06 衡水中学高一数学预习知识点——指数及指数函数

衡水中学高一数学预习知识点——指数及指数函数

一、 知识点讲解

（一）指数与指数幂的运算

1.整数指数幂的概念及运算法则

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

2.根式的概念和运算法则

（1）n次方根的定义：

若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根.

n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为；

n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为.

（2）两个等式

①当且时，；

②

3.分数指数幂的概念和运算法则

为避免讨论，我们约定a>0，n，mN*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义：

4.有理数指数幂的运算

1．有理数指数幂的运算性质

(1)

(2)

(3)

当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用.

（二）指数函数及其性质

1.指数函数的概念：

函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R.

2.指数函数的图象及性质：

（三）指数式大小比较方法

1.单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较.

2.中间量法

3.分类讨论法

4.比较法：有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若；；；

②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断，或即可．

二、 经典例题

1.已知+1=a,化简()2++=　　　　. 

【解析】由已知+1=a,

即|a-1|=a-1知a≥1.

所以原式=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1.

【答案】a-1

2.计算下列各式的值:

(1)1.×(-)0+80.25×+(×)6-;

(2)÷÷.

解:(1)原式=()×1+(23×+(×)6-()=2+4×27=110.

(2)原式=÷÷=÷÷=÷÷(a-2=÷==.

3.函数y=()的值域是　　　　. 

【解析】由≥0且y=()x是减函数,知0<y=()≤()0=1.

【答案】(0,1]

4.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是(　　)

(A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1)

(C)f(-4)<f(1) (D)不能确定

【解析】因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),

所以a>1.

由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1)。

【答案】A