数学选择性必修 第一册1.3 直线的方程教学设计

《直线的方程（第三课时》）教案

（1）明确直线方程一般式的形式特征；

（2）会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；

（3）会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式；

（4）理解直线的点法式方程，会利用直线的点法式方程建立直线方程；

（5） 学会用分类讨论的思想方法解决问题.

教学重点：求出直线方程的点斜式、斜截式，两点式、截距式、点法式方程后再化为直线方程的一般式.

教学难点：直线方程的相互转化.

一、新课导入

问题1 给出下列各条件,你能写出直线的方程吗？

（1）斜率是,经过点；   （2）在轴和轴上的截距分别是；

（3）经过两点；（4）轴上的截距是,倾斜角是

答：               0

                    0

               0

                   0

情境：原来直线的点斜式、截距式、两点式、斜截式方程都可以化成关于x,y的二元一次方程,那是不是平面直角 坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示呢？每一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线吗？

问题2 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？

答：分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.

若直线l 与x 轴不垂直,即它的斜率存在,设直线l 上一点,斜率为 k ,那么直线l 的方程为它可化为.   

若直线l 与x轴垂直,即它的斜率不存在,设直线l 上的一点,那么直线l 的方程为,它可化为 .

这两个方程都是关于 x,y 的二元一次方程.

二、新知探究

定义概念

关于x,y 的二元一次方程表示一条直线,称它为直线的一般式.

一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线. 二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合组成了一条直线.

问题4 在方程中,A, B,C 为何值时,方程表示的直线：(1)平行于x 轴；(2)平行于y 轴；(3)与x 轴重合；(4)与y 轴重合；(5)经过原点；(6)与两坐标轴都相交.                                              

答：(1);       (2);

(3);        (4);

    (5);     (6);

三、应用举例

例1 已知直线经过点,斜率为,求直线的点斜式、一般式和截距式方程.                       分析：根据条件直接代入点斜式方程即可求出相应直线方程.

解: 解： 由条件可知直线的点斜式方程是,            

化为一般式是,

直线l为.

化为斜截式是      .       

例2 把直线l 的一般式方程化成斜截式,求出直线l 的斜率以及它在x轴与y轴上的截距,并画出图形. 

分析：根据直线方程化为斜截式方程，由方程再求出斜率和截距.

解： 由方程一般式,移项,去系数得斜截式

所以l 斜率是,在y轴上的截距是3,

令,可得,即直线在x 轴上的截距是-6.

直线l (如图1).

定义概念

与直线方向向量垂直的向量,称为直线的法向量.

如图2所示,已知直线l 过点, l 的一个法向量为,设 是直线l 一动点,则．得 ①   

     方程①是由直线l 上一点和l 的一个法向量确定的,因此这个方程叫做直线的点法式方程．

问题5：一条直线的法向量是不是唯一的？同一直线的所有法向量具有什么样位置关系？                                            

答：一条直线的法向量不唯一,它们都是相互平行(共线)的．

例3 求过点.                   

分析：根据条件直接代入点法式方程即可求出相应直线方程.

解: 由直线方程的点法式,得

故所求直线方程为．

例4  已知的三个顶点分别为求边上的高所在直线的方程．

分析：根据条件高所在直线的法向量可以是，所以用点法式即可求出相应直线方程.

解： 由已知可得．

因为就是边上的高所在直线的法向量,

又所求直线经过点,

所以由直线方程的点法式可得所求直线的方程

为即 

归纳总结：任何一条直线的方程不管是用点斜式、斜截式、两点式还是截距式表示的，最后都可以化成一般式.

设计意图：从学生的认知出发，通过具体问题的思考和分析，归纳总结，抽象出直线方程，发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。

四、课堂练习

1. 直线l 过点,且它在 x 轴上的截距是它在 y 轴上的截距的3倍,求直线l 的方程.

2. 求过点.                   

3. 若方程表示一条直线，则实数的取值范围是           .

参考答案：

1.解:当直线l 截距为0时，设直线方程为,

∵直线过点，解得，

此时方程为，

若直线截距不为0，则设方程为，

将点代入，得，

即，此时直线方程为，即，

故求得直线方程是或．

2. 解: 由直线方程的点法式,得

故所求直线方程为．

3. 解：方程表示一条直线，

则不能同时成立.

得

故m的取值范围为(－∞,1)∪(1,＋∞).

  五、课堂小结

直线方程的六种形式及其特点

六、布置作业

教材第25页习题组 4