易错点03函数-备战2023年中考数学考试易错题【全国通用】（解析版）

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备战2023年中考数学考试易错题
易错点03 函数
1点的坐标性质及变化规律
2函数基础知识
3一次函数图象与性质
4反比例函数图象与性质
5二次函数图象与性质
6二次函数图象与系数的关系
7动点问题的函数图象
8一次函数的应用
9一次函数综合问题
10一次函数与反比例函数综合问题
11反比例函数的应用
12反比例函数与几何综合问题
13二次函数的应用
14二次函数的性质与计算推理证明问题
15二次函数与几何压轴问题
01 点的坐标性质及变化规律

1．（2022秋•城关区校级期末）若点P位于第二象限，且到x轴的距离为3个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，则点P的坐标是（　　）
A．（﹣3，2） B．（﹣3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（3，2）
【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的长度的绝对值解答．
【解析】∵点P位于第二象限，距离x轴3个单位长度，
∴点P的纵坐标为3，
∵距离y轴2个单位长度，
∴点P的横坐标为﹣2，
∴点P的坐标是（﹣2，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，掌握各象限点的坐标特征，理解坐标的意义是关键．
2．（2022秋•路北区校级期末）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）和点B（﹣1，﹣6）的对称轴是（　　）
A．直线y＝﹣2 B．y轴 C．直线y＝4 D．x轴
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．
【解析】∵点A（﹣1，3）和点B（﹣1，﹣6）横坐标不变，，﹣6+4＝﹣2，
∴两点关于直线的对称轴是y＝﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
3．（2022秋•遵义期末）如图所示是围棋棋盘的一部分，将它放置在平面直角坐标系中，若白棋②的坐标是（﹣3，﹣1），白棋③的坐标是（﹣2，﹣5），则黑棋①的坐标是（　　）

A．（﹣3，﹣5） B．（0，0） C．（1，﹣4） D．（2，﹣2）
【分析】根据白棋②的坐标得出原点的位置，进而得出答案．
【解析】根据题意，可建立如图所示平面直角坐标系：

则黑棋①的坐标是（1，﹣4），
故选：C．
【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键．
4．（2022秋•仓山区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，a），B（b，24﹣b），C（2a﹣3，0），0＜a＜b＜24，若∠AOC的对称轴是直线OB，且AB＝BC，则a+b的值为（　　）
A．15或21 B．9或11 C．15或20 D．15或19
【分析】由题意可得点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，由∠AOC的对称轴是直线OB，可得OB平分∠AOC，求出b＝12，由两点距离公式以及AB＝BC求出a＝3或9，即可求出答案．
【解析】∵点A（0，a），B（b，24﹣b），C（2a﹣3，0），0＜a＜b＜24，
∴点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上，
∴∠AOC＝90°，
∵∠AOC的对称轴是直线OB，
∴OB平分∠AOC，
∴b＝24﹣b，
∴b＝12，
∵AB＝BC，
∴，
∴a＝3或9，
∴a+b＝15或21．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练运用两点间距离公式是解题关键．
5．（2022秋•平遥县期末）如图，在矩形COED中，点D的坐标是（2，4），则CE的长是（　　）

A． B．8 C． D．
【分析】根据勾股定理求得OD＝，然后根据矩形的性质得出CE＝OD＝．
【解析】∵四边形COED是矩形，
∴CE＝OD，
∵点D的坐标是（2，4），
∴OD＝＝＝2，
∴CE＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
6．（2022秋•李沧区期末）如图，在平面直角坐标系中，A1（1，﹣2），A2（2，0），A3（3，2），A4（4，0），…根据这个规律，点A2023的坐标是（　　）

A．（2022，0） B．（2023，0） C．（2023，2） D．（2023，﹣2）
【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，继而求得答案．
【解析】观察图形可知，
点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n，纵坐标依次是﹣2、0、2、0、﹣2、0、2、…，四个一循环，
2023÷4＝505……3，
所以点A2023坐标是（2023，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律．
7．（2022秋•济南期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（　　）

A．10 B．11 C．12 D．14
【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．
【解析】∵A（0，4），
∴OA＝4，
∵B（﹣1，b），C（2，c），
∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，
∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，
∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，
∴AB•CD＝12，
故答案为：C．
【点评】本题考查了钝角三角形的高，点的坐标，根据面积相等列出等式是解题的关键．
8．（2022秋•市北区校级期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，将△ABC放置在平面直角坐标系中，使点A与原点重合，点C在x轴正半轴上．将△ABC按如图2方式顺时针滚动（无滑动），则滚动2021次后，点B的横坐标为（　　）
A．2020+673 B．2020+674 C．2022+673 D．2022+674
【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形三边长的和为3+，进而可得滚动2021次后，点B的横坐标．
【解析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，
∵2021÷3＝673…2，
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，
∴AB＝＝＝，
∴三角形三边长的和为：1+2+＝3+，
第一次滚动，B的横坐标增加1，
第二次滚动B的横坐标不变，
第三次滚动B的横坐标为1+，
所以滚动2021次后，
则滚动2021次后，点B的横坐标为：1+2+673（3+）＝2022+673．
故选：C．
【点评】此题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键．
02 函数基础知识

1．（2022•南京模拟）如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC′位置．在转动过程中，下面的量是常量的为（　　）

A．∠BAC的度数 B．BC的长度
C．△ABCC的面积 D．AC的长度
【分析】根据常量和变量的定义进行判断．
【解答】解：木条AC自由转动至AC′位置中，
AC的长度始终保持不变，
∴AC的长度是常量．
故选：D．
【点评】本题考查常量和变量，理解题意，确定变与不变是求解本题的关键．
2．（2022秋•阜平县期末）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系式是（　　）

A．y＝2n+1 B．y＝2n+n C．y＝2n+1+n D．y＝2n+n+1
【分析】根据题意得：第1个图：y＝1+2，第2个图：y＝2+4＝2+22，第3个图：y＝3+8＝3+23，…以此类推第n个图：y＝n+2n，即可得到答案．
【解答】解：根据题意得：
第1个图：y＝1+2，
第2个图：y＝2+4＝2+22，
第3个图：y＝3+8＝3+23，
…，
以此类推第n个图：y＝n+2n，
故选：B．
【点评】本题考查了函数关系式和规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可．
3．（2022秋•栾城区校级期末）函数y＝的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x＞0且x≠3 C．x≥0且x≠3 D．x＞2且x≠3
【分析】根据二次根式的性质和分式有意义的条件，列出不等式组求解即可．
【解答】解：根据题意可得：，
解得：x≥0且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查函数自变量的取值范围，理解二次根式和分式有意义的条件是解题的关键．
4．（2022秋•渝中区校级期末）某星期日上午10：00，小丰从家匀速步行到附近的咖啡店看书，看完书后，他匀速跑步回家，且跑步的速度是步行速度的2倍，小丰离家的距离y（千米）与所用的时间x（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（　　）

A．小丰在咖啡店看书的时间是40分钟
B．小丰家与咖啡店的距离为2千米
C．小丰的步行速度是4千米小时
D．小丰返回家的时刻是上午11：20
【分析】根据图象，由路程＝速度×时间之间的关系逐项分析即可．
【解答】解：由图象可知，小丰在咖啡店看书的时间是70﹣30＝40分钟，故选项A不符合题意；
由图象可知小丰家与咖啡店的距离为2千米，故B选项不符合题意；
小丰的步行速度是＝4千米/小时，故C选项不符合题意；
∵跑步的速度是步行速度的2倍，
∴从咖啡店回家用的时间为15分钟，
∴从出家门到回到家用了70+15＝85分钟，
∴小丰返回家的时刻是上午11：25，故D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，路程＝速度×时间之间的关系的运用，借助图象是解题关键．
5．（2022秋•沙坪坝区校级期末）关于x的新函数定义如下：
（1）当x＝0时，y＝1：
（2）当（p是正整数，q是整数，q≠0，且p，q不含除1以外的公因数）时，；
（3）当x为无理数时，y＝0．
例：当x＝时，y＝；当x＝﹣时，y＝．
以下结论：①当x＝时，y＝0；
②若a、b是互不相等且不为0的有理数，当x＝a时，函数值记为y1，当x＝b时，函数值记为y2，当x＝a•b时，函数值记为y3，则一定有y1y2＝y3：
③若，则对应的自变量x有且只有4种不同的取值；
④若2022≤x≤2023，则满足的自变量x的取值共有12个．
正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据函数的定义求值即可；
②举一个反例说明即可；
③根据定义，由y的值求出相应的x值即可；
④根据y的范围，设x＝，求出2022q≤p≤2023q，再由p的可能取值，确定q的所有可能取值即可．
【解答】解：①∵是无理数，
∴当x＝时，y＝0；
故①符合题意；
②∵a、b是互不相等且不为0的有理数，
设a＝，则y1＝，
设b＝，则y1＝，
∴x＝a•b＝，则y3＝≠y1y2，
故②不符合题意；
③时，x＝±或x＝±，
故③符合题意；
④∵，
∴x一定是有理数，且x≠0，
设x＝，则2022≤≤2023，
∴2022q≤p≤2023q，
∵，
∴p的可能取值为1，2，3，4，5，
当p＝1时，q可以取2022，2023，共2个，
当p＝2时，q可以取4045，共1个，
当p＝3时，q可以取6067，6068，共2个，
当p＝4时，q可以取8089，8090，8091，共3个，
当p＝5时，q可以取10111，10112，10113，10114，共4个，
∴的自变量x的取值共有12个，
故④符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数的概念，弄清所给的函数的概念，结合不等式的知识进行推断是解题的关键．
6．（2022秋•北碚区校级期末）下面是物理课上测量铁块A的体积实验，将铁块匀速向上提起，直至完全露出水面一定高度，下面能反映这一过程中，液面高度h与铁块被提起的时间t之间函数关系的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意，在实验中有3个阶段：①铁块在液面以下，②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，③铁块完全露出时，分别分析液面的变化情况，结合选项，可得答案．
【解答】解：根据题意，在实验中有3个阶段，
①铁块在液面以下，液面的高度不变；
②铁块的一部分露出液面，但未完全露出时，液面高度降低；
③铁块在液面以上，完全露出时，液面高度又维持不变；
即B符合描述；
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象，注意，函数值随时间的变化问题，不一定要通过求解析式来解决．

03 一次函数图象与性质

1．（2022秋•开江县校级期末）已知一次函数y＝（1+2m）x﹣3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣ B．m≥﹣ C．m＜﹣ D．m＞﹣
【分析】根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k＜0．
【解答】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m＜0，
解得m＜﹣．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y＝kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小是解题的关键．
2．（2021秋•福田区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A（﹣3，1），B（1，2），若直线y＝kx﹣1与线段AB有交点，则k的值不能是（　　）

A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4
【分析】当直线y＝kx﹣1过点A时，求出k的值，当直线y＝kx﹣1过点B时，求出k的值，介于二者之间的值即为使直线y＝kx﹣1与线段AB有交点的x的值．
【解答】解：①当直线y＝kx﹣1过点A时，
将A（﹣3，1）代入解析式y＝kx﹣1，
得：﹣3k﹣1＝1，
解得：k＝﹣，
②当直线y＝kx﹣1过点B时，
将B（1，2）代入解析式y＝kx﹣1得，
k﹣1＝2，
解得：k＝3，
∵|k|越大，它的图象离y轴越近，
∴当k≥3或k≤﹣时，直线y＝kx﹣1与线段AB有交点．
故选：A．
【点评】本题考查了两直线相交或平行的问题，要注意，AB是线段这一条件，不要当成直线．
3．（2022•铜仁市校级模拟）如图，矩形ABCD的顶点B，D坐标分别为B（3，2），D（6，4），若直线L：y＝2x+n+1与矩形ABCD的边相交，则n的取值范围是（　　）

A．﹣11≤n≤﹣3 B．﹣5≤n≤0 C．﹣10≤n≤﹣2 D．﹣11＜n＜﹣2
【分析】结合矩形ABCD的顶点坐标和直线l与直线y＝2x平行的位置关系可知：当直线l：y＝2x+n+1经过点B时，n有最小值；当直线l：y＝2x+n+1经过点D时，n有最大值，即可求解．
【解答】解：结合图形可知，直线y＝2x沿y轴向上运动时，最先经过B点，最后经过D点，
∴当直线l：y＝2x+n+1经过点B时，n有最小值；当直线l：y＝2x+n+1经过点D时，n有最大值；
将B（3，2）代入y＝2x+n+1中解得：n＝﹣5；
将D（6，4）代入y＝2x+n+1中解得：n＝﹣9；
故若直线l与矩形ABCD有交点，n的取值范围为﹣5≤n≤0．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质、一次函数的图象、一元一次方程的应用，本题属于中档题，难度不大．
4．（2022秋•驻马店期末）若直线l的函数表达式为y＝﹣x+2，则下列说法不正确的是（　　）
A．直线l经过点（1，1）
B．直线l不经过第三象限
C．直线l与x轴交于点（﹣2，0）
D．y随x的增大而减小
【分析】利用一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特及一次函数图象与系数的关系逐一分析四个选项的正误即可得出结论．
【解答】解：A、当x＝1时，y＝﹣x+2＝1，
∴直线l经过点（1，1），故该选项不符合题意；
B、∵k＝﹣1＜0，b＝2＞0，
∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故该选项不符合题意；
C、当y＝0时，﹣x+2＝0，
解得：x＝2，
∴直线与x轴交于点（2，0）；故该选项符合题意；
D、∵k＝﹣1＜0，
∴y随x的增大而减小，故该选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象上点的坐标特征，求出与x、y的交点是解题的关键．
5．（2022秋•榆阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于A、B两点，将△AOB沿x轴翻折得到△AOC，使点B刚好落在y轴正半轴的点C处，过点C作CD⊥AB交AB于D，则CD的长为（　　）

A． B． C．5 D．4
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求出AB的长，由折叠的性质可得出OC＝OB，进而可得出BC的长，再利用面积法，即可求出CD的长．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣3，
∴点B的坐标为（0，﹣3），
当y＝0时，x﹣3＝0，解得：x＝4，
∴点A的坐标为（4，0），
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
由折叠可知：OC＝OB＝3，
∴BC＝OB+OC＝6．
∵S△ABC＝BC•OA＝AB•CD，
∴CD＝＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、翻折变换以及三角形的面积，利用面积法找出CD＝是解题的关键．
6．（2022秋•济阳区期末）已知关于x的一次函数y＝（m﹣2）x+2+m的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），若x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞2 B．m＞﹣2 C．m＜2 D．m＜﹣2
【分析】由当x1＜x2时，y1＞y2，可得出y随x的增大而减小，再利用一次函数的性质可得出m﹣2＜0，解之即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＞y2，
∴y随x的增大而减小，
∴m﹣2＜0，
∴m＜2．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
7．（2022秋•丰泽区校级期末）如图：已知点A（﹣8，0），B（2，0），点C在直线y＝﹣x+2上，则使△ABC是直角三角形的点C的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据∠A为直角，∠B为直角与∠C为直角三种情况进行分析．
【解答】解：如图，

①当∠A为直角时，过点A作垂线与直线的交点W（﹣6，4），
②当∠B为直角时，过点B作垂线与直线的交点S（2，），
③若∠C为直角，
则点C在以线段AB为直径、AB中点E（﹣3，0）为圆心、5为半径的圆与直线的交点上．
在直线中，当x＝0时y＝2，即Q（0，2），
当y＝0时x＝6，即点P（6，0），
则PQ＝＝4，
过AB中点E（﹣3，0），作EF⊥直线l于点F，
则∠EFP＝∠QOP＝90°，
∵∠EPF＝∠QPO，
∴△EFP∽△QOP，
∴＝，即，
解得：EF＝4.5，
∴以线段AB为直径、E（﹣3，0）为圆心的圆与直线恰好有两个交点．
所以直线上有一点C满足∠ACB＝90°．
综上所述，使△ABC是直角三角形的点C的个数为4，
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数综合题，在解答此题时要分三种情况进行讨论，关键是根据圆周角定理判断∠C为直角的情况是否存在．
8．（2022秋•渠县校级期末）在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝kx+b交x轴于A（﹣2，0），交y轴于B，且三角形AOB的面积为8，则k＝（　　）
A．1 B．2 C．﹣2或4 D．﹣4或4
【分析】首先根据题意画出图形，注意要分情况讨论，①当B在y的正半轴上时②当B在y的负半轴上时，分别求出B点坐标，然后再利用待定系数法求出一次函数解析式，得到k的值．
【解答】解：①当B在y的正半轴上时，如图1，

∵△AOB的面积为8，
∴×OA×OB＝8，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OB＝8，
∴B（0，8）
∵直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，8）．
∴，
解得：；
②当B在y的负半轴上时，如图2，
∵△AOB的面积为8，
∴×OA×OB＝8，
∵A（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OB＝8，
∴B（0，﹣8）
∵直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），交y轴于点B（0，﹣8）．
∴，
解得：．
故选：D．

【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是要根据题意分两种情况讨论，然后再利用待定系数法求出答案．
9．（2022秋•济南期末）如图，点A的坐标为（﹣1，0），直线y＝x﹣2与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y＝x﹣2上运动．当线段AB最短时，求点B的坐标（　　）

A． B．（1，﹣1） C． D．（0，﹣2）
【分析】当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y＝﹣x﹣1，联立方程组求出点的坐标．
【解答】解：当线段AB最短时，AB⊥BC，
∵直线BC为y＝x﹣2，
∴设直线AB的解析式为：y＝﹣x+b，
∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴0＝1+b，
∴b＝﹣1，
∴直线AB的解析式为 y＝﹣x﹣1
解 ，得，
∴B（，﹣）．
故选：A．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，垂线段最短，解方程组求直线的交点坐标，关键是明确线段AB最短时，是AB垂直于CD．

04 反比例函数图象与性质

1．（2022•阜新）已知反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），那么该反比例函数图象也一定经过点（　　）
A．（4，2） B．（1，8） C．（﹣1，8） D．（﹣1，﹣8）
【分析】先把点（﹣2，4）代入反比例函数的解析式求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（﹣2，4），
∴k＝﹣2×4＝﹣8，
A、∵4×2＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×8＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
C、﹣1×8＝﹣8，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
D、（﹣1）×（﹣8）＝8≠﹣8，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数y＝（k≠0）中，k＝xy为定值是解答此题的关键．
2．（2022•攀枝花）如图，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，当k1x≤时，x的取值范围是（　　）

A．﹣1≤x＜0或x≥1 B．x≤﹣1或0＜x≤1
C．x≤﹣1或x≥1 D．﹣1≤x＜0或0＜x≤1
【分析】根据反比例函数的对称性求得B点的坐标，然后根据图象即可求得．
【解答】解：∵正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象交于A（1，m）、B两点，
∴B（﹣1，﹣m），
由图象可知，当k1x≤时，x的取值范围是﹣1≤x＜0或x≥1，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数的对称性求得B点的坐标，以及数形结合思想的运用是解题的关键．
3．（2022•东营）如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为﹣1，则不等式k1x+b＜的解集是（　　）

A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式k1x+b＜的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当﹣1＜x＜0或x＞2时，一次函数y1＝k1x+b的图象在反比例函数y2＝的图象的下方，
∴不等式k1x+b＜的解集为：﹣1＜x＜0或x＞2，
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
4．（2022•宁夏）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压U一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积V与电路中总电阻R总（R总＝R+R0）是反比例关系，电流I与R总也是反比例关系，则I与V的函数关系是（　　）

A．反比例函数 B．正比例函数
C．二次函数 D．以上答案都不对
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得V＝I（为常数），即可得到答案．
【解答】解：由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，设V•R总＝k（k为常数），
由电流I与R总是反比例关系，设I•R总＝k'（k为常数），
∴＝，
∴V＝I（为常数），
∴I与V的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
5．（2022•襄阳）若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能确定
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求解．
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，k＝2＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1，
∴y1＞y2，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
6．（2022•枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则k的值为（　　）

A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【分析】过点C作CE⊥y轴于E，根据正方形的性质可得AB＝BC，∠ABC＝90°，再根据同角的余角相等求出∠OAB＝∠CBE，然后利用“角角边”证明△ABO和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，再求出OE，然后写出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式计算即可求出k的值．
【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，
，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故选：C．

【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到正方形的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，作辅助线构造出全等三角形并求出点C的坐标是解题的关键．
7．（2022•日照）如图，矩形OABC与反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象交于点M，N，与反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1﹣k2＝（　　）

A．3 B．﹣3 C． D．
【分析】根据矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：∵y1、y2的图象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵点M、N均在反比例函数y1＝（k1是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S△OAM＝S△OCN＝k1，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数y2＝（k2是非零常数，x＞0）的图象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四边形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y＝图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．
8．（2022•荆门）如图，点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，过A，C分别作AB⊥x轴，CD⊥x轴，垂足分别为B，D，连接OA，AC，OC，线段OC交AB于点E，且点E恰好为OC的中点．当△AEC的面积为时，k的值为（　　）

A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】根据三角形的中线的性质求出△AEO的面积，根据相似三角形的性质求出S△OCD＝1，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【解答】解：∵点E为OC的中点，
∴△AEO的面积＝△AEC的面积＝，
∵点A，C为函数y＝（x＜0）图象上的两点，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四边形CDBE＝S△AEO＝，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴＝（）2，
∴S△OCD＝1，
则xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

05 二次函数图象与性质

1．（2022•淄博）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用非负数的性质，利用配方法解决问题即可．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），
∴3＝a+2，
∴a＝1，
∴y＝x2+2，
∵Q（m，n）在y＝x2+2上，
∴n＝m2+2，
∴n2﹣4m2﹣4n+9＝（m2+2）2﹣4m2﹣4（m2+2）+9＝m4﹣4m2+5＝（m2﹣2）2+1，
∵（m2﹣2）2≥0，
∴n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为1．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图像上的点的坐标特征，非负数的性质等知识，解题的关键是学会利用配方法解决问题．
2．（2022•阜新）下列关于二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象和性质的叙述中，正确的是（　　）
A．点（0，2）在函数图象上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线x＝1 D．与直线y＝3x有两个交点
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；
C、根据对称轴公式计算；
D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【解答】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x＝﹣
＝，
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
3．（2022•衢州）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（　　）
A．或4 B．或﹣ C．﹣或4 D．﹣或4
【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，﹣a＝﹣4，解得a＝4；当a＜0时，在﹣1≤x≤4，9a﹣a＝﹣4，解得a＝﹣．
【解答】解：y＝a（x﹣1）2﹣a的对称轴为直线x＝1，
顶点坐标为（1，﹣a），
当a＞0时，在﹣1≤x≤4，函数有最小值﹣a，
∵y的最小值为﹣4，
∴﹣a＝﹣4，
∴a＝4；
当a＜0时，在﹣1≤x≤4，当x＝4时，函数有最小值，
∴9a﹣a＝﹣4，
解得a＝﹣；
综上所述：a的值为4或﹣，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．
4．（2022•济南）某学校要建一块矩形菜地供学生参加劳动实践，菜地的一边靠墙，另外三边用木栏围成，木栏总长为40m．如图所示，设矩形一边长为xm，另一边长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x满足的函数关系是（　　）

A．正比例函数关系 B．一次函数关系
C．反比例函数关系 D．二次函数关系
【分析】根据题意列出y与x的关系式可得答案．
【解答】解：由题意得，y＝40﹣2x，
所以y与x是一次函数关系，
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
5．（2022•荆门）抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1＜y2，则下列结论正确的是（　　）
A．0≤x1＜x2 B．x2＜x1≤0
C．x2＜x1≤0或0≤x1＜x2 D．以上都不对
【分析】根据二次函数的性质判断即可．
【解答】解：抛物线y＝x2+3开口向上，对称轴为y轴，
∵抛物线y＝x2+3上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且y1＜y2，
∴|x1|＜|x2|，
∴0≤x1＜x2或x2＜x1≤0或0＜﹣x1＜x2或0＜x1＜﹣x2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
6．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（　　）
A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．
故选：D．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
7．（2022•包头）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】由题意得b＝a+1，代入代数式a2+2b﹣6a+7可得（a﹣2）2+5，故此题的最小值是5．
【解答】解：∵b﹣a＝1，
∴b＝a+1，
∴a2+2b﹣6a+7
＝a2+2（a+1）﹣6a+7
＝a2+2a+2﹣6a+7
＝a2﹣4a+4+5
＝（a﹣2）2+5，
∴代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于5，
故选：A．
【点评】此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是能对以上知识准确理解并正确变形、计算．
8．（2022•荆门）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，
∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，
∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．
∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），
∵抛物线开口向下，
∴若﹣4＜x0＜0，则y0＞c，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
06 二次函数图象与系数关系


1．（2022•资阳）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1）．有以下四个结论：①abc＞0，②a﹣b+c＞1，③3a+c＜0，④若顶点坐标为（﹣1，2），当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为﹣2，此时m的取值范围是﹣3≤m≤﹣1．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】①：根据二次函数的对称轴，c＝1，即可判断出abc＞0；
②：结合图象发现，当x＝﹣1时，函数值大于1，代入即可判断；
③：结合图象发现，当x＝1时，函数值小于0，代入即可判断；
④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（0，1），
∴，c＝1，
∴ab＞0，
∴abc＞0，故①正确；
从图中可以看出，当x＝﹣1时，函数值大于1，
因此将x＝﹣1代入得，（﹣1）2⋅a+（﹣1）⋅b+c＞1，
即a﹣b+c＞1，故②正确；
∵，
∴b＝2a，
从图中可以看出，当x＝1时，函数值小于0，
∴a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故③正确；
∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣1，2），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+2，
将（0，1）代入得，1＝a+2，
解得a＝﹣1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+2，
∴当x＝1时，y＝﹣2；
∴根据二次函数的对称性，得到﹣3≤m≤﹣1，故④正确；
综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．
2．（2022•黄石）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，有以下结论：
①abc＜0；②若t为任意实数，则有a﹣bt≤at2+b；③当图象经过点（1，3）时，方程ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则x1+3x2＝0，其中，正确结论的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用二次函数当x＝﹣1时有最小值可对②进行判断；由于二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），利用对称性得到二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），从而得到x1＝﹣3，x2＝1，则可对③进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x＝﹣1时，y有最小值，
∴a﹣b+c≤at2+bt+c（t为任意实数），
即a﹣bt≤at2+b，所以②正确；
∵图象经过点（1，3）时，得ax2+bx+c﹣3＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的一个交点为（1，3），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝3的另一个交点为（﹣3，3），
即x1＝﹣3，x2＝1，
∴x1+3x2＝﹣3+3＝0，所以③正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．
3．（2022•巴中）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．

A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，进而可得2a+b＝0，由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，由抛物线y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可得abc的符号，求出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点
【解答】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点，故④正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
4．（2022•日照）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为x＝，且经过点（﹣1，0）．下列结论：①3a+b＝0；②若点（，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；③10b﹣3c＝0；④若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由对称轴为x＝即可判断①；根据点（，y1），（3，y2）到对称轴的距离即可判断②；由抛物线经过点（﹣1，0），得出a﹣b+c＝0，对称轴x＝﹣＝，得出a＝﹣b，代入即可判断③；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断④．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝，
∴b＝﹣3a，
∴3a+b＝0，①正确；
∵抛物线开口向上，点（，y1）到对称轴的距离小于点（3，y2）的距离，
∴y1＜y2，故②正确；
∵经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∵对称轴x＝﹣＝，
∴a＝﹣b，
∴﹣b﹣b+c＝0，
∴3c＝4b，
∴4b﹣3c＝0，故③错误；
∵对称轴x＝，
∴点（0，c）的对称点为（3，c），
∵开口向上，
∴y≤c时，0≤x≤3．故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．

07 动点问题的函数图象

1．（2022秋•南京期末）在边长为4的正方形ABCD的边上有一个动点P，从A出发沿折线ABCD移动一周，回到A点后继续周而复始．设点P移动的路程为x，△PAC的面积为y．请结合右侧函数图象分析当x＝2022时，y的值为（　　）


A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】观察函数图象可知，点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，而2022÷16＝126（周）……6（单位长度），则当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，于是可以求得△PAC的面积为4，即y＝4，得到问题的答案．
【解答】解：∵点P在正方形ABCD的边上每运动一周，则x的值增加16，
∴2022÷16＝126（周）……6（单位长度），
∴当x＝2022时，点P位于BC边的中点处，
∴y＝×2×4＝4，
故选：B．
【点评】此题重点考查正方形的性质、三角形的面积公式、一次函数的图象、动点问题的求解等知识与方法，通过计算点P在正方形ABCD的边上运动的周数及后面的余数来确定当x＝2022时点P所在的位置是解题的关键．
2．（2022秋•东城区校级期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，AD＝4，DM＝2，动点P从点A出发，沿路径A→B→C→M运动，则△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系用图象表示大致是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分三种情况：①当点P在AB上运动时；②当点P在BC上运动时；③当点P在CM上运动时．分别算出△AMP的面积，以此得到△AMP的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关系，即可解答．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，即0≤x≤6，
此时AP＝x，
y＝S△AMP＝，
∴y＝；
②当点P在BC上运动时，即6＜x≤10，
此时BP＝x﹣6，CP＝10﹣x，
y＝S△AMP＝S长方形ABCD﹣S△ABP﹣S△MCP﹣S△ADM，
∴y＝4×6﹣＝﹣x+18；
③当点P在CM上运动时，即10＜x≤14，
此时MP＝14﹣x，
y＝S△AMP＝，
∴y＝；
根据函数解析式，可知A选项正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象，一次函数的图象和性质，解题关键是确定动点到达临界值前后的图形变化规律．
3．（2022秋•鼓楼区校级期末）如图（1），在△ABC中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段AP的长，y表示线段BP的长，y与x之间的关系如图（2）所示，则边BC的长是（　　）


A． B． C． D．6
【分析】过点B作BP′⊥AC于点P′，根据图象可知AB＝3，AC＝5，当x＝1时，AP⊥AC，即AP′＝1，P′C＝AC﹣AP′＝5﹣1＝4，根据勾股定理可求得，再根据勾股定理可求得．
【解答】解：如图，过点B作BP′⊥AC于点P′，

由图象可知，AB＝3，AC＝5，
当x＝1时，AP⊥AC，
即AP′＝1，
在Rt△ABP′中，
，
∵AP′＝1，
∴P′C＝AC﹣AP′＝5﹣1＝4，
在Rt△BP′C中，
．
故选：C．
【点评】本题主要考查动点问题的函数图象、数形结合思想，解题关键是根据图象得出AB＝3，AC＝5，当x＝1时，AP⊥AC是解题关键．
4．（2022秋•东阳市期末）如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（　　）

A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
【分析】根据图②可知，AB＝BC＝2，再根据BP，BP′是∠ABC的三等分线，可以证明△PBC∽△BAC，求出PC的长，即可求出答案．
【解答】解：如图①，BP，BP′是∠ABC的三等分线，

根据图②可知，AB＝BC＝2，
∵∠ABC＝108°，AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝∠ABP′＝∠CBP＝∠PBP′＝36°，
∴∠APB＝∠ABP＝72°，
∴AB＝AP＝2，
同理CP′＝BC＝2，
∵∠PBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△PBC∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴PC＝﹣1或﹣﹣1（负值舍去），
∴AB+BC+PC＝+3，AB+BC+CP′＝6，
∴当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为+3或6．
故选：B．
【点评】本题是动点问题的函数图象，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
5．（2022•太康县校级模拟）如图1，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，点P从点A出发，沿折线A→E→C以1cm/s的速度匀速运动至点C．图2是点P运动时，△ABP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象，则a的值为（　　）


A．40 B．10 C．24 D．20
【分析】观察图象可得，当P运动到E时，x＝as，△ABP的面积为24cm2，当P运动到C时，x＝2as，△ABP的面积为64cm2，设BE＝pcm，则有AB•p＝24，AB•（p+a）＝64，且AB＝＝，即可解得a的值．
【解答】解：由图2知，当P运动到E时，x＝as，△ABP的面积为24cm2，当P运动到C时，x＝2as，△ABP的面积为64cm2，
∴AE＝acm，S△ABE＝24cm2，AE+EC＝2acm，S△ABC＝64cm2，
∴EC＝acm，
设BE＝pcm，则BC＝BE+EC＝（p+a）cm，
∴AB•p＝24①，AB•（p+a）＝64②，
①÷②得：＝，
∴p＝a，
在Rt△ABE中，AB＝＝，
∵AB•BE＝24，
∴•a＝24，，
即×a×a＝24，
解得a＝10（负值已舍去），
故选：B．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是数形结合数形的应用，能观察图象得出当P运动到E时，x＝as，△ABP的面积为24cm2，当P运动到C时，x＝2as，△ABP的面积为64cm2．

08 一次函数的应用

1．（2022秋•曹县期末）某公司准备把30吨货物全部运往甲、乙两地，运往甲，乙两地的费用如表：
目的地
甲地
乙地
每吨费用（元）
150
240
设运往甲地为x吨，全部运出的总费用为y元．
（1）求y与x间的函数表达式；
（2）若该公司运出货物的总费用为5400元，求该公司运往乙地多少吨货物？
【分析】（1）根据总费用＝运往甲地和乙地的费用之和列出函数解析式；
（2）令y＝5400，解方程即可．
【解答】解：（1）设运往甲地为x吨，则运往乙地（30﹣x）吨，
根据题意得：y＝150x+240（30﹣x）＝﹣90x+7200，
∴y与x间的函数表达式为y＝﹣90x+7200；
（2）当y＝5400时，﹣90x+7200＝5400，
解得x＝20，
此时30﹣x＝10，
答：若该公司运出货物的总费用为5400元，则该公司运往乙地10吨货物．
【点评】本题考查一次函数的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式．
2．（2022•内蒙古）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
（1）求购进A、B两种纪念品的单价；
（2）若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【分析】（1）设某商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，根据条件建立二元一次方程组求出其解即可；
（2）设某商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，根据条件的数量关系建立不等式组求出其解即可；
（3）设总利润为W元，根据总利润＝两种商品的利润之和列出函数解析式，再根据函数的性质求值即可．
【解答】解：（1）设该商店购进A种纪念品每件需a元，购进B种纪念品每件需b元，
由题意，得，
解得，
∴该商店购进A种纪念品每件需50元，购进B种纪念品每件需100元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个，
根据题意，得50x+100y＝10000，
由50x+100y＝10000得x＝200﹣2y，
把x＝200﹣2y代入x≥6y，解得y≤25，
∵y≥20，
∴20≤y≤25且为正整数，
∴y可取得的正整数值是20，21，22，23，24，25，
与y相对应的x可取得的正整数值是160，158，156，154，152，150，
∴共有6种进货方案；
（3）设总利润为W元，
则W＝20x+30y＝﹣10y+4000，
∵﹣10＜0，
∴W随y的增大而减小，
∴当y＝20时，W有最大值，W最大＝﹣10×20+4000＝3800（元），
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【点评】本题考查了一次函数、一元一次不等式解实际问题的运用，解答时求出A，B两种纪念品的单价是关键．
3．（2022•东营）为满足顾客的购物需求，某水果店计划购进甲、乙两种水果进行销售．经了解，甲水果的进价比乙水果的进价低20%，水果店用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，已知甲，乙两种水果的售价分别为6元/千克和8元/千克．
（1）求甲、乙两种水果的进价分别是多少？
（2）若水果店购进这两种水果共150千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，则水果店应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？
【分析】（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，由题意：用1000元购进甲种水果比用1200元购进乙种水果的重量多10千克，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，由题意得w＝﹣m+450，再由甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，得m≥2 （150﹣m），然后由一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙种水果的进价为x元，则甲种水果的进价为（1﹣20%）x元，
由题意得：，
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原方程的解，且符合题意，
则5×（1﹣20%）＝4，
答：甲种水果的进价为4元，则乙种水果的进价为5元；
（2）设购进甲种水果m千克，则乙种水果（150﹣m） 千克，利润为w元，
由题意得：w＝（6﹣4）m+（8﹣5）（150﹣m）＝﹣m+450，
∵甲种水果的重量不低于乙种水果重量的2倍，
∴m≥2 （150﹣m），
解得：m≥100，
∵﹣1＜0，则w随m的增大而减小，
∴当m＝100时，w最大，最大值＝﹣100+450＝350，
则150﹣m＝50，
答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克才能获得最大利润，最大利润为350元．
【点评】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
4．（2022•襄阳）为了振兴乡村经济，我市某镇鼓励广大农户种植山药，并精加工成甲、乙两种产品、某经销商购进甲、乙两种产品，甲种产品进价为8元/kg；乙种产品的进货总金额y（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的关系如图所示．已知甲、乙两种产品的售价分别为12元/kg和18元/kg．
（1）求出0≤x≤2000和x＞2000时，y与x之间的函数关系式；
（2）若该经销商购进甲、乙两种产品共6000kg，并能全部售出．其中乙种产品的进货量不低于1600kg，且不高于4000kg，设销售完甲、乙两种产品所获总利润为w元（利润＝销售额﹣成本），请求出w（单位：元）与乙种产品进货量x（单位：kg）之间的函数关系式，并为该经销商设计出获得最大利润的进货方案；
（3）为回馈广大客户，该经销商决定对两种产品进行让利销售．在（2）中获得最大利润的进货方案下，甲、乙两种产品售价分别降低a元/kg和2a元/kg，全部售出后所获总利润不低于15000元，求a的最大值．

【分析】（1）分当0≤x≤2000时，当x＞2000时，利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可知，分当1600≤x≤2000时，当2000＜x≤4000时，分别列出w与x的函数关系式，根据一次函数的性质可得出结论；
（3）根据题意可知，降价后，w与x的关系式，并根据利润不低于15000，可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）当0≤x≤2000时，设y＝k′x，根据题意可得，2000k′＝30000，
解得k′＝15，
∴y＝15x；
当x＞2000时，设y＝kx+b，
根据题意可得，，
解得，
∴y＝13x+4000．
∴y＝．
（2）根据题意可知，购进甲种产品（6000﹣x）千克，
∵1600≤x≤4000，
当1600≤x≤2000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+（18﹣15）•x＝﹣x+24000，
∵﹣1＜0，
∴当x＝1600时，w的最大值为﹣1×1600+24000＝22400（元）；
当2000＜x≤4000时，w＝（12﹣8）×（6000﹣x）+18x﹣（13x+4000）＝x+20000，
∵1＞0，
∴当x＝4000时，w的最大值为4000+20000＝24000（元），
综上，w＝；
当购进甲产品2000千克，乙产品4000千克时，利润最大为24000元．
（3）根据题意可知，降价后，w＝（12﹣8﹣a）×（6000﹣x）+（18﹣2a）x﹣（13x+4000）＝（1﹣a）x+20000﹣6000a，
当x＝4000时，w取得最大值，
∴（1﹣a）×4000+20000﹣6000a≥15000，解得a≤0.9．
∴a的最大值为0.9．

【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出函数关系式．
5．（2022•济宁）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如表：
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
（1）求甲、乙两种货车各用了多少辆；
（2）如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【分析】（1）设甲种货车用了x辆，可得：16x+12（24﹣x）＝328，即可解得甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
②根据前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，可得4≤t≤10，由一次函数性质可得当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【解答】解：（1）设甲种货车用了x辆，则乙种货车用了（24﹣x）辆，
根据题意得：16x+12（24﹣x）＝328，
解得x＝10，
∴24﹣x＝24﹣10＝14，
答：甲种货车用了10辆，乙种货车用了14辆；
（2）①根据题意得：
w＝1200t+1000（12﹣t）+900（10﹣t）+750[14﹣（12﹣t）]＝50t+22500
∴w与t之间的函数解析式是w＝50t+22500；
②∵，
∴0≤t≤10，
∵前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，
∴16t+12（12﹣t）≥160，
解得t≥4，
∴4≤t≤10，
在w＝50t+22500中，
∵50＞0，
∴w随t的增大而增大，
∴t＝4时，w取最小值，最小值是50×4+22500＝22700（元），
答：当t为4时，w最小，最小值是22700元．
【点评】本题考查一元一次方程和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．
6．（2022•牡丹江）在一条平坦笔直的道路上依次有A，B，C三地，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，到达A地后因故停留1分钟，然后立即掉头（掉头时间忽略不计）按原路原速前往C地，结果乙比甲早2分钟到达C地，两人均匀速运动，如图是两人距B地路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象．
请解答下列问题：
（1）填空：甲的速度为 　300　米/分钟，乙的速度为 　800　米/分钟；
（2）求图象中线段FG所在直线表示的y（米）与时间x（分钟）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）出发多少分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米？请直接写出答案．

【分析】（1）利用速度＝路程÷时间，找准甲乙的路程和时间即可得出结论；
（2）根据（1）中的计算可得出点G的坐标，设直线FG的解析式为：y＝kx+b，将F，G的坐标代入，求解方程组即可；
（3）根据题意可知存在三种情况，然后分别计算即可．
【解答】解：（1）根据题意可知D（1，800），E（2，800），
∴乙的速度为：800÷1＝800（米/分钟），
∴乙从B地到C地用时：2400÷800＝3（分钟），
∴G（6，2400）．
∴H（8，2400）．
∴甲的速度为2400÷8＝300（米/分钟），
故答案为：300；800；
（2）设直线FG的解析式为：y＝kx+b（k≠0），且由图象可知F（3，0），
由（1）知G（6，2400）．
∴，
解得，．
∴直线FG的解析式为：y＝800x﹣2400（3≤x≤6）．
（3）由题意可知，AB相距800米，BC相距2400米．
∵O（0，0），H（8，2400），
∴直线OH的解析式为：y＝300x，
∵D（1，800），
∴直线OD的解析式为：y＝800x，
当0≤x≤1时，甲从B地骑电瓶车到C地，同时乙从B地骑摩托车到A地，即甲乙朝相反方向走，
∴令800x+300x＝600，解得x＝．
∵当2≤x≤3时，甲从B继续往C地走，乙从A地往B地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600解得x＝（不合题意，舍去）
∵当x＞3时，甲从B继续往C地走，乙从B地往C地走，
∴300x+800﹣800（x﹣2）＝600或800（x﹣2）﹣（300x+800）＝600，
解得x＝或x＝6．
综上，出发分钟或分钟或6分钟后，甲乙两人之间的路程相距600米．
【点评】本题考查一次函数的应用、路程＝速度×时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，将图象中的信息转化为实际行程问题，属于中考常考题型．
09 一次函数综合问题

1．（2022•攀枝花）如图，直线y＝x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，点C为线段AB上一动点（不与A、B重合），以C为顶点作∠OCD＝∠OAB，射线CD交线段OB于点D，将射线OC绕点O顺时针旋转90°交射线CD于点E，连结BE．
（1）证明：＝；（用图1）
（2）当△BDE为直角三角形时，求DE的长度；（用图2）
（3）点A关于射线OC的对称点为F，求BF的最小值．（用图3）

【分析】（1）证明△BDC∽△EDO，可得结论；
（2）令x＝0和y＝0可得OA和OB的长，根据等角的三角函数得：＝＝＝，设OD＝3m，CD＝4m，证明△CDB∽△AOB，列比例式可得BD＝3m，从而可求得m＝1，计算CD和BD的长，代入（1）中的比例式可得结论；
（3）根据OA＝OF可知：F在以O为圆心，以OA为半径的半圆上运动，并确定当BF在y轴上时，BF的值最小，从而得结论．
【解答】（1）证明：∵OC⊥OE，
∴∠COE＝90°，
∴∠AOB＝∠COE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴∠ABO＝∠CEO，
∵∠BDC＝∠EDO，
∴△BDC∽△EDO，
∴＝；
（2）解：当x＝0时，y＝6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
当y＝0时，x+6＝0，
∴x＝﹣8，
∴A（﹣8，0），
∴OA＝8，
如图2，∠BDE＝90°，

∴∠ODC＝∠BDE＝90°，
∵∠OCD＝∠OAB，
∴tan∠OCD＝tan∠OAB，
∴＝＝＝，
∴设OD＝3m，CD＝4m，
∵∠CDB＝∠AOB＝90°，
∴CD∥OA，
∴△CDB∽△AOB，
∴＝，即＝，
∴BD＝3m，
∴OB＝BD+OD＝3m+3m＝6，
∴m＝1，
∴BD＝3，CD＝4，
由（1）知：＝，
∴＝，
∴DE＝；
（3）解：如图3，由对称得：OA＝OF，

∵动点F在以O为圆心，以OA为半径的半圆AFA'上运动，
∴当F在y轴上，且在B的上方时，BF的值最小，如图4，

此时BF＝OF﹣OB＝8﹣6＝2，
即BF的最小值是2．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了轴对称最短问题，三角函数，相似三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，动点运动轨迹等知识，解题的关键是学会用相似或三角函数求边的长，学会利用数形结合的思想确定动点运动轨迹问题．
2．（2022•襄阳）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数y＝﹣|x|的图象，并探究该函数性质．
（1）绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中a＝　1　．
x
……
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
5
……
y
……
﹣3.8
﹣2.5
﹣1
1
5
5
a
﹣1
﹣2.5
﹣3.8
……
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（2，a）；
③连线：请用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；

（2）探究函数性质
请写出函数y＝﹣|x|的一条性质：　y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）　；
（3）运用函数图象及性质
①写出方程﹣|x|＝5的解 　x＝1或x＝﹣1　；
②写出不等式﹣|x|≤1的解集 　x≤﹣2或x≥2　．
【分析】（1）①把x＝2代入解析式即可得a的值；
②③按要求描点，连线即可；
（2）观察函数图象，可得函数性质；
（3）①由函数图象可得答案；②观察函数图象即得答案．
【解答】解：（1）①列表：当x＝2时，a＝﹣|2|＝1，
故答案为：1；
②描点，③连线如下：

（2）观察函数图象可得：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称，
故答案为：y＝﹣|x|的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）①观察函数图象可得：当y＝5时，x＝1或x＝﹣1，
∴﹣|x|＝5的解是x＝1或x＝﹣1，
故答案为：x＝1或x＝﹣1；
②观察函数图象可得，当x≤﹣2或x≥2时，y≤1，
∴﹣|x|≤1的解集是x≤﹣2或x≥2，
故答案为：x≤﹣2或x≥2．
【点评】本题考查一次函数图象及性质，解题的关键是画出函数图象．
3．（2022•兰州）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1＝和k2＝两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k．
（1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜，请直接写出a的取值范围．

【分析】（1）根据“倾斜系数”k的定义直接计算即可；
（2）①根据“倾斜系数”k的定义分情况得出结论即可；
②根据“倾斜系数”k的定义求出P点坐标，进而求出OP的值即可；
（3）根据k的取值，分情况求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）由题意知，k＝＝3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3；
（2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，
∴＝2或＝2，
即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a；
②由①知，a＝2b或b＝2a
∵a+b＝3，
∴或，
∴OP＝＝；
（3）由题意知，满足条件的P点在直线y＝x和直线y＝x之间，
①当P点与D点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＜b，
连接OD，延长DA交x轴于E，

此时＝，
则，
解得a＝，
此时B点的坐标为（，），
且k＝＝
∴a＞+1；
②当P点与B点重合时，且k＝时，P点在直线y＝x上，a有最小临界值，
如图：此时a＞b，
连接OB，延长CB交x轴于F，

此时＝，
则＝，
解得a＝3+，
此时D（，），
且k＝＝，
∴a＞+3；
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜，则a＞+3．
【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的性质，正确理解“倾斜系数”的定义是解题的关键．
4．（2022•泰州）定义：对于一次函数y1＝ax+b、y2＝cx+d，我们称函数y＝m（ax+b）+n（cx+d）（ma+nc≠0）为函数y1、y2的“组合函数”．
（1）若m＝3，n＝1，试判断函数y＝5x+2是否为函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，并说明理由；
（2）设函数y1＝x﹣p﹣2与y2＝﹣x+3p的图象相交于点P．
①若m+n＞1，点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，求p的取值范围；
②若p≠1，函数y1、y2的“组合函数”图象经过点P．是否存在大小确定的m值，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变？若存在，请求出m的值及此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），可知函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得P（2p+1，p﹣1），当x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），根据点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，有p﹣1＞（p﹣1）（m+n），而m+n＞1，可得p＜1；
②由函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，知p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），即（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，而p≠1，即得n＝1﹣m，可得y＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，即（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，即可得m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【解答】解：（1）函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”，理由如下：
∵3（x+1）+（2x﹣1）＝3x+3+2x﹣1＝5x+2，
∴y＝5x+2＝3（x+1）+（2x﹣1），
∴函数y＝5x+2是函数y1＝x+1、y2＝2x﹣1的“组合函数”；
（2）①由得，
∴P（2p+1，p﹣1），
∵y1、y2的“组合函数”为y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p），
∴x＝2p+1时，y＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p）＝（p﹣1）（m+n），
∵点P在函数y1、y2的“组合函数”图象的上方，
∴p﹣1＞（p﹣1）（m+n），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＞0，
∵m+n＞1，
∴1﹣m﹣n＜0，
∴p﹣1＜0，
∴p＜1；
②存在m＝时，对于不等于1的任意实数p，都有“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0），理由如下：
由①知，P（2p+1，p﹣1），
∵函数y1、y2的“组合函数”y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）图象经过点P，
∴p﹣1＝m（2p+1﹣p﹣2）+n（﹣2p﹣1+3p），
∴（p﹣1）（1﹣m﹣n）＝0，
∵p≠1，
∴1﹣m﹣n＝0，有n＝1﹣m，
∴y＝m（x﹣p﹣2）+n（﹣x+3p）＝m（x﹣p﹣2）+（1﹣m）（﹣x+3p）＝（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m，
令y＝0得（2m﹣1）x+3p﹣（4p+2）m＝0，
变形整理得：（3﹣4m）p+（2m﹣1）x﹣2m＝0，
∴当3﹣4m＝0，即m＝时，x﹣＝0，
∴x＝3，
∴m＝时，“组合函数”图象与x轴交点Q的位置不变，Q（3，0）．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及新定义，函数图象上点坐标的特征，一次函数与一次方程的关系等，解题的关键是读懂“组合函数“的定义．

10 一次函数与反比例函数综合问题

1．（2022秋•南宫市期末）如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝的图象交于B，E两点，过点B作BA⊥x轴于点A，一次函数的图象分别交x轴，y轴于C，D两点，若BC＝2CD，且S△ABD＝12．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）请写出关于x的不等式kx+2＜的解集．

【分析】（1）利用一次函数y＝kx+2的解析式求得点D的坐标，则OD＝2；利用相似三角形的判定与性质求得AB，再利用已知条件求得AC，OC，则点B坐标可求，利用待定系数法解答即可得出结论；
（2）求得点E的坐标，利用数形结合的方法依据两个函数的图象解答即可得出结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝2，
∴D（0，2），
∴OD＝2．
∵DO⊥OA，BA⊥OA，
∴OD∥AB，
∴△COD∽△CAB，
∴．
∵BC＝2CD，
∴，
∴AB＝2OD＝4．
∵S△ABD＝12，S△ABD＝S△ACD+S△ACB，
∴AC•OD+AC•AB＝12，
∴AC＝4，
∴OC＝AC＝2，
∴OA＝OC+AC＝6，
∴B（6，﹣4）．
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴m＝6×（﹣4）＝﹣24，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
∵一次函数y＝kx+2的图象经过点B，
∴﹣4＝6k+2，
∴k＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）由题意得：
，
解得：，，
∴E（﹣4，6）．
由图象可知：点E的右侧部分与y轴的右侧或点B的右侧部分，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，满足不等式kx+2＜，
∴不等式kx+2＜的解集为：﹣4＜x＜0或x＞6．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象上的点的坐标的特征，相似三角形的判定与性质，数形结合的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2．（2022秋•越秀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（n≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点B坐标为（m，﹣1），AD⊥x轴，且AD＝3，tan∠AOD＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）直接写出不等式kx+b＞的解集；
（3）若点E是x轴上一点，若△AOE的面积是△AOC的面积的2倍，求点E的坐标．

【分析】（1）先根据锐角三角函数求出OD，求出点A坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出点B坐标，最后将点A，B坐标代入直线解析式中，即可得出结论；
（2）利用图象法判断即可；
（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质，建立方程求解即可得出结论．
【解答】解：（1）∵AD⊥x轴，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，AD＝3，tan∠AOD＝，
∴OD＝2，
∴A（﹣2，3），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴n＝﹣2×3＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣，
∵点B（m，﹣1）在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴﹣m＝﹣6，
∴m＝6，
∴B（6，﹣1），
将点A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入直线y＝kx+b中，得
，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；

（2）观察图象可知，kx+b＞的解集为：x＜﹣2或0＜x＜6；

（3）设E（m，0），由（1）知，A（﹣2，3），
∴OA2＝13，OE2＝m2，AE2＝（m+2）2+9，
∵△AOE是等腰三角形，
∴①当OA＝OE时，
∴13＝m2，
∴m＝±，
∴E（﹣，0）或（，0），
②当OA＝AE时，13＝（m+2）2+9，
∴m＝0（舍）或m＝﹣4，
∴E（﹣4，0），
③当OE＝AE时，m2＝（m+2）2+9，
∴m＝﹣，
∴E（﹣，0），
∴满足条件的点E的坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，等腰三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
3．（2022秋•九龙坡区校级期末）反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，﹣2），一次函数y＝kx+b的图象经过点A且与反比例函数图象的另一个交点为B（1，n）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式，并在图中画出该一次函数的图象．
（2）结合图象，直接写出不等式组1≤≤kx+b的解集．
（3）把y＝kx+b的图象向下平移4个单位长度，平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C，求三角形ABC的面积．

【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出a的值，进而确定反比例函数关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法可求出一次函数的关系式；
（2）根据两个函数的图象以及交点坐标可得出答案；
（3）求出平移后的一次函数的关系式，进而求出点C坐标，根据面积之间的关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点A（﹣2，﹣2），
∴a＝﹣2×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝，
当x＝1时，y＝＝4，
∴点B（1，4），
∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（﹣2，﹣2），点B（1，4），
∴，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝2x+2，
在图中画出一次函数的图象如图所示：

答：一次函数的关系式为y＝2x+2，反比例函数的关系式为y＝；
（2）由两个函数的图象以及交点坐标可知，
不等式组1≤≤kx+b的解集为1≤x≤4；
（3）将一次函数y＝2x+2的图象向下平移4个单位所得的一次函数的关系式为y＝2x﹣2，
方程组的解为，，
∴平移后的直线与反比例函数的图象在第三象限交于点C（﹣1，﹣4），
∴S△ABC＝S梯形AMNB﹣S△ACM﹣S△BCN
＝×（2+8）×3﹣×1×2﹣×2×8
＝15﹣1﹣8
＝6．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
11 反比例函数的应用

1．（2022•德州）已知蓄电池的电压为定值，使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）请求出这个反比例函数的解析式；
（2）蓄电池的电压是多少？
（3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不能超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围？

【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I＝，将点（8，6）代入I＝，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；
（2）根据电压＝电流×电阻即可求解；
（3）将I≤10代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围．
【解答】解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I＝，
∵图象经过（8，6），
∴6＝，
解得k＝6×8＝48，
∴I＝；

（2）蓄电池的电压是6×8＝48；

（3）∵I≤10，I＝，
∴≤10，
∴R≥4.8，
即用电器可变电阻应控制在4.8欧以上的范围内．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题．
2．（2022•枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天）
3
5
6
9
……
硫化物的浓度y（mg/L）
4.5
2.7
2.25
1.5
……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？

【分析】（1）设AC的函数关系式为：y＝kx+b，将A和C代入，从而求得k，b，进而求得的结果；
（2）可推出x•y＝13.5为定值，所以当x≥3时，y是x的反比例函数，进而求得结果；
（3）将x＝15代入反比例函数关系式，从而求得y的值，进而根据反比例函数图象性质，从而得出结论．
【解答】解：（1）设线段AC的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴线段AC的函数表达式为：y＝﹣2.5x+12（0≤x＜3）；
（2）∵3×4.5＝5×2.7＝...＝13.5，
∴y是x的反比例函数，
∴y＝（x≥3）；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L，理由如下：
当x＝15时，y＝＝0.9，
∵13.5＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴该企业所排污水中硫化物的浓度可以在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【点评】本题考查了求一次函数关系式，反比例函数及其图象的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数及其图象性质．
3．（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．

（2）调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，画出该函数的图象．
x/kg
……
0.25
0.5
1
2
4
……
y/cm
……
　4　
　2　
　1　
　　
　　
……

【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可；
（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．
【解答】解：（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴重物重力×OA＝秤砣重力×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2x＝0.5y，
∴y＝4x，
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵当y＝0时，x＝0；
当y＝48时，x＝12，
∴0＜x＜12；
（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴秤砣×OA＝重物×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5＝xy，
∴y＝，
当x＝0.25时，y＝＝4；
当x＝0.5时，y＝＝2；
当x＝1时，y＝1；
当x＝2时，y＝；
当x＝4时，y＝；
故答案为：4；2；1；；；
作函数图象如图：

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方法，求出函数解析式是解答本题的关键．
4．（2021•潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年）
2016
2017
2018
2019
2020
2021
年度纯收
入（万元）
1.5
2.5
4.5
7.5
11.3

若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示，拟用下列三个函数模拟甲农户从2016年开始的年度纯收入变化趋势：y＝（m＞0），y＝kx+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数y＝（m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求．

【分析】（1）由数据的变化大小或者由m＝xy计算判断；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论．
【解答】解：（1）∵1×1.5＝1.5，2×2.5＝5，
∴1.5≠5，
∴不能选用函数y＝（m＞0）进行模拟．
（2）选用y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），理由如下，
由（1）可知不能选用函数y＝（m＞0），
由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知，
x每增大1个单位，y的变化不均匀，
∴不能选用函数y＝kx+b（k＞0），
故只能选用函数y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）模拟．
（3）把（1，1.5），（2，2.5）代入y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0）得：
，解得：，
∴y＝0.5x2﹣0.5x+1.5，
当x＝6时，y＝0.5×36﹣0.5×6+1.5＝16.5，
∵16.5＞16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【点评】本题考查了二次函数的图象特征，反比例函数的图象特征、待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的函数值问题．本题解题的关键是熟练判断出图象符合的函数种类，要求学生牢记各类函数图象的特征并能与实际题目结合应用．

12 反比例函数与几何综合问题

1．（2022•徐州）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，与x轴交于点B，与y轴交于点C，AD⊥x轴于点D，CB＝CD，点C关于直线AD的对称点为点E．
（1）点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接AE、DE，若四边形ACDE为正方形．
①求k、b的值；
②若点P在y轴上，当|PE﹣PB|最大时，求点P的坐标．


【分析】（1）设点A的坐标为（m，），根据轴对称的性质得到AD⊥CE，AD平分CE，如图，连接CE交AD于H，得到CH＝EH，求得E（2m，），于是得到点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①根据正方形的性质得到AD＝CE，AD垂直平分CE，求得CH＝AD，设点A的坐标为（m，），得到m＝2（负值舍去），求得A（2，4），C（0，2），把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，解方程组即可得到结论；
②延长ED交y轴于P，根据已知条件得到点B与点D关于y轴对称，求得|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，则点P即为符合条件的点，求得直线DE的解析式为y＝x﹣2，于是得到结论．
【解答】解：（1）点E在这个反比例函数的图象上，
理由：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A，
∴设点A的坐标为（m，），
∵点C关于直线AD的对称点为点E，
∴AD⊥CE，AD平分CE，
如图．连接CE交AD于H，
∴CH＝EH，
∵BC＝CD，OC⊥BD，
∴OB＝OD，
∴OC＝AD，
∵AD⊥x轴于D，
∴CE∥x轴，
∴E（2m，），
∵2m×＝8，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）①∵四边形ACDE为正方形，
∴AD＝CE，AD垂直平分CE，
∴CH＝AD，
设点A的坐标为（m，），
∴CH＝m，AD＝，
∴m＝×，
∴m＝2（负值舍去），
∴A（2，4），C（0，2），
把A（2，4），C（0，2）代入y＝kx+b得，

∴；
②延长ED交y轴于P，
∵CB＝CD，OC⊥BD，
∴点B与点D关于y轴对称，
∴|PE﹣PD|＝|PE﹣PB|，
则点P即为符合条件的点，
由①知，A（2，4），C（0，2），
∴D（2，0），E（4，2），
设直线DE的解析式为y＝ax+n，
∴，
∴，
∴直线DE的解析式为y＝x﹣2，
当x＝0时，y＝﹣2，
∴P（0，﹣2）．
故当|PE﹣PB|最大时，点P的坐标为（0，﹣2）．


【点评】本题考查了反比例函数的综合题，正方形的性质，轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．（2022•济南）如图，一次函数y＝x+1的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（a，3），与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
①求△ABC的面积；
②点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．

【分析】（1）将点A的坐标代入y＝求得a，再把点A坐标代入y＝求出k；
（2）先求出A，B，C三点坐标，作CD⊥x轴于D，交AB于E，求出点E坐标，从而求得CE的长，进而求得三角形ABC的面积；
（3）当AB为对角线时，先求出点P的纵坐标，进而代入反比例函数的解析式求得横坐标；当AB为边时，同样先求出点P的纵坐标，再代入y＝求得点P的横坐标．
【解答】解：（1）把x＝a，y＝3代入y＝x+1得，
，
∴a＝4，
把x＝4，y＝3代入y＝得，
3＝，
∴k＝12；
（2）∵点A（4，3），D点的纵坐标是0，AD＝AC，
∴点C的纵坐标是3×2﹣0＝6，
把y＝6代入y＝得x＝2，
∴C（2，6），
①如图1，

作CD⊥x轴于D，交AB于E，
当x＝2时，y＝＝2，
∴E（2，2），
∵C（2，6），
∴CE＝6﹣2＝4，
∴xA＝＝8；
②如图2，

当AB是对角线时，即：四边形APBQ是平行四边形，
∵A（4，3），B（0，1），点Q的纵坐标为0，
∴yP＝1+3﹣0＝4，
当y＝4时，4＝，
∴x＝3，
∴P（3，4），
当AB为边时，即：四边形ABQP是平行四边形（图中的▱ABQ′P′），
由yQ′﹣yB＝yP′﹣yA得，
0﹣1＝yP′﹣3，
∴yP′＝2，
当y＝2时，x＝＝6，
∴P′（6，2），
综上所述：P（3，4）或（6，2）．
【点评】本题主要考查了求反比例函数的解析式，结合一次函数的解析式求点的坐标，结合平行四边形的性质求点的坐标等知识，解决问题的关键是画出图形，全面分类．
3．（2022•绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，且与反比例函数y2＝的图象在第一象限内交于P，K两点，连接OP，△OAP的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式．
（2）当y2＞y1时，求x的取值范围．
（3）若C为线段OA上的一个动点，当PC+KC最小时，求△PKC的面积．

【分析】（1）根据待定系数法可求出直线AB的解析式，根据△OAP的面积可得出点P的坐标，代入反比例函数解析式可得出反比例函数的解析式；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式，可得出点K的坐标，结合图象可直接得出x的取值范围；
（3）作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，求出直线KP′的解析式，令y＝0，可得出点C的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）∵一次函数y1＝k1x+b与坐标轴分别交于A（5，0），B（0，）两点，
∴，解得．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．
∵△OAP的面积为，
∴•OA•yP＝，
∴yP＝，
∵点P在一次函数图象上，
∴令﹣x+＝．解得x＝4，
∴P（4，）．
∵点P在反比例函数y2＝的图象上，
∴k2＝4×＝2．
∴一次函数的解析式为：y1＝﹣x+．反比例函数的解析式为：y2＝．
（2）令﹣x+＝，解得x＝1或x＝4，
∴K（1，2），
由图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为：0＜x＜1或x＞4．
（3）如图，作点P关于x轴的对称点P′，连接KP′，线段KP′与x轴的交点即为点C，

∵P（4，）．
∴P′（4，﹣）．
∴PP′＝1，
∴直线KP′的解析式为：y＝﹣x+．
令y＝0，解得x＝．
∴C（，0）．
∴S△PKC＝•（xC﹣xK）•PP′
＝×（﹣1）×1
＝．
∴当PC+KC最小时，△PKC的面积为．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，数形结合思想，轴对称最值问题，三角形的面积问题等知识，关键是求出一次函数和反比例函数的解析式．
4．（2022•荆州）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
1

2
4

1

0
﹣4
﹣2
﹣
﹣1
…
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质：　函数有最大值为4　； 　当x＞0时，y随x的增大而增大　；
②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？　不一定　．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝﹣（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．

【分析】（1）①根据函数图象可得性质；
②假设x1＝﹣，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②假设x1＝﹣，则y1＝1，
∵x1+x2＝0，
∴x2＝，
∴y2＝﹣8，
∴y1+y2＝0不一定成立，
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，

则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，
∴△PAB的面积为；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，

由题意知，CD＝n，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD
＝
＝．
∴△PAB的面积为．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象的性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，三角形的面积等知识，利用平行线进行等面积转化是解题的关键．

13 二次函数的应用

1．（2022•淮安）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，根据两次进货情况，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据：利润＝（每台实际售价﹣每台进价）×销售量，列函数关系式，配方成二次函数的顶点式可得函数的最大值；
【解答】解：（1）A种品牌粽子每袋的进价是x元，B种品牌粽子每袋的进价是y元，
根据题意得，，
解得，
答：A种品牌粽子每袋的进价是25元，B种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）设B品牌粽子每袋的销售价降低a元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，利润为w元，
根据题意得，w＝（54﹣a﹣30）（20+5a）＝﹣5a2+100a+480＝﹣5（a﹣10）2+980，
∵﹣5＜0，
∴当B品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组及二次函数的实际应用，理解题意准确抓住相等关系，据此列出方程或函数关系式是解题的关键．
2．（2022•攀枝花）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ＝37°
的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB＝150m．且sin37°＝0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
（1）求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
（2）以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
（3）若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？

【分析】（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系，过点B作BD⊥y轴于点D．解直角三角形求出OD即可；
（2）设抛物线的解析式为y＝ax2，求出点B的坐标，代入求出a即可；
（3）求出x＝﹣60，y的值即可判断．
【解答】解：（1）如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD＝AB•sin37°＝150×0.6＝90（m），
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；

（2）在Rt△OBD中，BD＝＝＝120（m），
∴B（﹣120，﹣90），
由题意抛物线顶点为（0，0），经过（﹣120，﹣90）．
设抛物线的解析式为y＝ax2，
则有﹣90＝a×（﹣120）2，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2．

（3）当x＝﹣60时，y＝﹣22.5，
∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．

【点评】本题考查二次函数的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会构建平面直角坐标系解决问题，属于中考常考题型．
3．（2022•黄石）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y＝，数据如表．
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
x＞8
累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
（1）求a，b，c的值；
（2）如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数＝累计人数﹣已检测人数）；
（3）在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到答案；
（2）根据排队人数＝累计人数﹣已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成核酸检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
【解答】解：（1）由题意，，
解得，；

（2）设第x分钟时的排队人数为W，
根据题意得：W＝y﹣20x，
∴W＝，
当0≤x≤8时，
W＝﹣10x2+140x＝﹣10（x﹣7）2+490，
∴当x＝7时，W最大＝490，
当x＞8时，W＝640﹣20x，
∵k＝﹣20＜0，
∴W随x的增大而减小，
∴W＜480，
故排队人数最多时有490人；

（3）要全部学生都完成核酸检测，根据题意得：640﹣20x＝0，
解得：x＝32，
所以全部学生都完成核酸检测要32分钟；
开始就应该至少增加m个检测点，根据题意得：
5×20（m+4）≥640，
解得：m≥2.4，
∵m为整数，
∴m＝3，
答：从一开始就应该至少增加3个检测点．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键．
4．（2022•衢州）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线OE为x轴，铅垂线OD为y轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度v（m/s）从D点滑出，运动轨迹近似抛物线y＝﹣ax2+2x+20（a≠0）．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡CE上设置点K（与DO相距32m）作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．

（1）求线段CE的函数表达式（写出x的取值范围）．
（2）当a＝时，着陆点为P，求P的横坐标并判断成绩是否达标．
（3）在试跳中发现运动轨迹与滑出速度v的大小有关，进一步探究，测算得7组a与v2的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3．
①猜想a关于v2的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证．
②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s）？（参考数据：≈1.73，≈2.24）
【分析】（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），利用待定系数法可得出结论；
（2）当时，，联立，可得出点P的横坐标，比较即可得出结论；
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．将（100，0.250）代入表达式，求出m的值即可．将（150，0.167）代入进行验证即可得出结论；
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．由得v2＝320，比较即可．
【解答】解：（1）由图2可知：C（8，16），E（40，0），
设CE：y＝kx+b（k≠0），
将C（8，16），E（40，0）代入得：，解得，
∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）．
（2）当时，，
由题意得，
解得x1＝0（舍去），x2＝22.5．
∴P的横坐标为22.5．
∵22.5＜32，
∴成绩未达标．
（3）①猜想a与v2成反比例函数关系．
∴设，
将（100，0.250）代入得，解得m＝25，
∴．
将（150，0.167）代入验证：，
∴能相当精确地反映a与v2的关系，即为所求的函数表达式．
②由K在线段上，得K（32，4），代入得y＝﹣ax2+2x+20，得．
由得v2＝320，
又∵v＞0，
∴．
∴当v≈18m/s时，运动员的成绩恰能达标．
【点评】本题属于函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数的应用及二次函数综合应用，熟知待定系数法求函数解析式是解题关键．
5．（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．

小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y＝（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
（1）小莹认为不能选y＝（m＞0）．你认同吗？请说明理由；
（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【分析】（1）由当m＞0时，y＝的性质可得答案；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c，用待定系数法可得模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟①号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；
（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，根据二次函数性质可得答案．
【解答】解：（1）认同，理由是：当m＞0时，y＝中，y随x的增大而减小，而从图中描点可知，x增大y随之增大，故不能选y＝（m＞0）；
（2）观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知，①号田为y＝kx+b（k＞0），②号田为y＝﹣0.1x2+ax+c，
把（1，1.5），（2，2.0）代入y＝kx+b得：
，
解得，
∴y＝0.5x+1；
把（1，1.9），（2，2.6）代入y＝﹣0.1x2+ax+c得：
，
解得，
∴y＝﹣0.1x2+x+1，
答：模拟①号田的函数表达式为y＝0.5x+1，模拟②号田的函数表达式为y＝﹣0.1x2+x+1；
（3）设①号田和②号田总年产量为w吨，
由（2）知，w＝0.5x+1+（﹣0.1x2+x+1）＝﹣0.1x2+1.5x+2＝﹣0.1（x﹣7.5）2+7.625，
∵﹣0.1＜0，抛物线对称轴为直线x＝7.5，而x为整数，
∴当x＝7或8时，w取最大值，最大值为7.6，
答：①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大，最大是7.6吨．
【点评】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数的应用，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数，二次函数的性质．
6．（2022•北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．

某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1　＜　d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值即可得出函数解析式；
（2）设着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．
【解答】解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20，
解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
解得：x＝8+或x＝8﹣，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+，
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
解得：x＝9+或x＝9﹣，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+，
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t），
∴＜，
∴d1＜d2，
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．

14 二次函数的性质与计算推理证明问题

1．（2022秋•南关区校级期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+4a（a为常数）．
（1）当抛物线经过（1，4）时，求a的值．
（2）该抛物线的顶点坐标为 　（a，4a）　（用含a的代数式表示）．
（3）当a＝1时，若﹣1≤x≤m时，4≤y≤8，则m的取值范围是 　1≤m≤3　．
（4）当x≤2a时，若函数y＝x2﹣2ax+a2+4a（a为常数）的图象的最低点到直线y＝1的距离为2，求a的值．
【分析】（1）把（1，4）代入抛物线解析式即可求出a的值；
（2）把抛物线的解析式配成顶点式即可写出抛物线的顶点坐标；
（3）根据题意先写出抛物线的顶点坐标，求出当y＝8时对应的x值，然后根据开口方向以及y的取值范围即可求出m的取值范围；
（4）根据题意可分a＝0、a＜0和a＞0三种情况进行讨论，再根据图象的最低点到直线y＝1的距离为2，即可求出a的值．
【解答】解：（1）把（1，4）代入y＝x2﹣2ax+a2+4a可得：
1﹣2a+a2+4a＝4，解得：a1＝﹣3，a2＝1；
综上所述：a的值为﹣3或1；
（2）由题意可得：y＝x2﹣2ax+a2+4a＝（x﹣a）2+4a，
∴抛物线的顶点坐标为（a，4a）；
故答案为：（a，4a）；
（3）当a＝1时，抛物线解析式为：y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，
则顶点坐标为（1，4），
当y＝8时，即（x﹣1）2+4＝8，解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∵﹣1≤x≤m时，4≤y≤8，且抛物线开口向上，
∴1≤m≤3，
故答案为：1≤m≤3；
（4）由（2）中可得，抛物线对称轴为x＝a，顶点坐标为（a，4a），
①当a＝0时，此时顶点坐标为（0，0），
当x≤0时的最低点为（0，0），到y＝1的距离为1，不符合题意，舍去；
②当a＞0时，则2a＞a，且抛物线图象开口向上，
当x≤2a时，此时最低点为顶点（a，4a），
∵最低点到直线y＝1的距离为2，
∴|4a﹣1|＝2，解得：，（舍）；
③当a＜0时，则2a＜a，且抛物线图象开口向上，
当x≤2a时，x＝2a时，有最小值，即最低点为（2a，a2+4a），
∵最低点到直线y＝1的距离为2，
∴|a2+4a﹣1|＝2，解得：（舍），，，；
综上所述：a的值为或或或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的基本性质，解题关键：一是求出抛物线的对称轴和顶点坐标，二是根据范围求出最值．
2．（2022•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
【分析】（1）将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣4a，再求对称轴即可；
（2）再根据m＜n＜c，可确定出对称轴的取值范围，进而可确定x0的取值范围．
【解答】解：（1）法一、将点（1，m），（3，n）代入抛物线解析式，
∴，
∵m＝n，
∴a+b+c＝9a+3b+c，整理得，b＝﹣4a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2；
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
法二、当m＝n时，点A（1，m），B（3，n）的纵坐标相等，
由抛物线的对称性可得，抛物线的对称轴为x＝，
∴t＝2，
∵c＝2，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，2）．
（2）∵m＜n＜c，
∴a+b+c＜9a+3b+c＜c，
解得﹣4a＜b＜﹣3a，
∴3a＜﹣b＜4a，
∴＜﹣＜，即＜t＜2．
当t＝时，x0＝2；
当t＝2时，x0＝3．
∴x0的取值范围2＜x0＜3．
综上，t的取值范围为：＜t＜2；x0的取值范围2＜x0＜3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．
3．（2021•北京）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）将点（1，3），（3，15）代入解析式求解．
（2）分类讨论b的正负情况，根据mn＜0可得对称轴在x＝与直线x＝之间，再根据各点到对称轴的距离判断y值大小．
【解答】解：（1）∵m＝3，n＝15，
∴点（1，3），（3，15）在抛物线上，
将（1，3），（3，15）代入y＝ax2+bx得：
，
解得，
∴y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1．
（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），
∴抛物线开口向上且经过原点，
当b＝0时，抛物线顶点为原点，x＞0时y随x增大而增大，n＞m＞0不满足题意，
当b＞0时，抛物线对称轴在y轴左侧，同理，n＞m＞0不满足题意，
∴b＜0，抛物线对称轴在y轴右侧，x＝1时m＜0，x＝3时n＞0，
即抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个在1和3之间，
∴抛物线对称轴在直线x＝与直线x＝之间，
即＜﹣＜，
∴点（2，y2）与对称轴距离2﹣（﹣）＜，
点（﹣1，y1）与对称轴距离＜﹣﹣（﹣1）＜，
点（4，y3）与对称轴距离＜4﹣（﹣）＜
∴y2＜y1＜y3．
解法二：∵点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，
∴a+b＝m，9a+3b＝n，
∵mn＜0，
∴（a+b）（9a+3b）＜0，
∴a+b与3a+b异号，
∵a＞0，
∴3a+b＞a+b，
∴a+b＜0，3a+b＞0，
∵（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上，
∴y1＝a﹣b，y2＝4a+2b，y3＝16a+4b，
∵y3﹣y1＝（16a+4b）﹣（a﹣b）＝5（3a+b）＞0，
∴y3＞y1，
∵y1﹣y2＝（a﹣b）﹣（4a+2b）＝﹣3（a+b）＞0，
∴y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据数形结合求解．
4．（2021•浙江）已知二次函数y＝﹣x2+6x﹣5．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？
（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m﹣n＝3，求t的值．
【分析】（1）解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值；
（3）分三种情况讨论，根据二次函数的性质得到最大值m和最小值n，进而根据m﹣n＝3得到关于t的方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点坐标为（3，4）；
（2）∵a＝﹣1＜0，
∴抛物线开口向下，
∵顶点坐标为（3，4），
∴当x＝3时，y最大值＝4，
∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，
∴当x＝1时，y最小值＝0，
∵当3＜x≤4时，y随着x的增大而减小，
∴当x＝4时，y最小值＝3．
∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而增大，
当x＝t+3时，m＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
当x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝﹣t2+4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝﹣6t+9，
∴﹣6t+9＝3，解得t＝1（不合题意，舍去），
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴m＝4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，n＝﹣t2+6t﹣5，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+6t﹣5）＝t2﹣6t+9，
∴t2﹣6t+9＝3，解得t1＝3﹣，t2＝3+（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，n＝﹣t2+4，
∴m﹣n＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，
∴t2＝3，解得t1＝，t2＝﹣（不合题意，舍去），
③当t≥3时，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，m＝﹣t2+6t﹣5，
当x＝t+3时，n＝﹣（t+3）2+6（t+3）﹣5＝﹣t2+4，
.m﹣n＝﹣t2+6t﹣5﹣（﹣t2+4）＝6t﹣9，
∴6t﹣9＝3，解得t＝2（不合题意，舍去），
综上所述，t＝3﹣或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
5．（2021•安徽）已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．
（1）求a的值；
（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）都在此抛物线上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比较y1与y2的大小，并说明理由；
（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝3（x﹣1）2交于点C，D，求线段AB与线段CD的长度之比．
【分析】（1）根据公式，对称轴为直线x＝﹣，代入数据即可；
（2）结合函数的图象，根据二次函数的增减性可得结论；
（3）分别联立直线y＝m与两抛物线的解析式，表示出A，B，C，D的坐标，再表示出线段AB和线段CD的长度，即可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意可知，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线：x＝﹣＝＝1，
∴a＝1．
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∵a＝1＞0，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，
∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，
结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，
∴y1＞y2．
（3）联立y＝m（m＞0）与y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），
∴AB＝2，
联立y＝m（m＞0）与y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），
∴C（1+，m），D（1﹣，m）
∴CD＝2×＝，
∴＝．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，题目难度适中，根据题意得出AB和CD的长是解题基础．

15 二次函数与几何压轴问题

1．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．
（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；
（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PM＝MN时，求点P的横坐标；
（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），则PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，由题意可得方程|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，求解方程即可；
（3）由题意可知Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，由QG∥BC，求出点G（2，0），作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，则3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，利用对称性和∠OBC＝45°，求出A'（2，3），求出直线DA'的解析式和直线QG的解析式，联立方程组，可求点Q（，），再求DQ＝．
【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标（1，4）；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
设P（t，﹣t+3），则M（t，﹣t2+2t+3），N（2﹣t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝|t2﹣3t|，MN＝|2﹣2t|，
∵PM＝MN，
∴|t2﹣3t|＝|2﹣2t|，
解得t＝1+或t＝1﹣或t＝2+或t＝2﹣，
∴P点横坐标为1+或1﹣或2+或2﹣；
（3）∵C（0，3），D点与C点关于x轴对称，
∴D（0，﹣3），
令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵AQ＝3PQ，
∴Q点在平行于BC的线段上，设此线段与x轴的交点为G，
∴QG∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AG＝3，
∴G（2，0），
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝45°，
作A点关于GQ的对称点A'，连接A'D与AP交于点Q，
∵AQ＝A'Q，
∴AQ+DQ＝A'Q+DQ≥A'D，
∴3AP+4DQ＝4（DQ+AP）＝4（DQ+AQ）≥4A'D，
∵∠QGA＝∠CBO＝45°，AA'⊥QG，
∴∠A'AG＝45°，
∵AG＝A'G，
∴∠AA'G＝45°，
∴∠AGA'＝90°，
∴A'（2，3），
设直线DA'的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝3x﹣3，
同理可求直线QG的解析式为y＝﹣x+2，
联立方程组，
解得，
∴Q（，），
∴DQ＝．

【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离的方法，解绝对值方程，待定系数法求函数的解析式是解题的关键．
2．（2022•攀枝花）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于O（O为坐标原点），A两点，且二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，y轴上一点B（0，1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）二次函数在第四象限的图象上有一点P，连结PA，PB，设点P的横坐标为t，△PAB的面积为S，求S与t的函数关系式；
（3）在二次函数图象上是否存在点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点N的坐标，若不存在，请说明理由．


【分析】（1）根据题意知，二次函数顶点为（1，﹣1），设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，将点B（0，0）代入得，a﹣1＝0，即可得出答案；
（2）连接OP，根据题意得点A的坐标，则S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP，代入化简即可；
（3）设N（n，n2﹣2n），分AB或AN或AM分别为对角线，利用平行四边形的性质和中点坐标公式，分别求出n＝的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵二次函数的最小值为﹣1，点M（1，m）是其对称轴上一点，
∴二次函数顶点为（1，﹣1），
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将点O（0，0）代入得，a﹣1＝0，
∴a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x；
（2）连接OP，

当y＝0时，x2﹣2x＝0，
∴x＝0或2，
∴A（2，0），
∵点P在抛物线y＝x2﹣2x上，
∴点P的纵坐标为t2﹣2t，
∴S＝S△AOB+S△OAP﹣S△OBP
＝+（﹣t2+2t）﹣t
＝﹣t2++1；
（3）设N（n，n2﹣2n），
当AB为对角线时，由中点坐标公式得，2+0＝1+n，
∴n＝1，
∴N（1，﹣1），
当AM为对角线时，由中点坐标公式得，2+1＝n+0，
∴n＝3，
∴N（3，3），
当AN为对角线时，由中点坐标公式得，2+n＝0+1，
∴n＝﹣1，
∴N（﹣1，3），
综上：N（1，﹣1）或（3，3）或（﹣1，3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
3．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．

【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）连接CB交对称轴于点Q，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，求出直线BC的解析式，再求Q点坐标即可；
（3）分两种情况讨论：当∠BPM＝90°时，PM＝PB，M点与A点重合，则M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，可证明△BPH≌△MBG（AAS），设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），求出M点坐标为（1﹣，﹣2）；当P点在M点下方时，同理M（3+t，2），可求M点坐标为（1﹣，2）．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
∴，
解得，
∴y＝x2﹣2x﹣3；
（2）连接CB交对称轴于点Q，
∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A、B关于对称轴x＝1对称，
∴AQ＝BQ，
∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，
当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，
∵C（0，﹣3），B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x﹣3，
∴Q（1，﹣2）；
（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，
∴M点与A点重合，
∴M（﹣1，0）；
当∠PBM＝90°时，PB＝BM，
如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH交于H，过点M作MG⊥HG交于G，
∵∠PBM＝90°，
∴∠PBH+∠MBG＝90°，
∵∠PBH+∠BPH＝90°，
∴∠MBG＝∠BPH，
∵BP＝BM，
∴△BPH≌△MBG（AAS），
∴BH＝MG，PH＝BG＝2，
设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），
∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，
解得t＝2+或t＝2﹣，
∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），
∵M点在对称轴的左侧，
∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；
如图2，当P点在M点下方时，
同理可得M（3+t，2），
∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，
解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，
∴M（1﹣，2）；
综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．


【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．
4．（2022•黄石）如图，抛物线y＝﹣x2+x+4与坐标轴分别交于A，B，C三点，P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m．
（1）A，B，C三点的坐标为 　（﹣2，0）　，　（3，0）　，　（0，4）　．
（2）连接AP，交线段BC于点D，
①当CP与x轴平行时，求的值；
②当CP与x轴不平行时，求的最大值；
（3）连接CP，是否存在点P，使得∠BCO+2∠PCB＝90°，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，所以x＝﹣2或x＝3，由此可得结论；
（2）①由题意可知，P（1，4），所以CP＝1，AB＝5，由平行线分线段成比例可知，＝＝．
②过点P作PQ∥AB交BC于点Q，所以直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．所以PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，因为PQ∥AB，所以＝＝＝﹣（m﹣）2+，由二次函数的性质可得结论；
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，由∠BCO+2∠PCB＝90°，可知CP平分∠BCF，延长CP交x轴于点M，易证△CBM为等腰三角形，所以M（8，0），所以直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，令﹣x2+x+4＝﹣x+4，可得结论．
【解答】解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4）；
令y＝0，则﹣x2+x+4＝0，
∴x＝﹣2或x＝3，
∴A（﹣2，0），B（3，0）．
故答案为：（﹣2，0）；（3，0）；（0，4）．
（2）①∵CP∥x轴，C（0，4），
∴P（1，4），
∴CP＝1，AB＝5，
∵CP∥x轴，
∴＝＝．
②如图，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，

∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4．
设点P的横坐标为m，
则P（m，﹣m2+m+4），Q（m2﹣m，﹣m2+m+4）．
∴PQ＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+m，
∵PQ∥AB，
∴＝＝＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，的最大值为．
另解：分别过点P，A作y轴的平行线，交直线BC于两点，仿照以上解法即可求解．
（3）假设存在点P使得∠BCO+2∠BCP＝90°，即0＜m＜3．
过点C作CF∥x轴交抛物线于点F，

∵∠BCO+2∠PCB＝90°，∠BCO+∠BCM+∠MCF＝90°，
∴∠MCF＝∠BCP，
延长CP交x轴于点M，
∵CF∥x轴，
∴∠PCF＝∠BMC，
∴∠BCP＝∠BMC，
∴△CBM为等腰三角形，
∵BC＝5，
∴BM＝5，OM＝8，
∴M（8，0），
∴直线CM的解析式为：y＝﹣x+4，
令﹣x2+x+4＝﹣x+4，
解得x＝或x＝0（舍），
∴存在点P满足题意，此时m＝．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线分线段成比例，角度的存在性等相关内容，解本题的关键是求抛物线解析式，确定点P的坐标．
5．（2022•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴分别交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标．
（2）如图，点P为线段BC上的一个动点（点P不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．
（3）动点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点C向点B运动，同时动点M以每秒1个单位长度的速度在线段BO上由点B向点O运动，在平面内是否存在点N，使得以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将A，C两点坐标代入抛物线的解析式求得a，c的值，进而得出解析式，当y＝0时，求出方程的解，进而求得B点坐标；
（2）由B，C两点求出BC的解析式，进而设出点P和点Q坐标，表示出PQ的长，进一步得出结果；
（3）要使以点P，M，B，N为顶点的四边形是菱形，只需△PMB是等腰三角形，所以分为PM＝BM，PM＝PB和BP＝BM，结合图象，进一步得出结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，
∴，
∴y＝x2+2x﹣3，
当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴B（﹣3，0）；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x﹣3，
设点P（m，﹣m﹣3），Q（m，m2+2m﹣3），
∴PQ＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∴当m＝﹣时，PQ最大＝；
（3）如图1，

∵B（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
作PD⊥y轴于D，
∴CD＝PD＝PC•sin∠OCB＝＝t，
当BM＝PM时，
∴∠MPB＝∠OBC＝45°，
∵∠PMO＝∠PDO＝∠MOD＝90°，
∴四边形OMPD是矩形，
∴OM＝PD＝t，
由BM+OM＝OB得，
∴2t＝3，
∴t＝，
∴P（﹣，﹣），
∴N（﹣3，﹣），
如图2，

当PM＝PB时，作PD⊥y轴于D，作PE⊥x轴于E，
∴BM＝2BE，
可得四边形PDOE是矩形，
∴OE＝PD＝t，
∴BE＝3﹣t，
∴t＝2（3﹣t），
∴t＝2，
∴P（﹣2，﹣1），
∴N（﹣2，1），
如图3，

当PB＝MB时，
3﹣＝t，
∴t＝6﹣3，
∴P（3，3﹣3），
∴N（0，3﹣3），
综上所述：N（﹣3，﹣）或（﹣2，1）或（0，3﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数及其图象的性质，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰三角形的分类和等腰三角形的性质，菱形的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出符合条件的图形．
6．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点（1，1），（，），（﹣，﹣），……都是和谐点．
（1）判断函数y＝2x+1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，）．
①求a，c的值；
②若1≤x≤m时，函数y＝ax2+6x+c+（a≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），可得2x+1＝x，求解即可；
（2）将点（，）代入y＝ax2+6x+c，再由ax2+6x+c＝x有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac＝0，两个方程联立即可求a、c的值；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，当x＝1时，y＝﹣1，当x＝3时，y＝3，当x＝5时，y＝﹣1，则3≤m≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y＝2x+1的和谐点为（x，x），
∴2x+1＝x，
解得x＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（，）是二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的和谐点，
∴＝a+15+c，
∴c＝﹣a﹣，
∵二次函数y＝ax2+6x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+6x+c＝x有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac＝0，
∴a＝﹣1，c＝﹣；
②由①可知y＝﹣x2+6x﹣6＝﹣（x﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝3，
当x＝5时，y＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
7．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．

【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式；
（2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标；
（3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE：AE＝1：3；再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入抛物线的解析式，
则﹣3a＝3，
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．
（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：

∵∠APB+∠ACB＝180°，
∴∠CAP+∠CBP＝180°，
∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，
由（1）知，OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠APC＝∠ABC＝45°，
∴△AOP是等腰直角三角形，
∴OP＝OA＝1，
∴P（0，﹣1）．
（3）存在，理由如下：
由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∴D（1，4），
由抛物线的对称性可知，E（2，3），
∵A（﹣1，0），
∴AD＝2，DE＝，AE＝3．
∴AD2＝DE2+AE2，
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．
∵点M在直线l下方的抛物线上，

∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．
∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，
若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，
∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，
解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，
∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共圆是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD：AE的值是解题关键．