高考数学一轮复习第6章第5节空间向量及其运算学案

第五节　空间向量及其运算

考试要求：1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会简单应用空间两点间的距离公式．

2．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．

3．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示．能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．

一、教材概念·结论·性质重现

1．空间向量的有关概念

2．空间向量中的有关定理

3．空间向量的数量积

(1)两向量的夹角

①已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

②范围：0≤〈a，b〉≤π．

(2)两个非零向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

4．空间向量的坐标表示

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．

5．常用结论

(1)证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

①＝λ(λ∈R)．

②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)．

③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．

(2)证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B，除空间向量基本定理外，也可通过证明下列结论成立来证明共面：

①＝x＋y．

②对空间任一点O，＝＋x＋y．

③∥(或∥或∥)．

二、基本技能·思想·活动经验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面． (　√　)

(2)在向量的数量积运算中，(a·b)·c＝a·(b·c)． (　×　)

(3)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c． (　×　)

(4)空间中模相等的两个向量方向相同或相反． (　×　)

(5)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角．  (　×　)

2．设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(　　)

A．3   B．4 

C．5   D．6

C　解析：因为α⊥β，所以u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，解得t＝5．

3．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，1＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)

A．－a＋b＋c 

B．a＋b＋c

C．－a－b＋c 

D．a－b＋c

A　解析：＝＋＝＋(－)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c．

4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．

　解析：||2＝2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°)＝2，所以||＝，所以EF的长为．

考点1　空间向量的线性运算——基础性

1．在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于(　　)

A．a－b＋c 

B．－a＋b＋c

C．a＋b－c 

D．a＋b－c

B　解析：＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c．

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若＝＋x＋y，则x，y的值分别为(　　)

A．1,1   B．1，

C．，   D．，1

C　解析：＝＋＝＋＝＋(＋)，故x＝，y＝．

3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．

(1)化简：－－＝________；

(2)用，，表示，则＝______．

(1)　(2)＋＋　解析：(1)－－＝－(＋)＝－＝＋＝．

(2)因为＝＝(＋)，所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋．

考点2　 共线向量定理、共面向量定理及其应用——应用性

(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　)

A．2，   B．－，

C．－3,2   D．2,2

A　解析：因为a∥b，所以b＝ka(k∈R)，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，所以解得或

(2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于________．

　解析：由题意，可设a＝xb＋yc，故(2，－1,3)＝x(－1,4，－2)＋y(7,5，λ)，即解得λ＝．

(3)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．

①判断，，三个向量是否共面，并说明理由；

②判断点M是否在平面ABC内，并说明理由．

解：①由已知得＋＋＝3，所以－＝(－)＋(－)，即＝＋＝－－，

所以，，共面．

②由①知，，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内．

如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D．

证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝a＋c，＝＋＝＋＝－a＋b，＝＋＝－＋＝b－a＋c，所以＝－2．

因为A1B⊄平面AC1D，所以A1B∥平面AC1D．

考点3　空间向量的数量积及其应用——应用性

考向1　空间数量积的运算

已知点O为空间直角坐标系的原点，向量＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动．当·取得最小值时，的坐标是________．

　解析：因为点Q在直线OP上，所以设点Q(λ，λ，2λ)，则＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－．当λ＝时，·取得最小值－．此时＝．

考向2　空间数量积的应用

如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°．

(1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

(3)求证：AA1⊥BD．

(1)解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1．

因为＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，

所以||＝|a＋b＋c|＝＝＝＝．

所以线段AC1的长为．

(2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝．

因为＝a＋b＋c，＝b－c，

所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

||＝＝＝＝，

所以cos θ＝＝＝，

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为．

(3)证明：因为＝c，＝b－a，所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，

所以⊥，所以AA1⊥BD．

空间向量数量积的两个应用

在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A．－1   B．0 

C．1   D．不确定

B　解析：如图，令＝a，＝b，＝c，则·＋·＋·＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0．