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【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第05讲《尺规作图、垂直平分线、角平分线的性质》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第05讲《尺规作图、垂直平分线、角平分线的性质》预习讲学案，文件包含第05讲尺规作图垂直平分线角平分线的性质解析版docx、第05讲尺规作图垂直平分线角平分线的性质原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
第05讲 尺规作图、垂直平分线、角平分线的性质
一、基本作图
1.尺规作图的定义
利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.
要点：
尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.
2.常见基本作图
本套教科书设计的基本尺规作图包括：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线；4.作一条线段的垂直平分线；5.过一点作已知直线的垂线.
要点：
1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；
2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.
二、根据三角形全等用尺规作三角形
根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等.
三、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段的垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
3.线段的垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点：
线段的垂直平分线性质定理，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
四、角平分线的性质定理
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
要点：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2.角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
例1．尺规作图的工具是（ ）．
A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规
C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【解析】
根据尺规作图的定义作答．
解：“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．
故选：D．
【点睛】
本题考查了尺规作图的定义，解题的关键是掌握尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
例2．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角
C．已知两角和夹边 D．已知三边
【答案】B
【解析】
看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
A、符合全等三角形的判定SAS，能作出唯一三角形；
B、而已知两边和其中一边的对角对应相等，不能作出唯一三角形；
C、符合全等三角形的判定ASA，能作出唯一三角形；
D、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一三角形；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．
例3．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键．
例4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【解析】
由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）.
①作出AD的依据是SAS；②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABD=1：2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
①根据作图的过程可以判定作出AD的依据；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解：①根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故①错误；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴AD=2CD，
∴BD=2CD，
∵S△DAC=AC•CD，S△ABD=AC•BD，
∴S△DAC：S△ABD=AC•CD：AC•BD =CD：BD=1：2，
即S△DAC：S△ABD=1：2．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
例6．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD＝2020，那么AB的长度是（ ）
A．1010 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】
根据DE是线段AB的垂直平分线，得到BD=AD,便可求解．
解：DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
∵BD+CD＝2020
∴AD+CD=2020 即AC=2020
∵AB=AC
∴AB=2020
故选C．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，以及线段垂直平分线性质，属于基础题．
例7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
根据角平分线的性质可得DE=DC，然后用三角形面积公式算出结果即可．
过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝10×3＝15．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线性质，正确作出辅助线是解题的关键．
例8．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．15
【答案】C
【解析】
根据线段的垂直平分线的性质可得EA=EB，利用线段得和差关系计算即可得答案．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴EA=EB，
∵AB=AC，AB=6，BC=3，
∴△CBE的周长=BC+EB+CE=BC+EA+CE=BC+AC=6+3=9，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
例9．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=1，
∴DE=EF=1，
∵BC=4，
∴
故选:B
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
一、单选题
1．如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
解：如图，
由作法得到，，
而为公共边，
所以根据“”可判断，
所以，
即平分．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．无
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
3．如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．
（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；
（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，．
则能用于证明的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图方法可知，，，，由此可解．
解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，，
根据三组边对应相等（SSS），可证．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
点P到AB、BC的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．
解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．
5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．ABC 的三条中线的交点
B．ABC 三边的垂直平分线的交点
C．ABC 三条角平分线的交点
D．ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6．如图，以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB于点O，再以点B为圆心，大于OB长为半径作弧交前弧于C、D两点，作直线CD．下列说法正确的是（ ）
A．CD一定垂直平分线段AB B．AB一定垂直平分线段CD
C．线段AB、CD互相垂直平分 D．以上说法都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】
由作图可知，AB垂直平分线段CD，利用线段的垂直平分线的性质进行判断即可．
解：由作图可知，AC=AD，BC=BD
∴点A、B在CD的垂直平分线上
AB垂直平分线段CD，
故选：B．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE=OE C．∠DCO=∠ECO D．∠1=∠2
【答案】B
【解析】
【分析】
先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质和线段垂直平分线的判定定理可判断正误．
在△OCE和△OCD中，
△OCE≌△OCD（SSS），
∠1=∠2，∠DCO=∠ECO，
OC垂直平分DE.
故选项B错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查了作角平分线，三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，其中证明△OCE≌△OCD是解题的关键．
8．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（ ）
A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．
解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴PA+PC= PB+PC= BC，故该选项正确，符合题意；
D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质．
9．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定与（）的大小
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点到边、、的距离相等，再根据三角形的三边关系即可判断出、、三者之间的关系．
∵是的三条角平分线的交点，
∴点到边、、的距离相等，
设这个距离为，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形面积、三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是运用角平分线的性质找到三个三角形高的关系．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题(共0分)
11．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 _____．
【答案】35°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
12．作线段的垂直平分线
作法：
①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁．
②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E．
③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F．
④作直线CF．
【答案】 CK AB D E
【解析】
略
13．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，连接并延长交于点，则___．
【答案】125°##125度
【解析】
【分析】
根据角平分线的作法可得平分，再根据三角形内角和定理可得的度数．
解：由题意可得：平分，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的定义，解题的关键是熟练根据角平分线的定义得出度数．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
如图，过点作于，于．证明，求出，即可解决问题．
解：如图，过点作于，于．
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案为24．
【点睛】
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是___________________________．
【答案】12
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=×AB×DE=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故
故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
17．如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．
的垂直平分线交于点，垂足为点，
，
，
，，，
的周长．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．如图，点是三个内角的角平分线的交点，连接，，且，则的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由角平分线的性质可得∠ABP+∠BAP=60°，由“SAS”可证△ACP≌△BCP，可得AP=PE，∠CAP=∠CEP，可得PE=BE，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠PAB=2∠PBA，即可求解．
如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°
∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，
∴∠CAP=∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠BCP，
∴∠ABP+∠BAP=60°
∵CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP
∴△ACP≌△ECP（SAS）
∴AP=PE，∠CAP=∠CEP
∵CA+AP=BC，且CB=CE+BE，
∴AP=BE，
∴BE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，
∴∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP
∴∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60°，
∴∠PAB=40°，
∴∠CAB=80°
故答案为80°.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题(共0分)
19．已知：在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点．
(1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：的垂直平分线经过点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）运用线段的垂直平分线的尺规作图画法作图即可；
（2）运用线段的垂直平分线的性质和判定直接证明即可；
(1)
（1）如图所示，分别以点A，B为圆心以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E，同样，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G，作直线DE，直线FG，交于P，则点P即为所求；
(2)
（2）连接PA，PB，PC
直线DE，直线FG分别是线段AB，线段BC的垂直平分线，点P 在直线DE，FG上，
PA=PB，PB=PC，
PA=PC，
点P在线段AC的垂直平分线上，
即的垂直平分线经过点．
【点睛】
本题主要考察线段的垂直平分线的性质和判定及尺规作图，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和判定及作图是解题的关键．
20．按照要求完成尺规作图．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
如图，已知，点M为上一点．
(1)画，垂足为C；
(2)画的平分线，交于D；
(3)过点D画，交于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）以为圆心，为半径，作弧交于点，再分别以、为圆心，为半径，作弧，两弧交于点，连接交于点，则MC⊥OA于C；
（2）根据基本作图（作已知角的平分线）作OD平分∠AOB；
（3）作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB，
(1)
以为圆心，为半径，作弧交于点，再分别以、为圆心，为半径，作弧，两弧交于点，连接交于点，则MC⊥OA于C；
(2)
作OD平分∠AOB，如图，OD为所作；
(3)
作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB，如图，DE为所作．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图，作垂线，作角分线，作角等于已知角，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．如图，在中，，，垂直平分．
(1)作的平分线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(2)在所作的图中，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法即可作∠DAC的平分线AE交BC于点E；
（2）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可求∠DAE的度数．
(1)
解：如图，线段即为所求；
(2)
解： 垂直平分，
，
∴
，
，
是的平分线，
．
【点睛】
本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．如图，已知线段a和∠MAN（点B是∠MAN的边AN上的一点）．
(1)作图（保留作图痕迹，不要求写作法）：
①在射线AM上取点C，使BC＝a；
②作线段AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，
③作线段AC的垂直平分线FG交BC、AC、DE于点F、G、O
(2)若a＝15，根据上述作图求AEF的周长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)15
【解析】
【分析】
（1）①根据作一条线段等于已知线段的作法，即可求解；②③根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AE=BE，AF=CF，从而得到AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC，即可求解．
(1)
解：①如图，点C即为所求；
②如图，直线DE即为所求；
③如图，直线FG即为所求；
(2)
解：∵DE垂直平分AB， FG垂直平分AC，
∴AE=BE，AF=CF（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）
∴AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC＝15．
即△AEF的周长为15
【点睛】
本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理，熟练掌握作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质定理是解题的关键．
23．如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，
P点即为所求．
【点睛】
本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
24．如图，点A在∠MON的边OM上，选择合适的画图工具按要求画图．
(1)反向延长射线ON，得到射线OP，画∠MOP的角平分线OQ；
(2)在射线OP上取一点B，使得OB＝OA；
(3)在射线OQ上作一点C，使得CB+AC最小，这样作图依据是 ；
(4)过点O画OD⊥OQ，垂足为点O，用量角器量得∠NOD的度数为 °．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)两点之间线段最短
(4)28或152
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）利用两点之间线段最短解决问题即可；
（4）利用测量法解决问题．
(1)
解：如图，射线ON，射线OQ即为所求；
(2)
解：如图，线段OB即为所求；
(3)
解：如图，点C即为所求．
作图依据：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
(4)
解：测量可知：∠DON＝28°或152°，
故答案为：28或152．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，射线，线段，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)AE+CD=AC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
(1)
证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)
解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
26．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；
（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；
（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD•AH=CF•AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．
解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC=BF，
∵BD⊥CE，
∴CE=EF，
BD
（3）∠AED不变 ，
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，
∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，．
即．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
第05讲 尺规作图、垂直平分线、角平分线的性质
一、基本作图
1.尺规作图的定义
利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.
要点：
尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.
2.常见基本作图
本套教科书设计的基本尺规作图包括：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线；4.作一条线段的垂直平分线；5.过一点作已知直线的垂线.
要点：
1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；
2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.
二、根据三角形全等用尺规作三角形
根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等.
三、线段的垂直平分线
1.定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
2.线段的垂直平分线的尺规作图
求做线段AB的垂直平分线
作法：
（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
（2）作直线CD，CD即为所求直线．
要点：
作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了．
3.线段的垂直平分线性质定理
线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等．
要点：
线段的垂直平分线性质定理，是证明两线段相等的常用方法之一．同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件．
四、角平分线的性质定理
1.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
要点：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
2.角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
例1．尺规作图的工具是（ ）．
A．刻度尺和圆规 B．三角尺和圆规
C．直尺和圆规 D．没有刻度的直尺和圆规
【答案】D
【解析】
根据尺规作图的定义作答．
解：“尺规作图”中的尺是指没有刻度的直尺，即使有刻度也不能使用上面的刻度．
故选：D．
【点睛】
本题考查了尺规作图的定义，解题的关键是掌握尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．
例2．下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（ ）
A．已知两边和夹角 B．已知两边和其中一边的对角
C．已知两角和夹边 D．已知三边
【答案】B
【解析】
看是否符合所学的全等的公理或定理即可．
A、符合全等三角形的判定SAS，能作出唯一三角形；
B、而已知两边和其中一边的对角对应相等，不能作出唯一三角形；
C、符合全等三角形的判定ASA，能作出唯一三角形；
D、符合全等三角形的判定SSS，能作出唯一三角形；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了由已知条件作三角形，可以依据全等三角形的判定来做．
例3．用直尺和圆规作线段的垂直平分线，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用尺规作图画出AB的垂直平分线，即可据此作出选择．
以AB为圆心，大于AB为半径作弧相交于E、F，
过EF作直线即为AB的垂直平分线．
故选C．
【点睛】
本题考查了作图--基本作图，熟悉垂直平分线的作法是解题的关键．
例4．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角，那么能得出的依据是运用全等三角形判定（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【解析】
由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，根据SSS可证△ODC≌△O′D′C′，根据全等三角形的对应角相等即可得∠A′O′B′=∠AOB．可得答案.
由作图可知OD=OD′=OC=OC′，CD=C′D′，
∴△ODC≌△O′D′C′（SSS），
∴∠A′O′B′=∠AOB，
故选A.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定和有关角的作法，主要考查学生的观察能力和推理能力，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
例5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）.
①作出AD的依据是SAS；②∠ADC=60°
③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABD=1：2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
①根据作图的过程可以判定作出AD的依据；
②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；
③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；
④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．
解：①根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；
故①错误；
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．
故②正确；
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD，
∴点D在AB的中垂线上．
故③正确；
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴AD=2CD，
∴BD=2CD，
∵S△DAC=AC•CD，S△ABD=AC•BD，
∴S△DAC：S△ABD=AC•CD：AC•BD =CD：BD=1：2，
即S△DAC：S△ABD=1：2．
故④正确．
综上所述，正确的结论是：②③④，共有3个．
故选C．
【点睛】
此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC度数是解题关键．
例6．如图，△ABC中，AB＝AC，DE是线段AB的垂直平分线，如果BD+CD＝2020，那么AB的长度是（ ）
A．1010 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【解析】
根据DE是线段AB的垂直平分线，得到BD=AD,便可求解．
解：DE是线段AB的垂直平分线
∴BD=AD
∵BD+CD＝2020
∴AD+CD=2020 即AC=2020
∵AB=AC
∴AB=2020
故选C．
【点睛】
本题考查等腰三角形性质，以及线段垂直平分线性质，属于基础题．
例7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（ ）
A．15 B．30 C．12 D．10
【答案】A
【解析】
根据角平分线的性质可得DE=DC，然后用三角形面积公式算出结果即可．
过D点作DE⊥AB于E，如图，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC＝3，
∴S△ABD＝10×3＝15．
故选：A．
【点睛】
本题考查角平分线性质，正确作出辅助线是解题的关键．
例8．如图，在△ABC中，AB=AC，AB=6，BC=3，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则△CBE的周长为（ ）
A．12 B．6 C．9 D．15
【答案】C
【解析】
根据线段的垂直平分线的性质可得EA=EB，利用线段得和差关系计算即可得答案．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
∴EA=EB，
∵AB=AC，AB=6，BC=3，
∴△CBE的周长=BC+EB+CE=BC+EA+CE=BC+AC=6+3=9，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
例9．如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的面积等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
过E作EF⊥BC于F，根据角平分线性质求出EF=DE=8，根据三角形面积公式求出即可．
解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=1，
∴DE=EF=1，
∵BC=4，
∴
故选:B
【点睛】
本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等．
一、单选题
1．如图是用尺规作一个角的平分线，其依据正确的是（ ）
A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA
【答案】B
【解析】
【分析】
利用基本作图和三角形全等的判定方法求解．
解：如图，
由作法得到，，
而为公共边，
所以根据“”可判断，
所以，
即平分．
故选：B．
【点睛】
本题考查了作图基本作图，解题的关键是熟练掌握5种基本作图，也考查了全等三角形的判定．
2．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线，②作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（ ）
A．① B．② C．①② D．无
【答案】A
【解析】
【分析】
利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．
解：①作一个角的平分线的作法正确；
②作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．
3．如图，已知，用直尺和圆规按以下步骤作出．
（1）画射线，以点为圆心，长为半径画弧，与交于点；
（2）分别以，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点；
（3）连接，．
则能用于证明的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【解析】
【分析】
根据作图方法可知，，，，由此可解．
解：根据作图的步骤（1）知，由步骤（2）知，，
根据三组边对应相等（SSS），可证．
故答案为：A．
【点睛】
本题考查尺规作图和全等三角形的判定，根据作图的方法判断出两个三角形的三条边对应相等是解题的关键．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC．用直尺和圆规在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，则符合要求的作图痕迹（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
点P到AB、BC的距离相等，说明点P在的角平分线上，作出角平分线即可得到答案．
解：∵需要在边AC上确定一点P，使点P到AB、BC的距离相等，
∴点P是∠ABC的平分线与AC的交点，
故选：C．
【点睛】
本题考查尺规作角的平分线，懂得把问题转化成角平分线的问题是解题关键．
5．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．ABC 的三条中线的交点
B．ABC 三边的垂直平分线的交点
C．ABC 三条角平分线的交点
D．ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据角平分线的性质即可得出结论．
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在△ABC 三条角平分线的交点处．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
6．如图，以点A为圆心，任意长为半径作弧交AB于点O，再以点B为圆心，大于OB长为半径作弧交前弧于C、D两点，作直线CD．下列说法正确的是（ ）
A．CD一定垂直平分线段AB B．AB一定垂直平分线段CD
C．线段AB、CD互相垂直平分 D．以上说法都不正确
【答案】B
【解析】
【分析】
由作图可知，AB垂直平分线段CD，利用线段的垂直平分线的性质进行判断即可．
解：由作图可知，AC=AD，BC=BD
∴点A、B在CD的垂直平分线上
AB垂直平分线段CD，
故选：B．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7．按以下步骤进行尺规作图：（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交∠AOB的两边OA、OB于D、E两点；（2）分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC，并连接CD、CE.下列结论不正确的是（ ）
A．OC垂直平分DE B．CE=OE C．∠DCO=∠ECO D．∠1=∠2
【答案】B
【解析】
【分析】
先由SSS证△OCE≌△OCD，再利用全等三角形性质和线段垂直平分线的判定定理可判断正误．
在△OCE和△OCD中，
△OCE≌△OCD（SSS），
∠1=∠2，∠DCO=∠ECO，
OC垂直平分DE.
故选项B错误.
故选：B．
【点睛】
本题考查了作角平分线，三角形全等的性质与判定，垂直平分线的判定，其中证明△OCE≌△OCD是解题的关键．
8．在△ABC的BC边上找一点P，使得PA＋PC＝BC．下面找法正确的是（ ）
A．如图①以B为圆心，BA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
B．如图②以C为圆心，CA为半径画弧，交BC于点P，点P为所求
C．如图③作AB的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
D．如图④作AC的垂直平分线交BC于点P，点P为所求
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意得到PA=PB，根据线段垂直平分线的判定、尺规作图判断即可．
解：A、由作图知BA=BP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
B、由作图知CA=CP，不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
C、由作图知点P在线段AB的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴PA+PC= PB+PC= BC，故该选项正确，符合题意；
D、由作图知点P在线段AC的垂直平分线上，
∴PA=PC，
不会得到PA+PC=BC，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质．
9．如图，是的三条角平分线的交点，连接、、，若、、的面积分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定与（）的大小
【答案】A
【解析】
【分析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知点到边、、的距离相等，再根据三角形的三边关系即可判断出、、三者之间的关系．
∵是的三条角平分线的交点，
∴点到边、、的距离相等，
设这个距离为，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、三角形面积、三角形的三边关系等知识，解答本题的关键是运用角平分线的性质找到三个三角形高的关系．
10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E．△ABC的周长为19，△ACE的周长为13，则AB的长为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE＝BE，
∵△ACE的周长＝AC+AE+CE＝AC+BE+CE=AC+BC＝13，△ABC的周长＝AC+BC+AB＝19，
∴AB＝△ABC的周长﹣△ACE的周长＝19﹣13＝6，
故选：B．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形周长等知识，解答本题的关键是熟练掌握运用垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二、填空题(共0分)
11．如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=50°，通过观察尺规作图的痕迹，∠DAE的度数是 _____．
【答案】35°
【解析】
【分析】
由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得∠BAD=30°，结合三角形内角和定理求出∠CAD，根据角平分线的定义即可求出∠DAE的度数．
解：∵DF垂直平分线段AB，
∴DA=DB，
∴∠BAD=∠B=30°，
∵∠B=30°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-50°=100°，
∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=100°-30°=70°，
∵AE平分∠CAD，
∴∠DAE=∠CAD=×70°=35°，
故答案为：35°．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法．
12．作线段的垂直平分线
作法：
①任意取一点K ，使点K与点C 在直线AB两旁．
②以点C为圆心，____长为半径作弧，交___于点D和E．
③分别以点__和点___为圆心，大于_____长为半径作弧，两弧相交于点F．
④作直线CF．
【答案】 CK AB D E
【解析】
略
13．如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，连接并延长交于点，则___．
【答案】125°##125度
【解析】
【分析】
根据角平分线的作法可得平分，再根据三角形内角和定理可得的度数．
解：由题意可得：平分，
，，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了角平分线的作法以及角平分线的定义，解题的关键是熟练根据角平分线的定义得出度数．
14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：
①以B为圆心，任意长为半径作弧，交AB于D，交BC于E；
②分别以D，E为圆心，以大于DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F；
③作射线BF交AC于G．
如果AB＝9，BC＝12，△ABG的面积为18，则△CBG的面积为_____．
【答案】24
【解析】
【分析】
如图，过点作于，于．证明，求出，即可解决问题．
解：如图，过点作于，于．
由作图可知，平分，
，，
，
，
，
，
，
故答案为24．
【点睛】
本题考查作图基本作图，角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用角平分线的性质定理解决问题是解题的关键．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=3，AB=8，则△ABD的面积是___________________________．
【答案】12
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DE=DC=3，根据三角形的面积公式计算即可．
解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=3，
∴△ABD的面积=×AB×DE=12，
故答案为：12．
【点睛】
本题考查的是作图-基本作图，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
16．△ABC的三边AB、BC、CA的长分别是20、30、40,其三条角平分线相交于O点，将三角形ABC分为三个三角形，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据角平分线的性质得，三角形ABC分成的三个三角形有一条相等的高，故三个三角形的面积之比等于该高所对的边之比.
设边AB上的高为，边BC上的高为，边CA上的高为
由角平分线的性质得：
故
故答案为.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），掌握角平分线的性质是解题关键.
17．如图，已知中，，，垂直平分，点为垂足，交于点．那么的周长为__________．
【答案】8
【解析】
【分析】
先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．
的垂直平分线交于点，垂足为点，
，
，
，，，
的周长．
故答案为：．
【点睛】
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
18．如图，点是三个内角的角平分线的交点，连接，，且，则的度数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由角平分线的性质可得∠ABP+∠BAP=60°，由“SAS”可证△ACP≌△BCP，可得AP=PE，∠CAP=∠CEP，可得PE=BE，由等腰三角形的性质和外角性质可得∠PAB=2∠PBA，即可求解．
如图，在BC上截取CE=AC，连接PE，
∵∠ACB=60°，
∴∠CAB+∠ABC=120°
∵点P是△ABC三个内角的角平分线的交点，
∴∠CAP=∠BAP=∠CAB，∠ABP=∠CBP=∠ABC，∠ACP=∠BCP，
∴∠ABP+∠BAP=60°
∵CA=CE，∠ACP=∠BCP，CP=CP
∴△ACP≌△ECP（SAS）
∴AP=PE，∠CAP=∠CEP
∵CA+AP=BC，且CB=CE+BE，
∴AP=BE，
∴BE=PE，
∴∠EPB=∠EBP，
∴∠PEC=∠EBP+∠EPB=2∠PBE=∠CAP
∴∠PAB=2∠PBA，且∠ABP+∠BAP=60°，
∴∠PAB=40°，
∴∠CAB=80°
故答案为80°.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题关键．
三、解答题(共0分)
19．已知：在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线相交于点．
(1)尺规作图：求作点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：的垂直平分线经过点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】
【分析】
（1）运用线段的垂直平分线的尺规作图画法作图即可；
（2）运用线段的垂直平分线的性质和判定直接证明即可；
(1)
（1）如图所示，分别以点A，B为圆心以大于长为半径画弧，两弧交于点D，E，同样，分别以点B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点F，G，作直线DE，直线FG，交于P，则点P即为所求；
(2)
（2）连接PA，PB，PC
直线DE，直线FG分别是线段AB，线段BC的垂直平分线，点P 在直线DE，FG上，
PA=PB，PB=PC，
PA=PC，
点P在线段AC的垂直平分线上，
即的垂直平分线经过点．
【点睛】
本题主要考察线段的垂直平分线的性质和判定及尺规作图，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和判定及作图是解题的关键．
20．按照要求完成尺规作图．（注：不需要写出作法，只需保留作图痕迹）
如图，已知，点M为上一点．
(1)画，垂足为C；
(2)画的平分线，交于D；
(3)过点D画，交于点E．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【解析】
【分析】
（1）以为圆心，为半径，作弧交于点，再分别以、为圆心，为半径，作弧，两弧交于点，连接交于点，则MC⊥OA于C；
（2）根据基本作图（作已知角的平分线）作OD平分∠AOB；
（3）作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB，
(1)
以为圆心，为半径，作弧交于点，再分别以、为圆心，为半径，作弧，两弧交于点，连接交于点，则MC⊥OA于C；
(2)
作OD平分∠AOB，如图，OD为所作；
(3)
作∠ODE＝∠BOD可得到DE∥OB，如图，DE为所作．
【点睛】
本题考查了作图−复杂作图，作垂线，作角分线，作角等于已知角，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．如图，在中，，，垂直平分．
(1)作的平分线交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
(2)在所作的图中，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的作法即可作∠DAC的平分线AE交BC于点E；
（2）根据角平分线定义和三角形内角和定理即可求∠DAE的度数．
(1)
解：如图，线段即为所求；
(2)
解： 垂直平分，
，
∴
，
，
是的平分线，
．
【点睛】
本题考查了作图一基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．如图，已知线段a和∠MAN（点B是∠MAN的边AN上的一点）．
(1)作图（保留作图痕迹，不要求写作法）：
①在射线AM上取点C，使BC＝a；
②作线段AB的垂直平分线DE交AB、BC于点D、E，
③作线段AC的垂直平分线FG交BC、AC、DE于点F、G、O
(2)若a＝15，根据上述作图求AEF的周长．
【答案】(1)①见解析；②见解析；③见解析
(2)15
【解析】
【分析】
（1）①根据作一条线段等于已知线段的作法，即可求解；②③根据作已知线段的垂直平分线的作法，即可求解；
（2）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AE=BE，AF=CF，从而得到AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC，即可求解．
(1)
解：①如图，点C即为所求；
②如图，直线DE即为所求；
③如图，直线FG即为所求；
(2)
解：∵DE垂直平分AB， FG垂直平分AC，
∴AE=BE，AF=CF（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等）
∴AE+ AF+EF＝BE+ CF+EF＝BC＝15．
即△AEF的周长为15
【点睛】
本题主要考查了尺规作图——作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质定理，熟练掌握作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线的作法，线段的垂直平分线的性质定理是解题的关键．
23．如图，电信部门要在S区修建一座发射塔P．按照设计要求，发射塔P到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等，发射塔P应建在什么位置？在图上标出它的位置．（尺规作图：只保留作图痕迹，不写作图过程）
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等；线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作图即可得答案．
解：连接AB，作线段AB的垂直平分线l，
作∠MON的平分线OQ，
OQ交直线l于P，
P点即为所求．
【点睛】
本题考查了角平分线、线段垂直平分线的尺规作图方法，掌握这两种尺规作图方法是解题关键．
24．如图，点A在∠MON的边OM上，选择合适的画图工具按要求画图．
(1)反向延长射线ON，得到射线OP，画∠MOP的角平分线OQ；
(2)在射线OP上取一点B，使得OB＝OA；
(3)在射线OQ上作一点C，使得CB+AC最小，这样作图依据是 ；
(4)过点O画OD⊥OQ，垂足为点O，用量角器量得∠NOD的度数为 °．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)两点之间线段最短
(4)28或152
【解析】
【分析】
（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据要求画出图形即可；
（3）利用两点之间线段最短解决问题即可；
（4）利用测量法解决问题．
(1)
解：如图，射线ON，射线OQ即为所求；
(2)
解：如图，线段OB即为所求；
(3)
解：如图，点C即为所求．
作图依据：两点之间线段最短，
故答案为：两点之间线段最短；
(4)
解：测量可知：∠DON＝28°或152°，
故答案为：28或152．
【点睛】
本题考查作图-复杂作图，射线，线段，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)AE+CD=AC，证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根据角平分线定义求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度数，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，证△AEO≌△AMO，△DCO≌△NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可求解．
(1)
证明：∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，
∵∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，
∴∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），
即∠AOC=90°+∠ABC；
(2)
解：AE+CD=AC，
证明：如图2，∵∠AOC=90°+∠ABC=135°，
∴∠EOA=45°，
在AC上分别截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，连接OM，ON，
则在△AEO和△AMO中，，
∴△AEO≌△AMO，
同理△DCO≌△NCO，
∴∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，
∴∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，
∴∠MON=∠MOA=45°，
过M作MK⊥AD于K，ML⊥ON于L，
∴MK=ML，
S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，
∴，
∵，
∴，
∵AO=3OD，
∴，
∴，
∴AN=AM=AE，
∵AN+NC=AC，
∴AE+CD=AC．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键．
26．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E，交BA的延长线于F．
（1）求证：△ABD≌△ACF；
（2）若BD平分∠ABC，求证：CE=BD；
（3）若D为AC上一动点，∠AED如何变化？若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠AED不变；；理由见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意易得∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，进而可证∠ABD=∠ACF，则问题可证；
（2）由（1）可得BD=CF，则有BC=BF，然后根据线段的数量关系可求解；
（3）如图，过点A作AG⊥CF于G，作AH⊥BD于H，则有BD•AH=CF•AG，进而可得EA平分∠BEF，则问题可解．
解：（1）∵∠BAC是直角，CE⊥BD，
∴∠BAC=∠CAF=∠BEF=90°，
∴∠ACF+∠F=90°，∠ABD+∠F=90°，
∴∠ABD=∠ACF，
在△ABD和△ACF中
∴△ABD≌△ACF（ASA）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∵BD⊥CE，BD平分∠ABC，
∴BC=BF，
∵BD⊥CE，
∴CE=EF，
BD
（3）∠AED不变 ，
理由：如图，过点A作AG⊥⊥CF于G，作AH⊥BD于H，
由（1）证得△BAD≌△CAF（ASA），
∴S△BAD=S△CAF，BD=CF，
∴BD•AH=CF•AG，而BD=CF，
∴AH=AG，
∵AH⊥EB，AG⊥EG，
∴EA平分∠BEF，．
即．
【点睛】
本题主要考查线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理，数量掌握线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质及角平分线的判定定理是解题的关键．
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