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2023年河南省中考数学试卷（含答案解析）
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这是一份2023年河南省中考数学试卷（含答案解析），共19页。试卷主要包含了 下列各数中最小的数是， 2022年河南省出版的4，59×107B， 化简a−1a+1a的结果是等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省中考数学试卷
1. 下列各数中最小的数是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同
3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.59×107 B. 45.9×108 C. 4.59×108 D. 0.459×109
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80∘，∠2=30∘，则∠AOE的度数为( )
A. 30∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 80∘
5. 化简a−1a+1a的结果是( )
A. 0 B. 1 C. a D. a−2
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55∘，则∠AOB的度数为( )
A. 95∘
B. 100∘
C. 105∘
D. 110∘
7. 关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 19
9. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10. 如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6 B. 3 C. 4 3 D. 2 3
11. 某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______ 套劳动工具.
12. 方程组3x+y=5x+3y=7的解为______ .
13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测.如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有______ 棵.
14. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，则CA的长为______ .
15. 矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______ .
16. (1)计算：|−3|− 9+5−1；
(2)化简：(x−2y)2−x(x−4y).
17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a.配送速度得分(满分10分)：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b.服务质量得分统计图(满分10分)：
c.配送速度和服务质量得分统计表：
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s甲2
乙
8
8
7
s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m=______ ；S甲2______ S乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息(列出一条即可)？
18. 如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE.
19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A( 3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF.
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.
20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF=11m，BH=20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).
21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围.
22. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l//y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1R1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2R2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______ ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______ 个单位长度.
(2)探究迁移
如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0∘<α<90∘)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD=m，求P，P3两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下，若α=60∘，AD=2 3，∠PAB=15∘，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵1<3<4，
∴1< 3<2，
根据实数的大小可得：
−1<0<1< 3，
所以−1最小．
故选：A.
先判断 3的范围，再比较几个实数．
本题主要考查了实数的大小的知识，难度不大，认真比较即可．
2.【答案】A
【解析】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A.
根据三视图的定义求解即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：4.59亿=459000000=4.59×108.
故选：C.
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠AOD=∠1=80∘，
∴∠AOE=∠AOD−∠2=80∘−30∘=50∘.
故选：B.
由对顶角的性质得到∠AOD=∠1=80∘，即可求出∠AOE的度数．
本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
5.【答案】B
【解析】解：原式=a−1+1a=1.
故选：B.
根据分式的加法法则计算即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=2∠C，∠C=55∘，
∴∠AOB=110∘，
故选：D.
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：∵Δ=m2−4×1×(−8)=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A.
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】D
【解析】解：由函数图象可得，a<0，−b2a>0，
∴b>0，
∴y=x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限，
故选：D.
根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．
本题考查二次函数，一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数，一次函数的图象及性质．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC，
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30∘，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30∘，
过点O作OC⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cos30∘=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6.
故选：A.
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30∘，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OC⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cos30∘，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】3n
【解析】解：∵给每个年级配发n套劳动工具，
∴3个年级共需配发3n套劳动工具．
故答案为：3n.
根据题意列出代数式即可．
本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
12.【答案】x=1y=2
【解析】解：{3x+y=5①x+3y=7②，
①+②，得4x+4y=12，
∴x+y=3③．
①-③，得2x=2，
∴x=1.
②-①，得2y=4，
∴y=2.
∴原方程组的解为x=1y=2.
故答案为：x=1y=2.
利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
13.【答案】280
【解析】解：由统计图可得，该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约占10%+18%=28%，
∵1000×28%=280(棵)，
∴该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有280棵．
故答案为：280.
由统计图得到高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗所占的百分比，再列式计算即可．
本题考查扇形统计图的应用，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息．
14.【答案】103
【解析】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90∘，
∵OA=OB，OC=OC，CA=CB，
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠OAP=∠OBC=90∘，
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
∴OP= OA2+AP2= 52+122=13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积，
∴12OA⋅AC+12OP⋅BC=12OA⋅AP，
∴OA⋅AC+OP⋅BC=OA⋅AP，
∴5AC+13BC=5×12，
∴AC=BC=103，
故答案为：103.
连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=90∘，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP=∠OBC=90∘再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】2或1+ 2
【解析】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND=90∘时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∴MN//AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN=DN，
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2；
如图2，当∠NMD=90∘时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN，
∵∠A=90∘，AB=AN=1，
∴BN= 2AB= 2，
∴AD=AN+DN=1+ 2，
综上所述，AD的长为2或1+ 2.
故答案为：2或1+ 2.
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND=90∘时，如图2，当∠NMD=90∘时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−3|− 9+5−1=3−3+15=15，
(2)(x−2y)2−x(x−4y)=x2−4xy+4y2−x2+4xy=4y2.
【解析】(1)根据绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可；
(2)根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】7.5<
【解析】解：(1)甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数m=7+82=7.5.
s甲2=110×[3×(7−7)2+4×(8−7)2+2×(6−7)2+(5−7)2]=1，
s乙2=110×[(4−7)2+(8−7)2+2×(10−7)2+2×(6−7)2+(9−7)2+2×(5−7)2+(7−7)2]=4.2，
∴s甲2
(2)小丽应选择甲公司，理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．(答案不唯一，言之有理即可)
(1)根据中位数与方差的定义即可求解；
(2)根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
(3)根据题意求解即可．
本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18.【答案】(1)解：如图所示，即为所求，
(2)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(ASA)，
∴DE=BE.
【解析】(1)利用角平分线的作图步骤作图即可；
(2)证明△BAE≌△DAE(ASA)，即可得出结论．
本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19.【答案】解：(1)将A( 3,1)代入到y=kx中，
得：1=k 3，
解得：k= 3；
(2)过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A( 3,1)，
∴AG=1，OG= 3，
OA= ( 3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG=30∘，
由菱形的性质可知，∠AOG=∠COG=60∘，
∴∠AOC=60∘，
∴圆心角的度数为：60∘；
(3)∵OD=2OG=2 3，
∴S菱形AOCD=AG×OD=23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△FHO=k2= 32，
∴S△FBO=2× 32= 3，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD−S扇形AOC=3+23−23π=33−23π.
【解析】(1将A( 3,1)代入y=kx中即可求解；
(2)利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
(3)先计算出S菱形AOCD=23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO= 3，从而问题即可解答．
本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
20.【答案】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90∘，FG=1.8m，
则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90∘，
∴∠EAF=∠BAH，
∵AB=30cm，BH=20cm，
则tan∠EAF=BHAB=23，
∴tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，
∵AF=11m，
则EF11=23，
∴EF=223，
∴EG=EF+FG=223+1.8≈9.1m.
答：树EG的高度为9.1m.
【解析】由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90∘，FG=1.8m，易知∠EAF=∠BAH，可得tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，进而求得EF=223m，利用EG=EF+FG即可求解．
本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF=∠BAH是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵450×810=360(元)，450−80=370(元)，
∴选择活动一更合算；
(2)设一件这种健身器材的原价为x元，
若x<300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等；
∴300≤x<500，
∴810x=x−80，
解得x=400，
∴一件这种健身器材的原价是320元；
(3)当300≤a<600时，a−80<0.8a，
解得a<400；
∴300≤a<400；
当600≤a<900时，a−160<0.8a，
解得a<800；
∴600≤a<800；
综上所述，300≤a<400或600≤a<800.
【解析】(1)根据已知列式计算即可；
(2)设一件这种健身器材的原价为x元，可得810x=x−80，即可解得答案；
(3)分两种情况：当300≤a<600时，a−80<0.8a，当600≤a<900时，a−160<0.8a，分别解不等式可得答案．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．
22.【答案】解：(1)在y=−0.4x+2.8中，令x=0得y=2.8，
∴点P的坐标为(0,2.8)；
把P(0,2.8)代入y=a(x−1)2+3.2得：a+3.2=2.8，
解得：a=−0.4，
∴a的值是−0.4；
(2)∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5m，
∴C(5,0)，
在y=−0.4x+2.8中，令y=0得x=7，
在y=−0.4(x−1)2+3.2中，令y=0得x=−2 2+1(舍去)或x=2 2+1≈3.82，
∵|7−5|>|3.82−5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
【解析】(1)在y=−0.4x+2.8中，令x=0可解得点P的坐标为(0,2.8)；把P(0,2.8)代入y=a(x−1)2+3.2得a的值是−0.4；
(2)在y=−0.4x+2.8中，令y=0得x=7，在y=−0.4(x−1)2+3.2中，令y=0可得x=−2 2+1(舍去)或x=2 2+1≈3.82，由|7−5|>|3.82−5|，即可得到答案．
本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．
23.【答案】180∘8
【解析】解：(1)答案为：8；
(2)①如图1，
β=2α，理由如下：
连接AP1，
由轴对称的性质可得：∠PAB=∠BAP1，∠P1AD=∠DAP2，
∴∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α，
∴β=2α；
②如图2，
作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，
∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD，
可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，
∴DE=HP1，EF=GP1，
∵DF=AD⋅sinA=m⋅sinα，
∴GP1+HP1=DE+EF=DF=m⋅sinα，
∵HP3=HP1，PG=P1G，
∴HP3+PG=GP1+HP1=m⋅sinα，
∴PP3=2m⋅sinα；
(3)如图3，
在Rt△KMN中，∠M=90∘，∠N=15∘，KS=SN，则∠KSM=30∘，
设KM=1，则SN=KS=2，MS= 3，则KN= 12+(2+ 3)2= 6+ 2，
∴sin15∘=KMKN=1 6+ 2= 6− 24，
当P2P3//AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，
∵P1P2⊥AD，
∴P2P3⊥P1P2，
∴∠P3P2P1=90∘，
∵PP3//DI，
∴∠P2P3P1=∠ADI=30∘，
由(2)知：PP3=2AD⋅sin60∘=6，
设AP1=AP=x，则PP1=2AP⋅sin∠PAB=2x⋅sin15∘=2x⋅ 6− 24= 6− 22⋅x，
∴P1P3=PP3−PP1=6− 6− 22⋅x，
∵∠BAP1=∠BAP=15∘，
∵∠P1AT=∠DAB−∠BAP1=60∘−15∘=45∘，
由轴对称性质得：∠ATP1=90∘，
∴TP1= 22AP1= 22x，
∴P1P2= 2x，
由P1P2=P1P3⋅sin∠P2P3P1=P1P3⋅sin30∘得，
6− 6− 22⋅x=2 2x，
∴x=3 2− 6，
如图5，
当P2P3//CD时，设AP=x，
同理可得：P1P2=2P1P3，
∴2[6− 6− 22⋅x]= 2x，
∴x=2 6，
综上所述：AP=3 2− 6或2 6.
(1)观察可得出结果；
(2)①由轴对称的性质可得：∠PAB=∠BAP1，∠P1AD=∠DAP2，∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α，从而得出结果；
②作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，从而DE=HP1，EF=GP1，求得DF=AD⋅sinA=m⋅sinα，从而GP1+HP1=DE+EF=DF=m⋅sinα，根据轴对称的性质得出HP3=HP1，PG=P1G，进一步得出结果；
(3)先构造15∘的直角三角形，求得sin15的值；当P2P3//AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，可得出PP3=2AD⋅sin60∘=6，设AP1=AP=x，则PP1=2AP⋅sin∠PAB=2x⋅sin15∘=2x⋅ 6− 24= 6− 22⋅x，从而得出P1P3=PP3−PP1=6− 6− 22⋅x，可得出∠P1AT=∠DAB−∠BAP1=60∘−15∘=45∘，从而P1P2= 2x，根据P1P3⋅=2P1P2得出6− 6− 22⋅x=2 2x，从而求得x的值；当P2P3//CD时，同理可得出另一个结果．
本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，构造直角三角形求得sin15∘的值是解题的关键．
2023年河南省中考数学试卷
1. 下列各数中最小的数是( )
A. −1 B. 0 C. 1 D. 3
2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值.如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是( )
A. 主视图与左视图相同
B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同
D. 三种视图都相同
3. 2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科学记数法表示为( )
A. 4.59×107 B. 45.9×108 C. 4.59×108 D. 0.459×109
4. 如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1=80∘，∠2=30∘，则∠AOE的度数为( )
A. 30∘
B. 50∘
C. 60∘
D. 80∘
5. 化简a−1a+1a的结果是( )
A. 0 B. 1 C. a D. a−2
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C=55∘，则∠AOB的度数为( )
A. 95∘
B. 100∘
C. 105∘
D. 110∘
7. 关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
8. 为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
A. 12 B. 13 C. 16 D. 19
9. 二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
10. 如图1，点P从等边三角形ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x,PBPC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形ABC的边长为( )
A. 6 B. 3 C. 4 3 D. 2 3
11. 某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发______ 套劳动工具.
12. 方程组3x+y=5x+3y=7的解为______ .
13. 某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1000棵该品种苗进行抽测.如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有______ 棵.
14. 如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB=CA.若OA=5，PA=12，则CA的长为______ .
15. 矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN=AB=1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为______ .
16. (1)计算：|−3|− 9+5−1；
(2)化简：(x−2y)2−x(x−4y).
17. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利.不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势.樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a.配送速度得分(满分10分)：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b.服务质量得分统计图(满分10分)：
c.配送速度和服务质量得分统计表：
项目
统计量
快递公司
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
平均数
方差
甲
7.8
m
7
s甲2
乙
8
8
7
s乙2
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m=______ ；S甲2______ S乙2(填“>”“=”或“<”)；
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息(列出一条即可)？
18. 如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD=AB.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE=BE.
19. 小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数y=kx图象上的点A( 3,1)和点B为顶点，分别作菱形AOCD和菱形OBEF，点D，E在x轴上，以点O为圆心，OA长为半径作AC，连接BF.
(1)求k的值；
(2)求扇形AOC的半径及圆心角的度数；
(3)请直接写出图中阴影部分面积之和.
20. 综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB=30cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF=11m，BH=20cm.求树EG的高度(结果精确到0.1m).
21. 某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.(如：所购商品原价为300元，可减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元)
(1)购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明理由；
(2)购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
(3)购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为a元，请直接写出a的取值范围.
22. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离OA=3m，CA=2m，击球点P在y轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足一次函数关系y=−0.4x+2.8；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)近似满足二次函数关系y=a(x−1)2+3.2.
(1)求点P的坐标和a的值；
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
23. 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
(1)观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l//y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1R1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2R2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______ ；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______ 个单位长度.
(2)探究迁移
如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0∘<α<90∘)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：
①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；
②若AD=m，求P，P3两点间的距离.
(3)拓展应用
在(2)的条件下，若α=60∘，AD=2 3，∠PAB=15∘，连接P2P3，当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵1<3<4，
∴1< 3<2，
根据实数的大小可得：
−1<0<1< 3，
所以−1最小．
故选：A.
先判断 3的范围，再比较几个实数．
本题主要考查了实数的大小的知识，难度不大，认真比较即可．
2.【答案】A
【解析】解：这个几何体的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A.
根据三视图的定义求解即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：4.59亿=459000000=4.59×108.
故选：C.
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵∠AOD=∠1=80∘，
∴∠AOE=∠AOD−∠2=80∘−30∘=50∘.
故选：B.
由对顶角的性质得到∠AOD=∠1=80∘，即可求出∠AOE的度数．
本题考查对顶角，关键是掌握对顶角的性质：对顶角相等．
5.【答案】B
【解析】解：原式=a−1+1a=1.
故选：B.
根据分式的加法法则计算即可．
本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=2∠C，∠C=55∘，
∴∠AOB=110∘，
故选：D.
根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半即可得到答案．
本题考查圆周角定理的应用，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
7.【答案】A
【解析】解：∵Δ=m2−4×1×(−8)=m2+32>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A.
根据一元二次方程根的判别式解答即可．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：把三部影片分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，
∴这两个年级选择的影片相同的概率为39=13，
故选：B.
画树状图，共有9种等可能的结果，其中七、八年级选择的影片相同的结果有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】D
【解析】解：由函数图象可得，a<0，−b2a>0，
∴b>0，
∴y=x+b的图象过一，二，三象限，不过第四象限，
故选：D.
根据图象确定a，b的符号，即可得到答案．
本题考查二次函数，一次函数的图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数，一次函数的图象及性质．
10.【答案】A
【解析】解：如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，
\
结合图象可知，当点P在AO上运动时，PBPC=1，
∴PB=PC，AO=2 3，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC，
∴△APB≌△APC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO=30∘，
当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，
∴OB=2 3，即AO=OB=2 3，
∴∠BAO=∠ABO=30∘，
过点O作OC⊥AB，垂足为D，
∴AD=BD，则AD=AO⋅cos30∘=3，
∴AB=AD+BD=6，
即等边三角形ABC的边长为6.
故选：A.
如图，令点P从顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点O，再从点O沿直线运动到顶点B，结合图象可知，当点P在AO上运动时，PB=PC，AO=2 3，易知∠BAO=∠CAO=30∘，当点P在OB上运动时，可知点P到达点B时的路程为4 3，可知AO=OB=2 3，过点O作OC⊥AB，解直角三角形可得AD=AO⋅cos30∘，进而得出等边三角形ABC的边长．
本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．
11.【答案】3n
【解析】解：∵给每个年级配发n套劳动工具，
∴3个年级共需配发3n套劳动工具．
故答案为：3n.
根据题意列出代数式即可．
本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意，用含n的代数式表示3个年级劳动工具的套数．
12.【答案】x=1y=2
【解析】解：{3x+y=5①x+3y=7②，
①+②，得4x+4y=12，
∴x+y=3③．
①-③，得2x=2，
∴x=1.
②-①，得2y=4，
∴y=2.
∴原方程组的解为x=1y=2.
故答案为：x=1y=2.
利用加减消元法求解或代入消元法求解都比较简便．
本题主要考查了解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
13.【答案】280
【解析】解：由统计图可得，该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约占10%+18%=28%，
∵1000×28%=280(棵)，
∴该基地高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗约有280棵．
故答案为：280.
由统计图得到高度不低于300cm的“无絮杨”品种苗所占的百分比，再列式计算即可．
本题考查扇形统计图的应用，解题的关键是能从统计图中获取有用的信息．
14.【答案】103
【解析】解：连接OC，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP=90∘，
∵OA=OB，OC=OC，CA=CB，
∴△OAC≌△OBC(SSS)，
∴∠OAP=∠OBC=90∘，
在Rt△OAP中，OA=5，PA=12，
∴OP= OA2+AP2= 52+122=13，
∵△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积，
∴12OA⋅AC+12OP⋅BC=12OA⋅AP，
∴OA⋅AC+OP⋅BC=OA⋅AP，
∴5AC+13BC=5×12，
∴AC=BC=103，
故答案为：103.
连接OC，根据切线的性质可得∠OAP=90∘，然后利用SSS证明△OAC≌△OBC，从而可得∠OAP=∠OBC=90∘再在Rt△OAP中，利用勾股定理求出OP=13，最后根据△OAC的面积+△OCP的面积=△OAP的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15.【答案】2或1+ 2
【解析】解：以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：
①如图1，当∠MND=90∘时，
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90∘，
∴MN//AB，
∵M为对角线BD的中点，
∴AN=DN，
∵AN=AB=1，
∴AD=2AN=2；
如图2，当∠NMD=90∘时，
则MN⊥BD，
∵M为对角线BD的中点，
∴BM=DM，
∴MN垂直平分BD，
∴BN=DN，
∵∠A=90∘，AB=AN=1，
∴BN= 2AB= 2，
∴AD=AN+DN=1+ 2，
综上所述，AD的长为2或1+ 2.
故答案为：2或1+ 2.
以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：如图1，当∠MND=90∘时，如图2，当∠NMD=90∘时，根据矩形的性质和三角形中位线定理以及等腰直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，分类讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)|−3|− 9+5−1=3−3+15=15，
(2)(x−2y)2−x(x−4y)=x2−4xy+4y2−x2+4xy=4y2.
【解析】(1)根据绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂计算即可；
(2)根据完全平方公式以及单项式乘多项式的运算法则化简即可．
本题主要考查了实数的运算以及整式的混合运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键．
17.【答案】7.5<
【解析】解：(1)甲公司配送速度得分从小到大排列为：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10，
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为7、8，
所以中位数m=7+82=7.5.
s甲2=110×[3×(7−7)2+4×(8−7)2+2×(6−7)2+(5−7)2]=1，
s乙2=110×[(4−7)2+(8−7)2+2×(10−7)2+2×(6−7)2+(9−7)2+2×(5−7)2+(7−7)2]=4.2，
∴s甲2
(2)小丽应选择甲公司，理由如下：
∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大，服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差，
∴甲更稳定，
∴小丽应选择甲公司；
(3)还应收集甲、乙两家公司的收费情况．(答案不唯一，言之有理即可)
(1)根据中位数与方差的定义即可求解；
(2)根据平均数、中位数和方差的意义进行选择即可；
(3)根据题意求解即可．
本题考查了方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，也考查了平均数、中位数．关键是能根据平均数、中位数、方差的意义对本题进行分析．
18.【答案】(1)解：如图所示，即为所求，
(2)证明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠DAE，
∵AB=AD，AE=AE，
∴△BAE≌△DAE(ASA)，
∴DE=BE.
【解析】(1)利用角平分线的作图步骤作图即可；
(2)证明△BAE≌△DAE(ASA)，即可得出结论．
本题考查了尺规作图的基本作图平分已知角的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
19.【答案】解：(1)将A( 3,1)代入到y=kx中，
得：1=k 3，
解得：k= 3；
(2)过点A作OD 的垂线，交x轴于G，
∵A( 3,1)，
∴AG=1，OG= 3，
OA= ( 3)2+12=2，
∴半径为2；
∵AG=12OA，
∴∠AOG=30∘，
由菱形的性质可知，∠AOG=∠COG=60∘，
∴∠AOC=60∘，
∴圆心角的度数为：60∘；
(3)∵OD=2OG=2 3，
∴S菱形AOCD=AG×OD=23，
∴S扇形AOC=16×π×r2=2π3，
在菱形OBEF中，S△FHO=S△BHO，
∵S△FHO=k2= 32，
∴S△FBO=2× 32= 3，
∴S阴影=S△FBO+S菱形AOCD−S扇形AOC=3+23−23π=33−23π.
【解析】(1将A( 3,1)代入y=kx中即可求解；
(2)利用勾股定理求边长，再根据直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半求解出角度，最后根据菱形的性质求解；
(3)先计算出S菱形AOCD=23，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合k的几何意义可求出S△FBO= 3，从而问题即可解答．
本题考查反比例函数及k的几何意义，菱形的性质，圆心角与弧的关系等，正确k的几何意义是解题关键．
20.【答案】解：由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90∘，FG=1.8m，
则∠EAF+∠BAF=∠BAF+∠BAH=90∘，
∴∠EAF=∠BAH，
∵AB=30cm，BH=20cm，
则tan∠EAF=BHAB=23，
∴tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，
∵AF=11m，
则EF11=23，
∴EF=223，
∴EG=EF+FG=223+1.8≈9.1m.
答：树EG的高度为9.1m.
【解析】由题意可知，∠BAE=∠MAF=∠BAD=90∘，FG=1.8m，易知∠EAF=∠BAH，可得tan∠EAF=EFAF=tan∠BAH=23，进而求得EF=223m，利用EG=EF+FG即可求解．
本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF=∠BAH是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵450×810=360(元)，450−80=370(元)，
∴选择活动一更合算；
(2)设一件这种健身器材的原价为x元，
若x<300，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额不可能相等；
∴300≤x<500，
∴810x=x−80，
解得x=400，
∴一件这种健身器材的原价是320元；
(3)当300≤a<600时，a−80<0.8a，
解得a<400；
∴300≤a<400；
当600≤a<900时，a−160<0.8a，
解得a<800；
∴600≤a<800；
综上所述，300≤a<400或600≤a<800.
【解析】(1)根据已知列式计算即可；
(2)设一件这种健身器材的原价为x元，可得810x=x−80，即可解得答案；
(3)分两种情况：当300≤a<600时，a−80<0.8a，当600≤a<900时，a−160<0.8a，分别解不等式可得答案．
本题考查一元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式解决问题．
22.【答案】解：(1)在y=−0.4x+2.8中，令x=0得y=2.8，
∴点P的坐标为(0,2.8)；
把P(0,2.8)代入y=a(x−1)2+3.2得：a+3.2=2.8，
解得：a=−0.4，
∴a的值是−0.4；
(2)∵OA=3m，CA=2m，
∴OC=5m，
∴C(5,0)，
在y=−0.4x+2.8中，令y=0得x=7，
在y=−0.4(x−1)2+3.2中，令y=0得x=−2 2+1(舍去)或x=2 2+1≈3.82，
∵|7−5|>|3.82−5|，
∴选择吊球方式，球的落地点到C点的距离更近．
【解析】(1)在y=−0.4x+2.8中，令x=0可解得点P的坐标为(0,2.8)；把P(0,2.8)代入y=a(x−1)2+3.2得a的值是−0.4；
(2)在y=−0.4x+2.8中，令y=0得x=7，在y=−0.4(x−1)2+3.2中，令y=0可得x=−2 2+1(舍去)或x=2 2+1≈3.82，由|7−5|>|3.82−5|，即可得到答案．
本题考查一次函数，二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式，掌握函数图象上点坐标的特征．
23.【答案】180∘8
【解析】解：(1)答案为：8；
(2)①如图1，
β=2α，理由如下：
连接AP1，
由轴对称的性质可得：∠PAB=∠BAP1，∠P1AD=∠DAP2，
∴∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α，
∴β=2α；
②如图2，
作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，
∵PP1⊥AB，P3P1⊥CD，
可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，
∴DE=HP1，EF=GP1，
∵DF=AD⋅sinA=m⋅sinα，
∴GP1+HP1=DE+EF=DF=m⋅sinα，
∵HP3=HP1，PG=P1G，
∴HP3+PG=GP1+HP1=m⋅sinα，
∴PP3=2m⋅sinα；
(3)如图3，
在Rt△KMN中，∠M=90∘，∠N=15∘，KS=SN，则∠KSM=30∘，
设KM=1，则SN=KS=2，MS= 3，则KN= 12+(2+ 3)2= 6+ 2，
∴sin15∘=KMKN=1 6+ 2= 6− 24，
当P2P3//AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，
∵P1P2⊥AD，
∴P2P3⊥P1P2，
∴∠P3P2P1=90∘，
∵PP3//DI，
∴∠P2P3P1=∠ADI=30∘，
由(2)知：PP3=2AD⋅sin60∘=6，
设AP1=AP=x，则PP1=2AP⋅sin∠PAB=2x⋅sin15∘=2x⋅ 6− 24= 6− 22⋅x，
∴P1P3=PP3−PP1=6− 6− 22⋅x，
∵∠BAP1=∠BAP=15∘，
∵∠P1AT=∠DAB−∠BAP1=60∘−15∘=45∘，
由轴对称性质得：∠ATP1=90∘，
∴TP1= 22AP1= 22x，
∴P1P2= 2x，
由P1P2=P1P3⋅sin∠P2P3P1=P1P3⋅sin30∘得，
6− 6− 22⋅x=2 2x，
∴x=3 2− 6，
如图5，
当P2P3//CD时，设AP=x，
同理可得：P1P2=2P1P3，
∴2[6− 6− 22⋅x]= 2x，
∴x=2 6，
综上所述：AP=3 2− 6或2 6.
(1)观察可得出结果；
(2)①由轴对称的性质可得：∠PAB=∠BAP1，∠P1AD=∠DAP2，∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α，从而得出结果；
②作DF⊥AB于F，作P1E⊥DF于E，可得矩形EFGP1和矩形DEP1H，从而DE=HP1，EF=GP1，求得DF=AD⋅sinA=m⋅sinα，从而GP1+HP1=DE+EF=DF=m⋅sinα，根据轴对称的性质得出HP3=HP1，PG=P1G，进一步得出结果；
(3)先构造15∘的直角三角形，求得sin15的值；当P2P3//AD时，作DI⊥AB于I，设P1P2交AD于T，可得出PP3=2AD⋅sin60∘=6，设AP1=AP=x，则PP1=2AP⋅sin∠PAB=2x⋅sin15∘=2x⋅ 6− 24= 6− 22⋅x，从而得出P1P3=PP3−PP1=6− 6− 22⋅x，可得出∠P1AT=∠DAB−∠BAP1=60∘−15∘=45∘，从而P1P2= 2x，根据P1P3⋅=2P1P2得出6− 6− 22⋅x=2 2x，从而求得x的值；当P2P3//CD时，同理可得出另一个结果．
本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，构造直角三角形求得sin15∘的值是解题的关键．
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