2021-2022学年北京市海淀区首都师大附中中考数学四模试卷含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价180元增加x元，则有（　　）

A．（x﹣20）（50﹣）＝10890 B．x（50﹣）﹣50×20＝10890

C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890

2．下列运算结果正确的是（　　）

A．3a﹣a=2    B．（a﹣b）2=a2﹣b2

C．a（a+b）=a2+b    D．6ab2÷2ab=3b

3．如图，直线AB∥CD，AE平分∠CAB，AE与CD相交于点E，∠ACD=40°，则∠DEA=（　　）

A．40° B．110° C．70° D．140°

4．下面调查方式中，合适的是（　　）

A．调查你所在班级同学的体重，采用抽样调查方式

B．调查乌金塘水库的水质情况，采用抽样调査的方式

C．调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，采用普查的方式

D．要了解全市初中学生的业余爱好，采用普查的方式

5．如图，与∠1是内错角的是( )

A．∠2    B．∠3

C．∠4    D．∠5

6．某运动会颁奖台如图所示，它的主视图是(　 　)

A． B． C． D．

7．如图，△ABC纸片中，∠A＝56,∠C＝88°．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD．则∠BDE的度数为（    ）

A．76° B．74° C．72° D．70°

8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分周长和是（    ）

A． B． C． D．

9．甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（ ）的概率最大．

A．3 B．4 C．5 D．6

10．我们从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，则从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的是（　　）

A． B． C． D．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200m，则A，B间的距离为_____m．

12．已知平面直角坐标系中的点A （2，﹣4）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为_____

13．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是        ．

14．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：

已知：求作：的内切圆．

小明的作法如下：如图2，

作，的平分线BE和CF，两线相交于点O；

过点O作，垂足为点D； 

点O为圆心，OD长为半径作所以，即为所求作的圆．

请回答：该尺规作图的依据是______．

15．关于x的不等式组有2个整数解，则a的取值范围是____________.

16．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是________．

17．不等式组的解集为________.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）嘉淇在做家庭作业时，不小心将墨汁弄倒，恰好覆盖了题目的一部分：计算：（﹣7）0+|1﹣|+（）﹣1﹣□+（﹣1）2018，经询问，王老师告诉题目的正确答案是1．

（1）求被覆盖的这个数是多少？

（2）若这个数恰好等于2tan（α﹣15）°，其中α为三角形一内角，求α的值．

19．（5分）解方程（2x+1）2=3（2x+1）

20．（8分）如图，在平面直角坐标xOy中，正比例函数y＝kx的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（2，﹣2）．

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于点B，与反比例函数图象在第四象限内的交点为C，连接AB，AC，求点C的坐标及△ABC的面积．

21．（10分）先化简代数式，再从－2，2，0三个数中选一个恰当的数作为a的值代入求值．

22．（10分）正方形ABCD中，点P为直线AB上一个动点（不与点A，B重合），连接DP，将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N．

问题出现：（1）当点P在线段AB上时，如图1，线段AD，AP，DM之间的数量关系为　   　；

题探究：（2）①当点P在线段BA的延长线上时，如图2，线段AD，AP，DM之间的数量关系为　   　；

②当点P在线段AB的延长线上时，如图3，请写出线段AD，AP，DM之间的数量关系并证明；

问题拓展：（3）在（1）（2）的条件下，若AP=，∠DEM=15°，则DM=　   　．

23．（12分）如图，二次函数y＝﹣+mx+4﹣m的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与），轴交于点C．抛物线的对称轴是直线x＝﹣2，D是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当﹣＜x＜1时，请求出y的取值范围；

（3）连接AD，线段OC上有一点E，点E关于直线x＝﹣2的对称点E'恰好在线段AD上，求点E的坐标．

24．（14分）甲乙两名同学做摸球游戏，他们把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中．求从袋中随机摸出一球，标号是1的概率；从袋中随机摸出一球后放回，摇匀后再随机摸出一球，若两次摸出的球的标号之和为偶数时，则甲胜；若两次摸出的球的标号之和为奇数时，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由．

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解析】
设房价比定价180元増加x元,根据利润=房价的净利润×入住的房同数可得.

【详解】

解：设房价比定价180元增加x元，

根据题意，得（180+x﹣20）（50﹣）＝1．

故选：C．

【点睛】

此题考查一元二次方程的应用问题，主要在于找到等量关系求解.

2、D

【解析】
各项计算得到结果，即可作出判断．

【详解】

解：A、原式=2a，不符合题意；
B、原式=a2-2ab+b2，不符合题意；
C、原式=a2+ab，不符合题意;

D、原式=3b，符合题意；
故选D

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3、B

【解析】
先由平行线性质得出∠ACD与∠BAC互补，并根据已知∠ACD=40°计算出∠BAC的度数，再根据角平分线性质求出∠BAE的度数，进而得到∠DEA的度数．

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠ACD+∠BAC=180°，

∵∠ACD=40°，

∴∠BAC=180°﹣40°=140°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠BAE=∠BAC=×140°=70°，

∴∠DEA=180°﹣∠BAE=110°，

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．

4、B

【解析】
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．

【详解】

A、调查你所在班级同学的体重，采用普查，故A不符合题意；

B、调查乌金塘水库的水质情况，无法普查，采用抽样调査的方式，故B符合题意；

C、调查《CBA联赛》栏目在我市的收视率，调查范围广适合抽样调查，故C不符合题意；

D、要了解全市初中学生的业余爱好，调查范围广适合抽样调查，故D不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．

5、B

【解析】

由内错角定义选B.

6、C

【解析】
从正面看到的图形如图所示：

，

故选C．

7、B

【解析】
直接利用三角形内角和定理得出∠ABC的度数，再利用翻折变换的性质得出∠BDE的度数．

【详解】

解：∵∠A=56°，∠C=88°，
∴∠ABC=180°-56°-88°=36°，
∵沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴∠CBD=∠DBE=18°，∠C=∠DEB=88°，
∴∠BDE=180°-18°-88°=74°．
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了三角形内角和定理，正确掌握三角形内角和定理是解题关键．

8、D

【解析】
根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．

【详解】

解：设小长方形卡片的长为x，宽为y，

根据题意得：x+2y=a，

则图②中两块阴影部分周长和是：

2a+2（b-2y）+2（b-x）

=2a+4b-4y-2x

=2a+4b-2（x+2y）

=2a+4b-2a

=4b．

故选择：D.

【点睛】

此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

9、C

【解析】

解：甲和乙盒中1个小球任意摸出一球编号为1、2、3、1的概率各为，

其中得到的编号相加后得到的值为{2，3，1，5，6，7，8}

和为2的只有1+1；

和为3的有1+2；2+1；

和为1的有1+3；2+2；3+1；

和为5的有1+1；2+3；3+2；1+1；

和为6的有2+1；1+2；

和为7的有3+1；1+3；

和为8的有1+1．

故p（5）最大，故选C．

10、C

【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依此找到从正面、左面、上面观察都不可能看到矩形的图形．

【详解】

A、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为圆，故本选项错误；

B、主视图为长方形，左视图为长方形，俯视图为长方形，故本选项错误；

C、主视图为等腰梯形，左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，从正面、左面、上面观察都不可能看到长方形，故本选项正确；

D、主视图为三角形，左视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，故本选项错误．

故选C．

【点睛】

本题重点考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力，关键是根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、1

【解析】
∵AM=AC，BN=BC，∴AB是△ABC的中位线，

∴AB=MN=1m，

故答案为1．

12、（﹣2，4）

【解析】
根据点P(x,y)关于原点对称的点为（-x,-y）即可得解．

【详解】

解：∵点A （2，-4）与点B关于原点中心对称，
∴点B的坐标为：（-2，4）．
故答案为：（-2，4）．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

13、9

【解析】

解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9

14、到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【解析】
根据三角形的内切圆，三角形的内心的定义，角平分线的性质即可解答.

【详解】

解：该尺规作图的依据是到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

故答案为到角两边距离相等的点在角平分线上；两点确定一条直线；角平分上的点到角两边的距离相等；圆的定义；经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

【点睛】

此题主要考查了复杂作图，三角形的内切圆与内心，关键是掌握角平分线的性质．

15、8⩽a<13；

【解析】
首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．

【详解】

解不等式3x−5>1，得：x>2，

解不等式5x−a⩽12,得：x⩽ ，

∵不等式组有2个整数解，

∴其整数解为3和4，

则4⩽<5，

解得：8⩽a<13，

故答案为：8⩽a<13

【点睛】

此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键

16、

【解析】
通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2-代入计算即可．

【详解】

设方程的另一根为x1，

又∵x=2-，由根与系数关系，得x1+2-=4，解得x1=2+．

故答案为：

【点睛】

解决此类题目时要认真审题，确定好各系数的数值与正负，然后适当选择一个根与系数的关系式求解．

17、x>1

【解析】
分别求出两个不等式的解集，再求其公共解集．

【详解】

，

解不等式①，得：x>1，

解不等式②，得：x＞-3，

所以不等式组的解集为：x>1，

故答案为：x>1．

【点睛】

本题考查一元一次不等式组的解法，属于基础题．求不等式组的解集，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）2；（2）α＝75°．

【解析】
（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案；

（2）直接利用特殊角的三角函数值计算得出答案．

【详解】

解：（1）原式＝1+﹣1+﹣□+1＝1，

∴□＝1+﹣1++1﹣1＝2；

（2）∵α为三角形一内角，

∴0°＜α＜180°，

∴﹣15°＜（α﹣15）°＜165°，

∵2tan（α﹣15）°＝，

∴α﹣15°＝60°，

∴α＝75°．

【点睛】

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

19、x1=-，x2=1

【解析】

试题分析：分解因式得出（2x+1）（2x+1﹣3）=0，推出方程2x+1=0，2x+1﹣3=0，求出方程的解即可．

试题解析：解：整理得：（2x+1）2－3（2x+1）=0，分解因式得：（2x+1）（2x+1﹣3）=0，即2x+1=0，2x+1﹣3=0，解得：x1=﹣，x2=1．

点睛：本题考查了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，解答此题的关键是把一元二次方程转化成解一元一次方程，题目比较典型，难度不大．

20、（1）反比例函数表达式为，正比例函数表达式为；

（2），.

【解析】

试题分析：（1）将点A坐标（2，-2）分别代入y=kx、y=求得k、m的值即可；（2）由题意得平移后直线解析式，即可知点B坐标，联立方程组求解可得第四象限内的交点C得坐标，可将△ABC的面积转化为△OBC的面积．

试题解析：（）把代入反比例函数表达式，

得，解得，

∴反比例函数表达式为，

把代入正比例函数，

得，解得，

∴正比例函数表达式为．

（）直线由直线向上平移个单位所得，

∴直线的表达式为，

由，解得或，

∵在第四象限，

∴，

连接，

∵，

，

，

．

21、，2

【解析】

试题分析：首先将括号里面的进行通分，然后将除法改成乘法进行分式的化简，选择a的值时，不能使原分式没有意义，即a不能取2和－2.

试题解析：原式=·=

当a=0时，原式==2.

考点：分式的化简求值.

22、 (1) DM=AD+AP ;(2) ①DM=AD﹣AP ; ②DM=AP﹣AD ;(3) 3﹣或﹣1．

【解析】
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

（2）①根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

②根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出△ADP≌△PFN，进而解答即可；

（3）分两种情况利用勾股定理和三角函数解答即可．

【详解】

（1）DM=AD+AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP与△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=AP+PN=AD+AP；

（2）①DM=AD﹣AP，理由如下：

∵正方形ABCD，

∴DC=AB，∠DAP=90°，

∵将DP绕点P旋转90°得到EP，连接DE，过点E作CD的垂线，交射线DC于M，交射线AB于N，

∴DP=PE，∠PNE=90°，∠DPE=90°，

∵∠ADP+∠DPA=90°，∠DPA+∠EPN=90°，

∴∠DAP=∠EPN，

在△ADP与△NPE中，

，

∴△ADP≌△NPE（AAS），

∴AD=PN，AP=EN，

∴AN=DM=PN﹣AP=AD﹣AP；

②DM=AP﹣AD，理由如下：

∵∠DAP+∠EPN=90°，∠EPN+∠PEN=90°，

∴∠DAP=∠PEN，

又∵∠A=∠PNE=90°，DP=PE，

∴△DAP≌△PEN，

∴AD=PN，

∴DM=AN=AP﹣PN=AP﹣AD；

（3）有两种情况，如图2，DM=3﹣，如图3，DM=﹣1；

①如图2：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD==3，

∴DM=AD﹣AP=3﹣；

②如图3：∵∠DEM=15°，

∴∠PDA=∠PDE﹣∠ADE=45°﹣15°=30°，

在Rt△PAD中AP=，AD=AP•tan30°==1，

∴DM=AP﹣AD=﹣1．

故答案为；DM=AD+AP；DM=AD﹣AP；3﹣或﹣1．

【点睛】

此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质全等三角形的判定和性质，分类讨论的数学思想解决问题，判断出△ADP≌△PFN是解本题的关键．

23、（1）y=﹣x1﹣1x+6；（1）＜y＜；（3）（0，4）．

【解析】
（1）利用对称轴公式求出m的值，即可确定出解析式；

（1）根据x的范围，利用二次函数的增减性确定出y的范围即可；

（3）根据题意确定出D与A坐标，进而求出直线AD解析式，设出E坐标，利用对称性确定出E坐标即可．

【详解】

（1）∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，即m=﹣1，则二次函数解析式为y=﹣x1﹣1x+6；

（1）当x=﹣时，y=；当x=1时，y=．

∵﹣＜x＜1位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴＜y＜；

（3）当x=﹣1时，y=8，∴顶点D的坐标是（﹣1，8），令y=0，得到：﹣x1﹣1x+6=0，解得：x=﹣6或x=1．

∵点A在点B的左侧，∴点A坐标为（﹣6，0）．

设直线AD解析式为y=kx+b，可得：，解得：，即直线AD解析式为y=1x+11．

设E（0，n），则有E′（﹣4，n），代入y=1x+11中得：n=4，则点E坐标为（0，4）．

【点睛】

本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．

24、（1）；（2）这个游戏不公平，理由见解析.

【解析】
（1）由把三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲胜，乙胜的情况，即可求得求概率，比较大小，即可知这个游戏是否公平．

【详解】

解：（1）由于三个分别标有1，2，3的大小和形状完全相同的小球放在一个不透明的口袋中，

故从袋中随机摸出一球，标号是1的概率为：；

（2）这个游戏不公平．

画树状图得：

∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球的标号之和为偶数的有5种情况，两次摸出的球的标号之和为奇数的有4种情况，

∴P（甲胜）=，P（乙胜）=．

∴P（甲胜）≠P（乙胜），

故这个游戏不公平．

【点睛】

本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．