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【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第02讲《有理数和数轴》同步讲学案
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这是一份【暑假小初衔接】人教版数学六年级（六升七）暑假预习-第02讲《有理数和数轴》同步讲学案，文件包含第2讲有理数和数轴解析版docx、第2讲有理数和数轴原卷版docx等2份教案配套教学资源，其中教案共29页， 欢迎下载使用。
第2讲 有理数和数轴
一、有理数的分类
按照性质分类
按照符号分类
分类
【注意】1. 所有的分数都是有理数；
2. π是无理数，所以不是分数；
3. 正数 和 0 统称为非负数； 负数 和 零 统称为非正数。
题型一：有理数的概念
【例1】在，，，0，中，有理数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数．
【详解】解：在，，，0，中，有理数有，，，0，共4个
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．
[变式1]在数π，0，，，，25中，有理数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念进行解答．
【详解】解：π不是有理数；
0，25，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，，是有限小数，属于有理数；
故有理数有0，，，，25，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数．
[变式2]下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等
【答案】B
【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．
题型二：“0”的意义
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．非负数就是正数
C．一个数前面加上“”号这个数就是负数 D．正数和负数统称为有理数
【答案】A
【分析】根据有理数的有关概念判断即可．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；
B、非负数就是0和正数，故不符合题意；
C、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，如，故不符合题意；
D、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．
[变式1]下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【答案】D
【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．
【详解】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成，故选项正确，不符合题意；
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
[变式2]下列语句正确的是（ ）
①一个数前面加上“”号，这个数就是负数；
②如果是正数，那么一定是负数；
③一个有理数不是正的就是负的；
④表示没有温度；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：①一个正数前面加上“”号，这个数就是负数，说法错误；
②如果是正数，那么一定是负数，说法正确；
③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；
④表示有温度，说法错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．
题型三：有理数的分类
【例3】下列说法中错误的是（ ）
A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数 B．负整数和负分数统称为负有理数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．不是分数，是整数
【答案】C
【分析】根据有理数的定义及分类方法分析即可．
【详解】A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数，正确，不符合题意；
B．负整数和负分数统称为负有理数，正确，不符合题意；
C．正有理数，0和负有理数组成全体有理数，故不正确，符合题意；
D．不是分数，是整数，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．
[变式1]在有理数中，整数一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：属于整数，
整数一共有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．
[变式2]是（ ）
A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无理数
【答案】A
【分析】根据有理数的分类，进行判断即可．
【详解】解：是无限循环小数，是有理数；
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
题型四：“0”的意义
【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限循环小数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．
【详解】解：没有最小的整数，故①错误，
0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，
非负数是正数和0，故③错误，
是有限小数，故④错误，
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，
综上可知，错误的说法为①②③④，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
[变式1]下列说法：
①是负分数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非正数就是负数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数．
其中错误的说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数定义及分类、无理数定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：①正确，是负分数；
②错误，有理数分为正数、负数和；
③错误，有理数分为整数与分数，整数分为正整数、负整数和；分数分为负分数与正分数；
④错误，非正数包含正数和；
⑤错误，是无理数；
⑥错误，是分数，属于有理数；
⑦正确，无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数为无理数；
综上所述，错误的说法有②③④⑤⑥，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数定义及分类、无理数定义，熟记相关概念及分类是解决问题的关键．
[变式2]给出下列各数：，，，，，，其中非负数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出0或正数即可求解．
【详解】解：在，，，，，，中，非负数有，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的意义是解题的关键．
二、 数轴
1. 数轴
（1）概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它规定了原点、正方向和单位长度，这条直线叫做数轴；
（2）三要素：
①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向；
③单位长度：直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3……；从原点向左，用类似的方法，依次表示-1，-2，-3……
2. 数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3. 利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大（小）数
（1）最小的自然数是0，无最大的自然数；
（2）最小的正整数是1，无最大的正整数；
（3）最大的负整数是-1，无最小的负整数
5. a可以表示什么数
（1）a>0，表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
（2）a<0，表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
（3）a=0，表示a是0；反之，a是0，则a=0
题型五：数轴的三要素及画法
【例5】如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义即可解答．
【详解】解：由规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，结合图形即可得出点在数轴上．
故选C．
【点睛】本题考查数轴的定义．掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴是解题关键．
[变式1]下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．
【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；
B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；
C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．
D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．
[变式2]下列所示的数轴中，画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，即可解答．
【详解】解：A、没有正方向，故错误，不合题意；
B、单位长度不一致，故错误，不合题意；
C、符合数轴的定义，故正确，符合题意；
D、负数排列顺序不正确，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键．
题型六：数轴上的点表示有理数
【例6】如图，在数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得所表示的数在与之间进行判定即可得出答案．
【详解】解：设表示的数为，
由数轴可知：，
∴可能是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解决本题的关键．
[变式1]实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】解：由数轴的定义得：，
，
∴，
观察四个选项，只有选项A符合．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键．
[变式2]如图，将数轴上与两点间的线段七等分，这六个等分点所对应的数依次为，，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出与两点间的线段的长度为，再求出七等分后每个等分的线段的长度为，从而求出，，，，，，表示的数，然后判断各选项即可．
【详解】解：与两点间的线段的长度，
七等分后每个等分的线段的长度，
，，，，，，表示的数为：，，，，，，
A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项符合题意；
C选项，，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，，，表示的数是解题的关键．
题型七：利用数轴比较数的大小
【例7】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点在的左边，
，故A错误，不符合题意；
点在1的右边，
，故B错误，不符合题意；
点在点的左边，
，故C错误，不符合题意；
，
，
，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点的特征，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
[变式1]如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从数轴得出，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知，，且，
∴，故选项A不合题意；
∴，故选项B合题意；
∴，故选项C不合题意；
∴，故选项D符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．
[变式2]实数a在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴上a的位置可知，由此即可求解．
【详解】解：依题意得，
设，则．
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个数的大小，解答此题的关键是根据数轴上未知数的位置估算其大小，再设出符合条件的数值进行比较大小即可．
题型8：数轴上两点间的距离
【例8】如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上两点的之间即可得出答案．
【详解】解：∵，点A表示的数为a，
∴点B表示的数为，
∵点C表示的数为，
∴线段的长为，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
[变式1]点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于4，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
【答案】B
【分析】先求出点A表示的数是4或，结合题意列出方程或，求出a的值即可．
【详解】解：∵点A到原点的距离等于4，
∴点A表示的数是4或，
∵点A所对应的数用表示，
∴或，
解得或，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间的距离的意义是解题的关键．
[变式2]如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为4，那么A，B两点间的距离是（ ）
A．1或 B．或 C．1或7 D．1，7，或
【答案】C
【分析】点A到原点的距离为3，点A表示的数为3或者；点B到原点的距离为4，点B表示的数为4或者．可得点A到点B的距离为1或7．
【详解】解：由题意可得：
点A表示的数为3或者，点B表示的数为4或者，
若A、B在原点异侧，则两点之间的距离为，
若A、B在原点同侧，则两点之间的距离为，
故选C．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，根据点到原点的距离正确求出点所表示的数是解决本题的关键．
题型9：数轴上的动点问题
【例9】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点A D．点B
【答案】B
【分析】通过题意得到4个数为一个循环，由2020÷4=505，得到2020对应点D．
【详解】解：在翻转过程中，1对应的数是A，2对应的数是B，3对应的数是C，4对应的数是D，…依次4次一循环的出现，
∵，
∴2020所对应的点是D，
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴，能够确定多少个数为一个循环是解答本题的关键．
[变式1]在数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意，向左或向右移动个单位即可得到结果．
【详解】解：如图，把数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是或．
故选：D
【点睛】本题考查了数轴，解本题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的意义和方法．
[变式2]数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是( )
A．4 B．或10 C．或3 D．
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况，根据数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是，左移6个单位，得，
点A表示的数是，右移6个单位，得，
故点B表示的数是或3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
一、单选题
1．下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念解答即可．
【详解】解：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数有0，，101001001，，4.2，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
2．下列说法不正确的是( )
A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数
C．最大的负整数是-1 D．0的绝对值是0
【答案】B
【详解】试题分析：B答案中绝对值最小的数应为0，故错误.
考点：有理数
3．下列各数为负数的是（ ）．
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据负数的定义即可求解．
【详解】解：A. 是负数，故该选项符合题意；
B. 0不是负数，故该选项不符合题意；
C. 3不是负数，故该选项不符合题意；
D. ，不是负数，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了负数的意义，掌握负数的定义是解题的关键．
4．给出下列各数：，，，，，，其中非负数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出0或正数即可求解．
【详解】解：在，，，，，，中，非负数有，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的意义是解题的关键．
5．下列所示为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴的定义逐一判断即可.
【详解】A选项数轴没有画原点，故错误，
B选项数轴是表示数的点单位长度不统一，故错误，
C选项不符合数轴上的点右边的数总是大于左边的数的特点，故错误，
D选项符合数轴的画法，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了数轴的定义：规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴；数轴具有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可.熟练掌握数轴的定义是解题关键.
6．将，，，这四个数分别用点表示在数轴上，其中与所表示的点最近的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴上的数的性质分别画出各点，再利用两点之间的距离关系解答．
【详解】解：如图，与所表示的点最近的数是-1，
故选：B．
【点睛】此题考查利用数轴上的点表示各数，数轴上数的性质，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上数的大小关系是解题的关键．
7．如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数轴可知：点A表示的数比-3大，比-2小，然后根据有理数的比较大小即可得出结论．
【详解】解：由数轴可知：点A表示的数比-3大，比-2小
-3＜＜-2，＞-2，＞-2，＞-2
各个选项中，只有A选项符合题意
故选A．
【点睛】此题考查的是利用数轴比较大小，掌握数轴上的点表示的数从左至右逐渐变大是解题关键．
8．一只蚂蚁沿数轴从点向右爬个单位长度到达点，点表示的数是，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴右边的数大于左边的数列式计算即可．
【详解】解：由题意可得：点所表示的数是-2-5=-7．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，掌握数轴右边的数大于左边的数是解答本题的关键．
9．数轴上一点A表示﹣3，若将A点向左平移5个单位长度，再向右平移6个单位长度，则此时A 点表示的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3． D．1
【答案】B
【分析】在数轴上“左减右加”，向左平移是减向右平移是加，所以点A所表示的数先减去5再加上6得出正确答案。
【详解】解：根据题意：A点所对的数为，
根据数轴上平移“左减右加”可以知道向左平移5个单位长度再向右平移6个单位长度就是先减去5再加上6。
即：
选B。
【点睛】本题考查对于数轴上点平移的情况，只要记住“左减右加”可以很快的得出答案。
二、填空题
10．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系是_____．
【答案】
【分析】先根据数轴确定、的符号，再根据有理数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，根据数轴确定、的符号是解题的关键．
11．如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为________．
【答案】或1/1或
【分析】分点B在点A左侧和右侧两种情况，利用数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】解：当点B在点A左侧时，
∵点A表示的数为，，
∴点B表示的数为；
当点B在点A右侧时，
∵点A表示的数为，，
∴点B表示的数为；
综上所述，点B表示的数为或1，
故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
12．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．
【答案】0
【分析】圆周上的0点与重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．
【详解】解：圆周上的0点与重合，
，
，
圆滚动了506 周到2023，
圆周上的0与数轴上的2023重合，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．
13．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a－1）（b－1）＞0；②（a－1）（b＋1）＞0；③（a＋1）（b＋1）＞0．其中，正确式子的序号是_____________．
【答案】①②
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，大数减去小数差为正，小数减去大数差为负，再根据乘法运算法则即可依次进行判断，得出答案．
【详解】根据数轴上点的位置可得：，，
①、，，
∴，故①正确；
②、，，
∴，故②正确；
③、，，
，故③错误；
故答案为：①②．
【点睛】题目主要考查了数轴上的点的大小比较、两个数相乘积的符号问题，熟练运用数轴上的点的大小比较是解题关键．
14．把下列各数填在相应的大括号内：
，，，0，，，，，．
负分数：__；
非负整数：__．
【答案】 ，，， 0，
【分析】根据有理数的分类进行填写即可得．
【详解】解：负分数：；
非负整数：，
故答案为：，，，；0，．
【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的分类
三、解答题
15．在数轴上表示数：，，，4，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数把各数用小于号连接起来即可．
【详解】解：数轴表示如下所示：
由数轴可得．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．
16．把数在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来．
【答案】见解析，
【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．
【详解】解：如图，
．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和用数轴上的点表示有理数，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
第2讲 有理数和数轴
一、有理数的分类
按照性质分类
按照符号分类
分类
【注意】1. 所有的分数都是有理数；
2. π是无理数，所以不是分数；
3. 正数 和 0 统称为非负数； 负数 和 零 统称为非正数。
题型一：有理数的概念
【例1】在，，，0，中，有理数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根据有理数的定义，即可求解，分数与整数统称为有理数．
【详解】解：在，，，0，中，有理数有，，，0，共4个
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的定义，理解有理数的定义是解题的关键．
[变式1]在数π，0，，，，25中，有理数有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念进行解答．
【详解】解：π不是有理数；
0，25，是整数，属于有理数；
是分数，属于有理数；
，，是有限小数，属于有理数；
故有理数有0，，，，25，共5个．
故选：D．
【点睛】本题考查的是认识有理数问题，关键是能判断一个数是否是有理数．
[变式2]下列结论正确的是（ ）
A．有理数包括正数和负数
B．有理数包括整数和分数
C．是最小的整数
D．两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数也相等
【答案】B
【分析】根据有理数的相关联的知识点分析判断即可．
【详解】∵有理数包括正有理数，零和负有理数，
∴A错误，不符合题意；
∵有理数包括整数和分数，
∴B正确，符合题意；
∵没有最小的整数，
∴C错误，不符合题意；
∵两个有理数的绝对值相等，则这两个有理数相等或互为相反数，
∴D错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的相关概念，正确理解相关概念是解题的关键．
题型二：“0”的意义
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．非负数就是正数
C．一个数前面加上“”号这个数就是负数 D．正数和负数统称为有理数
【答案】A
【分析】根据有理数的有关概念判断即可．
【详解】解：A、0既不是正数，也不是负数，故符合题意；
B、非负数就是0和正数，故不符合题意；
C、一个数前面加上“”号，这个数不一定是负数，如，故不符合题意；
D、零和正数和负数统称为有理数，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查有理数，关键是根据有理数的有关概念判断．
[变式1]下列说法错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元
D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示
【答案】D
【分析】根据0的特征、正负数的意义和相反意义的量进行判断即可．
【详解】解：A．0既不是正数，也不是负数，故选项正确，不符合题意；
B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成，故选项正确，不符合题意；
C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元，故选项正确，不符合题意；
D．规定向正北走用正数表示，向正南走才用负数表示，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了0的特征、正负数的意义和相反意义的量，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
[变式2]下列语句正确的是（ ）
①一个数前面加上“”号，这个数就是负数；
②如果是正数，那么一定是负数；
③一个有理数不是正的就是负的；
④表示没有温度；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】根据正负数的定义和0的意义进行逐一判断即可．
【详解】解：①一个正数前面加上“”号，这个数就是负数，说法错误；
②如果是正数，那么一定是负数，说法正确；
③0是有理数，但是0既不是正数也不是负数，说法错误；
④表示有温度，说法错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了正负数的定义和0的意义，熟知相关知识是解题的关键．
题型三：有理数的分类
【例3】下列说法中错误的是（ ）
A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数 B．负整数和负分数统称为负有理数
C．正有理数和负有理数组成全体有理数 D．不是分数，是整数
【答案】C
【分析】根据有理数的定义及分类方法分析即可．
【详解】A．圆周率π是无限不循环小数，它不是有理数，正确，不符合题意；
B．负整数和负分数统称为负有理数，正确，不符合题意；
C．正有理数，0和负有理数组成全体有理数，故不正确，符合题意；
D．不是分数，是整数，正确，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的两种分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数．
[变式1]在有理数中，整数一共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据整数的定义，即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：属于整数，
整数一共有4个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数，利用整数的定义是解题的关键．
[变式2]是（ ）
A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无理数
【答案】A
【分析】根据有理数的分类，进行判断即可．
【详解】解：是无限循环小数，是有理数；
故选：A．
【点睛】本题考查有理数的分类．熟练掌握有理数的分类方法，是解题的关键．
题型四：“0”的意义
【例4】下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④是无限循环小数；⑤正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（ ）
A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】B
【分析】根据有理数的分类进行分析解答即可．
【详解】解：没有最小的整数，故①错误，
0既不是正数也不是负数，但是有理数，故②错误，
非负数是正数和0，故③错误，
是有限小数，故④错误，
正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑤正确，
综上可知，错误的说法为①②③④，
故选：B
【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键．
[变式1]下列说法：
①是负分数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非正数就是负数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数．
其中错误的说法的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据有理数定义及分类、无理数定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：①正确，是负分数；
②错误，有理数分为正数、负数和；
③错误，有理数分为整数与分数，整数分为正整数、负整数和；分数分为负分数与正分数；
④错误，非正数包含正数和；
⑤错误，是无理数；
⑥错误，是分数，属于有理数；
⑦正确，无限循环小数可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数为无理数；
综上所述，错误的说法有②③④⑤⑥，
故选：C．
【点睛】本题考查有理数定义及分类、无理数定义，熟记相关概念及分类是解决问题的关键．
[变式2]给出下列各数：，，，，，，其中非负数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出0或正数即可求解．
【详解】解：在，，，，，，中，非负数有，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的意义是解题的关键．
二、 数轴
1. 数轴
（1）概念：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它规定了原点、正方向和单位长度，这条直线叫做数轴；
（2）三要素：
①原点：在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或向上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向；
③单位长度：直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3……；从原点向左，用类似的方法，依次表示-1，-2，-3……
2. 数轴上的点与有理数的关系
（1）所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。
（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）
3. 利用数轴表示两数大小
①在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；
②正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；
③两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大（小）数
（1）最小的自然数是0，无最大的自然数；
（2）最小的正整数是1，无最大的正整数；
（3）最大的负整数是-1，无最小的负整数
5. a可以表示什么数
（1）a>0，表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；
（2）a<0，表示a是负数；反之，a是负数，则a<0
（3）a=0，表示a是0；反之，a是0，则a=0
题型五：数轴的三要素及画法
【例5】如图，，，，中有一个点在数轴上，请借助直尺判断该点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的定义即可解答．
【详解】解：由规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴，结合图形即可得出点在数轴上．
故选C．
【点睛】本题考查数轴的定义．掌握规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴是解题关键．
[变式1]下面是四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度判断所给出的四个数轴哪个正确．
【详解】解：A、没有原点，故此选项错误，不符合题意；
B、单位长度不统一，故此选项错误，不符合题意；
C、符合数轴的概念，故此选项正确，符合题意．
D、没有正方向，故此选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．特别注意数轴的三要素缺一不可．
[变式2]下列所示的数轴中，画得正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据数轴的三要素：原点，正方向，单位长度，即可解答．
【详解】解：A、没有正方向，故错误，不合题意；
B、单位长度不一致，故错误，不合题意；
C、符合数轴的定义，故正确，符合题意；
D、负数排列顺序不正确，故错误，不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的三要素是解题的关键．
题型六：数轴上的点表示有理数
【例6】如图，在数轴上点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得所表示的数在与之间进行判定即可得出答案．
【详解】解：设表示的数为，
由数轴可知：，
∴可能是．
故选：．
【点睛】本题主要考查了数轴上点表示的数，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解决本题的关键．
[变式1]实数a在数轴上的对应点的位置如图所示．若实数b满足，则b的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】先根据数轴的定义得出a的取值范围，从而可得出b的取值范围，由此即可得．
【详解】解：由数轴的定义得：，
，
∴，
观察四个选项，只有选项A符合．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了数轴的定义，确定b的取值范围是解题关键．
[变式2]如图，将数轴上与两点间的线段七等分，这六个等分点所对应的数依次为，，，，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先计算出与两点间的线段的长度为，再求出七等分后每个等分的线段的长度为，从而求出，，，，，，表示的数，然后判断各选项即可．
【详解】解：与两点间的线段的长度，
七等分后每个等分的线段的长度，
，，，，，，表示的数为：，，，，，，
A选项，，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项符合题意；
C选项，，，故该选项不符合题意；
D选项，，故该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，两点间的距离，求出，，，，，，表示的数是解题的关键．
题型七：利用数轴比较数的大小
【例7】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．
【详解】解：点在的左边，
，故A错误，不符合题意；
点在1的右边，
，故B错误，不符合题意；
点在点的左边，
，故C错误，不符合题意；
，
，
，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点的特征，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
[变式1]如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】从数轴得出，据此判断即可．
【详解】解：由题意可知，，且，
∴，故选项A不合题意；
∴，故选项B合题意；
∴，故选项C不合题意；
∴，故选项D符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，解决本题的关键是熟记数轴上右边的数大于左边的数．
[变式2]实数a在数轴上对应的点如图所示，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴上a的位置可知，由此即可求解．
【详解】解：依题意得，
设，则．
，
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了利用数轴比较两个数的大小，解答此题的关键是根据数轴上未知数的位置估算其大小，再设出符合条件的数值进行比较大小即可．
题型8：数轴上两点间的距离
【例8】如图，在数轴上从左到右依次有A，B，C三点，若，点A表示的数为a，点C表示的数为，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴上两点的之间即可得出答案．
【详解】解：∵，点A表示的数为a，
∴点B表示的数为，
∵点C表示的数为，
∴线段的长为，
故选：D．
【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离是解题的关键．
[变式1]点A在数轴上，点A所对应的数用表示，且点A到原点的距离等于4，则a的值为（ ）
A．或1 B．或2 C． D．1
【答案】B
【分析】先求出点A表示的数是4或，结合题意列出方程或，求出a的值即可．
【详解】解：∵点A到原点的距离等于4，
∴点A表示的数是4或，
∵点A所对应的数用表示，
∴或，
解得或，
故选：B．
【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，数轴上两点间的距离的意义是解题的关键．
[变式2]如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为4，那么A，B两点间的距离是（ ）
A．1或 B．或 C．1或7 D．1，7，或
【答案】C
【分析】点A到原点的距离为3，点A表示的数为3或者；点B到原点的距离为4，点B表示的数为4或者．可得点A到点B的距离为1或7．
【详解】解：由题意可得：
点A表示的数为3或者，点B表示的数为4或者，
若A、B在原点异侧，则两点之间的距离为，
若A、B在原点同侧，则两点之间的距离为，
故选C．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，根据点到原点的距离正确求出点所表示的数是解决本题的关键．
题型9：数轴上的动点问题
【例9】正方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点D、A对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；则翻转2020次后，数轴上数2020所对应的点是（ ）
A．点C B．点D C．点A D．点B
【答案】B
【分析】通过题意得到4个数为一个循环，由2020÷4=505，得到2020对应点D．
【详解】解：在翻转过程中，1对应的数是A，2对应的数是B，3对应的数是C，4对应的数是D，…依次4次一循环的出现，
∵，
∴2020所对应的点是D，
故选：B．
【点睛】本题考查实数与数轴，能够确定多少个数为一个循环是解答本题的关键．
[变式1]在数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据题意，向左或向右移动个单位即可得到结果．
【详解】解：如图，把数轴上表示数的点移动个单位后，表示的数是或．
故选：D
【点睛】本题考查了数轴，解本题的关键是熟练掌握数轴上的点表示数的意义和方法．
[变式2]数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是( )
A．4 B．或10 C．或3 D．
【答案】C
【分析】根据题意，分两种情况，根据数轴上的点右移加，左移减，求出点B表示的数是多少即可．
【详解】解：点A表示的数是，左移6个单位，得，
点A表示的数是，右移6个单位，得，
故点B表示的数是或3，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了数轴的特征和应用，解答此题的关键是要明确：数轴上的点右移加，左移减．
一、单选题
1．下列各数：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根据有理数的概念解答即可．
【详解】解：0，，101001001，，，4.2，，其中有理数有0，，101001001，，4.2，共5个，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数，掌握有理数的概念是解题的关键．
2．下列说法不正确的是( )
A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数
C．最大的负整数是-1 D．0的绝对值是0
【答案】B
【详解】试题分析：B答案中绝对值最小的数应为0，故错误.
考点：有理数
3．下列各数为负数的是（ ）．
A． B．0 C．3 D．
【答案】A
【分析】根据负数的定义即可求解．
【详解】解：A. 是负数，故该选项符合题意；
B. 0不是负数，故该选项不符合题意；
C. 3不是负数，故该选项不符合题意；
D. ，不是负数，故该选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了负数的意义，掌握负数的定义是解题的关键．
4．给出下列各数：，，，，，，其中非负数的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，找出0或正数即可求解．
【详解】解：在，，，，，，中，非负数有，，，，共4个，
故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的分类，掌握非负数的意义是解题的关键．
5．下列所示为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴的定义逐一判断即可.
【详解】A选项数轴没有画原点，故错误，
B选项数轴是表示数的点单位长度不统一，故错误，
C选项不符合数轴上的点右边的数总是大于左边的数的特点，故错误，
D选项符合数轴的画法，正确，
故选D.
【点睛】本题考查了数轴的定义：规定了唯一的原点，正方向和单位长度的一条直线叫做数轴；数轴具有三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可.熟练掌握数轴的定义是解题关键.
6．将，，，这四个数分别用点表示在数轴上，其中与所表示的点最近的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴上的数的性质分别画出各点，再利用两点之间的距离关系解答．
【详解】解：如图，与所表示的点最近的数是-1，
故选：B．
【点睛】此题考查利用数轴上的点表示各数，数轴上数的性质，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上数的大小关系是解题的关键．
7．如图，数轴上点A表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由数轴可知：点A表示的数比-3大，比-2小，然后根据有理数的比较大小即可得出结论．
【详解】解：由数轴可知：点A表示的数比-3大，比-2小
-3＜＜-2，＞-2，＞-2，＞-2
各个选项中，只有A选项符合题意
故选A．
【点睛】此题考查的是利用数轴比较大小，掌握数轴上的点表示的数从左至右逐渐变大是解题关键．
8．一只蚂蚁沿数轴从点向右爬个单位长度到达点，点表示的数是，则点所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴右边的数大于左边的数列式计算即可．
【详解】解：由题意可得：点所表示的数是-2-5=-7．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，掌握数轴右边的数大于左边的数是解答本题的关键．
9．数轴上一点A表示﹣3，若将A点向左平移5个单位长度，再向右平移6个单位长度，则此时A 点表示的数是（ ）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3． D．1
【答案】B
【分析】在数轴上“左减右加”，向左平移是减向右平移是加，所以点A所表示的数先减去5再加上6得出正确答案。
【详解】解：根据题意：A点所对的数为，
根据数轴上平移“左减右加”可以知道向左平移5个单位长度再向右平移6个单位长度就是先减去5再加上6。
即：
选B。
【点睛】本题考查对于数轴上点平移的情况，只要记住“左减右加”可以很快的得出答案。
二、填空题
10．有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系是_____．
【答案】
【分析】先根据数轴确定、的符号，再根据有理数的大小比较法则解答即可．
【详解】解：由数轴可知，，，
，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，根据数轴确定、的符号是解题的关键．
11．如图，数轴上有A，B两点，点A表示的数为，若，则点B表示的数为________．
【答案】或1/1或
【分析】分点B在点A左侧和右侧两种情况，利用数轴上两点距离公式求解即可．
【详解】解：当点B在点A左侧时，
∵点A表示的数为，，
∴点B表示的数为；
当点B在点A右侧时，
∵点A表示的数为，，
∴点B表示的数为；
综上所述，点B表示的数为或1，
故答案为：或1．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
12．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则圆周上表示数字___的点与数轴上表示2023的点重合．
【答案】0
【分析】圆周上的0点与重合，滚动到2023，圆滚动了2024个单位长度，用2024除以4，余数即为重合点．
【详解】解：圆周上的0点与重合，
，
，
圆滚动了506 周到2023，
圆周上的0与数轴上的2023重合，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键．
13．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a－1）（b－1）＞0；②（a－1）（b＋1）＞0；③（a＋1）（b＋1）＞0．其中，正确式子的序号是_____________．
【答案】①②
【分析】根据数轴上右边的数总比左边的数大，大数减去小数差为正，小数减去大数差为负，再根据乘法运算法则即可依次进行判断，得出答案．
【详解】根据数轴上点的位置可得：，，
①、，，
∴，故①正确；
②、，，
∴，故②正确；
③、，，
，故③错误；
故答案为：①②．
【点睛】题目主要考查了数轴上的点的大小比较、两个数相乘积的符号问题，熟练运用数轴上的点的大小比较是解题关键．
14．把下列各数填在相应的大括号内：
，，，0，，，，，．
负分数：__；
非负整数：__．
【答案】 ，，， 0，
【分析】根据有理数的分类进行填写即可得．
【详解】解：负分数：；
非负整数：，
故答案为：，，，；0，．
【点睛】本题考查了有理数，解题的关键是掌握有理数的分类
三、解答题
15．在数轴上表示数：，，，4，并按从小到大的顺序用“ ”连接起来．
【答案】数轴表示见解析，
【分析】先在数轴上表示出各数，再根据数轴上左边的数小于右边的数把各数用小于号连接起来即可．
【详解】解：数轴表示如下所示：
由数轴可得．
【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，正确在数轴上表示出各数是解题的关键．
16．把数在数轴上表示出来，然后用“＜”把它们连接起来．
【答案】见解析，
【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可．
【详解】解：如图，
．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和用数轴上的点表示有理数，能在数轴上表示出各个数是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
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