2022-2023学年广东省中山市小榄镇九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省中山市小榄镇九年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我国的海岸线长，用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  四个实数，，，中，最小的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  若方程没有实数根，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下面四个几何体中，其主视图不是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  对于双曲线，当时，随的增大而减小，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，直线、相交于点，射线平分，若，则等于(    )
 

A.
B.
C.
D.

9.  如图，等腰直角三角形的直角顶点与坐标原点重合，分别过点、作轴的垂线，垂足为、，点的坐标为，则线段的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，点为边的中点，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  将因式分解为______ ．

12.  不等式组：的解集是______ ．

13.  如图，已知，，，则 ______ ．
 

14.  将一副三角尺如图所示叠放在一起，若，则阴影部分的面积是______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，按此规律继续作下去，则点的坐标为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为，宽为，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为，斜坡的起始点为，现设计斜坡的坡度：，求的长度．

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简：，然后在、、三个数中选一个合适的数作为的值代入求值．

19.  本小题分
如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
 

若，求的度数；   

求证：   

20.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点．
分别求出这两个函数的表达式；
根据图象直接写出不等式的解集；
求的面积．

21.  本小题分
冰墩墩，是年北京冬季奥运会的吉祥物将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰雪运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销小李在某网店选中，两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售两款玩偶的进货价和销售价如表：

第一次小李以元购进了，两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个？
第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半小李计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，在直角三角形中，，，为中点，，且两边分别于，的延长线交于点、点．

若，求证：；
如图，将绕点旋转，两边分别于，交于点、点．
求证：∽，
若，，求的长．

23.  本小题分
已知二次函数经过点、，与轴交于另一点，抛物线的顶点为．
求此二次函数解析式；
连接、、，求证：是直角三角形；
在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

2.【答案】 

【解析】解：、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
在四个实数，，，中，
，
最小的是，
故选：．
先利用平方法比较与的大小，然后再比较四个数的大小，即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方法比较大小是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，正确．
故选：．

直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：关于的方程没有实数根，
，
解得：，
只能为，
故选：．
根据根的判别式和已知条件得出，求出不等式的解集，再得出答案即可．
本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程、、为常数，，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根．
 

6.【答案】 

【解析】解：、立方体的主视图是正方形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、球体的主视图是圆，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、圆锥的主视图是等腰三角形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、圆柱的主视图是矩形，是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选C．
首先得出各几何体的主视图的形状，进而结合中心对称图形的定义得出答案．
本题主要考查简单几何体的三视图以及中心对称图形的定义，正确得出各几何体的主视图是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：双曲线，当时，随的增大而减小，
，
解得：．
故选：．
根据反比例函数的性质，即可得出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大．
 

8.【答案】 

【解析】解：与是对顶角，
，
，
射线平分，
，
．
故选：．
直接利用对顶角的定义以及角平分线的定义得出，进而得出答案．
此题主要考查了对顶角、邻补角以及角平分线的定义，正确得出是解题关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，轴，
，，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
．
故选：．
由等腰直角三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，点为边的中点，
，
，
是等边三角形，
，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得是等边三角形；然后利用等边三角形的性质即可求得的长度；最后由勾股定理求得线段的长度即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等边三角形的判定与性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：

，
故答案为：．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：先解不等式组中的每一个不等式的解集得，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间找”来求不等式组的解集为：．
先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到无解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，
，
，
．
故答案为：．
根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和求出，再根据两直线平行，内错角相等解答．
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，是基础题，熟记各性质是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
．
由题意可知，
，
．
故
故答案为：．
由于，那么也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边的长；中，已知斜边及的度数，易求得的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．
发现是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边的长，是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：、，
，
的坐标为：，
同理可得：的坐标为：，的坐标为：，的坐标为，的坐标为，
由此可发现规律，这些点的坐标的为位置都在坐标轴上，经过次一循环后又回到相应的坐标轴上，
点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，
且对应点的纵、横坐标值一个为，一个的绝对值为，

，
点在轴负半轴上，
点横坐标为，即，
故答案为：
分别写出、、的坐标找到变化规律后写出答案即可．
本题考查了点的坐标规律型问题，解题的关键是根据点的坐标的变化得到规律，利用得到的规律解题．
 

16.【答案】解：过点作于，
根据题意得：，，
斜坡的坡度：，
：：，
，
．
的长度是．
答：的长度为． 

【解析】首先过点作于，根据题意即可求得与的长，然后由斜坡的坡度：，求得的长，继而求得答案．
此题考查了解直角三角形的应用：坡度问题，难度适中，注意掌握坡度的定义，注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．
 

17.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】解：原式


，
由题意得：和，
当时，原式． 

【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

19.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．
证明：平分，
，
，
，
，
．

 

【解析】利用等腰三角形的性质求出，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明，即可解决问题．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，
，
反比例函数为，
，
即，
把和代入一次函数中得：
，
解得，
一次函数，反比例函数；
由图象可得：当时，；
一次函数与轴交于点，
点，
，
的面积为：． 

【解析】将点，点代入解析式，即可求解；
结合图象可求解；
根据一次函数确定点的坐标，计算的面积即可．
本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键．
 

21.【答案】解：设小李购进款冰墩墩个，则购进款冰墩墩个，
由题意可得：，
解得，
，
答：小李购进款冰墩墩个，购进款冰墩墩个；
设小李购进款冰墩墩个，则购进款冰墩墩个，利润为元，
由题意可得，
随的增大而增大，
网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．
，
解得，
为整数，
当时，取得最大值，此时，，
答：小李购进款冰墩墩个，购进款冰墩墩个时，才能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；
根据题意和表格中的数据，可以写出利润和购进款冰墩墩数量的函数关系，然后根据网店规定款玩偶进货数量不得超过款玩偶进货数量的一半．可以得到购进款冰墩墩数量的取值范围，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
 

22.【答案】证明：，，为中点，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌
；
证明：，
，
，
，
，
，，
∽；
解：过点作于，

，
，
由可知∽，

，
，
，，
∽，
，即，
解得，，
由勾股定理得，． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质得到，证明≌，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
由得，可得，由得，则，即可证明结论；
作于，根据等腰直角三角形的性质求出，由相似三角形的性质求出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，根据勾股定理计算，即可得到答案．
本题是相似综合题，考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：二次函数经过点、，
根据题意，得，
解得，
抛物线的解析式为．
证明：由得，点坐标为，
令，，解得或，
，，
，
，
，
，，
，
是直角三角形；
解：存在．
对称轴为直线．
若以为底边，则，

设点坐标为，根据勾股定理可得，，
因此，即．
又在抛物线上，
，即，
解得，舍，
，
，
即点坐标为
若以为一腰，
点在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点与点关于直线对称，
此时点坐标为．
符合条件的点坐标为或． 

【解析】将、代入二次函数求得、的值即可确定二次函数的解析式；
分别求得线段、、的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可；
分别以为底和以为腰两种情况讨论．运用两点间距离公式建立起点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解．
此题是一道典型的“存在性问题”，结合二次函数图象和等腰三角形的性质，考查了它们存在的条件，有一定的开放性．