高中数学初高衔接教材精编版——第2讲 因式分解

第二讲 因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等．

一、公式法(立方和、立方差公式)

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

(立方和公式)

(立方差公式)

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

 (1)       (2)

分析： (1)中，，(2)中．

解：(1)

 (2)

说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

 【例2】分解因式：

  (1)      (2)

 分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：(1) ．

 (2)

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

 【例3】把分解因式．

 分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

 【例4】把分解因式．

 分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

 【例5】把分解因式．

 分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.

解：

 【例6】把分解因式．

 分析：先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：

说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

三、十字相乘法

 1．型的因式分解

 这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

 【例7】把下列各式因式分解：

  (1)      (2)

解：(1)

    ．

 (2)

说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

 【例8】把下列各式因式分解：

  (1)      (2)

解：(1)

 (2)

说明：此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

练：          （3）   （4）

 【例9】把下列各式因式分解：

  (1)      (2)

 分析：(1) 把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

   (2) 由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：(1)

 (2)

练：（1）    （2）

2．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．

 【例10】把下列各式因式分解：

  (1)      (2)

解：(1)    

 (2)   

说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号．

练：（1）    （2）  （3）   （4）

【例11】因式分解：

(1)         (2)

分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.

解：(1)原式.

 (2)原式.         

练：（1）        （2） 

四、其它因式分解的方法

 1．配方法

 【例12】分解因式

解：

说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．

2．拆、添项法

 【例13】分解因式

 分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．

解：

说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将拆成，将多项式分成两组和．

一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：

(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；

(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；

(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；

(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．

A    组

1．把下列各式分解因式：

 (1)      (2)     (3)  

 (4)    (5)    (6)

2．把下列各式分解因式：

 (1)      (2)  

 (3)    (4)

3．把下列各式分解因式：

 (1)   (2)   (3)

 (4)   (5)   (6)

4．把下列各式分解因式：

 (1)  (2)  (3)

 (4)    (5)    (6)

 (7)    (8)

5．把下列各式分解因式：

 (1)     (2)   (3)

 (4)   (5)   (6)

 (7)      (8)

 B    组

1．把下列各式分解因式：

(1)    (2)

(3)   (4)   (5)

2．已知，求代数式的值．

3．证明：当为大于2的整数时，能被120整除．

4．已知，求证：．

第二讲 因式分解答案

A组

1．

 2．

3．

4．  5．

．

B组

1．

   ．

2．

3．

4．