2023年四川省乐山市中考数学试卷（含解析）

2023年四川省乐山市中考数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算：(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面几何体中，是圆柱的为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各点在函数图象上的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  从水利部长江水利委员会获悉，截止年月日时，南水北调中线一期工程自年月全面通水以来，已累计向受水区实施生态补水约亿立方米其中用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  乐山是一座著名的旅游城市，有着丰富的文旅资源某校准备组织初一年级名学生进行研学旅行活动，政教处周老师随机抽取了其中名同学进行研学目的地意向调查，并将调查结果制成如图统计图，如图所示估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连结若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

7.  若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形面积为，小正方形面积为，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，抛物线经过点、，且，有下列结论：
；
；
；
若点，在抛物线上，则．
其中，正确的结论有(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

10.  如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，、是半径为的上两动点，且，为弦的中点当、两点在圆上运动时，面积的最大值是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  不等式的解集为______．

12.  小张在“阳光大课间”活动中进行了次一分钟跳绳练习，所跳个数分别为：，，，，这组数据的众数为______ ．

13.  如图，点在直线上，是的平分线，若，则的度数为______ ．

14.  若、满足，则 ______ ．

15.  如图，在平行四边形中，是线段上一点，连结、交于点若，则 ______ ．

16.  定义：若，满足，且为常数，则称点为“和谐点”．
若是“和谐点”，则 ______ ；
若双曲线存在“和谐点”，则的取值范围______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
解二元一次方程组：．

19.  本小题分
如图，已知与相交于点，，，求证：．

20.  本小题分
如图，在中，，点为边上任意一点不与点、重合，过点作，，分别交、于点、，连结．
求证：四边形是矩形；
若，，求点到的距离．

21.  本小题分
为了践行习近平总书记提出的“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某地计划在规定时间内种植梨树棵开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了，结果提前天完成任务问原计划每天种植梨树多少棵？

22.  本小题分
为培养同学们爱劳动的习惯，某班开展了“做好一件家务”主题活动，要求全班同学人人参与经统计，同学们做的家务类型为“洗衣”“拖地”“煮饭”“刷碗”，班主任将以上信息绘制成了统计图表，如图所示．

根据上面图表信息，回答下列问题：
______ ；
在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为______ ；
班会课上，班主任评选出了近期做家务表现优异的名同学，其中有名男生现准备从表现优异的同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．

23.  本小题分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点．
求的值和一次函数的表达式；
已知为反比例函数图象上的一点，，求点的坐标．

24.  本小题分
如图，已知是的外接圆，，是圆上一点，是延长线上一点，连结，，且，．
求证：直线是是的切线；
若，的半径为，求的长．

25.  本小题分
在学习完图形的旋转后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第页“探索”部分内容：
如图，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置的位置，那么可以得到：
，，；
，，_____
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键故数学就是一门哲学．
【问题解决】
上述问题情境中“_____”处应填理由：______ ；
如图，小王将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置．
请在图中作出点；
如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为______ ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．

 

26.  本小题分
已知，是抛物线：为常数上的两点，当时，总有．
求的值；
将抛物线平移后得到抛物线：．
当时，探究下列问题：
若抛物线与抛物线有一个交点，求的取值范围；
设抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为点，外接圆的圆心为点如果对抛物线上的任意一点，在抛物线上总存在一点，使得点、的纵坐标相等求长的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
直接合并同类项得出答案．
此题主要考查了合并同类项，正确掌握合并同类项法则是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项中的几何体是圆锥体，因此选项A不符合题意；
B.选项中的几何体是球体，因此选项B不符合题意；
C.选项中的几何体是圆柱体，因此选项C符合题意；
D.选项中的几何体是四棱柱，因此选项D不符合题意；
故选：．
根据各个选项中的几何体的形体特征进行判断即可．
本题考查认识立体图形，掌握圆柱体，圆锥体，棱柱，球的形体特征是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：当时，，
点不在函数图象上；
B.当时，，
点不在函数图象上；
C.当时，，
点不在函数图象上；
D.当时，，
点在函数图象上；
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征，逐一对四个选项进行验证即可求解．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是直线上任意一个点的坐标都满足函数解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

5.【答案】 

【解析】解：估计初一年级愿意去“沫若故居”的学生人数为人，
故选：．
用总人数乘以样本中去“沫若故居”的学生人数所占比例即可．
本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，
，
为边的中点，
．
故选：．
由菱形的性质得到，，，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边中线的性质，即可求出的长．
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由菱形的性质求出，的长，由勾股定理求出的长，由直角三角形斜边的中线的性质即可求出的长．
 

7.【答案】 

【解析】解：一元二次方程的两根为，，
，
，
解得，，
．
故选：．
首先根据根与系数的关系得出，再根据，求得，，进一步得出求得答案即可．
本题考查了根与系数的关系．二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
 

8.【答案】 

【解析】解：设大正方形的边长为，直角三角形的短直角边为，长直角边为，
由题意可得：，，，
解得，，，
，
故选：．
根据题意和题目中的数据，可以求出斜边各边的长，然后即可计算出的值．
本题考查勾股定理的证明、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出各边的长．
 

9.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴在轴的右侧，
，故正确；
抛物线与轴的交点在轴下方，
，
抛物线经过点，
，
，
当时，，
，
，
，
，故正确；
，
，
，
，
，故正确；
点到对称轴的距离比点到对称轴的距离近，
，故的结论错误．
故选：．
根据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴位置得，由抛物线与轴的交点位置得，再根据二次函数的性质和图象分别判断即可得出答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：作，连接、、，
，，
，
为等腰直角三角形，
由得，点、，
，
为等腰直角三角形，
，，
由题得，当、、共线时，最大，
为中点，
，
，
．
故选：．
判断三角形和三角形都是等腰直角三角形，由题得，当、、共线时，最大，求出、，根据面积公式计算即可．
本题考查了圆的相关知识点的应用，点圆最值的计算是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：解不等式得，．
根据不等式的基本性质，左右两边同时加上，就可求出的取值范围．
解答此题的关键是要熟知不等式两边同时加上一个数，不等号的方向不变．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意知，这组数据中出现次，次数最多，
所以这组数据的众数为，
故答案为：．
根据众数的定义求解即可．
本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
是的平分线，
，
故答案为：．
根据邻补角定义求得的度数，再根据角平分线定义即可求得答案．
本题主要考查角平分线的定义，此为几何中基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而计算得出答案．
此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
设，则，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：是“和谐点”，
，
消去得到，
解得或，
，
；
故答案为：；
双曲线存在“和谐点”，
，
得，
，
，
，
整理得，
，
．
故答案为：．
根据题意得出，消去得到，解方程即可求得；
根据题意得出，得，整理得，由，得出，理得，由，得出．
本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，本题综合性强，有一定难度．
 

17.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：，
得：，
得：，
解得：，
把代入中得：，
解得：，
原方程组的解为：． 

【解析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】由平行线的性质可得，，利用即可判定≌，从而得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
 

20.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为矩形；
解：过点作于，
在中，，，
，
，
，
点到的距离为． 

【解析】先证四边形为平行四边形，即可求解；
由勾股定理可求的长，由面积法可求解．
本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，面积法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

21.【答案】解：设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：原计划每天种植梨树棵． 

【解析】设原计划每天种植梨树棵，则实际每天种植梨树棵，利用工作时间工作总量工作效率，结合实际比原计划提前天完成任务，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：因为被调查的总人数为人，
所以，
故答案为：；
在扇形统计图中，“拖地”所占的圆心角度数为，
故答案为：；
列表如下：

由表知，共有种等可能结果，其中所选同学中有男生的有种结果，
所以所选同学中有男生的概率为．
先根据煮饭人数及其所占百分比求出总人数，继而可得的值；
用乘以“拖地”所占比例即可；
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及求随机事件的概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】解：点在反比例函数的图象上，
，
，
，
又点、都在一次函数的图象上，
，
解得，
一次函数的解析式为；
对于，当时，，
，
，
，
过点作轴于点，过点作轴于点，
，
，即，
解得，
点的纵坐标为或，
将或代入得或，
点或． 

【解析】把代入反比例函数解析式求得的值，然后利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
过点作轴于点，过点作轴于点，由得到，即，解得，即可求得点的纵坐标为或，进一步求得点的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是是的切线．
解：作于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长是． 

【解析】先由，证明是的直径，再证明，则，即可证明直线是是的切线；
由，得，则，，所以，则．
此题重点考查切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等  

【解析】解：【问题解决】
根据题意，，，；，，的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，
故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
如图：

作线段，的垂直平分线，两垂直平分线交于，点为所求；
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
点经过的路径长为，
故答案为：；
【问题拓展】
连接，交于，连接，，，，，如图：

点为中点，
，
由旋转得，，
在中，，
，
在中，
，，
；
，
下面证明阴影部分关于对称：
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，，
≌，
阴影部分面积被等分，

两个纸板重叠部分的面积是．
【问题解决】
由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；
作线段，的垂直平分线，两垂直平分线交于，点为所求；
由，，可得，再用弧长公式可得答案；
【问题拓展】
连接，交于，连接，，，，，求出，，可得；，证明≌可知阴影部分关于对称，故重叠部分面积为
本题考查圆的综合应用，涉及扇形的旋转问题，三角形全等的判定与旋转，三角形，扇形的面积等，证明阴影部分关于对称是解题的关键．
 

26.【答案】解：由题可知：，，
当时，总有，
，
整理得：，
，
，
，
；
注意到抛物线最大值和开口大小不变，只影响图象左右平移．
下面考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线过点时，如图所示，

此时，，，解得或舍．
当抛物线过点时，如图所示，

此时，，
解得或舍．
综上所述，；
同考虑满足题意的两种临界情形：
当抛物线过点时，如图所示，

此时，，，解得 或舍．
当抛物线过点时，如图所示，

此时，，，解得或舍．
综上所述，．
如图，由圆的性质可知，点、在线段的垂直平分线上，

，解得，，
，
．
，
设，
，
，
，
，
，
，即，

，即，
，
． 

【解析】根据当时，总有，构建方程，求解即可；
求出抛物线经过或时的的值，可得结论；
判断出抛物线经过或时的值，求出的取值范围，再根据，设，构建关系式，求出即，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．