02 衡水中学高一数学预习知识点——集合的运算

衡水中学高一数学预习知识点——集合的运算

一、 知识点讲解

（一）集合间的基本关系

1. 包含关系

（1）子集：任意x∈A,都有x∈B,则称集合A是集合B的子集。

记作A⊆B(或B⊇A)，读作A含于B或B包含A。

【规定】任何一个集合是它本身的子集。对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.

（2）真子集：若集合A⊆B，存在元素x∈B且x∉A，则称集合A是集合B的真子集。

记作AB或BA

2. 相等关系

如果集合A是集合B的子集(A⊆B),且集合B是集合A的子集(B⊆A),此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B.

3. 空集

我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.

【规定】空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（二）集合的基本运算

1. 交集

(1)定义:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,叫作A与B的交集.

(2)符号表示:A与B的交集记作A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

(3)交集的运算性质：A∩B=B∩A; A∩A=A; A∩∅=∅.

2. 并集

(1)定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作A与B的并集.

(2)符号表示:A与B的并集记作A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

(3)并集的运算性质：A∪B=B∪A; A∪A=A; A∪∅=A.

3. 全集、补集

(1)  全集：一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.通常记作U.

(2)  补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,记作∁UA.

二、 经典例题

1.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是(　　)

(A)A∈B (B)AB (C)A∉B (D)A=B

【解析】因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B.

【答案】D

2.设集合A={(x,y)|x+y=1},B={(x,y)|2x-y=-4},则A∩B等于(　　)

(A){x=-1,y=2}  (B)(-1,2) 

(C){-1,2}     (D){(-1,2)}

【解析】由得所以A∩B={(-1,2)}

【答案】D

3.已知集合A={4,5,2},B={4,m},若A∪B=A,则m=　　　　. 

【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A.

又A={4,5,2},B={4,m}，所以m=5或m=2.

由m=2知m=0或m=4.

当m=4时与集合中元素的互异性矛盾,故m=0或5.

【答案】0或5

4.已知全集S={x∈N+|-2<x<9},M={3,4,5},P={1,3,6},那么{2,7,8}是(　D　)

(A)M∪P         (B)M∩P

(C)(∁SM)∪(∁SP) (D)(∁SM)∩(∁SP)

【解析】因为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以∁SM={1,2,6,7,8},∁SP={2,4,5,7,8}

所以(∁SM)∩(∁SP)={2,7,8}.

【答案】D