浙教版七年级下册第四章 因式分解4.1 因式分解精品一课一练

专题4.3 因式分解-十字相乘法与分组分解法（知识解读）

 【学习目标】

1.了解十字相乘法和分组分解法分解因式．

2. 了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解．

3.掌握因式分解分应用

【知识点梳理】

考点1：十字相乘法

1. x² p qx pq  （x+p ）（x+q ）

2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，

即 a a1 a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，

c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2 a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的

一次项系数b ，即 a1c2 a2c1 b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与

a2 x c2 之积，即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) ．

考点2：分组分解法

考点3：因式分解的应用

【典例分析】

【考点1:十字相乘法】

【典例1】（2021秋•江陵县期末）阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x2+3x+2分解因式．

分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．

所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．

解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．请仿照上面的方法，解答下列问题：

（1）分解因式：x2+5x﹣24＝　              　；

（2）若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 　        　；

（3）利用上面因式分解方法解方程：x2﹣4x﹣21＝0．

【解答】解：（1）x2+5x﹣24＝x2+（﹣3+8）x+（﹣3）×8＝（x﹣3）（x+8），

故答案为：（x﹣3）（x+8）；

（2）∵6＝﹣3×（﹣2），6＝3×2，6＝﹣1×（﹣6），6＝1×6，

∴p＝﹣3+（﹣2）＝﹣5，p＝3+2＝5，p＝﹣1+（﹣6）＝﹣7，p＝1+6＝7，

∴若x2+px+6可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是：±5，±7，

故答案为：±5，±7；

（3）x2﹣4x﹣21＝0，

（x﹣7）（x+3）＝0，

（x﹣7）＝0或（x+3）＝0，

∴x1＝7，x2＝﹣3．

【变式1-1】（2021春•肃州区校级期中）分解因式：

（1）x2﹣10x+16；             （2）x2﹣2x﹣3．

【解答】解：（1）x2﹣10x+16

＝（x﹣8）（x﹣2）；

（2）x2﹣2x﹣3

＝（x﹣3）（x+1）．

【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：

（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．

而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：

x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：

先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．

利用这种方法，将下列多项式分解因式：

（1）x2+7x+10＝　             　；

（2）x2﹣2x﹣3＝　               　；

（3）y2﹣7y+12＝　               　；

（4）x2+7x﹣18＝　                    　．

【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；

（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；

（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；

（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．

故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．

【考点2: 分组分解法】

【典例2】（2022春•新田县期中）先阅读材料：

分解因式：a2b﹣3a2+2b﹣6．

解：a2b﹣3a2+2b﹣6

＝（a2b﹣3a2）+（2b﹣6）

＝a2（b﹣3）+2（b﹣3）

＝（b﹣3）（a2+2）

以上解题过程中用到了“分组分解法”，即把多项式先分组，再分解．请你运用这种方法对下面多项式分解因式：x2+3x﹣y2+3y．

【解答】解：x2+3x﹣y2+3y

＝x2﹣y2+（3x+3y）

＝（x+y）（x﹣y）+3（x+y）

＝（x+y）（x﹣y+3）．

【变式2-1】（2022秋•青浦区校级期末）因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2．

【解答】解：x2+4y﹣1﹣4y2．

x2﹣（﹣4y+4y2+1）

＝x2﹣（1﹣2y）2

＝（x﹣2y+1）（x+2y﹣1）．

【变式2-2】（2022春•覃塘区期中）因式分解：

m2+n2﹣2mn﹣1．

【解答】解：m2+n2﹣2mn﹣1

＝（m﹣n）2﹣1

＝（m﹣n+1）（m﹣n﹣1）．

【变式2-3】（2022春•西湖区校级期中）因式分解

a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx．

【解答】解：a2﹣b2﹣x2+y2﹣2ay+2bx

＝（a2﹣2ay+y2）﹣（b2﹣2bx+x2）

＝（a﹣y）2﹣（b﹣x）2

＝（a﹣y+b﹣x）（a﹣y﹣b+x）．

【考点3:因式分解应用】

【典例3】（2022秋•灵宝市期末）已知ab＝﹣3，a+b＝2，则a2b+ab2的值是（　　）

A．﹣6 B．6 C．﹣1 D．1

【答案】A

【解答】解：∵ab＝﹣3，a+b＝2，

∴a2b+ab2

＝ab（a+b）

＝﹣3×2

＝﹣6，

故选：A．

【变式3-1】（2022秋•泗水县期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为 　 　．

【答案】15

【解答】解：∵x+y＝3，xy＝5，

∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×5＝15．

故答案为：15．

【变式3-2】（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 　  　．

【答案】﹣15

【解答】解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，

∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．

故答案为：﹣15．

【变式3-3】（2022秋•沙坪坝区校级期末）已知a+b＝﹣3，ab＝7，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　）

A．24 B．18 C．﹣24 D．﹣18

【答案】D

【解答】解：∵a+b＝﹣3，ab＝7，

∴a2b+ab2﹣a﹣b

＝（a2b+ab2）﹣（a+b）

＝ab（a+b）﹣（a+b）

＝（ab﹣1）（a+b）

＝（7﹣1）×（﹣3）

＝﹣18，

故选：D．

【典例4】（2022秋•平城区校级期末）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是n，中间长方形的长是3m，宽是m，且m＞n．

（1）观察图形，通过计算长方形纸板的面积可以发现代数式3m2+8mn+4n2可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：3m2+8mn+4n2＝　    　；

（2）若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求m2+n2和（m﹣n）2的值．

【解答】解：（1）观察图形，发现代数式：

3m2+8mn+4n2＝（3m+2n）（m+2n）；

故答案为：（3m+2n）（m+2n）；

（2）∵无盖长方体的四个侧面的面积和是16，

∴2（3mn+mn）＝16，即mn＝2，

∵图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，

∴2（m+2n）+2（3m+2n）＝8m+8n＝8（m+n）＝40，

即m+n＝5，

∵（m+n）2＝m2+2mn+n2，

∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝52﹣2×2＝21，

（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝21﹣2×2＝17．

【变式4-1】（2022秋•张店区校级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）若a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝　　．

（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．

【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，

所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝7，a2+b2+c2＝23，

所以49＝23+2ab+2ac+2bc，

所以ab+ac+bc＝13，

故答案为：13．

（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，

因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，

所以x＝2，y＝2，z＝5，

【变式4-2】（2022春•福鼎市期中）如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n，（以上长度单位：cm）

（1）观察图形，发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解，请写出因式分解的结果：

（2）若每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为80cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

【解答】解：（1）由图形可知，2m2+5mn+2n2＝（2m+n）（m+2n）；

（2）依题意得，2m2+2n2＝80，

mn＝12，

∴m2+n2＝40，

∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝40+24＝64，

∴m+n＝8，

∴图中所有裁剪线段之和为8×6＝48（cm）．

【变式4-3】（2022秋•鼓楼区校级期中）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式；

（2）若a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，利用（1）中的结论，则ab+ac+bc＝　  　．

（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（a+2b）（2a+b）长方形，求x+y+z的值．

【解答】解：（1）根据大正方形的面积（a+b+c）2等于各小图形面积的和，

所以（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．

（2）因为（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝8，a2+b2+c2＝14，

所以64＝14+2ab+2ac+2bc，

所以ab+ac+bc＝25，

故答案为：25．

（3）根据题意，得x张边长为a的正方形的面积为xa2，y张边长为b的正方形的面积为yb2，z张边长分别为a、b的长方形的面积为zab，

因为（a+2b）（2a+b）＝xa2+yb2+zab＝2a2+2b2+5ab，

所以x＝2，y＝2，z＝5，

所以x+y+z＝2+2+5＝9．