|− 12+2sin30°+(−1)2021．
(2)解分式方程：2x+3x−2−1=x−12−x．
17. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC中点，AE//BC，CE//AD．
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)过点D作DF⊥CE于点F，∠B=60°，AB=6，求EF的长．





18. (本小题8.0分)
2022年虎年新春，中国女足3：2逆转韩国，时隔16年再夺亚洲杯总冠军：2022年国庆，中国女篮高歌猛进，时隔28年再夺世界杯亚军，一扫男足、男篮颓势，展现了中国体育的风采！为了培养青少年人才储备，雅礼某初中开展了“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种).根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同学同时被选中的概率．


19. (本小题9.0分)
某批发商以24元/箱的进价购进某种蔬菜，销往零售超市，已知这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折.批发商通过分析销售情况，发现这种蔬菜的销售量y(箱)与当天的售价x(元/箱)满足一次函数关系，如表是其中的两组对应值．
售价x(元/箱)
…
35
38
…
销售量y(箱)
…
130
124
…
(1)若某天这种蔬菜的售价为42元/箱，则当天这种蔬菜的销售最为______ 箱；
(2)该批发商销售这种蔬菜能否在某天获利1320元？若能，请求出当天的销售价；若不能，请说明理由．
(3)批发商搞优惠活动，购买一箱这种蔬菜，赠送成本为6元的土豆，这种蔬菜的售价定为多少时，可获得日销售利润最大，最大日销售利润是多少元？
20. (本小题9.0分)
如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是该圆直径，D是弧AC上的点，线段BD与AC交于点E，若AB=5，sin∠CAB=35,CE=m,DEBE=k．
(1)试用含m的代数式表示k；
(2)若AD//OC，求k的值．

21. (本小题9.0分)
如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B，过B作BC⊥x轴子点C，且tan∠ACO=12．
(1)求k的值；
(2)设点P为反比例函数y=kx(x>0)的图象上一点，过点P作PQ//y轴交直线y=x+1于点Q，连接AP，AQ，若△APQ的面积S=2.求点Q的坐标；
(3)设点D(1,a)是反比例函数y=kx(x>0)图象上的点，在y轴上是否存在点M使得BM+DM最小？若存在，求出点M的坐标及BM+DM的最小值；若不存在，请说明理由．

22. (本小题12.0分)
如图1，在三角形ABC中，角ACB=90度，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若三角形BPQ与三角形ABC相似，求t的值；
(2)直接写出三角形BPQ是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若AQ垂直CP，求t的值．

23. (本小题12.0分)
如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交BC于点F．

(1)求顶点D的坐标；
(2)如图2所示，过点C的直线交线段BD于点M，交抛物线于点N．
①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2：1，求点M的坐标；
②若∠NCB=∠DBC，求点N的坐标．
(3)如图1，若点P为线段OC上的一动点，请直接写出2AP+CP的最小值．
答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：如图所示，其俯视图是：．
故选：D．
直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案．
此题主要考查了作三视图，正确掌握俯视图观察角度是解题关键．

2.【答案】B 
【解析】解：本题中的总体是指这批日光灯管的全体的使用寿命，样本容量是30，所以①④不正确．
个体是指每只日光灯管的使用寿命，样本是指从中抽取的30只日光灯管的使用寿命，所以②和③正确．故选B
本题考查的是确定总体．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”.我们在区分总体、个体、样本、样本容量这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体，再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
本题考查的是确定总体、个体、样本．解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据，而非考查的事物．”

3.【答案】C 
【解析】解：A、x2与x不能合并，故A不符合题意；
B、2ab2与−ba2不能合并，故B不符合题意；
C、3x2y+2yx2=5x2y，故C符合题意；
D、3÷(−12)×2=3×(−2)×2=−12，故D不符合题意；
故选：C．
利用合并同类项，有理数的乘法，除法的法则进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了合并同类项，有理数的乘法，除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意得：
a−2≠0，
解得：a≠2，
故选：D．
根据一元二次方程的一般形式：形如：ax2+bx+c=0(a,b,c为常数且a≠0)，可得a−2≠0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

5.【答案】D 
【解析】解：①由反比例函数y=2x可知k=2>0，所以在每个象限内，y随x的增大而减小，原说法错误；
②由抛物线y=x2−2x+2可知b2−4ac=4−4×1×2=−4<0，所以该抛物线的图象与x轴无交点，原说法正确；
③在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧和劣弧分别相等，原说法错误；
④两个等腰三角形的顶角相等(或底角相等)的两个等腰三角形相似，若一个三角形的顶角与另一个三角形的底角相等两个等腰三角形不相似，所以原说法错误；综上所述正确的有一个；
故选：D．
根据反比例函数与二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判定可进行求解．
本题主要考查反比例函数与二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判定，熟练掌握反比例函数与二次函数的性质、圆的性质及相似三角形的判定是解题的关键．

6.【答案】C 
【解析】解：∵D是BC的中点，
∴S△ABD=S△ADC(等底等高的三角形面积相等)，
∵E是AD的中点，
∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△CDE(等底等高的三角形面积相等)，
∴S△ABE=S△DBE=S△DCE=S△AEC，
∴S△BEC=12S△ABC=6cm2．
∵EF=2FC，
∴S△BEF=23S△BCE，
∴S△BEF=23S△BEC=4cm2．
故选：C．
根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，从而计算△BEC的面积，根据EF=2FC，可得结论．
此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．

7.【答案】B 
【解析】解：∵−4≤x≤m时，n≤y≤n+3，
∴m<0，
∴当−4≤x≤m时，y=4x随x的增大而减小，
∴当x=−4时，y=n+3，
当x=m时，y=n，
∴−4(n+3)=4，mn=4，
∴m=−1，n=−4．
故选：B．
根据反比例函数的性质求解
本题考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的图象和性质是求解本题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：∵二次函数y=4x2+(a+6)x−a−3的对称轴在y轴左侧，
∴−a+68<0，
解得：a>−6，
1x−3+x+a3−x=1，
1−x−a=x−3，
解得：x=4−a2，
∵分式方程有非负整数解，
∴4−a2≥0且4−a2≠3，
解得：a≤4且a≠−2，
∴−6 ∴符合条件的整数a=−4，0，2，4，
∴符合条件的所有整数a的和为2，
故选：D．
根据二次函数的性质可得−a+68<0，从而可得a>−6，然后解分式方程可得x=4−a2，从而根据题意可得4−a2≥0且4−a2≠3，最后进行计算可得−6 本题考查了二次函数的性质，分式方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：连接OT、OC，
∵PT切⊙O于点T，
∴∠OTP=90°，
∵∠P=20°，
∴∠POT=70°，
∵M是OP的中点，
∴TM=OM=PM，
∴∠MTO=∠POT=70°，
∵OT=OC，
∴∠MTO=∠OCT=70°，
∴∠OCT=180°−2×70°=40°，
∴∠COM=30°，
作CH⊥AP，垂足为H，则CH=12OC=1，
S阴影=S△AOC+S扇形OCB=12OA⋅CH+30π×22360=1+π3，
故选：A．
连接OT、OC，可求得∠COM=30°，作CH⊥AP，垂足为H，则CH=1，于是，S阴影=S△AOC+S扇形OCB，代入可得结论．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了等腰三角形的判定与性质和含30度的直角三角形三边的关系．

10.【答案】B 
【解析】解：如图，过C作CG⊥AD于G，并延长DG至F，使GF=BE，

∵∠A=∠B=∠CGA=90°，AB=BC，
∴四边形ABCG为正方形，
∴AG=BC=4，∠BCG=90°，BC=CG，
∵AD=3，
∴DG=4−3=1，
∵BC=CG，∠B=∠CGF，BE=FG，
∴△EBC≌△FGC(SAS)，
∴CE=CF，∠ECB=∠FCG，
∵∠ECB+∠ECG=∠BCG=90°，
∴∠FCG+∠ECG=90°=∠ECF，
∵∠DCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=∠DCG+∠FCG=90°−∠DCE=45°，
∴∠DCE=∠DCF，
∵CE=CF，∠DCF=∠DCE，DC=DC，
∴△ECD≌△FCD(SAS)，
∴ED=DF，
设ED=x，则EB=FG=x−1，
∴AE=4−(x−1)=5−x，
Rt△AED中，AE2+AD2=DE2，
∴(5−x)2+32=x2，
解得：x=3.4，
∴DE=3.4．
故选：B．
过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，延长DG至F，使GF=BE，先证四边形ABCG是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形)，再设DE=x，在Rt△AED中利用勾股定理可求出ED的长．
本题考查的是正方形的判定与性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．

11.【答案】y轴 
【解析】解：抛物线y=x2+4的对称轴是y轴．
故答案为：y轴；
直接利用顶点式得出抛物线的对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，正确利用顶点式得出抛物线的对称轴是解题关键．

12.【答案】9 
【解析】解：由题意得，2m−1+m+4=0，
解得：m=−1，
则a=(m+4)2=(−1+4)2=9．
故答案为：9．
一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得出m的值，继而可得出a的值．
本题考查了平方根的知识，属于基础题，关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

13.【答案】30 5 
【解析】解：∵高度BC为30m，斜坡AB的坡度i=1：2，
∴i=BC：AC=1：2，
∴AC=2BC=60m，
∴AB= AC2+BC2=30 5m．
故答案为：30 5．
根据坡度等于铅直高度除以水平距离，可得AC的长，再由勾股定理，进行求解即可．
本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握，坡度等于铅直高度除以水平距离，是解题的关键．

14.【答案】2 
【解析】解：由设计的程序，知
依次输出的结果是50，25，32，16，8，4，2，1，8，4，2，1…，发现从第5次开始以8，4，2，1循环．
则2019−4=2015，2015÷4=503…3，故第2019次输出的结果是2．
故答案为：2
根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算．
此题主要考查了数字的变化规律，正确发现循环的规律，根据循环的规律进行推广，该题中除前4次不循环外，后边是4个一循环．

15.【答案】(2,23)，(0,2)或(2,1) 
【解析】解：过点E作EF⊥x轴于点F，如图1

∵DE⊥DC
∴∠CDO+∠EDF=90°
∵∠CDO+∠OCD=90°
∴∠OCD=∠EDF
在△OCD和△FDE中
∠OCD=∠FDE∠COD=∠DFECD=DE
∴△COD≌△DFE(AAS)
∴OD=EF，DF=CO
∵CO=OA=2，D为OA中点
∴EF=OD=DA=1，DF=OC=2
∴E(3,1)；
设两点抛物线的解析式为：y=a(x−h)2+k
∵抛物线以直线AB为对称轴且过C，E
∴h=2
∴4a+k=2a+k=1
解得：a=13k=23
∴抛物线的解析式为：y=13(x−2)2+23．
①若以DE为平行四边形的对角线，如图2

此时，点N就是抛物线的顶点(2,23)，
由对称性可知点M在DE与AB交点的下方，且在点A上方；
②过点C作CM//DE，交抛物线的对称轴于点M，连接ME，如图3，

易证△OCD≌△BCM(ASA)
∴CM=CD=DE，BM=OD=1
∴四边形CDEM是平行四边形
此时点N与点C重合
∴N(0,2)；
③点N在抛物线对称轴右侧，MN//DE，如图4，

作NG⊥BA于点G，延长DM交BN于点H
∵MNED是平行四边形
∴∠MDE=∠MNE，∠ENH=∠DHB
∵BN//DF
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH
在△BMN和△FED中
∠MBN=∠EFD∠BNM=∠FDEMN=DE
∴△BMN≌△FED(AAS)
∴BM=EF=1，BN=DF=2
∴N(4,2)．
故答案为：(2,23)，(0,2)或(4,2)．
先利用全等求得点E的坐标，进而求得抛物线的解析式，然后分三种情况讨论：N在抛物线的顶点处；N在对称轴的左侧；N在抛物线对称轴右侧．
本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，明确二次函数的相关性质及平行四边形的性质和全等三角形的判定等知识点，是解题的关键．

16.【答案】解：(1)|−3|− 12+2sin30°+(−1)2021
=3−2 3+2×12+(−1)
=3−2 3+1−1
=3−2 3；
(2)2x+3x−2−1=x−12−x，
方程变形为：2x+3x−2−1=−x−1x−2，
去分母，得2x+3−(x−2)=−(x−1)，
去括号，得2x+3−x=2=−x+1，
移项，得2x−x+x=1−2−3，
合并，得2x=−4，
∴x=−2．
经检验，x=−2是分式方程的解．
所以原分式方程的解为x=−2． 
【解析】(1)先算乘方、化简二次根式，再代入特殊角的函数值算乘法、化简绝对值，最后加减；
(2)按解分式方程的一般步骤求解即可．
本题考查了实数的运算和解分式方程，掌握特殊角的函数值、二次根式的化简、解分式方程的一般步骤是解决本题的关键．

17.【答案】(1)证明：∵AE//DC，EC//AD，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠BAC=90°，点D是BC的中点，
∴AD=BD=CD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
(2)解：∵∠B=60°，AD=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°，AD=AB=6，
∵AD//CE，
∴∠DCE=60°，
∵CD=AD=6，DF⊥CE，
∴∠FDC=30°，
∴CF=12CD=3，
∵四边形ADCE是菱形，
∴CE=CD=6，
∴EF=3． 
【解析】此题主要考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．(1)首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形；
(2)根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB=60°，AD=AB=6，解直角三角形得到CF=12CD=3，根据菱形的性质得到结论．

18.【答案】(1)100．
补全条形统计图如下：


(2)18°．

(3)画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为212=16． 
【解析】解：(1)本次被调查的学生人数为30÷30%=100(名)．
选择“足球”的人数为35%×100=35(名)．
补全条形统计图如下：

故答案为：100．
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为 5100×360°=18°．
故答案为：18°．
(3)见答案．
(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可．
(2)用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以360°即可．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂条形统计图和扇形统计图，掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．

19.【答案】116 
【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系为y=kx+b，
根据题意得：35k+b=13038k+b=124，
解得：k=−2b=200，
∴y=−2x+200，
∴当x=42时，y=−2×42+200=116，
∴当天这种蔬菜的销售量为116箱；
故答案为116；
(2)根据题意得：(−2x+200)(x−24)=1320，
解得x1=34，x2=90，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，且不高于45，
∴36≤x≤45，
∴34，90都不满足题意，
所以该批发商销售这种蔬菜不能在某天获利1320元；
(3)设日获得利润为w元，
则w=(−2x+200)(x−24−6)=−2(x−65)2+2450，
∵a=−2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x<65时，w的值随x值的增大而增大，
∵这种蔬菜售价不低于45×0.8=36，
∴36≤x≤45，
∴当x=45时，W最大=−2×(45−65)2+2450=1650(元)，
答：这种蔬菜的售价为45元，可获得最大日利润为1650元．
(1)设y与x之间的函数关系为y=kx+b，用待定系数法求函数解析式即可；
(2)根据题意列出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值，然后根据这种蔬菜的标价为45元/箱，实际售价不低于标价的八折得出x的取值范围为36≤x≤45，从而确定方程的解；
(3)根据每天的利润=单箱的利润×销量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．
本题考查了销售问题的数量关系在解决实际问题是的运用，一次函数的解析式的运用和二次函数的解析式的运用，解答时根据题意建立函数关系是解答本题的难点和关键．

20.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，sin∠CAB=35，
∴BC=AB⋅sin∠CAB=5×35=3，
∴AC= AB2−BC2= 52−32=4，
∵∠D=∠ECB，∠DEA=∠CEB，
∴△DEA∽△CEB，
∴DEAE=CEEB，
∴DE4−m=mBE，
∴DE=m(4−m)BE，
∵DEBE=k，
∴m(4−m)BEBE=k，
∴BE2=m(4−m)k，
在Rt△CEB中，BE2=CE2+BC2，
∴BE2=m2+9，
∴m2+9=m(4−m)k，
∴k=4m−m2m2+9；
(2)∵AD//OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠ACO，
∵∠DAC=∠DBC，
∴∠DBC=∠OAC，
∵∠ACB=∠BCE，
∴△CBE∽△CAB，
∴CBCA=CECB，
∴34=m3，
∴m=94，
∴k=4m−m2m2+9=4×94−(94)2(94)2+9=725，
∴k的值为725． 
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC，再利用勾股定理求出AC，然后再证明△DEA∽△CEB，从而利用相似三角形的性质可得DE=m(4−m)BE，
再结合已知可得BE2=m(4−m)k，最后在Rt△CEB中，利用勾股定理可得BE2=m2+9，从而可得m2+9=m(4−m)k，进行计算即可解答；
(2)根据平行线的性质可得∠DAC=∠ACO，根据等腰三角形的性质可得∠OAC=∠ACO，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠DAC=∠DBC，从而可得∠DBC=∠OAC，然后证明△CBE∽△CAB，从而利用相似三角形的性质可求出m的值，再代入(1)的结论进行计算即可解答．
本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

21.【答案】解：(1)在y=x+1中，令x=0，解得：y=1，则A的坐标是(0,1)，令y=0，解得：x=−1，则E的坐标是(−1,0)．
则OA=OE，即△OAE是等腰直角三角形．
∵tan∠ACO=12，即OAOC=12，
∴OC=2，即C的坐标是(2,0)，EC=3．
∵BC⊥x轴，
∴△OAE∽△BEC．
∴△BEC是等腰直角三角形．
∴BC=OE=3，
∴B的坐标是(2,3)．
代入y=kx得：k=6；
(2)设P的横坐标是x，则纵坐标是6x，
在y=x+1，Q的坐标是(x,x+1)．
则当x<2时，PQ=6x−x−1，根据题意得：12x(6x−x−1)=2，
解得：x=1或−2(舍去)．
则Q的坐标是(1,2)；
当x>2时，PQ=x+1−6x，根据题意得：12x(x+1−6x)=2，
解得：x=−1− 412(舍去)或−1+ 412．
则Q的坐标是(−1+ 412,1+ 412)；
(3)在y=6x中，当x=1时，y=6，则D的坐标是(1,6)．
D关于y轴的对称点D′坐标是(−1,6)．
设D′B的解析式是：y=kx+b，
根据题意得：−k+b=62k+b=3，
解得：k=−1b=5，
则直线的解析式是y=−x+5．
令x=0，解得y=5，
则M的坐标是(0,5)．
∵D′B= (−1−2)2+(6−3)2=3 2．
∴BM+DM最小值=D′B=3 2． 
【解析】(1)首先求得A的坐标，然后根据正切函数的定义求得OC的长，然后证明△BEC是等腰直角三角形，即可求得B的坐标，利用待定系数法求得k的值；
(2)设P的横坐标是x，则纵坐标是6x，Q的坐标是(x,x+1)，然后分x<2和x>2两种情况即可求得PQ的长，然后根据三角形的面积公式列方程求得x的值，进而求得Q的坐标；
(3)求得D关于y轴的对称点D′坐标，然后利用待定系数法求得直线D′B的解析式，求出直线与y轴的交点即可．D′B的长就是及BM+DM的最小值．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，以及相似三角形的判定与性质，正确利用x表示出PQ的长是关键．

22.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB= AC2+BC2=10cm；
分两种情况讨论：
①当△BPQ∽△BAC时，BPBA=BQBC，
∵BP=5t，QC=4t，AB=10，BC=8，
∴5t10=8−4t8，解得，t=1，
②当△BPQ∽△BCA时，BPBC=BQBA，
∴5t8=8−4t10，解得，t=3241；
∴t=1或3241时，△BPQ∽△BCA；

(2)分三种情况：
①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，
则BH=12BQ=4−2t，PB=5t，
∴PH//AC，
∴PBAB=BHBC，即5t10=4−2t8
解得：t=23，
②当PB=BQ时，即5t=8−4t，
解得：t=89，
③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，
则BG=12PB=52t，BQ=8−4t，
∵△BGQ∽△ACB，
∴BGBC=BQAB，
即52t8=8−4t10，
解得：t=6457．
综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：23或89或6457．

(3)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，如图3所示：
则PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，
∵AQ⊥CP，
∴∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，
∴∠NAC=∠PCM，
∵∠ACQ=∠PMC，
∴△ACQ∽△CMP，
∴ACCM=CQMP，
∴68−4t=4t3t，解得t=78，
∴满足条件的t的值为78． 
【解析】(1)分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA=BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC=BQ：BA，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可；
(2)分三种情况：①当PB=PQ时，如图1，过P作PH⊥BQ，则BH=12BQ=4−2t，PB=5t，根据平行线分线段成比例定理得到PBAB=BHBC，即5t10=4−2t8解得t=23，②当PB=BQ时，即5t=8−4t，解得t=89，③当BQ=PQ时，如图2，过Q作QG⊥AB于G，则BG=12PB=52t，BQ=8−4t，通过△BGQ∽△ACB，得到比例式BGBC=BQAB，解得：t=6465．
(3)过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8−4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM=CQ：MP，代入计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．

23.【答案】解：(1)将A(−1,0)代入y=ax2+bx+3得：0=a−b+3①，
∵顶点D的横坐标为1，
∴−b2a=1，即b=−2a②，
联立①②解得a=−1，b=2，
∴y=−x2+2x+3，
当x=1时，y=4，
∴D(1,4)；
(2)①由(1)得y=−x2+2x+3，
当y=0时，x1=−1，x2=3，
∴B(3,0)，即BO=3，
如图，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，

∴△DGM1∽△DHM2∽△DEB，△BQM2∽△BPM1∽△BED，且相似比为1：2：3，
∴yM1=23yD=83，xM1=xD+13(xB−xD)=53，
∴M1(53,83)，
同理可得：M2(73,43)，
∴点M的坐标为：M1(53,83)，M2(73,43)；
②∵∠NCB=∠DBC，
∴CM=MB，
取线段BC的中点G，作直线GM，

∵点B(3,0)，点C(0,3)，
∴中点G的坐标为(32,32)，OB=OC=3，
∵CM=MB，
∴点M、点O、点G在线段BC的垂直平分线上，
∴GM⊥BC，
∴设直线GM为y=x+m，
将G(32,32)代入得m=0，
∴lGM：y=x①，
设直线BD为y=kx+n，
将B，D坐标代入得k=−2，n=6，
∴lBD：y=−2x+6②，
联立①②并解得x=2y=2，
∴M(2,2)，
设直线MC为y=k2x+n2，
将M(2,2)，C(0,3)坐标代入得k2=−12，n2=3，
∴y=−12x+3③，
联立③与y=−x2+2x+3并解得x=52y=74，x=0y=3(不合题意舍去)，
∴N(52,74)，
故N的坐标为(52,74)；
(3)作∠OCH=30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P，如图，

∵∠OCH=30°，
∴在Rt△PCG中，PG=12PC，
∴AG=AP+PG=AP+12PC，
根据A、P、G三点共线，可知此时AP+12PC最小，最小值为AG，
∴2AG=2AP+PC，此时2AP+CP有最小值，
此时∵∠AOP=∠AGP=90°，∠APO=∠APG，
∴∠OAP=∠GCP=30°，
∵OA=1，OC=3，
∴OP=AO×tan∠OAP= 33，
∴PC=OC−OP=3− 33，AP=2OP=2 33，
∴2AG=2AP+PC=4 33+3− 33=3+ 3，
即2AP+CP的最小值为3+ 3． 
【解析】(1)将点A坐标代入函数关系式可得a与b 的方程，再根据顶点D的横坐标为1可得另一个关于a和b的方程，联立方程组求解即可得到a和b的值，进而求得抛物线的函数关系式，再将顶点D的横坐标代入即可求得点D坐标；
(2)①如图，取DB的三等分点M1，M2，过点M1，M2分别作x轴，y轴的平行线分别交DE、x轴于点G、H、P、Q，通过证相似三角形可得点M的横纵坐标与点B、D的横纵坐标之间的数量关系，进而得解；
②取线段BC的中点G，连接GM，由中点坐标可得G(32,32)，根据等腰三角形的三线合一可得GM⊥BC，再根据两条直线互相垂直可求得lGM：y=x，与lBD：y=−2x+6联立方程组可求得点M的坐标，再由M(2,2)，C(0,3)，利用待定系数法可得y=−12x+3，最后将y=−12x+3与y=−x2+2x+3联立方程组即可求得点N的坐标；
(3)作∠OCH=30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P，根据∠OCH=30°，可得在Rt△PCG中，PG=12PC，即AG=AP+PG=AP+12PC，根据A、P、G三点共线，可知此时AP+12PC最小，最小值为AG，问题随之得解．
本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，相似三角形的判定及性质等知识，能够根据题意做出正确的辅助线，利用数形结合思想进行转化是解决本题的关键．