四川省达州中学2022-2023学年高一数学下学期第三次质量监测试题（Word版附解析）

四川省达州中学高2022级2023春第三次质量监测（数学）试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1. 已知复数满足，则的虚部为（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】计算，确定虚部得到答案.

【详解】，故虚部为.

故选：C

2. 设是平行四边形的对角线的交点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据平行四边形对角线平分及向量加减法计算可得.

【详解】是平行四边形的对角线的交点，则,

所以.

故选：A.

3. 已知，则（    ）

A.  B.  C. - D.

【答案】A

【解析】

【分析】因为，由诱导公式可得选项.

【详解】.

故选：A.

4. 工业生产者出厂价格指数（PPI）反映工业企业产品第一次出售时的出厂价格的变化趋势和变动幅度，对企业的生产发展和国家宏观调控有着重要的影响．下图是我国2022年各月PPI涨跌幅折线图．（注：下图中，月度同比是将上年同月作为基期相比较的增长率；月度环比是将上月作为基期相比较的增长率）

下列说法中，最贴切的一项为（    ）

A. 2021年PPI逐月减小

B. 2022年PPI逐月减小

C. 2022年各月PPI同比涨跌幅的方差小于环比涨跌幅的方差

D. 2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差

【答案】D

【解析】

【分析】由折线图数据，结合同比与环比概念、方差大小与数据波动情况的关系进行辨析即可.

【详解】对于A，由2022年10月，PPI同比为负可知，2021年10月PPI大于2022年10月PPI，

由2022年10月，PPI环比为正可知，2022年10月PPI大于2022年9月PPI，

由2022年9月，PPI同比为正可知，2022年9月PPI大于2021年9月PPI，

故2021年10月PPI大于2021年9月PPI，PPI逐月减小说法不正确，故选项A错误；

对于B，2022年2月、3月等月份，PPI环比均为正，相对于上月有增长，PPI逐月减小说法不正确，故选项B错误；

对于C，2022年PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比环比涨跌幅的数据波动幅度要大，

因此2022年各月PPI同比涨跌幅的方差大于环比涨跌幅的方差，故选项C错误；

对于D，2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度明显比下半年各月PPI同比涨跌幅的数据波动幅度要小，

因此2022年上半年各月PPI同比涨跌幅的方差小于下半年各月PPI同比涨跌幅的方差，故选项D正确.

故选：D.

5. 若，则（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或1

【答案】A

【解析】

【分析】利用二倍角余弦公式及商数关系可得，即可求，最后由和角正切公式求值.

【详解】由，

所以，得，

所以.

故选：A

6. 某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为（    ）

A.  B.  C. 25 D. 30

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意先找出点的轨迹，然后分析轨迹再结合解三角形知识即可求出的最小值.

【详解】如图，因为，所以点在如图所示的圆上，

圆的半径为，

由圆周角的性质可得，，

，

连接，可得（当为与圆的交点时，取等号），

在中，，，，根据余弦定理可知

，所以的最小值为．

故选：B.

7. 下列图像中，符合函数是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案.

【详解】由知，

是奇函数，选项B错误；

， ，所以选项C和选项D错误，选项A正确.

故选：A.

8. 如图，点C是半径为1的扇形圆弧上一点，且，若，则的最大值是（    ）

A. 1 B.  C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】由平面向量数量积的运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可.

【详解】如图所示，以为轴，过作与垂直的线作为轴，

，，，

设，，

时，取得最大值是.

故选：C.

二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合要求．全部选对得5分，有选错或不选得0分，部分选对得2分．

9. 下列能产生的图象的变换是（    ）

A. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

B. 将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

C. 将函数的图象沿轴向左平移3个单位；

D. 将函数的图象沿轴向右平移3个单位．

【答案】AD

【解析】

【分析】根据三角函数图象平移规律逐项判断可得答案.

【详解】对于A：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得函数的图象，故A正确；

对于B：函数图象上所有的点纵坐标不变，横坐标变为原来的，

得函数的图象，故B错误；

对于C：函数的图象沿轴向左平移3个单位，

得函数的图象，故C错误；

对于D：根据诱导公式函数的图象沿轴向右平移3个单位，得函数的图象，故D正确．

故选：AD.

10. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（    ）

A. 2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额

B. 2022年城镇居民收入增长率快于农村居民

C. 从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕

D. 2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A，从图甲的柱状图分别计算2022年城镇居民、农村居民人均可支配收入增长额即可判断；对于选项B，从图甲的折线图即可看出；对于选项C，从图乙可看出2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，再结合题目所给的恩格尔系数的比例即可判断；对于选项D，从图乙可看出2022年食品烟酒和居住占比，相加即可判断.

【详解】对于选项A，从图甲可知，

2022年城镇居民人均可支配收入增长额为，

2022年农村居民人均可支配收入增长额为，

故A正确；

对于选项B，从图甲可知，

2022年城镇居民收入实际增速为，

2022年农村居民收入实际增速为，

故B错误

对于选项C，从图乙可知，2022年食品支出总额占个人消费支出总额的比重，属于的范围，故C正确.

对于选项D，从图乙可知，2022年食品烟酒和居住占比为，故D正确.

故选：ACD．

11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，则

B. 若，则是锐角三角形

C. 若，则是等腰三角形

D. 若为锐角三角形，则

【答案】AD

【解析】

【分析】运用正弦定理边化角即可判断A项，运用平面向量数量积运算可推出A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角即可判断B项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断C项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断D项.

【详解】对于A项，在△ABC中，由正弦定理得：，，（为△ABC外接圆的半径），

因为，所以，所以，故A项正确；

所以B项，因为，所以，所以A为锐角，但无法确定B、C是否为锐角，故B项不成立；

对于C项，因为，

所以由正弦定理得：，即：，

所以或，

所以或，

所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立；

对于D项，因为△ABC为锐角三角形，

所以，

又因为在上单调递增，

所以，即：，故D项正确.

故选：AD.

12. 点是所在平面内的一点，下列说法正确的有（    ）

A. 若则为的重心

B. 若，则点为的垂心

C. 在中，向量与满足，且，则为等边三角形

D. 若，，分别表示，的面积，则

【答案】ACD

【解析】

【分析】（1）由向量关系可以判断出为中线的三等分点，可知为重心；

（2）由向量关系可以判断出为边与边垂直平分线的交点，可知不是垂心；

（3）由判断出三角形为等腰三角形，由判断出，可知为等边三角形；

（4）令，，则为的重心，由此求出面积比即可.

【详解】

对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，

又∵由，∴，∴，

∴为重心，故选项A正确；

对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，

则，，

∵，∴，

∴，∴，，∴，，

∴，分别是，边上的垂直平分线，

∴，为的外心，故选项B错误；

对于C，作角的内角平分线与边交于点，

∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，

∴（），∴（），

∴，∴，∴，为等腰三角形，

又∵，且，∴，

∴为等边三角形，故选项C正确；

对于D，设，，由得，

则由选项A可知，为的重心，设的面积，

∴，

又∵，，

∴，，，

∴，

∴，故选项D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 如果复数z满足，那么的最大值是______.

【答案】##

【解析】

【分析】根据复数模的几何意义求解．

【详解】记复平面上数对应点，复数对应点为，复数对应点为，则在以为圆心，1为半径的圆上，，点在圆外，

当点是直线与圆的交点（在之间）时（如图），取得最大值．

故答案为：．

14. 设为的外心a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，，则___________．

【答案】8

【解析】

【分析】由三角形的外心的向量性质计算即可.

【详解】

如图所示，因为为的外心，取AB中点E，则OE⊥AB，

则，

同理，

所以

．

故答案为：8

15. 已知在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足，且，则________，________．

【答案】    ①. ##    ②. ##

【解析】

【分析】由正弦定理结合可得出关于、的齐次等式，可解出的值，再利用正弦定理可求得的值，直接利用余弦定理可求得的值.

【详解】因为，由正弦定理可得，

所以，，又因为，所以，

所以，

由，，解得，即，所以，，

所以根据余弦定理可得，

故答案为：；.

16. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数 在区间上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,

再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），

得到函数的图象，

函数在区间上单调递增，

所以，即，解得，①

又，

所以，解得，②

由①②可得，

故答案为: .

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 设向量，．

（1）求在上的投影向量；

（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据投影向量的定义直接求解即可；

（2） 因为向量与向量的夹角为钝角可得数量积小于0，列式计算可得取值范围.

【小问1详解】

求在上的投影向量.

【小问2详解】

由已知，，，

所以，

因为向量与向量的夹角为钝角，

所以，，解得，

又因为向量不与向量反向共线，

若共线，设，则，

可得或（舍去），

所以解得.

18. 在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别为，，，___________.

（1）求的值；

（2）若面积为2，，求的周长.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据所选条件，利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可求的值；

（2）由面积公式求得，再利用余弦定理求得，可得的周长.

【小问1详解】

若选①，由已知得，所以，

由正弦定理得，

又，所以，所以，又，

由，，解得.

若选②，由已知及正弦定理得，

所以，

所以，

所以，

又，所以，所以，又，

由，，解得.

【小问2详解】

由的面积为2，得，所以，

由（1）可得，

由余弦定理得，

所以，所以，

所以的周长为.

19 已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）设，，求的值．

【答案】（1）；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换可得,根据正弦函数的图象与性质即可求解；

（2）由题意可得，由同角三角函数的基本关系可求，根据即可求解.

【小问1详解】

,

令，解得，

所以的单调递增区间为.

【小问2详解】

,

由得，

，

所以

.

20. 某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示．

（1）求a的值；

（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；

（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在[4000,8000)的居民中随机抽取8人，则在[4000,6000)的居民有多少人．

【答案】（1）   

（2）3360元    （3）6

【解析】

【分析】（1）根据直方图中频率和为1列方程求参数；

（2）根据直方图计算平均值；

（3）根据分层抽样的等比例性质求在[4000,6000)的居民数量.

【小问1详解】

依题意，，解得．

【小问2详解】

所有受灾居民经济损失的平均值为元．

【小问3详解】

由（1）得经济损失在和在的人数比例为，

由分层抽样知，经济损失在的居民有人.

21. 根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面对的方向沿直线行走距离r.

（1）机器人位于直角坐标系的坐标原点，且面对x轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点；

（2）机器人在完成（1）中指令后，发现在点处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动.已知小球运动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问：机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（取）.

【答案】（1）指令为   

（2）机器人最快可在点处截住小球，指令为.

【解析】

【分析】（1）由题意，，，根据机器人的转动规则进行解答，即可得到结论；

（2）根据小球速度是机器人速度的2倍，建立方程，即可求得结论．

【小问1详解】

如图，设点，所以，

因为与x轴正方向的夹角为45°，

所以，，故指令为.

【小问2详解】

设，机器人最快在点处截住小球，

由题意知，即，

整理得，即，

所以或（舍去），即机器人最快可在点处截住小球.

设与的夹角为，易知，，，

所以，所以.

因为由的方向旋转到的方向是顺时针旋转，所以指令为.

22. 某公园有一块长方形空地ABCD，如图，，．为迎接“五一”观光游，在边界BC上选择中点E，分别在边界AB、CD上取M、N两点，现将三角形地块MEN修建为花圃，并修建观赏小径EM，EN，MN，且．

（1）当时，求花圃的面积；

（2）求观赏小径EM与EN长度和的取值范围．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由题可得，，后由锐角三角函数知识可得EM，EN，即可得花圃的面积；

（2）设，则，则可将化为，又令，可得，后由范围及函数单调性可得答案.

【小问1详解】

由题可得，.

则.

故；

【小问2详解】

设，则，

结合题意可知，则.

又，

则，

令，则

，所以，

又，所以，因在上单调递增，在上单调递减，，

则.因为函数均在上单调递增，则函数在上单调递增，所以.

所以，即观赏小径EM与EN长度和的取值范围为．