新教材高中数学同步精品讲练必修第一册 期末检测试卷(二) (含解析)
展开期末检测试卷(二)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
1.已知集合A=,B={x|1-2x>0},则( )
A.A∩B= B.A∩B=∅
C.A∪B= D.A∪B=R
答案 A
解析 由1-2x>0得x<,所以A∩B=∩=,选A.
2.设a>0,则“b>a”是“b2>a2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
答案 A
解析 由于a>0,当b>a时,b2>a2.当b2>a2时,b可能是负数,因此不能得出b>a.故b>a是b2>a2的充分不必要条件.故选A.
3.已知a=log72,b=log0.70.2,c=0.70.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a
解析 a=log72<,b=log0.70.2>log0.70.7=1,0.7
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
解析 由题意得,f(1)=log21=0,∴f(f(1))=f(0)=40-1=0.
5.下列四个函数:①y=x+1;②y=;③y=2x-1;④y=lg(1-x),其中定义域与值域相同的函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 对于①,根据一次函数的性质可得定义域和值域都是R;
对于②,y===1+,根据反比例函数性质可得定义域和值域都为{x|x≠1};
对于③,根据指数函数性质可得定义域为R,值域为(-1,+∞);
对于④,根据对数函数性质可得定义域为(-∞,1),值域为R,
故选B.
6.在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a>0且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
解析 当01时,函数y=ax过定点(0,1)且单调递增,则函数y=过定点(0,1)且单调递减,函数y=loga过定点且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.
7.将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的单调递减区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 B
解析 因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,将其图象向左平移个单位长度,
得到g(x)=2sin=-2sin 2x,
由-+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
所以g(x)的单调递减区间是(k∈Z),故选B.
8.设函数f(x)=的最大值是a.若对于任意的x∈[0,2),a>x2-x+b恒成立,则b的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.
C. D.(-∞,-2)
答案 C
解析 当x=0时,f(x)=0;
当x≠0时,|f(x)|==≤==,
当且仅当|x|=,即|x|=3时取等号,
综上可得,f(x)max=,即a=.
由题意知x2-x+b<在x∈[0,2)上恒成立,
即x2-x+b-<0在x∈[0,2)上恒成立.
令φ(x)=x2-x+b-,x∈[0,2),
则φ(x)<φ(2),
则4-2+b-≤0,
即b≤-.故选C.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)
9.若函数f(x)的图象在R上连续不断,且满足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,则下列说法错误的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上一定没有零点
B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点,在区间(1,2)上一定有零点
C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点,在区间(1,2)上可能有零点
D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点,在区间(1,2)上一定有零点
答案 ABD
解析 由题意知f(0)·f(1)<0,
所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点,
又f(1)·f(2)>0,
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点.
故选ABD.
10.设函数f(x)=4sin+1的图象为C,则下列结论中正确的是( )
A.图象C关于直线x=-对称
B.图象C关于点对称
C.函数f(x)在区间内单调递增
D.把函数f(x)=4sin+1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C
答案 AC
解析 对于A,函数f(x)=4sin+1的对称轴方程为2x+=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z),当k=-1时可得x=-,所以图象C关于直线x=-对称,正确.
对于B,函数f(x)=4sin+1的对称中心为2x+=kπ(k∈Z),解得x=-+(k∈Z),当k=0时可得x=-,所以图象C关于点对称,而不是关于点对称,故B选项不正确.
对于C,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z),解得 kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),当k=0时,
-≤x≤,所以函数f(x)在区间内单调递增,正确.
对于D,把函数f(x)=4sin+1的图象上点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到函数f(x)=4sin+1的图象,不是图象C,故D选项不正确.
综上AC正确.
11.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为,则下列结论正确的是( )
A.a>0 B.b>0
C.c>0 D.a+b+c>0
答案 BCD
解析 因为不等式ax2+bx+c>0的解集为,故相应的二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象开口向下,所以a<0,故A错误;
易知2和-是方程ax2+bx+c=0的两个根,则有=-1<0,-=>0,又a<0,故b>0,c>0,故BC正确;
由二次函数的图象(图略)可知f(1)=a+b+c>0,故D正确.
故选BCD.
12.已知函数f(x)=若x1
C.1
解析 画出函数f(x)的大致图象如图,
得出x1+x2=-2,-log2x3=log2x4,则x3x4=1,故A错误,B正确;
由图可知1
13.设α∈,使y=xα为奇函数且在(0,+∞)上单调递减的α值为________.
答案 -1
解析 因为y=xα在(0,+∞)上单调递减,
所以α<0 ,
当α=-2时,y=x-2,f(-x)=(-x)-2=x-2=f(x) 是偶函数,
当α=-时,y=,定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,
当α=-1时,y=x-1,f(-x)=(-x)-1=-x-1=-f(x)是奇函数.
14.已知函数f(+1)=x-4,则f(x)的解析式为________.
答案 f(x)=x2-2x-3(x≥1)
解析 令t=+1≥1,则x=(t-1)2,
故f(t)=(t-1)2-4=t2-2t-3(t≥1).
15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=________.
答案 1
解析 ∵f(x)-g(x)=x3+x2+1,∴f(-1)-g(-1)=-1+1+1=1,又∵f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,∴f(1)=f(-1),g(1)=-g(-1),
∴f(-1)-g(-1)=f(1)+g(1),
∴f(1)+g(1)=1.
16.已知不等式x2-(a+1)x+a<0.
若不等式在(1,3)上有解,则实数a的取值范围是________;
若不等式在(1,3)上恒成立,则实数a的取值范围是________.(本题第一空2分,第二空3分)
答案 (1,+∞) [3,+∞)
解析 (1)原不等式变为(x-1)(x-a)<0,
当a=1时,解集为∅,
当a>1时,解集为(1,a),
当a<1时,解集为(a,1),
若不等式在(1,3)上有解,则a>1.
(2)若不等式在(1,3)上恒成立,则由(1)可知(1,3)⊆(1,a),所以a≥3.
四、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(10分)求下列各式的值:
(1)++2;
(2)lg 45-2lg 6-3lg+log43·log916.
解 (1)原式=++2|-2|
=-1+×2+4-2
=+2+4-2=.
(2)原式=lg(5×32)-2lg(2×3)-3lg 2-1+
=lg 5+2lg 3-2lg 2-2lg 3+3lg 2+1
=lg 5+lg 2+1=lg 10+1=2.
18.(12分)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表如下:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
4
0
-4
0
(1)请根据上表数据写出函数f(x)的解析式,并求出f(0),f(π);
(2)若函数f(x)的值域为A,集合C={x|m-6≤x≤m+3}且A∪C=C,求实数m的取值范围.
解 (1)根据表中已知数据,解得A=4,ω=2,即f(x)=4sin(2x+φ),
又由当x=时,f =4sin=4,
解得φ=-,
函数表达式为f(x)=4sin.
所以f(0)=4sin=-2,f(π)=4sin=4sin=-2.
(2)由(1)可得f(x)=4sin∈[-4,4],
所以A=[-4,4],
又A∪C=C,所以A⊆C ,所以
解得1≤m≤2.
所以实数m的取值范围是[1,2].
19.(12分)某厂每年生产某种产品x万件,其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为20万元,浮动成本k(x)=若每万件该产品销售价格为40万元,且每年该产品产销平衡.
(1)设年利润为f(x)(万元),试求f(x)与x的关系式;
(2)年产量x为多少万件时,该厂所获利润f(x)最大?并求出最大利润.
解 (1)由题意f(x)=40x-k(x)-20=
即f(x)=
(2)当0
x=40时,f(x)max=100,
综上,产量x=40(万件)时,该厂所获利润f(x)最大为100万元.
20.(12分)已知点(,2)在幂函数y=f(x)的图象上.
(1)求f(x)的表达式;
(2)设g(x)=f(x)-x-2,求函数y=g(x)的零点,推出函数y=g(x)的另外一个性质(只要求写出结果,不要求证明),并画出函数y=g(x)的简图.
解 (1)因为f(x)为幂函数,所以设f(x)=xa,
又(,2)在f(x)的图象上,所以()a=2⇒a=2,
所以f(x)=x2.
(2)由(1)知f(x)=x2,故g(x)=x2-,
令g(x)=0,解得x=1或x=-1,
故函数y=g(x)的零点为±1;
g(x)=x2-,故其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为R,
又g(-x)=(-x)2-=x2-=g(x),
故g(x)为偶函数,
根据单调性的性质可知g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减;
(以上性质任选其一即可).
函数y=g(x)的图象如图:
21.(12分)已知函数f(x)=2sin xcos x+2cos2x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值.
解 (1)f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin,
所以T=π,
又x∈,所以2x+∈,
由函数图象知f(x)∈[-1,2],即最大值为2,最小值为-1.
(2)由题意sin=,
而x0∈,所以2x0+∈,
所以cos=-=-,
所以cos 2x0=cos=-×+×=.
22.(12分)定义在[-4,4]上的奇函数f(x),已知当x∈[-4,0]时,f(x)=+(a∈R).
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式;
(2)当x∈[-2,-1]时,不等式f(x)≤-恒成立,求实数m的取值范围.
解 (1)因为f(x)是定义在[-4,4]上的奇函数,
x∈[-4,0]时,f(x)=+,
所以f(0)=+=0,解得a=-1,
所以x∈[-4,0]时,f(x)=-,
当x∈[0,4]时,-x∈[-4,0],
所以f(-x)=-=4x-3x,
又f(-x)=-f(x),
所以-f(x)=4x-3x,f(x)=3x-4x,
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)=3x-4x.
(2)由(1)知,x∈[-2,-1]时,f(x)=-,
所以f(x)≤-可化为-≤-,
整理得m≥+=x+2·x,
令g(x)=x+2·x,根据指数函数单调性可得,y=x与y=x都是减函数,
所以g(x)也是减函数,
因为当x∈[-2,-1]时,不等式f(x)≤-恒成立,
等价于m≥g(x)在x∈[-2,-1]上恒成立,
所以,只需m≥g(x)max=g(-2)=4+2×=.
即实数m的取值范围是.
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