中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习04（含答案）

中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》

解答题冲刺练习04

1.如图，海上有一灯塔P，在它周围3海里处有暗礁，一艘客轮以9海里/时的速度由西向东航行，行至A点处测得P在北偏东60°方向上，继续行驶20分钟后，到达B处又测得灯塔P在北偏东45°方向上，问客轮不改变方向继续前进有无触礁危险？

2.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式)

3.如图，一艘轮船以每小时40海里的速度在海面上航行，当该轮船行驶到B处时，发现灯塔C在它的东北方向，轮船继续向北航行，30分钟后到达A处，此时发现灯塔C在它的北偏东75°方向上，求此时轮船与灯塔C的距离.（结果保留根号）

4.如图，甲、乙两栋高楼的水平距离BD为90m，从甲楼顶部点C处测得乙楼顶部点A处的仰角α为30°，测得乙楼底部点B处的俯角β为60°，问：甲、乙两栋高楼各有多高(结果保留根号)?

5.如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A，B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A，B之间距离为300(＋1)米.求供水站M分别到小区A，B的距离.(结果可保留根号)

6.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i=1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.(精确到0.1米.参考数据：≈1.414，≈1.732)

7.鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D(A、C、D共线)处同时施工．测得∠CAB=30°，AB=4km，∠ABD=105°，求BD的长．

8.某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200m，一台拖拉机从O点出发，以每秒5m的速度沿北偏西53°的方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130m，则教室A是否在拖拉机的噪声污染范围内？若不在，请说明理由；若在，求出教室A受噪声污染的时间有几秒.(参考数据：sin53°≈0.80，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75)

9.如图，河的两岸l1与l2相互平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某人在点A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向前进20米到达点E（点E在线段AB上），测得∠DEB=60°，求C、D两点间的距离．

10.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D在线段AB上从点A运动到点B，点E与点D关于AC对称，DF⊥DE于点D，并交EC的延长线于点F.

（1）求证：CE=CF；

（2）求线段EF的最小值；

（3）当点D从点A运动到点B时，试求线段EF扫过的面积（直接写出结果）．

0.中考数学三轮冲刺《锐角三角函数实际问题》解答题冲刺练习04（含答案）参考答案

一         、解答题

1.解：过P作PC⊥AB于C点，如图，

据题意知AB＝9×＝3，∠PAB＝90°﹣60°＝30°，[来源:学&科&网Z&X&X&K]

∠PBC＝90°﹣45°＝45°，∠PCB＝90°，

∴PC＝BC.

在Rt△APC中，tan 30°＝＝＝，

即＝，

∴PC＝海里＞3海里，

∴客轮不改变方向继续前进无触礁危险.

2.解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，

在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，

∴CO＝AO•tan60°＝100(米).

设PE＝x米，

∵tan∠PAB＝0.5，

∴AE＝2x.

在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，

∵PF＝CF，

∴100+2x＝100﹣x，解得x＝(米).

答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为(米).

3.解：过点A作AD⊥BC于点D.

由题意，AB=×40=20（海里）

∵∠PAC=∠B+∠C，

∴∠C=∠PAC﹣∠B=75°﹣45°=30°，

在Rt△ABD中，sinB=，

∴AD=AB•sinB=20×=10（海里），

在Rt△ACD中，∵∠C=30°，

∴AC=2AD=20（海里），

答：此时轮船与灯塔C的距离为20海里.

4.解：由题意，得CE＝BD＝90m.

在Rt△ACE中，tanα＝，

∴AE＝CE·tanα＝30 m.

在Rt△BCE中，tanβ＝，

∴BE＝CE·tanβ＝90  m.

∴CD＝BE＝90  m，

AB＝AE＋BE＝30 ＋90 ＝120  m.

∴甲楼高90 m，乙楼高120 m.

5.解：作ME⊥AB，垂足为E.设ME=x米.

在Rt△AME中，∠MAE=90°－60°=30°，

∴AM=2ME=2x, AE==x.

在Rt△BME中，∠MBE=90°－45°=45°，

∴ME=EB=x，MB=x.

∵AE＋BE=AB=300(＋1)，

即x＋ x=300(＋1)，解得x=300.

∴AM=2ME=2x=600，

MB=x=300.

答：供水站M到小区A，B的距离分别是600米、300米.

6.解：作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形.

由题意，得BC=EF=6米，BE=CF=20米，

∵斜坡AB的坡度i为1∶2.5，BE=20米，

∴=.∴AE=50米.

在Rt△CFD中，∠D=30°，

∴DF==20米.

∴AD=AE＋EF＋FD=50＋6＋20≈90.6(米).

答：坝底AD的长度约为90.6米.

7.解：作BE⊥AD于点E，

∵∠CAB=30°，AB=4km，

∴∠ABE=60°，BE=2km，

∵∠ABD=105°，

∴∠EBD=45°，

∴∠EDB=45°，

∴BE=DE=2km，

∴BD==2km，

即BD的长是2km．

8.解：如图，过点A作AB⊥OM于点B，

∵∠MON=53°，

∴∠AOM=90°﹣53°=37度.

在Rt△ABO中，∠ABO=90°，[来源:学*科*网]

∵sin∠AOB=，

∴AB=AO•sin∠AOB=200×sin37°≈120(m).

∵120m＜130m.

∴教室A在拖拉机的噪声污染范围内.

根据题意，在OM上取C，D两点，连接AC，AD，使AC=AD=130m，

∵AB⊥OM，

∴B为CD的中点，即BC=DB，

∴BC==50(m)，∴CD=2BC=100(m).

即影响的时间为=20(s).

9.【解答】解：过点D作l1的垂线，垂足为F，

∵∠DEB=60°，∠DAB=30°，∴∠ADE=∠DEB﹣∠DAB=30°，

∴△ADE为等腰三角形，∴DE=AE=20，

在Rt△DEF中，EF=DE•cos60°=20×=10，

∵DF⊥AF，∴∠DFB=90°，∴AC∥DF，

由已知l1∥l2，∴CD∥AF，∴四边形ACDF为矩形，CD=AF=AE+EF=30，

答：C、D两点间的距离为30m．

10.