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【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第04讲《全等三角形的判定》预习讲学案
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这是一份【暑假提升】浙教版数学七年级（七升八）暑假-专题第04讲《全等三角形的判定》预习讲学案，文件包含第04讲全等三角形的判定解析版docx、第04讲全等三角形的判定原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共55页， 欢迎下载使用。
第04讲 全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
五、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例1．下列条件中，满足△的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
根据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
，，，不符合，
选项不满足△；
，，，不符合，
选项不满足△；
，，，符合，
选项满足△；
，，，不符合，
选项不满足△．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形判定定理，甄选条件是解题的关键．
例2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①去和带②去
【答案】A
【解析】
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
例3．下列说法不正确的是（ ）
A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
B．有三个角对应相等的两个三角形全等
C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
D．有三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】
根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．
【详解】
A.符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，
C.正确，符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
D.正确，符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
例4．下列各组所列的条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A．AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E B．AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E
C．∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE D．BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D
【答案】C
【解析】
根据全等三角形的判定条件可直接进行排除选项．
【详解】
A、由AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E可得根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
B、由AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E可得根据“ASA”判定△ABC≌△EFD，故不符合题意；
C、由∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE可得对应关系错误，所以不能判定△ABC≌△EFD，故符合题意；
D、由BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D可得根据“SAS”判定△ABC≌△FED，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
例5．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．乙
【答案】C
【解析】
甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
【详解】
由图形可知，甲有两边一角，但50°的角不是两边的夹角，已知的是夹角，故不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得：乙丙正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例6．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】
解：∵是的一条角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
A.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
B.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
C.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
例7．给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．
【详解】
解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；
②若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则根据SAS能使△ABC≌△DEF；
③若∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F，则根据AAS能使△ABC≌△DEF；
④若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使△ABC≌△DEF；
综上，能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
例8．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可分别证出ABD≌CDB，ABC≌CDA，得出AB＝CD，BC＝DA，再利用AAS即可分别证出AOB≌COD、AOD≌COB、ABE≌CDF、AOE≌COF、ADE≌CBF．
【详解】
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在ABD和CDB中，
，
∴ABD≌CDB（ASA），
同理：ABC≌CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在AOB和COD中，
，
∴AOB≌COD（AAS），
同理：AOD≌COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在ABE和CDF中，
，
∴ABE≌CDF（AAS），
同理：AOE≌COF（AAS），ADE≌CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是平行线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
例9．如图，已知EC＝BF，∠A＝∠D，现有下列6个条件：①AC＝DF；②∠B＝∠E；③∠ACB＝∠DFE；④ABED；⑤AB＝ED；⑥DFAC；从中选取一个条件，以保证△ABC≌△DEF，则可选择的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查学生对全等三角形判定条件的掌握，已知一组边和一对角相等，要证明全等，还可添加一组边或一对角相等．
解：条件①⑤是边边角，所以错误；条件②③④⑥都可利用角角边证全等
故选B
例10．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【分析】
根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS即可证明△ACB≌△ACD,由此即可解决问题．
【解析】
解：∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ACD=90°
则在△ACB和△ACD中,
∴△ABC≌△ADC（SAS）,
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型．
例11．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判断这两个三角形全等的条件有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③
【答案】B
【分析】
依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解析】
解：第①组满足AAS，能证明△ABC≌△EFD．
第②组不是两角及一边对应相等，不能证明△ABC和△DEF全等．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△FDE．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△FED．
第⑤组满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例12．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
【答案】C
【解析】
试题分析：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确；故选C．
考点：全等三角形的判定．
例13．如图为个边长相等的正方形的组合图形，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【解析】
如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
例14．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
本题考查的是图形的轴对称性．作关于AC垂直平分线的轴对称图形为一个，作三角形关于BC的轴对称图形然后作关于BC垂直平分线的轴对称图形又两个；又以AB为边还有一个所以共4个．
例15．如图，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（ ）
A．1cm B．0.8cm C．4.2cm D．1.5cm
【答案】B
【解析】
解：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，
∵CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8cm，
∴BE=0.8cm.
故选B.
一、单选题
1．如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（ ）
①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，
根据AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，
根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，
根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键.
2．如图，在△ABC与△ADC中，若，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法逐一进行判断即可．
A.根据“AAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故A不符合题意；
B.根据“ASA”，可以推出△ABC≌△ADC，故B不符合题意；
C.根据“SSA”，不能判定三角形全等，故C符合题意；
D.根据“SAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）．
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理判断即可．
带③去，理由如下：
∵③中满足ASA的条件，
∴带③去，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A． B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
【答案】C
【解析】
【分析】
由EB=CF，可得出EF=BC，又有，可得∠DFE=∠ACB，，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
解：A、添加AB∥ED，可得∠E=∠ABC，根据ASA能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意；
B、添加DF=AC，根据SAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项不符合题意．
C、添加ED=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故C选项符合题意．
D、．添加∠A=∠D，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，在和中，已知，添加两个条件仍不能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
解：A、添加，，可利用边角边证得，故本选项不符合题意；
B、添加，，可利用边边边证得，故本选项不符合题意；
C、添加，，不能证得，故本选项符合题意；
D、添加，，可利用角边角得，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．如图，，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE与△ACD全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按照补充后的条件，利用全等三角形的判定方法逐个分析即可求解．
解：A、添加后，△ABE与△ACD中，，，，利用ASA可以证明△ABE与△ACD全等；
B、添加后，△ABE与△ACD中，，，，利用SAS可以证明△ABE与△ACD全等；
C、添加后，△ABE与△ACD中，一组角相等，且非夹角的两边相等，不能证明△ABE与△ACD全等；
D、添加后，△ABE与△ACD中， ，，，利用AAS可以证明△ABE与△ACD全等；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定方法，需要注意：SSA不能判定两个三角形全等．
7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
解：∵在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1=∠AED，
∵∠AED+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
8．在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AC=DF，BC=DE，∠B=∠D B．∠A=∠F，∠B=∠E，∠C=∠D
C．AB=DF，∠B=∠E，∠C=∠F D．AB=EF，∠A =∠E，∠B=∠F
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定条件进行逐一判断即可．
解：A、∵AC=DF，BC=DE，∠B=∠D，
又∵∠B不是AC与BC的夹角，而∠D是DF与DE的夹角，即∠B与∠D不是对应角，
∴不能证明△ABC和△DEF全等，故A选项不符合题意；
B、∵∠A=∠F，∠B=∠E，∠C=∠D，
∴不能由AAA证明△ABC和△DEF全等，故B选项不符合题意；
C、∵AB=DF，∠B=∠E，∠C=∠F，
∵∠B与∠E不是对应角，
∴不能证明△ABC和△DEF全等，故C选项不符合题意；
D、∵AB=EF，∠A =∠E，∠B=∠F，
∴可由ASA证明△ABC和△DEF全等，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
9．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】
A、不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，错误；B、符合全等三角形判定中的SSS，正确；C、只有两个条件，不足以构成三角形，错误；D、三个角不能画出唯一的三角形，错误，
故选B．
10．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.
11．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边,然后根据角之间的关系即可解答．
解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC；
∴②正确,
∠EAB=∠FAC= 40° ；
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，
∴∠EFB=∠EAB= 40° ，
∴⑤正确
∵AF=AC，∠FAC= 40° ；
∴∠AFC=∠C= 70° ；
∵∠EFB = 40° ，
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ，
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB, ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ，
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
12．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
二、填空题
13．如图，已知．要使．只需添加的一个条件是______．
【答案】AB=DC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
解：添加AB=DC，
∵AC=DB，BC=BC，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴加一个适当的条件是AB=DC，
故答案为：AB=DC（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
14．三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是_______________________________
【答案】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
【解析】
【分析】
角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可.
解：三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键.
15．如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是__m．
【答案】120
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质解决问题即可．
，
，
，，
，
，
故答案为120．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
16．如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE=AE，AB=7，CF=4，则BD的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先由全等三角形的判定定理ASA证明△AED≌△CEF，然后根据全等三角形的对应边相等知AD=CF，从而求得BD的长度．
解：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD=CF（全等三角形的对应边相等），
又∵AB=7，CF=4，AB=AD+BD，
∴BD=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．填表．
已知两个对应相等的边或角
应寻找的条件
证明三角形全等的依据
两 边
SAS
SSS
一角及其对边
AAS
一角及其邻边
SAS
AAS或ASA
两 角
ASA或AAS
【答案】依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边
【解析】
试题解析：依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
故答案为夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
18．在与中，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】
先画好图形，再利用证明再利用全等三角形的性质可得答案.
解：如图：
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键．
19．如图，在中，平分，于点E，若的面积为，则阴影部分的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
证点E为AD的中点，可得△ACE与△ACD的面积之比，同理可得△ABE和△ABD的面积之比，即可解答出．
解：如图，平分，于点E，
∴，，
∵，
∴≌
∴，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12，
∴阴影部分的面积为S△ACE＋S△ABE＝S△ABC＝×12＝6．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F分别在边AB和边AC上，且∠EDF=90°，则下列结论一定成立的是_______
①△ADF≌△BDE
②S四边形AEDF=S△ABC
③BE+CF=AD
④EF=AD
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据全等三角形性质和三角形中位线性质进行分析即可.
∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF与△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE，
∴S△ADF=S△BDE，
∵S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE-S△ABD，
∵S△ABD=S△ABC，
∴S四边形AEDF=S△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AB>AD，
∵AD=BC，
当EF∥BC时，EF=BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于BC，
∴EF≠AD，
故答案为①②．
【点睛】
考核知识点：全等三角形的判定和性质，三角形的中位线性质.
三、解答题
21．已知：如图，A、B、C、D四点在一条直线上，且AB＝CD，∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD．求证：AE＝DF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据AB=CD，得出AC=DB，利用“ASA”证明△ACE≌△DBF，即可证明结论．
证明：∵ AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=DB，
∵在△ACE与△DBF中，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两个角对应相等，且这两个角所夹的边也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（ ），∠ECB＝（ ）．
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ ）．
在△BDC与△CEB中，
，
（ ），
（ ）．
所以△BDC≌△CEB（ASA）．
【答案】∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可证得∠DBC＝∠ECB，再证明△BDC≌△CEB．
解：△BDC与△CEB全等，
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），
在△BDC与△CEB中，
，
所以△BDC≌△CEB（ASA），
故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．如图，两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，两车行进的路线平行．那么，两地到路段的距离相等吗？为什么？
【答案】，两地到路段的距离相等，理由见解析
【解析】
【分析】
要判断，两地到路段的距离是否相等，可以由条件证明，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．
解：，两地到路段的距离相等．理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
∴，两地到路段的距离相等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，点到直线的距离的理解，平行线的性质．解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．
24．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：
(1)BC＝EF；
(2)BC∥EF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
(1)
证明：（1），
，
，
，
在与 中
，
，
．
(2)
（2），
，
．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
(1)若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
(2)求证：△ABC≌△DEF．
【答案】(1)∠CHE＝25°
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
(1)
解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，
∵AB∥DE，
∴∠CHE＝∠A＝25°；
(2)
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，三角形内角和定理和平行线的性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
26．已知：如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°．
(1)求证：AC=BD；
(2)求∠APB的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过证明，即可求证；
（2）利用三角形外角的性质可得，由（1）可得，从而得到，利用三角形内角和的性质即可求解．
(1)
证明：∵，
∴，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴，
∴；
(2)
解：由（1）可得，
由三角形外角的性质可得
∴，
∴，
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
27．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．
（1）求证；DE⊥DF；
（2）求证：△BDE≌△DCF；
（3）求证：EF∥BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义和平角的定义可求结论；
（2）由“AAS”可证BDE≌DCF；
（3）利用SAS证出EDF≌CFD，从而得出∠EFD=∠CDF ，从而得出EF∥BC．
证明：（1）∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠PDE＝∠ADB，∠FDP＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠PDE+∠PDF＝∠ADB+∠ADC＝（∠ADB+∠ADC）＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵BE⊥DE，DF⊥CF，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∵∠BDE+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠BDE＝∠DCF，
∵D是BC中点，
∴BD＝DC，
在BDE和DCF中，
，
∴BDE≌DCF（AAS），
（2）∵BDE≌DCF，
∴DE＝CF，
在EDF和CFD中
∴EDF≌CFD
∴∠EFD=∠CDF
∴EF∥BC．
【点睛】
此题考查的是角平分线的定义、全等三角形的判定及性质和平行线的判定，掌握角平分线的定义、全等三角形的判定及性质和平行线的判定是解决此题的关键．
28．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BD＝CF﹣3，理由见解析
(3)若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；
（2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
【点睛】
本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．如图，已知中，，，点为的中点．
（1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
【答案】（1）①，理由见解析；②（厘米/秒）；（2）经过了秒，点与点第一次在边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求得BP＝CQ＝6，PC＝BD＝10，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，根据全等得出CQ＝BD＝10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
（1）①因为t＝1（秒），
所以BP＝CQ＝6（厘米）
∵AB＝20，D为AB中点，
∴BD＝10（厘米）
又∵PC＝BC−BP＝16−6＝10（厘米）
∴PC＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②因为VP≠VQ，
所以BP≠CQ，
又因为∠B＝∠C，
要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，
故CQ＝BD＝10．
所以点P、Q的运动时间t＝（秒），
此时V Q＝＝7.5（厘米/秒）；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，
依题意得x＝6x＋2×20，
解得x＝（秒）
此时P运动了×6＝160（厘米）
又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2＋48，
所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
30．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是，的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：；
（3）如图3，在中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，，若的面积是15，则与的面积之和是_________．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5
【解析】
【分析】
（1）证出∠BAD=∠ACF，根据AAS证明△ABD≌△CAF；
（2）类似（1），根据AAS证明即可；
（3）利用（2）的结论、三角形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵BD⊥AE，CF⊥AE
∴
∵
∴∠BAD+∠FAC=90°
∵∠FAC+∠ACF=90°
∴∠BAD=∠ACF
在△ABD与△CAF中
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFA，
∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中
所以
（3）∵△ABC的面积为15，CD=2BD，
∴△ABD的面积为15×=5，
由（2）得，△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的性质定理和判定定理是解题的关键．
第04讲 全等三角形的判定
一、全等三角形判定1——“边边边”
全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）.
要点：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△.
二、全等三角形判定2——“边角边”
1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.
要点：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.
三、全等三角形判定3——“角边角”
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.
要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△.
四、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）
要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
五、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：
已知条件
可选择的判定方法
一边一角对应相等
SAS AAS ASA
两角对应相等
ASA AAS
两边对应相等
SAS SSS
2.如何选择三角形证全等
（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；
（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；
（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；
（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.
例1．下列条件中，满足△的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
根据三角形全等的判定定理逐一判断即可．
，，，不符合，
选项不满足△；
，，，不符合，
选项不满足△；
，，，符合，
选项满足△；
，，，不符合，
选项不满足△．
故选：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形判定定理，甄选条件是解题的关键．
例2．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么，最省事的方法是（ ）
A．带①去 B．带②去
C．带③去 D．带①去和带②去
【答案】A
【解析】
已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．
【详解】
解：第①块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．
例3．下列说法不正确的是（ ）
A．有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
B．有三个角对应相等的两个三角形全等
C．有两个角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
D．有三条边对应相等的两个三角形全等
【答案】B
【解析】
根据全等三角形的判定定理逐一判断即可得答案．
【详解】
A.符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
B.全等三角形的判定必须有边的参与，AAA不能判定两个三角形全等，故该选项说法不正确，符合题意，
C.正确，符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
D.正确，符合判定，故该选项说法正确，不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定，全等三角形常用的判定方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL，注意：AAS、AAA不能判定两个三角形全等，当利用SAS判定两个三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
例4．下列各组所列的条件中，不能判定△ABC和△DEF全等的是( )
A．AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E B．AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E
C．∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE D．BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D
【答案】C
【解析】
根据全等三角形的判定条件可直接进行排除选项．
【详解】
A、由AB＝DE，∠C＝∠F，∠B＝∠E可得根据“AAS”判定△ABC≌△DEF，故不符合题意；
B、由AB＝EF，∠B＝∠F，∠A＝∠E可得根据“ASA”判定△ABC≌△EFD，故不符合题意；
C、由∠B＝∠E，∠A＝∠F，AC＝DE可得对应关系错误，所以不能判定△ABC≌△EFD，故符合题意；
D、由BC＝DE，AC＝DF，∠C＝∠D可得根据“SAS”判定△ABC≌△FED，故不符合题意；
故选C．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
例5．如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（ ）
A．甲乙 B．甲丙 C．乙丙 D．乙
【答案】C
【解析】
甲不符合三角形全等的判断方法，乙可运用SAS判定全等，丙可运用AAS证明两个三角形全等．
【详解】
由图形可知，甲有两边一角，但50°的角不是两边的夹角，已知的是夹角，故不能判断两三角形全等，乙有两边及其夹角，能判断两三角形全等，丙得出两角及其一角对边，能判断两三角形全等，根据全等三角形的判定得：乙丙正确．
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例6．如图，在中，、分别足边、上的点，是的一条角平分线．再添加一个条件仍不能证明的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
根据全等三角形的判定方法逐项分析即可．
【详解】
解：∵是的一条角平分线，
∴∠ABD=∠EBD，
A.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故A不符合题意；
B.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
C.在△ADB和△EDB中
，
∴△ADB≌△EDB，故不符合题意；
D.在△ADB和△EDB中，若添加，符合“SSA”，此方法不能判断△ADB≌△EDB，故符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．
例7．给出下列四组条件：
①AB=DE，BC=EF，AC=DF； ②AB=DE，∠B=∠E．BC=EF；
③∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F； ④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．
其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】C
【解析】
根据全等三角形的判定方法逐一判断即得答案．
【详解】
解：①若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据SSS能使△ABC≌△DEF；
②若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则根据SAS能使△ABC≌△DEF；
③若∠B=∠E，AC=DF，∠C=∠F，则根据AAS能使△ABC≌△DEF；
④若AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，满足有两边及其一边的对角对应相等，不能使△ABC≌△DEF；
综上，能使△ABC≌△DEF的条件共有3组．
故选：C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，属于基础题型，熟练掌握判定三角形全等的方法是解题的关键．
例8．如图，AB∥CD，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AE⊥BD，CF⊥AC，垂足分别是E，F．则图中共有（ ）对全等三角形．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
根据平行线的性质可得∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，利用ASA即可分别证出ABD≌CDB，ABC≌CDA，得出AB＝CD，BC＝DA，再利用AAS即可分别证出AOB≌COD、AOD≌COB、ABE≌CDF、AOE≌COF、ADE≌CBF．
【详解】
解：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∠BAC＝∠DCA，
在ABD和CDB中，
，
∴ABD≌CDB（ASA），
同理：ABC≌CDA（ASA）；
∴AB＝CD，BC＝DA，
在AOB和COD中，
，
∴AOB≌COD（AAS），
同理：AOD≌COB（AAS）；
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠AEO＝∠CFD＝∠CFO＝90°，
在ABE和CDF中，
，
∴ABE≌CDF（AAS），
同理：AOE≌COF（AAS），ADE≌CBF（AAS）；
图中共有7对全等三角形；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是平行线的性质和全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的各个判定定理是解决此题的关键．
例9．如图，已知EC＝BF，∠A＝∠D，现有下列6个条件：①AC＝DF；②∠B＝∠E；③∠ACB＝∠DFE；④ABED；⑤AB＝ED；⑥DFAC；从中选取一个条件，以保证△ABC≌△DEF，则可选择的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查学生对全等三角形判定条件的掌握，已知一组边和一对角相等，要证明全等，还可添加一组边或一对角相等．
解：条件①⑤是边边角，所以错误；条件②③④⑥都可利用角角边证全等
故选B
例10．为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB=90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD=BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是（ ）
A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS
【答案】A
【分析】
根据已知条件可找到两边对应相等且夹角相等，利用SAS即可证明△ACB≌△ACD,由此即可解决问题．
【解析】
解：∵∠ACB=90°
∴∠ACB=∠ACD=90°
则在△ACB和△ACD中,
∴△ABC≌△ADC（SAS）,
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
故选：A．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法,属于中考常考题型．
例11．在和中，①，，；②，，；③，，；④，，；⑤，，能判断这两个三角形全等的条件有（ ）
A．①②④ B．①③⑤ C．④⑤ D．①③
【答案】B
【分析】
依据全等三角形的判定定理进行判断即可．
【解析】
解：第①组满足AAS，能证明△ABC≌△EFD．
第②组不是两角及一边对应相等，不能证明△ABC和△DEF全等．
第③组满足ASA，能证明△ABC≌△FDE．
第④组只是SSA，不能证明△ABC≌△FED．
第⑤组满足AAS，能证明△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例12．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①②③
【答案】C
【解析】
试题分析：因为两个三角形的两个角对应相等，根据内角和定理，可知另一对对应角也相等，那么总能利用ASA来判定两个三角形全等，故选项①正确；两个全等的直角三角形都和一个等边三角形不全等，但是这两个全等的直角三角形可以全等，故选项②错误；判定两个三角形全等时，必须有边的参与，否则不会全等，故选项③正确；故选C．
考点：全等三角形的判定．
例13．如图为个边长相等的正方形的组合图形，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
标注字母，利用“边角边”判断出△ABC和△DEA全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠4，然后求出∠1+∠3=90°，再判断出∠2=45°，然后计算即可得解．
【解析】
如图，在△ABC和△DEA中，
，
∴△ABC≌△DEA（SAS），
∴∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠1+∠3=90°，
又∵∠2=45°，
∴∠1+∠2+∠3=90°+45°=135°．
故选B．
【点睛】
本题考查了全等图形，网格结构，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键．
例14．在如图所示的5×5方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】
本题考查的是图形的轴对称性．作关于AC垂直平分线的轴对称图形为一个，作三角形关于BC的轴对称图形然后作关于BC垂直平分线的轴对称图形又两个；又以AB为边还有一个所以共4个．
例15．如图，∠ACB=900，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm，则BE=（ ）
A．1cm B．0.8cm C．4.2cm D．1.5cm
【答案】B
【解析】
解：
∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BCE=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∴△ACD≌△CBE(AAS)，
∴AD=CE=2.5cm，BE=CD，
∵CD=CE−DE=2.5−1.7=0.8cm，
∴BE=0.8cm.
故选B.
一、单选题
1．如下，给定三角形的六个元素中的三个元素，画出的三角形的形状和大小完全确定的是（ ）
①三边；②两角及其中一角的对边；③两边及其夹角；④两边及其中一边的对角．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可．
解：∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，
∴根据SSS定理可知能作出唯一三角形，故①符合题意，
根据AAS定理可知能作出唯一三角形，故②符合题意，
根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故③符合题意，
根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故④不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键.
2．如图，在△ABC与△ADC中，若，则下列条件不能判定△ABC与△ADC全等的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定方法逐一进行判断即可．
A.根据“AAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故A不符合题意；
B.根据“ASA”，可以推出△ABC≌△ADC，故B不符合题意；
C.根据“SSA”，不能判定三角形全等，故C符合题意；
D.根据“SAS”，可以推出△ABC≌△ADC，故D不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．
3．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）．
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形全等的判定定理判断即可．
带③去，理由如下：
∵③中满足ASA的条件，
∴带③去，
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
4．如图，E、B、F、C四点在一条直线上，EB＝FC，，再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF的是（ ）
A． B．DF＝AC C．ED＝AB D．∠A＝∠D
【答案】C
【解析】
【分析】
由EB=CF，可得出EF=BC，又有，可得∠DFE=∠ACB，，本题具备了一组边、一组角对应相等，为了再添一个条件仍不能证明△ABC≌△DEF，那么添加的条件与原来的条件可形成SSA，就不能证明△ABC≌△DEF了．
解：A、添加AB∥ED，可得∠E=∠ABC，根据ASA能证明△ABC≌△DEF，故A选项不符合题意；
B、添加DF=AC，根据SAS能证明△ABC≌△DEF，故B选项不符合题意．
C、添加ED=AB与原条件满足SSA，不能证明△ABC≌△DEF，故C选项符合题意．
D、．添加∠A=∠D，根据AAS能证明△ABC≌△DEF，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．如图，在和中，已知，添加两个条件仍不能使的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
利用全等三角形的判定，逐项判断即可求解．
解：A、添加，，可利用边角边证得，故本选项不符合题意；
B、添加，，可利用边边边证得，故本选项不符合题意；
C、添加，，不能证得，故本选项符合题意；
D、添加，，可利用角边角得，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．如图，，点D、E分别在AB、AC上，补充一个条件后，仍不能判定△ABE与△ACD全等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
按照补充后的条件，利用全等三角形的判定方法逐个分析即可求解．
解：A、添加后，△ABE与△ACD中，，，，利用ASA可以证明△ABE与△ACD全等；
B、添加后，△ABE与△ACD中，，，，利用SAS可以证明△ABE与△ACD全等；
C、添加后，△ABE与△ACD中，一组角相等，且非夹角的两边相等，不能证明△ABE与△ACD全等；
D、添加后，△ABE与△ACD中， ，，，利用AAS可以证明△ABE与△ACD全等；
故答案为：C．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定方法，需要注意：SSA不能判定两个三角形全等．
7．如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则与的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先证明△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质可得∠1=∠AED，再根据余角的定义可得∠AED+∠2=90°，再根据等量代换可得∠1与∠2的和为90°．
解：∵在△ABC和△AED中
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴∠1=∠AED，
∵∠AED+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定和性质．
8．在下列各组的三个条件中，能判定△ABC和△DEF全等的是（ ）
A．AC=DF，BC=DE，∠B=∠D B．∠A=∠F，∠B=∠E，∠C=∠D
C．AB=DF，∠B=∠E，∠C=∠F D．AB=EF，∠A =∠E，∠B=∠F
【答案】D
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定条件进行逐一判断即可．
解：A、∵AC=DF，BC=DE，∠B=∠D，
又∵∠B不是AC与BC的夹角，而∠D是DF与DE的夹角，即∠B与∠D不是对应角，
∴不能证明△ABC和△DEF全等，故A选项不符合题意；
B、∵∠A=∠F，∠B=∠E，∠C=∠D，
∴不能由AAA证明△ABC和△DEF全等，故B选项不符合题意；
C、∵AB=DF，∠B=∠E，∠C=∠F，
∵∠B与∠E不是对应角，
∴不能证明△ABC和△DEF全等，故C选项不符合题意；
D、∵AB=EF，∠A =∠E，∠B=∠F，
∴可由ASA证明△ABC和△DEF全等，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的判定条件．
9．根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（ ）
A．，， B．，，
C．， D．，，
【答案】B
【解析】
A、不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形，错误；B、符合全等三角形判定中的SSS，正确；C、只有两个条件，不足以构成三角形，错误；D、三个角不能画出唯一的三角形，错误，
故选B．
10．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
要使△ABP与△ABC全等，必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离，即3个单位长度，所以点P的位置可以是P1，P2，P4三个，故选C.
11．如图，在△ABC与△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于点D，连接EB．下列结论：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EBC＝110°；④AD＝AC；⑤∠EFB＝40°，正确的个数为（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据已知条件证明△AEF≌△ABC，从中找出对应角或对应边,然后根据角之间的关系即可解答．
解：在△ABC与△AEF中，
AB=AE ∠ABC=∠AEF BC=EF ，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴AF=AC，∠EAF=∠BAC；
∴②正确,
∠EAB=∠FAC= 40° ；
∴①正确
∵∠ABC=∠AEF，∠ADE=∠FDB，
∴∠EFB=∠EAB= 40° ，
∴⑤正确
∵AF=AC，∠FAC= 40° ；
∴∠AFC=∠C= 70° ；
∵∠EFB = 40° ，
∴∠EFC= 140°
∴∠EFA=∠AFC= 70°
∵∠BAF不一定等于 40° ，
∴∠ADF不一定等于 70°
∴∠ADF不一定等于∠EFA
∴AD不一定等于AF
∴④不正确
连接BE ∵AE=AB, ∠EAB=40°
∴∠AEB=∠ABE= 70°
∵ ∠ABC=∠AEF 不一定等于 40° ，
∴∠EBC不一定等于 110°
∴③不正确
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
12．如图1，已知 AB=AC，D为∠BAC 的平分线上一点，连接 BD、 CD；如图2，已知 AB= AC，D、E为∠BAC的平分线上两点，连接 BD、CD、BE、CE；如图3，已知 AB=AC，D、E、F为∠BAC的平分线上三点，连接BD、CD、BE、CE、 BF、CF；…，依次规律，第 n个图形中全等三角形的对数是（ ）
A．n B．2n-1 C． D．3（n+1）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第n个图形中全等三角形的对数．
解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD．
在△ABD与△ACD中，
AB=AC，
∠BAD=∠CAD，
AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴图1中有1对三角形全等；
同理图2中，△ABE≌△ACE，
∴BE=EC，
∵△ABD≌△ACD．
∴BD=CD，
又DE=DE，
∴△BDE≌△CDE，
∴图2中有3对三角形全等；
同理：图3中有6对三角形全等；
由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．
二、填空题
13．如图，已知．要使．只需添加的一个条件是______．
【答案】AB=DC（答案不唯一）
【解析】
【分析】
要使△ABC≌△DCB，由于BC是公共边，若补充一组边相等，则可用SSS判定其全等．
解：添加AB=DC，
∵AC=DB，BC=BC，AB=DC，
∴△ABC≌△DCB（SSS），
∴加一个适当的条件是AB=DC，
故答案为：AB=DC（答案不唯一）．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择添加的条件是正确解答本题的关键．
14．三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是_______________________________
【答案】两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
【解析】
【分析】
角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可.
解：三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
故答案为：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键.
15．如图，要测量水池宽，可从点出发在地面上画一条线段，使，再从点观测，在的延长线上测得一点，使，这时量得，则水池宽的长度是__m．
【答案】120
【解析】
【分析】
利用全等三角形的性质解决问题即可．
，
，
，，
，
，
故答案为120．
【点睛】
本题考查全等三角形的应用，解题关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．
16．如图，点D是△ABC的边AB上一点，FC∥AB，连接DF交AC于点E，若CE=AE，AB=7，CF=4，则BD的长为________．
【答案】3
【解析】
【分析】
先由全等三角形的判定定理ASA证明△AED≌△CEF，然后根据全等三角形的对应边相等知AD=CF，从而求得BD的长度．
解：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，
在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴AD=CF（全等三角形的对应边相等），
又∵AB=7，CF=4，AB=AD+BD，
∴BD=3．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
17．填表．
已知两个对应相等的边或角
应寻找的条件
证明三角形全等的依据
两 边
SAS
SSS
一角及其对边
AAS
一角及其邻边
SAS
AAS或ASA
两 角
ASA或AAS
【答案】依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边
【解析】
试题解析：依次填：夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
故答案为夹角，第三边，角，另一邻边，另一个角，边.
18．在与中，，那么______．
【答案】
【解析】
【分析】
先画好图形，再利用证明再利用全等三角形的性质可得答案.
解：如图：
在与中，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键．
19．如图，在中，平分，于点E，若的面积为，则阴影部分的面积为________．
【答案】6
【解析】
【分析】
证点E为AD的中点，可得△ACE与△ACD的面积之比，同理可得△ABE和△ABD的面积之比，即可解答出．
解：如图，平分，于点E，
∴，，
∵，
∴≌
∴，
∴S△ACE：S△ACD＝1：2，
同理可得，S△ABE：S△ABD＝1：2，
∵S△ABC＝12，
∴阴影部分的面积为S△ACE＋S△ABE＝S△ABC＝×12＝6．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质及三角形面积的等积变换，解题关键是明确三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
20．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，点E、F分别在边AB和边AC上，且∠EDF=90°，则下列结论一定成立的是_______
①△ADF≌△BDE
②S四边形AEDF=S△ABC
③BE+CF=AD
④EF=AD
【答案】①②
【解析】
【分析】
根据全等三角形性质和三角形中位线性质进行分析即可.
∵∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠BDE+∠ADE=∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△ADF与△BDE中，
，
∴△ADF≌△BDE，
∴S△ADF=S△BDE，
∵S四边形AEDF=S△ADE+S△ADF=S△ADE+S△BDE-S△ABD，
∵S△ABD=S△ABC，
∴S四边形AEDF=S△ABC，
∵△ADF≌△BDE，
∴AF=BE，
∴BE+CF=AF+CF=AB>AD，
∵AD=BC，
当EF∥BC时，EF=BC，
而EF不一定平行于BC，
∴EF不一定等于BC，
∴EF≠AD，
故答案为①②．
【点睛】
考核知识点：全等三角形的判定和性质，三角形的中位线性质.
三、解答题
21．已知：如图，A、B、C、D四点在一条直线上，且AB＝CD，∠A＝∠D，∠ECA＝∠FBD．求证：AE＝DF ．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
先根据AB=CD，得出AC=DB，利用“ASA”证明△ACE≌△DBF，即可证明结论．
证明：∵ AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=DB，
∵在△ACE与△DBF中，
∴△ACE≌△DBF（ASA），
∴AE=DF．
【点睛】
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握两个角对应相等，且这两个角所夹的边也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，已知∠ABC＝∠ACB，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，那么△BDC与△CEB全等吗？为什么？
解：因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（ ），∠ECB＝（ ）．
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ ）．
在△BDC与△CEB中，
，
（ ），
（ ）．
所以△BDC≌△CEB（ASA）．
【答案】∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知
【解析】
【分析】
根据角平分线的定义可证得∠DBC＝∠ECB，再证明△BDC≌△CEB．
解：△BDC与△CEB全等，
因为BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB（已知），
所以∠DBC＝（∠ABC），∠ECB＝（∠ACB），
由∠ABC＝∠ACB（已知），
所以∠DBC＝∠ECB（ 等量代换），
在△BDC与△CEB中，
，
所以△BDC≌△CEB（ASA），
故答案为：∠ABC；∠ACB；等量代换；∠DBC＝∠ECB；BC＝CB；公共边；∠ACB＝∠ABC；已知．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
23．如图，两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，两车行进的路线平行．那么，两地到路段的距离相等吗？为什么？
【答案】，两地到路段的距离相等，理由见解析
【解析】
【分析】
要判断，两地到路段的距离是否相等，可以由条件证明，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论．
解：，两地到路段的距离相等．理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，
∴
在和中，
，
∴，
∴．
∴，两地到路段的距离相等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定及性质，点到直线的距离的理解，平行线的性质．解答时弄清判断三角形全等的条件是关键．
24．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证：
(1)BC＝EF；
(2)BC∥EF．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．
（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
(1)
证明：（1），
，
，
，
在与 中
，
，
．
(2)
（2），
，
．
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键．
25．如图，在△ABC和△DEF中，边AC，DE交于点H，AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
(1)若∠B＝55°，∠ACB＝100°，求∠CHE的度数．
(2)求证：△ABC≌△DEF．
【答案】(1)∠CHE＝25°
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠A，再根据平行线的性质得出∠CHE＝∠A即可；
（2）根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，求出BC＝EF，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
(1)
解：∵∠B＝55°，∠ACB＝100°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝25°，
∵AB∥DE，
∴∠CHE＝∠A＝25°；
(2)
证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定定理，三角形内角和定理和平行线的性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．
26．已知：如图，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=50°．
(1)求证：AC=BD；
(2)求∠APB的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）通过证明，即可求证；
（2）利用三角形外角的性质可得，由（1）可得，从而得到，利用三角形内角和的性质即可求解．
(1)
证明：∵，
∴，
又∵OA=OB，OC=OD，
∴，
∴；
(2)
解：由（1）可得，
由三角形外角的性质可得
∴，
∴，
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
27．如图，AD为△ABC的中线，DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，BE⊥DE，CF⊥DF．
（1）求证；DE⊥DF；
（2）求证：△BDE≌△DCF；
（3）求证：EF∥BC．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线的定义和平角的定义可求结论；
（2）由“AAS”可证BDE≌DCF；
（3）利用SAS证出EDF≌CFD，从而得出∠EFD=∠CDF ，从而得出EF∥BC．
证明：（1）∵DE平分∠ADB，DF平分∠ADC，
∴∠PDE＝∠ADB，∠FDP＝∠ADC，
∴∠EDF＝∠PDE+∠PDF＝∠ADB+∠ADC＝（∠ADB+∠ADC）＝90°，
∴DE⊥DF；
（2）∵BE⊥DE，DF⊥CF，
∴∠BED＝∠DFC＝90°，
∵∠BDE+∠CDF＝90°，∠CDF+∠DCF＝90°，
∴∠BDE＝∠DCF，
∵D是BC中点，
∴BD＝DC，
在BDE和DCF中，
，
∴BDE≌DCF（AAS），
（2）∵BDE≌DCF，
∴DE＝CF，
在EDF和CFD中
∴EDF≌CFD
∴∠EFD=∠CDF
∴EF∥BC．
【点睛】
此题考查的是角平分线的定义、全等三角形的判定及性质和平行线的判定，掌握角平分线的定义、全等三角形的判定及性质和平行线的判定是解决此题的关键．
28．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由．
(2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由．
(3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系．
【答案】(1)见解析
(2)BD＝CF﹣3，理由见解析
(3)若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3
【解析】
【分析】
（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可；
（2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可．
解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
（2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H，
∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°，
∴∠F＝∠BED，
又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，
即BD＝CF﹣3；
（3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC，
∴∠BDE＝∠CEF，
又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3；
②若E在BC延长线上，
∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°，
∴∠BDE＝∠FEC，
又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE，
∴△DBE≌△ECF（AAS），
∴CF＝BE，
∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3；
综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3．
【点睛】
本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
29．如图，已知中，，，点为的中点．
（1）如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由向点运动．
①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由；
②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？
（2）若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点与点第一次在的哪条边上相遇？
【答案】（1）①，理由见解析；②（厘米/秒）；（2）经过了秒，点与点第一次在边上相遇．
【解析】
【分析】
（1）①先求得BP＝CQ＝6，PC＝BD＝10，然后根据等边对等角求得∠B＝∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B＝∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，根据全等得出CQ＝BD＝10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
（1）①因为t＝1（秒），
所以BP＝CQ＝6（厘米）
∵AB＝20，D为AB中点，
∴BD＝10（厘米）
又∵PC＝BC−BP＝16−6＝10（厘米）
∴PC＝BD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△BPD与△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②因为VP≠VQ，
所以BP≠CQ，
又因为∠B＝∠C，
要使△BPD与△CQP全等，只能BP＝CP＝8，即△BPD≌△CPQ，
故CQ＝BD＝10．
所以点P、Q的运动时间t＝（秒），
此时V Q＝＝7.5（厘米/秒）；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB＋AC的路程，
设经过x秒后P与Q第一次相遇，
依题意得x＝6x＋2×20，
解得x＝（秒）
此时P运动了×6＝160（厘米）
又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2＋48，
所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
【点睛】
此题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
30．（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是，的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：；
（3）如图3，在中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，，若的面积是15，则与的面积之和是_________．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5
【解析】
【分析】
（1）证出∠BAD=∠ACF，根据AAS证明△ABD≌△CAF；
（2）类似（1），根据AAS证明即可；
（3）利用（2）的结论、三角形的面积公式计算即可．
（1）证明：∵BD⊥AE，CF⊥AE
∴
∵
∴∠BAD+∠FAC=90°
∵∠FAC+∠ACF=90°
∴∠BAD=∠ACF
在△ABD与△CAF中
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFA，
∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中
所以
（3）∵△ABC的面积为15，CD=2BD，
∴△ABD的面积为15×=5，
由（2）得，△ABE≌△CAF，
∴△ACF与△BDE的面积之和=△ABD的面积=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的性质定理和判定定理是解题的关键．
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