2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）开学数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市海淀区首都师大附中七年级（下）开学数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．|﹣|的相反数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.72×105 B．7.2×105 C．7.2×104 D．72×103
3．下列计算正确的是（　　）
A．m2n﹣2m2n＝﹣m2n B．3x2y﹣x2y＝2
C．2m3+3m2＝5m5 D．2m3﹣3m2＝﹣m
4．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（　　）

A．a+b＜0 B．a+c＜0 C．ab＜0 D．＜0
5．如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
6．关于x的方程3x﹣5＝4a与x+1＝a有相同的解，则a的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9
7．下列等式的变形，错误的是（　　）
A．若a2＝5a，则a＝5 B．若x+y＝2y，则x＝y
C．若a＝b，则 D．若a＝b，则＝
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
9． 将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C1，图2中阴影部分的周长为C2，则C1﹣C2的值（　　）

A．0 B．a﹣b C．2a﹣2b D．2b﹣2a
10．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．比较大小：﹣3　 　﹣2.1（填“＞”，“＜”或“＝”）．
12．在如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　 　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．

13．若3a2﹣a﹣2＝0，则5+2a﹣6a2＝　 　．
14．一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是　 　度．
15．对于有理数a，b定义运算“*”如下：a*b＝b，则关于该运算，下列说法正确的有　 　（请填写正确说法的序号）
①5*7＝9*7
②如果a*b＝b*a，那么a＝b
③该运算满足交换律
④该运算满足结合律，
16．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点B与点B′重合，点A恰好落BC边上的点A′的位置，若∠1＝55°，则∠DEA'的度数为　 　．

17．已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC＝AB，若M，N分别为AB，BC的中点，则MN＝　 　．（用含a的式子表示）
18．如图，数轴上有M，N两点和一条线段PQ，我们规定：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中线对称”．

已知点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段OB“中线对称”，则x的最大值为 　 　．

三、解答题（共46分）
19．（1）计算：﹣7+（﹣3）2﹣（﹣28）÷7；
（2）解方程：．
20．已知3a﹣b＝﹣2，求代数式的值．
21．已知关于x的整式A＝3x+mx+1，B＝nx2+3x+2m（m，n为常数）．
（1）若整式A+B的取值与x无关，求m﹣n的值；
（2）若当x＝0或1时，A与B所对应的值分别相等，试求m，n的值．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，CD⊥OF，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝70°，求∠EOF的度数；
（2）若∠EOF＝α，请直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）．

23．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“相反方程”．
（1）若关于x的方程①：5x﹣p+2＝0的解是x＝2，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是 　 　；
（2）若关于x的方程2x﹣b+1＝0与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值；
（3）若关于x的方程kx+k＝0与2m（4x﹣1）+2＝﹣7nx互为“相反方程”，直接写出代数式的值．
24．若两个角的差的绝对值等于90°，则称这两个角互为“垂角”．例如：
∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1与∠2互为“垂角”（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
（1）已知一个角比它的“垂角”的少20°，求这个角的度数；
（2）如图所示，∠AOB＝120°，∠BOC＝45°，是否存在射线OD，使得∠AOD与∠COD互为“垂角”？若存在，直接写出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．

25．有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，将r1称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为r2；
④如此继续构成第3组（余差为r3）、第4组（余差为r4）、…，第m组（余差为rm），直到把这些数全部分完为止．
（1）除第m组外的每组至少含有 　 　个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足r1≤r2≤…≤rm，并且当构成第n（n＜m）组后，如果从余下的数中任意选出一个数a，a与rn的大小关系是一定的，请你直接写出结论：a　 　rn（填“＞”或“＜”），并证明150﹣rn﹣1＜；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成 　 　组（直接写出答案）．


参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．|﹣|的相反数是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
解：|﹣|的相反数是﹣|﹣|＝﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（　　）

A．0.72×105 B．7.2×105 C．7.2×104 D．72×103
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．
解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．
故选：B．
【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．
3．下列计算正确的是（　　）
A．m2n﹣2m2n＝﹣m2n B．3x2y﹣x2y＝2
C．2m3+3m2＝5m5 D．2m3﹣3m2＝﹣m
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．据此解答即可．
解：A．m2n﹣2m2n＝﹣m2n，故本选项符合题意；
B．3x2y﹣x2y＝2x2y，故本选项不符合题意；
C．2m3与3m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
D．2m3与﹣3m2不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
4．有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|＝|c|，则下列结论错误的是（　　）

A．a+b＜0 B．a+c＜0 C．ab＜0 D．＜0
【分析】根据|b|＝|c|，可得a＜b＜0＜c，再根据有理数的减法和乘除法法则判断即可．
解：∵|b|＝|c|，
∴a＜b＜0＜c，|a|＞|c|，
∴a+b＜0，故选项A不合题意；
a+c＜0，故选项B不合题意；
ab＞0，故选项C符合题意；
，故选项D不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，有理数的加法以及有理数的乘除法，根据题意得出a＜b＜0＜c，|a|＞|c|是解答本题的关键．
5．如图，E是直线CA上一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF．则∠GEB＝（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°
【分析】根据平角的定义得到∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，由角平分线的定义可得，由GE⊥EF可得∠GEF＝90°，可得∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，由∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG可得结果．
解：∵∠FEA＝40°，GE⊥EF，
∴∠CEF＝180°﹣∠FEA＝180°﹣40°＝140°，∠CEG＝180°﹣∠AEF﹣∠GEF＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵射线EB平分∠CEF，
∴，
∴∠GEB＝∠CEB﹣∠CEG＝70°﹣50°＝20°，
故选：B．
【点评】本题考查的是角平分线定义，补角的相关知识，熟练掌握角平分线的性质是解答此题的关键．
6．关于x的方程3x﹣5＝4a与x+1＝a有相同的解，则a的值是（　　）
A．8 B．﹣8 C．﹣9 D．9
【分析】分别解两个方程，令其解（含x）相等，再解关于未知系数a的方程即可．
解：解方程3x﹣5＝4a得，，
解方程x+1＝a得，x＝a﹣1，
∵3x﹣5＝4a与x+1＝a是同解方程，
∴，
解得a＝﹣8．
故选：B．
【点评】本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
7．下列等式的变形，错误的是（　　）
A．若a2＝5a，则a＝5 B．若x+y＝2y，则x＝y
C．若a＝b，则 D．若a＝b，则＝
【分析】根据等式的性质解决此题．
解：A根据等式的性质，由．a2＝5a，则a＝5或0，那么A错误，故A符合题意．
B．根据等式的性质，由x+y＝2y，则x＝y，那么B正确，故B不符合题意．
C．根据等式的性质，由a＝b，则，那么C正确，故C不符合题意．
D．根据等式的性质，由a＝b，则＝，那么D正确，故D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．x＝（x﹣5）﹣5 B．x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【分析】设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，
依题意，得：x＝（x﹣5）﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．将两边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1、图2两种方式置于长方形ABCD中，（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1上中阴影部分的周长为C1，图2中阴影部分的周长为C2，则C1﹣C2的值（　　）
A．0 B．a﹣b C．2a﹣2b D．2b﹣2a
【分析】根据周长的计算公式，列式子计算解答．
解：由题意知：C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a，
因为四边形ABCD是长方形，
所以AB＝CD
∴C1＝AD+CD﹣b+AD﹣a+a﹣b+a+AB﹣a＝2AD+2AB﹣2b，
同理，C2＝AD﹣b+AB﹣a+a﹣b+a+BC﹣a+AB＝2AD+2AB﹣2b，
故C1﹣C2＝0．
故选：A．
【点评】此题主要考查了整式的加减，掌握整式的加减的法则是解题的关键．
10．如图，河道l的一侧有A、B两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向A、B两村，下列四种方案中最节省材料的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：

故选：B．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．比较大小：﹣3　＜　﹣2.1（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】直接根据负数比较大小的法则进行比较即可．
解：∵|﹣3|＞|﹣2.1|，
∴﹣3＜﹣2.1，
故答案为：＜．
【点评】本题考查的是有理数大小，熟知以下知识是解答此题的关键：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数相比较，绝对值大的反而小．
12．在如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　＜　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．

【分析】通过图示解决此题．
解：由图可知，∠AOC＜∠BOD．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查角的大小比较，熟练掌握角的大小比较的方法是解决本题的关键．
13．若3a2﹣a﹣2＝0，则5+2a﹣6a2＝　1　．
【分析】先观察3a2﹣a﹣2＝0，找出与代数式5+2a﹣6a2之间的内在联系后，代入求值．
解：∵3a2﹣a﹣2＝0，∴3a2﹣a＝2，
∴5+2a﹣6a2＝5﹣2（3a2﹣a）＝5﹣2×2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了代数式求值问题．代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，把所求的代数式变形整理出题设中的形式，利用“整体代入法”求代数式的值．
14．一个角的补角是这个角余角的3倍，则这个角是　45　度．
【分析】设这个角为x，根据余角和补角的概念、结合题意列出方程，解方程即可．
解：设这个角为x，
由题意得，180°﹣x＝3（90°﹣x），
解得x＝45°，
则这个角是45°，
故答案为：45．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为90°，则这两个角互余；若两个角的和等于180°，则这两个角互补．
15．对于有理数a，b定义运算“*”如下：a*b＝b，则关于该运算，下列说法正确的有　①②④　（请填写正确说法的序号）
①5*7＝9*7
②如果a*b＝b*a，那么a＝b
③该运算满足交换律
④该运算满足结合律，
【分析】根据对于有理数a，b定义运算“*”如下：a*b＝b，可以判断各个小题中的结论是否成立．
解：∵对于有理数a，b定义运算“*”如下：a*b＝b，
∴5*7＝7，9*7＝7，
∴5*7＝9*7，故①正确，
∵a*b＝b，b*a＝a，a*b＝b*a，
∴a＝b，故②正确，
当a≠b时，则a*b≠b*a，故③错误，
∵（a*b）*c＝b*c＝c，a*（b*c）＝a*c＝c，
∴（a*b）*c＝a*（b*c），故④正确，
故答案为：①②④．
【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个小题中的结论是否正确．
16．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点B与点B′重合，点A恰好落BC边上的点A′的位置，若∠1＝55°，则∠DEA'的度数为　70°　．

【分析】根据折叠可得EF是∠AEA′的平分线，再利用平角定义即可求解．
解：由折叠可知：
EF是∠AEA′的平分线，
∴∠1＝∠FEA′＝55°，
∴∠DEA′＝180°﹣2∠1＝70°．
故答案为70°．
【点评】本题考查了折叠问题、角平分线定义、角的计算，解决本题的关键是掌握角平分线定义．
17．已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC＝AB，若M，N分别为AB，BC的中点，则MN＝　a或a　．（用含a的式子表示）
【分析】分两种情况进行讨论，先画图来确定C、A、B三点的位置，然后根据这三点的位置来确定MN的长．
解：如图，当点C在线段AB上时，

∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝AB，BN＝BC，
又∵AB＝a，BC＝AB＝a，
∴MN＝BM﹣BN＝a﹣a＝a；
当点C在线段AB的延长线上时，

∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM＝AB，BN＝BC，
又∵AB＝a，BC＝AB＝a，
∴MN＝BM+BN＝a+a＝a．
故答案为：a或a．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度．
18．如图，数轴上有M，N两点和一条线段PQ，我们规定：若线段MN的中点R在线段PQ上（点R能与点P或点Q重合），则称点M与点N关于线段PQ“中线对称”．

已知点O为数轴的原点，点A表示的数为﹣2，点B表示的数为4，点C表示的数为x，若点A与点C关于线段OB“中线对称”，则x的最大值为 　10　．

【分析】读懂题意，利用题目给的新定义“中线对称”计算x的值．
解：根据题意可知当点A与点C关于线段OB“中线对称”，点B为对称点时，x的值最大，
∴AB＝2+4＝6，
∴BC＝6，
∴x的值为4+6＝10，

故答案为：10．
【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．
三、解答题（共46分）
19．（1）计算：﹣7+（﹣3）2﹣（﹣28）÷7；
（2）解方程：．
【分析】（1）首先计算乘方，然后计算除法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可．
解：（1）﹣7+（﹣3）2﹣（﹣28）÷7
＝﹣7+9﹣（﹣4）
＝2+4
＝6．

（2）去分母，可得：3（3y﹣1）＝12+2（5y﹣7），
去括号，可得：9y﹣3＝12+10y﹣14，
移项，可得：9y﹣10y＝12﹣14+3，
合并同类项，可得：﹣y＝1，
系数化为1，可得：y＝﹣1．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
20．已知3a﹣b＝﹣2，求代数式的值．
【分析】直接去括号，再合并同类项，再把已知数据代入得出答案．
解：原式＝6ab2﹣16a+3b﹣6ab2+4a+b
＝﹣12a+4b，
∵3a﹣b＝﹣2，
∴原式＝﹣4（3a﹣b）
＝﹣4×（﹣2）
＝8．
【点评】此题主要考查了整式的加减—化简求值，正确合并同类项是解题关键．
21．已知关于x的整式A＝3x+mx+1，B＝nx2+3x+2m（m，n为常数）．
（1）若整式A+B的取值与x无关，求m﹣n的值；
（2）若当x＝0或1时，A与B所对应的值分别相等，试求m，n的值．
【分析】（1）利用整式的加减法的法则进行运算，再结合条件求得m，n的值，再代入运算即可；
（2）把相应的值代入，得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可．
解：（1）∵A＝3x+mx+1，B＝nx2+3x+2m，
∴A+B
＝3x+mx+1+nx2+3x+2m
＝nx2+（6+m）x+2m+1，
∵其值与x无关，
∴n＝0，6+m＝0，
解得：n＝0，m＝﹣6，
∴m﹣n＝﹣6﹣0＝﹣6；
（2）当x＝0或1时，得：
，
解得：．
【点评】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
22．如图，直线AB、CD相交于点O，CD⊥OF，OE平分∠BOD．
（1）若∠AOC＝70°，求∠EOF的度数；
（2）若∠EOF＝α，请直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）．

【分析】（1））由垂直的性质得到∠DOF＝90°，由对顶角的性质得到∠BOD＝∠AOC＝70°，由角平分线定义得到∠DOE的度数，即可求出∠EOF的度数；
（2）由角平分线的定义得到∠BOD＝180°﹣2α，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝180°﹣2α．
【解答】解；（1）∵CD⊥OF，
∴∠DOF＝90°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE＝∠BOD，
∵∠BOD＝∠AOC＝70°，
∴∠DOE＝35°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠DOE＝55°；
（2）∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE，
∵∠DOE＝∠DOF﹣∠EOF＝90°﹣α，
∴∠BOD＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝∠BOD＝180°﹣2α．
【点评】本题考查垂线，角平分线的定义，对顶角的性质，关键是掌握垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质．
23．定义：关于x的方程ax﹣b＝0与方程bx﹣a＝0（a，b均为不等于0的常数）称互为“相反方程”．例如：方程2x﹣1＝0与方程x﹣2＝0互为“相反方程”．
（1）若关于x的方程①：5x﹣p+2＝0的解是x＝2，则与方程①互为“相反方程”的方程的解是 　　；
（2）若关于x的方程2x﹣b+1＝0与其“相反方程”的解都是整数，求整数b的值；
（3）若关于x的方程kx+k＝0与2m（4x﹣1）+2＝﹣7nx互为“相反方程”，直接写出代数式的值．
【分析】（1）先将x＝2代入方程①，求出p的值，再根据“相反方程”的定义得出方程①的“相反方程”，解方程即可；
（2）先分别求出方程2x﹣b+1＝0与其“相反方程”的解，再根据两个方程的解均为整数，可得与都为整数，由此可得整数b的值；
（3）先根据“相反方程”的定义得出10m+7n＝2，再将化简变形为﹣（10m+7n）+2，然后代入计算即可．
解：（1）∵关于x的方程①：5x﹣p+2＝0的解是x＝2，
∴10﹣p+2＝0，
∴p＝12，
∴方程①为5x﹣10＝0，
∴方程①的“相反方程”是10x﹣5＝0，
解得x＝．
故答案为：；
（2）关于x的方程2x﹣b+1＝0的“相反方程”为（1﹣b）x+2＝0，
由2x﹣b+1＝0得x＝，
由（1﹣b）x+2＝0得x＝，
∵关于x的方程2x﹣b+1＝0与其“相反方程”的解都是整数，
∴与都为整数，
又∵b为整数，
∴b﹣1＝±1，±2，
∴当b﹣1＝1时，b＝2；
当b﹣1＝﹣1时，b＝0；
当b﹣1＝2时，b＝3；
当b﹣1＝﹣2时，b＝﹣1．
综上所述，整数b的值为﹣1，0，2，3；
（3）将方程2m（4x﹣1）+2＝﹣7nx整理得，（8m+7n）x﹣2m+2＝0，
∵关于x的方程kx+k＝0与2m（4x﹣1）+2＝﹣7nx互为“相反方程”，
∴k＝﹣2m+2，k＝8m+7n，
∴﹣2m+2＝8m+7n，
∴10m+7n＝2，
∴
＝m﹣n﹣（6m﹣2+3n）
＝m﹣n﹣6m+2﹣3n
＝﹣5m﹣n+2
＝﹣（10m+7n）+2
＝﹣×2+2
＝﹣1+2
＝1．
【点评】此题考查的是新定义，一元一次方程的解，正确理解互为“相反方程”的定义是解决此题的关键．
24．若两个角的差的绝对值等于90°，则称这两个角互为“垂角”．例如：
∠1＝120°，∠2＝30°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1与∠2互为“垂角”（本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角）．
（1）已知一个角比它的“垂角”的少20°，求这个角的度数；
（2）如图所示，∠AOB＝120°，∠BOC＝45°，是否存在射线OD，使得∠AOD与∠COD互为“垂角”？若存在，直接写出∠BOD的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据“垂角”定义和给定的关系列方程组解答即可；
（2）分两种情况，利用“垂角”定义，再根据图形和已知条件中∠AOD与∠COD和的关系列方程组解答即可．
解：（1）设这个角为x°，它的垂角为y°，
根据题意，得
解得
故这个角的度数为50°；
（2）∠BOD的度数为：7.5°或82.5°或97.5°．
理由如下：
分两种情况：
①OD在∠AOC的内部时，
有
解得∠COD＝37.5°或∠COD＝127.5°，
∴∠BOD＝∠BOC﹣∠COD＝45°﹣37.5°＝7.5°，
或∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝127.5°﹣45°＝82.5°；
②OD在∠AOC外部时，

解得∠COD＝52.5°或∠COD＝142.5°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+52.5°＝97.5°，
或∠BOD＝∠BOC+∠COD＝45°+142.5°＝187.5°＞180°（舍去），
故∠BOD的度数为：7.5°或82.5°或97.5°．
【点评】本题考查新定义下角的和差倍分计算，解答时运用到二元一次方程组组的解法，理解“垂角”的含义是解题的关键．
25．有若干个正数的和为1275，其中每个正数都不大于50．小明将这些正数按下列要求进行分组：
①每组中所有数的和不大于150；
②从这些数中选择一些数构成第1组，使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其它选择相比是最小的，将r1称为第1组的余差；
③在去掉已选入第1组的数后，对余下的数按第1组的选择方式构成第2组，这时的余差为r2；
④如此继续构成第3组（余差为r3）、第4组（余差为r4）、…，第m组（余差为rm），直到把这些数全部分完为止．
（1）除第m组外的每组至少含有 　3　个正数；
（2）小明发现，按照要求进行分组后，得到的余差满足r1≤r2≤…≤rm，并且当构成第n（n＜m）组后，如果从余下的数中任意选出一个数a，a与rn的大小关系是一定的，请你直接写出结论：a　＞　rn（填“＞”或“＜”），并证明150﹣rn﹣1＜；
（3）无论满足条件的正数有多少个，按照分组要求，它们最多可以分成 　11　组（直接写出答案）．
【分析】（1）由题意可得r1≤r2≤…≤rm，则r1≥0，当r1＝0时，可知每组至少3个数；
（2）根据题意可知，余下的每一个数都大于rn，余下的数的和一定大于rn，第一组数的和为150﹣r1，第二组数的和为150﹣r2，……，第n﹣1组数的和为150﹣rn﹣1，第n组数的和为150﹣rn，则1275﹣（150﹣r1）﹣（150﹣r2）﹣…﹣（150﹣rn﹣1）﹣（150﹣rn）＞rn，再由r1≤r2≤…≤rn﹣1，根据不等式的性质可得（n﹣1）rn﹣1≥r1+r2+…+rn﹣1，得到（n﹣1）rn﹣1＞150n（n﹣1）+150﹣1275，即可证明；
（3）由（2）知，rn﹣1＞，设最多可以分成x组，则第x组后还有数没有分完，根据余下的每个数＞rx≥rx﹣1＞，每一组至少含有3个数，则第x组的数的和大于×3，即可得到rx＜150﹣×3，再由150﹣×3≥，求出n≤11，即可求解．
解：（1）由题意可得r1≤r2≤…≤rm，
∵每组中所有数的和不大于150，
∴r1≥0，
∴每组至少有150÷50＝3个数，
故答案为：3；
（2）∵n＜m，
∴分完n组后还有数没有分，
∴余下的每一个数都大于rn，余下的数的和一定大于rn，
∵第一组数的和为150﹣r1，第二组数的和为150﹣r2，……，第n﹣1组数的和为150﹣rn﹣1，第n组数的和为150﹣rn，
∴1275﹣（150﹣r1）﹣（150﹣r2）﹣…﹣（150﹣rn﹣1）﹣（150﹣rn）＞rn，
∴1275﹣150n+（r1+r2+…+rn）＞rn，
∴r1+r2+…+rn﹣1＞150n﹣1275，
∵r1≤r2≤…≤rn﹣1，
∴（n﹣1）rn﹣1≥r1+r2+…+rn﹣1，
∴（n﹣1）rn﹣1＞150n（n﹣1）+150﹣1275，
∴150﹣rn﹣1＜；
（3）由（2）知，rn﹣1＞，
设最多可以分成x组，则第x组后还有数没有分完，
∴余下的每一个数都大于rx，且rx≥rx﹣1，
∴余下的每个数＞rx≥rx﹣1＞，
∵每一组至少含有3个数，
∴第x组的数的和大于×3，
∴rx＜150﹣×3，
∴150﹣×3≥，
∴n≤11，
∴最多可以分11组，
故答案为：11．
【点评】本题考查数字的变化规律，弄清条件，结合不等式的性质，适当的放缩不等式是解题的关键．