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专题二 万有引力定律（培优训练）——2022-2023学年高一物理期末专题复习学案（人教版2019必修第二册）
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这是一份专题二 万有引力定律（培优训练）——2022-2023学年高一物理期末专题复习学案（人教版2019必修第二册），文件包含专题二万有引力定律培优训练解析版docx、专题二万有引力定律培优训练原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共33页， 欢迎下载使用。
期末复习二 -----万有引力定律（培优训练）
(精选各地最新试题，老师们可根据学情灵活选取)
1．（2023春·广东汕头·高一校考期中）2020年6月23日，第55颗北斗导航卫星发射成功，这标志着我国提前半年完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署目标。第55颗卫星也是北斗三号全球卫星导航系统第三颗相对地球静止的同步轨道卫星，关于这颗卫星的说法正确的是（ ）
A．它的工作轨道只能在赤道上空的固定高度
B．它的周期与地球公转周期相同
C．它的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度
D．它的向心加速度小于月球的向心加速度
【答案】A
【详解】A．相对地球静止的同步轨道卫星的轨道平面位于赤道平面，根据
可得
由于周期等于地球自转周期，为一个确定值，可知轨道半径也为一个定值，即它的工作轨道在赤道平面内的一个确定高度，A正确；
B．相对地球静止的同步轨道卫星的周期与地球自转周期相同，B错误；
C．根据
由于相对地球静止的同步轨道卫星的周期与地球自转周期相同，可知同步轨道卫星的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度，C错误；
D．月球绕地球运行的轨道半径大于同步轨道卫星的轨道半径，根据
可得
可知它的向心加速度大于月球的向心加速度，D错误。
故选A。
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）科幻电影《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉冲击，标志我国科幻电影工业能力的进步。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站、配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以选址建在佛山
B．箱体在上升过程中受到地球的引力越来越小
C．配重的线速度小于同步空间站的线速度
D．若同步空间站和配重间的绳断开，配重将靠近地球
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，缆绳相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道正上方，所以地面基站不可能选址建在佛山，故A错误；
B．箱体在上升过程中受到地球的引力为
万有引力随着箱体与地球距离的增加而减小，故B正确；
C．根据“太空电梯”结构，由公式可知，配重和同步空间站的角速度相同，空间站的环绕半径小于配重的环绕半径，所以配重的线速度大于同步空间站的线速度，故C错误；
D．根据题意可知，配重在万有引力和缆绳拉力合力作用下做圆周运动，若同步空间站和配重间的绳断开，拉力消失，配重与地球之间的万有引力小于配重做圆周运动的向心力，配重会做离心运动，故D错误。
故选B。
3．（2023春·河北·高一校联考期中）2022年6月23日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”运载火箭，采取“一箭三星”方式，成功将“遥感三十五号”02组卫星发射升空。卫星发射并进入轨道是一个复杂的过程，可将其简化为如图所示，发射同步卫星时是先将卫星发射至近地轨道，在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，在转移轨道上的远地点加速后进入同步轨道；已知近地轨道半径为，卫星在近地轨道运行速率为，运行周期为，同步轨道半径为。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星在转移轨道经过点的速率可能等于
B．卫星在转移轨道上经过点时加速度等于在同步轨道上运动时经过点的加速度
C．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的向心加速度大小之比为
D．卫星在转移轨道上运动时的周期等于
【答案】B
【详解】A．卫星在转移轨道点加速才能进入同步轨道，则在转移轨道上的B点的速度小于在同步轨道速度，根据
同步轨道速度小于近地轨道速度，所以卫星在转移轨道经过点速度肯定小于，故A错误；
BC．根据
卫星加速度的表达式为
所以卫星两次经过点时加速度相等，在近地轨道和同步轨道卫星的加速度比为，故B正确、C错误；
D．根据开普勒第三定律可知
卫星在转移轨道周期应为
故D错误。
故选B。
4．（河南省部分重点中学2022-2023学年高一下学期阶段性测试物理试题（四））2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，表面一物体质量为m，有
又
式中为该星球密度，联立解得
代入数据可得
故选B。
5．（2022春·河北衡水·高一河北武邑中学阶段练习）年月日凌晨，我国成功发射一枚火箭，将“嫦娥四号”探测器送上了天空，历经个小时的飞行后，在离月球仅公里的距离完美“刹车”，进入近月轨道运行；月日时分，“嫦娥四号”在环月轨道成功实施变轨控制，顺利进入月球背面的预定着陆准备轨道；年月日时分北京航天飞行控制中心向“嫦娥四号”探测器发出着陆指令：开启变推力发动机，逐步将探测器的速度降到零，并不断调整姿态，在距月面米处悬停，选定相对平坦区域后缓慢垂直下降，实现了世界上首次在月球背面软着陆。探测器在着陆过程中沿竖直方向运动，设悬停前减速阶段变推力发动机的平均作用力为F，经过时间t将探测器的速度由v减小到0。已知探测器质量为m，在近月轨道做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，月球可视为质量分布均匀的球体，着陆过程中“嫦娥四号”探测器质量不变。则通过以上数据可求得（ ）
A．月球表面的重力加速度为 B．月球的半径
C．月球的质量 D．月球的平均密度
【答案】C
【详解】A．悬停前减速阶段由牛顿第二定律可知
解得
选项A错误；
BC．根据
解得
选项B错误，C正确；
D．月球的平均密度
选项D错误。
故选C。
6．（2023·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a、与地球自转周期相同的倾斜地球同步轨道卫星b，以及比它们轨道低一些的轨道卫星c组成，它们均为圆轨道卫星。若轨道卫星c与地球同步静止轨道卫星a在同一平面内同向旋转，已知卫星c的轨道半径为r，同步卫星轨道半径为4r，地球自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度
B．卫星a与卫星b具有相同的机械能
C．地球的质量为
D．卫星a与卫星c周期之比为8∶1，某时刻两者相距最近，则经过后，两者再次相距最近
【答案】A
【详解】A．地球第一宇宙速度是最小发射速度，最大运行速度，因此卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度，选项A正确；
B．机械能包括卫星的动能和势能，与卫星的质量有关，而卫星a与卫星b的质量不一定相同，故卫星a与卫星b不一定具有相同的机械能，选项B错误；
C．对地球同步卫星，根据牛顿第二定律有
解得地球的质量为
选项C错误；
D．卫星a与卫星c再次相距最近的过程满足
代入卫星a与卫星c周期之比为8∶1，解得
选项D错误。
故选A。
7．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，假设一航天员在月球表面上取一根边缘平整的细管，将一根细绳穿过细管，绳的一端拴一个小球，另一端拴一只弹簧测力计，将弹簧测力计的下端固定，手握细管摇动，使小球在水平面内匀速转动，管口与小球之间的细绳与水平方向有一定的夹角。若小球的质量为，用刻度尺测得小球做匀速圆周运动的半径为，弹簧测力计的读数为，引力常量为，假设细绳上的张力相等，下列说法正确的是（ ）
A．若用秒表测得小球运动圈的时间为，则小球的向心加速度为
B．若月球的半径为，用弹簧秤测得小球的重力为，则月球的质量为
C．若小球的向心加速度为，则月球表面的重力加速度为
D．若小球的向心加速度为，月球的半径为，则月球的质量为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，小球做匀速圆周运动的周期为
向心加速度为
故A错误；
B．由题意可知
在月球表面由重力近似等于万有引力可得
解得
故B错误；
C．若小球的向心加速度为，由牛顿第二定律有
解得
故C错误；
D．在月球表面由重力近似等于万有引力可得
结合C分析结果可得，月球的质量为
故D正确。
故选D。
8．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则
解得
第二种形式下，三颗星体之间的距离均为，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为
任一星体所受的合力充当向心力，即有
解得
则
故B正确。
故选B。
9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）2023年，中国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦蛾八号任务。其中嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是开展飞跃探测，争取能找到水。假设质量为m的嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球表面做匀速圆周运动时，其周期为，当探测器停在月球的两极时，测得重力加速度的大小为，已知月球自转的周期为，引力常量为G，月球视为均匀球体，下列说法正确的是（ ）
A．月球的半径为
B．月球的第一宇宙速度为
C．当停在月球赤道上时，探测器受到水平面的支持力为
D．当停在月球上纬度为60°的区域时，探测器随月球转动的线速度为
【答案】C
【详解】A．设月球的质量和半径分别为M、R，由
，
综合解得
A错误；
B．根据第一宇宙速度关系、，可得月球的第一宇宙速度为
选项B错误；
C．当探测器停在月球赤道上时，设水平面对其的支持力为F，对探测器受力分析，由牛顿第二定律可得
结合，综合解得
选项C正确；
D．当探测器停在月球上纬度为60°的区域时，自转半经为
自转线速度为
结合，综合解得
D错误。
***（选做）10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，先将“神舟十五号”送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为近地点高度为、远地点高度为的轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点的速度大小为v，然后再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。已知ac是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径R，地球质量为M，卫星质量为m。飞船与地球中心的距离为r时，引力势能为，取无穷远处引力势能为零。下列说法正确的是（ ）
A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能增大
B．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
C．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
【答案】D
【详解】A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能不变，故A错误；
B．由
可得“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
故B错误；
C．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运行的周期
由开普勒第三定律可知
故“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运行的周期与轨道Ⅱ上运行的周期之比为
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间为
故C错误；
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上c点运行时，动能、引力势能分别为
，
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上a点运行时，引力势能为
动能为
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
故D正确。
故选D。
11．（2023春·山东德州·高一统考期中）下图为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨道示意图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于点，轨道Ⅰ为环绕火星的圆形轨道，已知引力常量为。则下列说法正确的是（ ）
A．飞船在轨道上运行时，运行的周期
B．飞船在点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要点火加速
C．在相等时间内，探测器在轨道Ⅱ上运行时与火星连线扫过的面积和在轨道Ⅲ上运行时与火星连线扫过的面积相等
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运行的周期，可以推知火星的密度
【答案】AD
【详解】A．根据开普勒第三定律可知飞船在轨道上运行时，运行的周期，故A正确；
B．飞船在点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，是从高轨道到低轨道，需点火减速，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知在同一轨道满足在相等时间内，探测器与火星连线扫过的面积相等，故C错误；
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运行的周期，根据万有引力提供向心力有
从而计算火星的质量，则根据火星的密度公式可推得火星的密度，故D正确；
故选AD。
12．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）如图所示，某航天器围绕一颗半径为R的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（ ）
A．行星的质量为
B．行星的平均密度为
C．行星表面的重力加速度为
D．行星的第一宇宙速度为
【答案】ABC
【详解】A．航天器围绕行星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得
故A正确；
B．行星的平均密度为
联立可得
故B正确；
C．根据黄金代换，可得行星表面的重力加速度
解得
故C正确；
D．行星的第一宇宙速度设为，则有
解得
故D错误。
故选ABC。
13．（2023秋·广东东莞·高一东莞一中校考期末）行星外围有一圈厚度为的发光带（发光的物质），简化为如图所示模型，为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离的倒数之间关系如图所示（图线斜率为已知量），则下列说法正确的是（ ）
A．发光带是该行星的组成部分 B．该行星的质量
C．行星表面的重力加速度 D．该行星的平均密度为
【答案】BC
【详解】A．若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有
与应成正比，与图像不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A错误；
B．设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有
得该行星的质量为
又图像的斜率为
联立可得
故B正确；
C．当时，有
得行星表面的重力加速度为
故C正确；
D．该行星的平均密度为
故D错误。
故选BC。
***（选做）14．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星之间的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则（ ）
A．P、Q两颗星的向心力大小相等
B．P、Q两颗星的线速度之差为
C．P、Q两颗星的质量之差为
D．P、Q两颗星的质量之和为
【答案】AC
【详解】A．双星系统中的两颗星体靠相互间的万有引力提供向心力，故向心力大小相等，A正确；
B．设P、Q两星的轨道半径分别为rP、rQ，由万有引力提供向心力，有
G=mPrP
G=mQrQ
又
rQ+rP=l
rP-rQ=Δr
联立得
rP=，rQ=
由v=得
vP=，vQ=
故
Δv=
B错误；
C．联立得
mQ=，mP=
所以
Δm=
C正确；
D．联立得
G（rQ+rP）
解得
mQ+mP=
D错误。
故选AC。
***（选做）15．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．物体Q的质量是P的3倍
B．P、Q下落过程中的最大速度之比满足
C．M与N的密度相等
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍
【答案】BCD
【详解】A．M星球上，由牛顿定律得
得
根据图像
同理N星球上
得
A错误；
B．对P物体，加速度为0时速度最大，由
可知，a-x图像的面积代表的变化量，则
故B正确；
C．在M星球上，万有引力等于重力
又
解得
同理N星球上
因为，由图像知
可得
故C正确；
D．由运动的对称性，对P物体，下落速度最大，下落2速度变为0，弹簧压缩量达到最大；对Q物体，下落2速度最大，下落4速度变为0，弹簧压缩量达到最大，故Q的弹簧最大压缩量是P的2倍，D正确。
故选BCD。
***（选做）16．（2023春·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期中）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，它们的截距分别为、。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B表面的重力加速度大小之比为2：1
C．行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1
D．行星A、B的质量之比为3：2
【答案】BC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
图乙中两条直线的斜率均为，选项A错误；
D．根据已知条件有
解得
选项D错误；
C．根据
解得
由题图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，故行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1，C正确；
B．两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
在星球表面，根据
可知
解得
选项B正确。
故选BC。
17．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲所示，A、B两星相距为L，其中A星的半径为R；绕O点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员登上了A星，并在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为h。不计A星的自转和A星表面的空气阻力，引力常量为G，A星的体积V=。求：
（1）A星表面的重力加速度大小g；
（2）A星的平均密度ρ；
（3）B星的质量mB。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，由运动学公式可得
解得
（2）设绕A星表面附近做匀速圆周运动的物体质量为m，由A星的万有引力提供向心力，可得
由密度公式，可得A星的平均密度为
（3）绕双星连线上某点做匀速圆周运动，可知两星是同轴转动，则有周期相同，角速度相同，对A星则有
对B星则有
又有
联立以上各式解得
18．（2022春·北京朝阳·高一期末）2022年4月16日神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三位航天员在空间站出差半年，完成了两次太空行走和20多项科学实验，并开展了两次“天宫课堂”活动，刷新了中国航天新纪录。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。总质量为m0的空间站绕地球的运动可近似为匀速圆周运动，距地球表面高度为h，阻力忽略不计。
（1）求空间站绕地球匀速圆周运动的动能块；
（2）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取两物体相距无穷远时引力势能为0，质点和的距离为r时，其引力势能为（式中G为万有引力常量）。假设空间站为避免与其它飞行物相撞，将从原轨道转移到距地球表面高为1.2h的新圆周轨道上，则该转移至少需要提供多少额外的能量；
（3）维持空间站的运行与舱内航天员的生活需要耗费大量电能，某同学为其设计了太阳能电池板。太阳辐射的总功率为，太阳与空间站的平均距离为r，且该太阳能电池板正对太阳的面积始终为S，假设该太阳能电池板的能量转化效率为。求单位时间空间站通过太阳能电池板获得的电能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）地球表面附近有
解得
空间站绕地球匀速圆周运动，有
又
联立解得
（2）空间站绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
空间站绕地球运动的动能
则空间站从原轨道转移到距地球表面高为1.2h的新圆周轨道上，动能的减小量为
引力势能的增加量为
由能量守恒定律可知，该转移至少需要提供额外的能量
（3）太阳辐射的总功率为，单位时间内辐射的能量
单位时间太阳能电池板正对太阳的面积为S接收到的能量
则单位时间空间站通过太阳能电池板获得的电能
19．（2023春·四川成都·高一统考阶段练习）拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求：
（1）处于L1点小物体的向心加速度；
（2）处于L2点小物体运行的线速度；
（3）为了进一步的通信覆盖，发射两颗质量均为m0的卫星，分别处于L1、L2点，L1、L2到环绕天体的距离近似相等（远小于L），两卫星与环绕天体同步绕中心天体做圆周运动，忽略卫星间的引力，求中心天体对环绕天体的引力与它对两卫星的引力之和的比值？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设处于点的小物体质量为，则小物体所受向心力由两天体的万有引力合力来提供，可得
解得
（2）设处于点的小物体质量为，则小物体所受向心力由两天体的万有引力合力来提供，可得
解得
（3）中心天体对环绕天体的引力为
中心天体对两卫星的引力之和为
设处于点的小物体与环绕天体相距x，由于x远小于L，所以有
则中心天体对环绕天体的引力与它对两卫星的引力之和的比值为
期末复习二 -----万有引力定律（培优训练）
(精选各地最新试题，老师们可根据学情灵活选取)
1．（2023春·广东汕头·高一校考期中）2020年6月23日，第55颗北斗导航卫星发射成功，这标志着我国提前半年完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署目标。第55颗卫星也是北斗三号全球卫星导航系统第三颗相对地球静止的同步轨道卫星，关于这颗卫星的说法正确的是（ ）
A．它的工作轨道只能在赤道上空的固定高度
B．它的周期与地球公转周期相同
C．它的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度
D．它的向心加速度小于月球的向心加速度
【答案】A
【详解】A．相对地球静止的同步轨道卫星的轨道平面位于赤道平面，根据
可得
由于周期等于地球自转周期，为一个确定值，可知轨道半径也为一个定值，即它的工作轨道在赤道平面内的一个确定高度，A正确；
B．相对地球静止的同步轨道卫星的周期与地球自转周期相同，B错误；
C．根据
由于相对地球静止的同步轨道卫星的周期与地球自转周期相同，可知同步轨道卫星的线速度大于赤道上物体随地球自转的线速度，C错误；
D．月球绕地球运行的轨道半径大于同步轨道卫星的轨道半径，根据
可得
可知它的向心加速度大于月球的向心加速度，D错误。
故选A。
2．（2023·广东佛山·统考模拟预测）科幻电影《流浪地球2》中的“太空电梯”给观众带来了强烈的视觉冲击，标志我国科幻电影工业能力的进步。如图所示，“太空电梯”由地面基站、缆绳、箱体、同步轨道上的空间站、配重组成，缆绳相对地面静止，箱体可以沿缆绳将人和货物从地面运送到空间站。下列说法正确的是（ ）
A．地面基站可以选址建在佛山
B．箱体在上升过程中受到地球的引力越来越小
C．配重的线速度小于同步空间站的线速度
D．若同步空间站和配重间的绳断开，配重将靠近地球
【答案】B
【详解】A．根据题意可知，缆绳相对地面静止，则整个同步轨道一定在赤道正上方，所以地面基站不可能选址建在佛山，故A错误；
B．箱体在上升过程中受到地球的引力为
万有引力随着箱体与地球距离的增加而减小，故B正确；
C．根据“太空电梯”结构，由公式可知，配重和同步空间站的角速度相同，空间站的环绕半径小于配重的环绕半径，所以配重的线速度大于同步空间站的线速度，故C错误；
D．根据题意可知，配重在万有引力和缆绳拉力合力作用下做圆周运动，若同步空间站和配重间的绳断开，拉力消失，配重与地球之间的万有引力小于配重做圆周运动的向心力，配重会做离心运动，故D错误。
故选B。
3．（2023春·河北·高一校联考期中）2022年6月23日，我国在西昌卫星发射中心使用“长征二号”运载火箭，采取“一箭三星”方式，成功将“遥感三十五号”02组卫星发射升空。卫星发射并进入轨道是一个复杂的过程，可将其简化为如图所示，发射同步卫星时是先将卫星发射至近地轨道，在近地轨道的A点加速后进入转移轨道，在转移轨道上的远地点加速后进入同步轨道；已知近地轨道半径为，卫星在近地轨道运行速率为，运行周期为，同步轨道半径为。则下列说法正确的是（ ）
A．卫星在转移轨道经过点的速率可能等于
B．卫星在转移轨道上经过点时加速度等于在同步轨道上运动时经过点的加速度
C．卫星在近地轨道与同步轨道上运动的向心加速度大小之比为
D．卫星在转移轨道上运动时的周期等于
【答案】B
【详解】A．卫星在转移轨道点加速才能进入同步轨道，则在转移轨道上的B点的速度小于在同步轨道速度，根据
同步轨道速度小于近地轨道速度，所以卫星在转移轨道经过点速度肯定小于，故A错误；
BC．根据
卫星加速度的表达式为
所以卫星两次经过点时加速度相等，在近地轨道和同步轨道卫星的加速度比为，故B正确、C错误；
D．根据开普勒第三定律可知
卫星在转移轨道周期应为
故D错误。
故选B。
4．（河南省部分重点中学2022-2023学年高一下学期阶段性测试物理试题（四））2021年11月中国科学院上海天文台与国内外合作者利用中国天眼FAST，发现了球状星团NGC6712中的首颗脉冲星，并命名为J1853-0842A，相关研究成果发表在《天体物理学报》上，该脉冲星自转周期为毫秒。假设该星体是质量分布均匀的球体，引力常量为。已知在宇宙中某星体自转速度过快的时候，该星体表面物质会因为缺少引力束缚而解体，则以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】星球恰好能维持自转不瓦解时，万有引力恰好能提供其表面物体做圆周运动所需的向心力，设该星球的质量为M，半径为R，表面一物体质量为m，有
又
式中为该星球密度，联立解得
代入数据可得
故选B。
5．（2022春·河北衡水·高一河北武邑中学阶段练习）年月日凌晨，我国成功发射一枚火箭，将“嫦娥四号”探测器送上了天空，历经个小时的飞行后，在离月球仅公里的距离完美“刹车”，进入近月轨道运行；月日时分，“嫦娥四号”在环月轨道成功实施变轨控制，顺利进入月球背面的预定着陆准备轨道；年月日时分北京航天飞行控制中心向“嫦娥四号”探测器发出着陆指令：开启变推力发动机，逐步将探测器的速度降到零，并不断调整姿态，在距月面米处悬停，选定相对平坦区域后缓慢垂直下降，实现了世界上首次在月球背面软着陆。探测器在着陆过程中沿竖直方向运动，设悬停前减速阶段变推力发动机的平均作用力为F，经过时间t将探测器的速度由v减小到0。已知探测器质量为m，在近月轨道做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，月球可视为质量分布均匀的球体，着陆过程中“嫦娥四号”探测器质量不变。则通过以上数据可求得（ ）
A．月球表面的重力加速度为 B．月球的半径
C．月球的质量 D．月球的平均密度
【答案】C
【详解】A．悬停前减速阶段由牛顿第二定律可知
解得
选项A错误；
BC．根据
解得
选项B错误，C正确；
D．月球的平均密度
选项D错误。
故选C。
6．（2023·全国·模拟预测）北斗卫星导航系统由地球同步静止轨道卫星a、与地球自转周期相同的倾斜地球同步轨道卫星b，以及比它们轨道低一些的轨道卫星c组成，它们均为圆轨道卫星。若轨道卫星c与地球同步静止轨道卫星a在同一平面内同向旋转，已知卫星c的轨道半径为r，同步卫星轨道半径为4r，地球自转周期为T，万有引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度
B．卫星a与卫星b具有相同的机械能
C．地球的质量为
D．卫星a与卫星c周期之比为8∶1，某时刻两者相距最近，则经过后，两者再次相距最近
【答案】A
【详解】A．地球第一宇宙速度是最小发射速度，最大运行速度，因此卫星a的发射速度大于地球第一宇宙速度，轨道运行速度小于地球第一宇宙速度，选项A正确；
B．机械能包括卫星的动能和势能，与卫星的质量有关，而卫星a与卫星b的质量不一定相同，故卫星a与卫星b不一定具有相同的机械能，选项B错误；
C．对地球同步卫星，根据牛顿第二定律有
解得地球的质量为
选项C错误；
D．卫星a与卫星c再次相距最近的过程满足
代入卫星a与卫星c周期之比为8∶1，解得
选项D错误。
故选A。
7．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，假设一航天员在月球表面上取一根边缘平整的细管，将一根细绳穿过细管，绳的一端拴一个小球，另一端拴一只弹簧测力计，将弹簧测力计的下端固定，手握细管摇动，使小球在水平面内匀速转动，管口与小球之间的细绳与水平方向有一定的夹角。若小球的质量为，用刻度尺测得小球做匀速圆周运动的半径为，弹簧测力计的读数为，引力常量为，假设细绳上的张力相等，下列说法正确的是（ ）
A．若用秒表测得小球运动圈的时间为，则小球的向心加速度为
B．若月球的半径为，用弹簧秤测得小球的重力为，则月球的质量为
C．若小球的向心加速度为，则月球表面的重力加速度为
D．若小球的向心加速度为，月球的半径为，则月球的质量为
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，小球做匀速圆周运动的周期为
向心加速度为
故A错误；
B．由题意可知
在月球表面由重力近似等于万有引力可得
解得
故B错误；
C．若小球的向心加速度为，由牛顿第二定律有
解得
故C错误；
D．在月球表面由重力近似等于万有引力可得
结合C分析结果可得，月球的质量为
故D正确。
故选D。
8．（2023·河北沧州·沧县中学校考模拟预测）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为的轨道上运行，如图甲所示，周期为；另一种是三颗星位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为。则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则
解得
第二种形式下，三颗星体之间的距离均为，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为
任一星体所受的合力充当向心力，即有
解得
则
故B正确。
故选B。
9．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）2023年，中国将全面推进探月工程四期，规划包括嫦娥六号、嫦娥七号和嫦蛾八号任务。其中嫦娥七号准备在月球南极着陆，主要任务是开展飞跃探测，争取能找到水。假设质量为m的嫦娥七号探测器在距离月面的高度等于月球半径处绕着月球表面做匀速圆周运动时，其周期为，当探测器停在月球的两极时，测得重力加速度的大小为，已知月球自转的周期为，引力常量为G，月球视为均匀球体，下列说法正确的是（ ）
A．月球的半径为
B．月球的第一宇宙速度为
C．当停在月球赤道上时，探测器受到水平面的支持力为
D．当停在月球上纬度为60°的区域时，探测器随月球转动的线速度为
【答案】C
【详解】A．设月球的质量和半径分别为M、R，由
，
综合解得
A错误；
B．根据第一宇宙速度关系、，可得月球的第一宇宙速度为
选项B错误；
C．当探测器停在月球赤道上时，设水平面对其的支持力为F，对探测器受力分析，由牛顿第二定律可得
结合，综合解得
选项C正确；
D．当探测器停在月球上纬度为60°的区域时，自转半经为
自转线速度为
结合，综合解得
D错误。
***（选做）10．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2022年11月29日晚，长征二号运载火箭将神舟十五号载人飞船精准送入预定轨道，并于11月30日7时33分对接天和核心舱，形成三舱三船组合体，这是中国太空站目前最大的构型。如图所示为“神舟十五号”对接前变轨过程的简化示意图，先将“神舟十五号”送入圆形轨道Ⅰ，在a点发动机点火加速，由轨道Ⅰ变为近地点高度为、远地点高度为的轨道Ⅱ上，飞船在轨道Ⅱ上经过c点的速度大小为v，然后再变轨到圆轨道Ⅲ，与在圆轨道Ⅲ运行的天和核心舱实施对接。已知ac是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径R，地球质量为M，卫星质量为m。飞船与地球中心的距离为r时，引力势能为，取无穷远处引力势能为零。下列说法正确的是（ ）
A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能增大
B．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
C．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
【答案】D
【详解】A．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上由a到c运行时，机械能不变，故A错误；
B．由
可得“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运动的速度大小约
故B错误；
C．“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运行的周期
由开普勒第三定律可知
故“神舟十五号”在轨道Ⅰ上运行的周期与轨道Ⅱ上运行的周期之比为
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上从a到c的时间为
故C错误；
D．“神舟十五号”在轨道Ⅱ上c点运行时，动能、引力势能分别为
，
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上a点运行时，引力势能为
动能为
“神舟十五号”在轨道Ⅱ上经过a点时的速度大小为
故D正确。
故选D。
11．（2023春·山东德州·高一统考期中）下图为“天问一号”探测器经过多次变轨后登陆火星前的部分轨道示意图，轨道Ⅰ、轨道Ⅱ、轨道Ⅲ相切于点，轨道Ⅰ为环绕火星的圆形轨道，已知引力常量为。则下列说法正确的是（ ）
A．飞船在轨道上运行时，运行的周期
B．飞船在点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，需要点火加速
C．在相等时间内，探测器在轨道Ⅱ上运行时与火星连线扫过的面积和在轨道Ⅲ上运行时与火星连线扫过的面积相等
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运行的周期，可以推知火星的密度
【答案】AD
【详解】A．根据开普勒第三定律可知飞船在轨道上运行时，运行的周期，故A正确；
B．飞船在点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ，是从高轨道到低轨道，需点火减速，故B错误；
C．根据开普勒第二定律可知在同一轨道满足在相等时间内，探测器与火星连线扫过的面积相等，故C错误；
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，已知飞船在轨道Ⅰ上运行的周期，根据万有引力提供向心力有
从而计算火星的质量，则根据火星的密度公式可推得火星的密度，故D正确；
故选AD。
12．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考二模）如图所示，某航天器围绕一颗半径为R的行星做匀速圆周运动，其环绕周期为T，经过轨道上A点时发出了一束激光，与行星表面相切于B点，若测得激光束AB与轨道半径AO夹角为θ，引力常量为G，不考虑行星的自转，下列说法正确的是（ ）
A．行星的质量为
B．行星的平均密度为
C．行星表面的重力加速度为
D．行星的第一宇宙速度为
【答案】ABC
【详解】A．航天器围绕行星做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有
解得
故A正确；
B．行星的平均密度为
联立可得
故B正确；
C．根据黄金代换，可得行星表面的重力加速度
解得
故C正确；
D．行星的第一宇宙速度设为，则有
解得
故D错误。
故选ABC。
13．（2023秋·广东东莞·高一东莞一中校考期末）行星外围有一圈厚度为的发光带（发光的物质），简化为如图所示模型，为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带绕行星中心的运行速度与到行星中心的距离的倒数之间关系如图所示（图线斜率为已知量），则下列说法正确的是（ ）
A．发光带是该行星的组成部分 B．该行星的质量
C．行星表面的重力加速度 D．该行星的平均密度为
【答案】BC
【详解】A．若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有
与应成正比，与图像不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A错误；
B．设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有
得该行星的质量为
又图像的斜率为
联立可得
故B正确；
C．当时，有
得行星表面的重力加速度为
故C正确；
D．该行星的平均密度为
故D错误。
故选BC。
***（选做）14．（2023春·安徽安庆·高一安庆一中校考阶段练习）引力波探测于2017年获得诺贝尔物理学奖。双星的运动是引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由P、Q两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上的某一点在二者之间万有引力作用下做匀速圆周运动，测得P星的周期为T，P、Q两颗星之间的距离为l，P、Q两颗星的轨道半径之差为Δr（P星的轨道半径大于Q星的轨道半径），引力常量为G，则（ ）
A．P、Q两颗星的向心力大小相等
B．P、Q两颗星的线速度之差为
C．P、Q两颗星的质量之差为
D．P、Q两颗星的质量之和为
【答案】AC
【详解】A．双星系统中的两颗星体靠相互间的万有引力提供向心力，故向心力大小相等，A正确；
B．设P、Q两星的轨道半径分别为rP、rQ，由万有引力提供向心力，有
G=mPrP
G=mQrQ
又
rQ+rP=l
rP-rQ=Δr
联立得
rP=，rQ=
由v=得
vP=，vQ=
故
Δv=
B错误；
C．联立得
mQ=，mP=
所以
Δm=
C正确；
D．联立得
G（rQ+rP）
解得
mQ+mP=
D错误。
故选AC。
***（选做）15．（2023春·山东青岛·高一青岛二中校考期中）在星球M上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体P轻放在弹簧上端，P由静止向下运动，物体的加速度a与弹簧压缩量x之间的关系如图中实线所示。在另一星球N上用完全相同的弹簧，改用物体Q完成同样的过程，其a-x关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球体，已知星球M的半径是星球N的3倍，则（ ）
A．物体Q的质量是P的3倍
B．P、Q下落过程中的最大速度之比满足
C．M与N的密度相等
D．Q下落过程中弹簧的最大压缩量是P的2倍
【答案】BCD
【详解】A．M星球上，由牛顿定律得
得
根据图像
同理N星球上
得
A错误；
B．对P物体，加速度为0时速度最大，由
可知，a-x图像的面积代表的变化量，则
故B正确；
C．在M星球上，万有引力等于重力
又
解得
同理N星球上
因为，由图像知
可得
故C正确；
D．由运动的对称性，对P物体，下落速度最大，下落2速度变为0，弹簧压缩量达到最大；对Q物体，下落2速度最大，下落4速度变为0，弹簧压缩量达到最大，故Q的弹簧最大压缩量是P的2倍，D正确。
故选BCD。
***（选做）16．（2023春·黑龙江佳木斯·高一佳木斯一中校考期中）两颗相距较远的行星A、B的半径分别为、，距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的线速度的平方随r变化的关系如图甲所示，两图线左端的纵坐标相同；距行星中心r处的卫星围绕行星做匀速圆周运动的周期为T，取对数后得到如图乙所示的拟合直线（线性回归），两直线平行，它们的截距分别为、。已知两图像数据均采用国际单位，，行星可看作质量分布均匀的球体，忽略行星的自转和其他星球的影响，下列说法正确的是（ ）
A．图乙中两条直线的斜率均为
B．行星A、B表面的重力加速度大小之比为2：1
C．行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1
D．行星A、B的质量之比为3：2
【答案】BC
【详解】A．根据万有引力提供向心力有
整理得
两边取对数得
图乙中两条直线的斜率均为，选项A错误；
D．根据已知条件有
解得
选项D错误；
C．根据
解得
由题图甲可知，两行星的第一宇宙速度相等，故行星A、B的第一宇宙速度之比为1：1，C正确；
B．两行星的第一宇宙速度相等，有
解得
在星球表面，根据
可知
解得
选项B正确。
故选BC。
17．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）双星是两颗相距较近的天体，在相互间的万有引力作用下，绕双星连线上某点做匀速圆周运动。对于两颗质量不等的天体构成的双星系统，如图甲所示，A、B两星相距为L，其中A星的半径为R；绕O点做匀速圆周运动的周期为T，假设我国的宇航员登上了A星，并在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，如图乙所示，小球上升的最大高度为h。不计A星的自转和A星表面的空气阻力，引力常量为G，A星的体积V=。求：
（1）A星表面的重力加速度大小g；
（2）A星的平均密度ρ；
（3）B星的质量mB。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）在A星表面竖直向上以大小为v0的速度抛出一小球，由运动学公式可得
解得
（2）设绕A星表面附近做匀速圆周运动的物体质量为m，由A星的万有引力提供向心力，可得
由密度公式，可得A星的平均密度为
（3）绕双星连线上某点做匀速圆周运动，可知两星是同轴转动，则有周期相同，角速度相同，对A星则有
对B星则有
又有
联立以上各式解得
18．（2022春·北京朝阳·高一期末）2022年4月16日神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三位航天员在空间站出差半年，完成了两次太空行走和20多项科学实验，并开展了两次“天宫课堂”活动，刷新了中国航天新纪录。已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。总质量为m0的空间站绕地球的运动可近似为匀速圆周运动，距地球表面高度为h，阻力忽略不计。
（1）求空间站绕地球匀速圆周运动的动能块；
（2）物体间由于存在万有引力而具有的势能称为引力势能。若取两物体相距无穷远时引力势能为0，质点和的距离为r时，其引力势能为（式中G为万有引力常量）。假设空间站为避免与其它飞行物相撞，将从原轨道转移到距地球表面高为1.2h的新圆周轨道上，则该转移至少需要提供多少额外的能量；
（3）维持空间站的运行与舱内航天员的生活需要耗费大量电能，某同学为其设计了太阳能电池板。太阳辐射的总功率为，太阳与空间站的平均距离为r，且该太阳能电池板正对太阳的面积始终为S，假设该太阳能电池板的能量转化效率为。求单位时间空间站通过太阳能电池板获得的电能。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）地球表面附近有
解得
空间站绕地球匀速圆周运动，有
又
联立解得
（2）空间站绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得
空间站绕地球运动的动能
则空间站从原轨道转移到距地球表面高为1.2h的新圆周轨道上，动能的减小量为
引力势能的增加量为
由能量守恒定律可知，该转移至少需要提供额外的能量
（3）太阳辐射的总功率为，单位时间内辐射的能量
单位时间太阳能电池板正对太阳的面积为S接收到的能量
则单位时间空间站通过太阳能电池板获得的电能
19．（2023春·四川成都·高一统考阶段练习）拉格朗日点指在两个大天体引力作用下，能使小物体稳定的点（小物体质量相对两大天体可忽略不计）。这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的，1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，其中连线上有三个拉格朗日点，分别是L1、L2、L3，如图所示。我国发射的“鹊桥”卫星就在地月系统平衡点L2点做周期运动，通过定期轨控保持轨道的稳定性，可实现对着陆器和巡视器的中继通信覆盖，首次实现地月L2点周期轨道的长期稳定运行。设某两个天体系统的中心天体质量为M，环绕天体质量为m，两天体间距离为L，万有引力常量为G，L1点到中心天体的距离为R1，L2点到中心天体的距离为R2。求：
（1）处于L1点小物体的向心加速度；
（2）处于L2点小物体运行的线速度；
（3）为了进一步的通信覆盖，发射两颗质量均为m0的卫星，分别处于L1、L2点，L1、L2到环绕天体的距离近似相等（远小于L），两卫星与环绕天体同步绕中心天体做圆周运动，忽略卫星间的引力，求中心天体对环绕天体的引力与它对两卫星的引力之和的比值？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设处于点的小物体质量为，则小物体所受向心力由两天体的万有引力合力来提供，可得
解得
（2）设处于点的小物体质量为，则小物体所受向心力由两天体的万有引力合力来提供，可得
解得
（3）中心天体对环绕天体的引力为
中心天体对两卫星的引力之和为
设处于点的小物体与环绕天体相距x，由于x远小于L，所以有
则中心天体对环绕天体的引力与它对两卫星的引力之和的比值为
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专题四 动量守恒定律(培优训练)——2022-2023学年高一物理期末专题复习学案（人教版2019必修第二册）： 这是一份专题四 动量守恒定律(培优训练)——2022-2023学年高一物理期末专题复习学案（人教版2019必修第二册），文件包含专题四动量守恒定律培优训练解析版docx、专题四动量守恒定律培优训练原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。
