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专题09 机械能守恒定律综合应用-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）
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专题09 机械能守恒定律综合应用
【例题】（2023·山东泰安·高三统考期末）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，圆环的圆心O的正上方B点固定一定滑轮，B点的左侧再固定一定滑轮，轻质细线跨过两个滑轮，一端连接质量为m的物块，另一端连接质量也为m的小球，小球套在圆环上，从圆环上的A点由静止开始释放，与竖直方向的夹角为，且正好沿圆环的切线方向，不计一切摩擦，不计滑轮、小球以及物块的大小，重力加速度为g，、，求：
（1）小球释放瞬间的加速度；
（2）小球运动到P点时的速度。
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）小球释放的瞬间，小球和物块的加速度大小相等，设加速度大小为a，细线的拉力的大小为T，对小球分析有
对物块分析有
解得
（2）小球从A运动到P，物块下降的高度为
其中
，
由于小球由A运动到P点时，细线与小球的速度v垂直，则小球沿绳子方向的分速度为0，由关联速度可知物块的速度为0，小球和物块组成的系统机械能守恒，则有
解得
1．判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法
定义判断法
看动能与重力（或弹性）势能之和是否变化
能量转化判断法
没有与机械能以外的其他形式的能转化时，系统机械能守恒
做功判断法
只有重力（或弹簧的弹力）做功时，系统机械能守恒
2.机械能守恒定律的表达式
3．连接体的机械能守恒问题
轻
绳
模
型
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
轻
杆
模
型
①平动时两物体速度相等，转动时两物体角速度相等．沿杆方向速度大小相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
轻
弹
簧
模
型
①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不守恒．
②同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等．
③由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零）.
【变式训练】（2023·福建泉州·统考二模）如图，倾角为的固定光滑斜面上有一轻弹簧，弹簧下端固定在斜面的挡板上，上端连接小滑块a，当a静止在P处时弹簧的弹性势能为。小滑块b从斜面上与a相距处由静止释放，b与a瞬间碰撞后粘在一起向下运动。从碰后起，经过时间，弹簧恰好恢复原长且两滑块速度为零。已知b的质量为，a的质量为，重力加速度大小为，求：
（1）b与a碰后瞬间两者的速度大小；
（2）时间内a对b做的功；
（3）时间内弹簧对挡板的冲量大小。
【答案】 （1）；（2）或；（3）
【解析】（1）设滑块b刚到达a处的速度大小为，由机械能守恒定律得
b与a碰撞后瞬间的速度大小为，由动量守恒定律得
解得
（2）设小滑块a静止时，弹簧的压缩量为，两滑块从P处到弹簧恰好恢复原长过程中，
由系统机械能守恒定律可得
设时间内a对b做的功为，对b由动能定理可得
解得
另：设弹簧的劲度系数为，当a静止时，弹簧压缩量为，有
弹簧的弹性势能可由弹簧弹力做功推算得
由系统机械能守恒定律可得
联立解得
设时间内a对b做的功为，由动能定理可得
解得
（3）设时间内弹簧对ab整体的冲量为，以沿斜面向上为正方向，由动量定理可得
时间内弹簧对挡板的冲量大小
解得
1．（2023·湖北·高三统考期末）如图所示，在倾角为的足够长斜面上，有一足够长、质量为的木板由静止释放，运动一段时间后，在木板上表面下端轻放一质量为的小物块，木板立即匀速下滑。木板与斜面、木板与小物块间的动摩擦因数均为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度，，。求：
（1）动摩擦因数；
（2）小物块与木板间因摩擦产生的热量。
【答案】 （1）0.5；（2）20J
【解析】（1）因为木板匀速运动，所以对木板A受力分析，由平衡条件
解得，动摩擦因数为
（2）木板刚开始运动时，由牛顿第二定律有
木板匀速运动的速度
小物块刚放在木板上时，对小物块有
与木板共速历时，有
由于木板与斜面、木板与小物块间的动摩擦因数均为，所以小物块与木板速度相同后会保持相对静止一起沿斜面向下做匀加速直线运动。所以小物块相对于木板的位移为
小物块与木板间因摩擦产生的热量为
代入数据解得，小物块与木板间因摩擦产生的热量为
2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起．当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为，g为重力加速度，弹簧的形变总在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A，B两球均可视为质点。求：
（1）小球A开始释放的位置离B球的距离；
（2）两球碰撞后，弹簧具有的最大弹性势能及两球运动过程中的最大速度；
（3）若将A球换成C球，C球从A球开始静止的位置由静止释放，C、B发生弹性碰撞，碰撞后立即取走C球，此后B球上升的最大高度与A、B一起上升的最大高度相同，则C球的质量多大。
【答案】 （1）；（2），；（3）
【解析】（1）开始时，弹簧的压缩量
当A、B一起上升到最高点时，设弹簧的伸长量为，根据牛顿第二定律
解得
设开始时A、B间的距离为h，根据机械能守恒
设A、B碰撞后一瞬间，A、B共同速度大小为，根据动量守恒有
从碰后一瞬间到上升到最高点，根据机械能守恒有
解得
（2）两球碰撞后，两球运动到最低点时弹簧的弹性势能最大，则从碰撞结束至两球运动到最低点，设小球向下运动的距离为，根据机械能守恒
得到
解得
则弹簧具有的最大弹性势能
当两球的速度最大时，弹簧的压缩量
根据机械能守恒定律有
解得
（3）设C球的质量为M，根据动量守恒
根据机械能守恒
解得
根据题意有
解得
3．（2023·福建龙岩·统考二模）物理兴趣小组设置了一个挑战游戏。如图所示，半径为光滑圆弧形轨道末端水平且与放置在水平台上质量为的“」形”薄滑板平滑相接，滑板左端A处放置质量为的滑块，水平台上的P处有一个站立的玩具小熊。在某次挑战中，挑战者将质量为的小球从轨道上距平台高度处静止释放，与滑块发生正碰。若滑板恰好不碰到玩具小熊则挑战成功。已知A、P间距。滑板长度，滑板与平台间的动摩擦因数，滑块与滑板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小球、滑块和玩具小熊均视为质点，题中涉及的碰撞均为弹性正碰，重力加速度，。求：
（1）小球到达轨道最低点时对轨道的压力；
（2）小球与滑块碰后瞬间的速度；
（3）试通过计算判定此次挑战是否成功。
【答案】 （1）8.4N，方向竖直向下；（2）0，；（3）不成功
【解析】（1）根据题意可知，小球从静止释放到点过程中，由动能定理有
解得
小球在点，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可得，小球到达轨道最低点时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。
（2）根据题意可知，小球与滑块碰撞过程中，系统的动量守恒，能量守恒，则有
解得
（3）根据题意可知，滑块以速度滑上滑板，滑板所受平台的最大静摩擦力为
滑板受滑块的滑动摩擦力为
可知，滑板保持静止不动，滑块在滑板上向右匀减速，设滑块滑到滑板右侧时速度为，由动能定理有
解得
滑块与滑板发生弹性碰撞，系统动量守恒和能量守恒，设碰后两者速度分别为、，则有
解得
此后，滑块与滑板分别向右做匀加速直线运动和匀减速直线运动，假设在点前两者共速，速率为，对滑块和滑板，分别由动量定理有
解得
此过程，滑板位移为
滑块位移为
滑块相对滑板向左的位移为
说明滑块未离开滑板，故假设成立，共速后，因，两者相对静止做加速度大小为
的匀减速直线运动直至停止，由公式可得，两者的位移为
则有
滑块会碰到玩具小熊，故此次挑战不成功。
4．（2023·上海徐汇·高三统考期末）如图，与水平面夹角θ =37°的斜面与半径R=0.4m的光滑圆轨道的最低点B圆滑对接，且固定于竖直平面内。小滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力恰为零。已知滑块与斜面间动摩擦因数。g 取 10 m/s2，，。求：
（1）滑块在C点的速度大小；
（2）A、B两点间的高度差h；
（3）滑块在BC段的运动过程中，是否存在动能和势能相等的位置？若有，对零势能面的选取有何要求？
【答案】 （1）2 m/s；（2）1.5 m；（3）有，见解析
【解析】（1）滑块在C点时，仅由重力提供其做圆周运动的向心力
可得
（2）对滑块，从A到C的过程中
其中
联立解得
（3）取B点上方 x 高处为零势能面，设滑块位于B点上方y高度时动能和势能相等，则有
滑块在BC段运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。则有
又，滑块位于BC间，则有
可得
（i）若取B点上方0.6m到B点下方 1 m 范围内任意高度为零势能面，在BC间存在某位置滑块动能与势能相等；
（ii）若取B点上方0.6m以上或B点下方1m以下某高度为零势能面，在BC间不存在滑块动能与势能相等的位置。
5．（2023·吉林·高三校考期末）如图所示，一质量的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量，停在木板B的左端。质量的小球用长的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度为，物块A与小球可视为质点，不计空气阻力，已知物块A、木板B间的动摩擦因数，。
（1）求小球运动到最低点与物块A碰撞前瞬间，轻绳的拉力大小；
（2）求小球与物块A碰撞后瞬间，物块A的速度大小；
（3）为使物块A、木板B达到共同速度前物块A不滑离木板，木板B至少为多长？
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）设球与A碰前速度为，小球下摆过程，根据机械能守恒定律可得
小球运动到最低点，由向心力公式有
联立解得
，
（2）设小球与A碰后，小球速度为，根据机械能守恒定律可得
解得
小球与A碰撞过程中，系统动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得
解得
（3）物块A与木板B相互作用过程，系统动量守恒，以A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得共同速度为
对系统由能量守恒定律得
解得
6．（2023·山东青岛·高三统考期末）如图，质量的小物块静置于水平桌面上的P点。现用与水平方向间夹角的斜向上拉力F拉动物块，作用一段时间后撤去拉力，物块继续向前滑行一段距离后，从桌面边缘上的O点滑出；在桌面右下侧固定有半径的圆弧形挡板，弧形挡板是以O点为圆心的部分圆弧，与水平方向间夹角，挡板N端位于O点正下方，拉力，P、O两点间的距离，小物块与桌面间的动摩擦因数，重力加速度。求：
（1）物块在拉力F作用下做加速运动的加速度；
（2）要使物块能击中挡板，拉力F的作用时间应满足的条件。（计算结果可以保留根式形式）
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）物块在拉力F作用下做加速运动中，有
解得
（2）设拉力F的作用时间为，发生的位移为x1，撤去拉力F时物块速度为，物块到达O点时的速度为，有
要使物块能击中挡板，当物块滑离桌面后恰好击中挡板上的M点时，拉力F作用时间最大，设物块滑离桌面后经时间击中M点，有
解得
当物块滑离桌面时速度刚好为0时，拉力F作用时间最小，有
解得
要使物块能击中挡板，拉力F的作用时间应满足的条件为
7．（2023·广东佛山·统考一模）在2022年第24届北京冬奥会上，17岁小将苏翊明获得了单板滑雪男子大跳台冠军。如图，滑雪运动员由静止从助滑坡道上点自由滑下，经点以的速度水平飞出跳台，在坡道点着陆。若高度差，高度差，取，忽略空气阻力，请分析说明：
（1）该运动员由滑至的过程中机械能是否守恒？
（2）该运动员在空中飞行的水平距离是多少？
（3）落点处的坡面与水平的夹角的正切接近什么值时，运动员着陆时坡面对他的冲击力最小？
【答案】 （1）不守恒；（2）；（3）0.8
【解析】（1）设运动员质量为，由滑至的过程中：减少的重力势能
①
增加的动能
②
解得
由于（或），故机械能不守恒。
（2）运动员在空中做平抛运动，设其在空中飞行的时间为，则
③
④
解得
，
（3）设运动员到达点即将着陆时竖直方向的速度为，速度与水平面的夹角为，则
⑤
⑥
⑦
的值接近0.8时面，坡面对运动员的冲击力最小。因为此时运动员的速度与坡面相切，运动员着陆时垂直坡面方向的速度变化最小，根据牛顿第二定律（或动量定理），坡面给运动员在垂直坡面方向的力最小，在沿坡面方向对运动员阻力近似相同的情况下，运动员着陆时速度与坡面相切，受坡面的冲击力最小。
8．（2023春·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平台面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着挡板；装置的中间是长度为的水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接，传送带始终以的速率顺时针转动；装置的右边是光滑平台，其与竖直面内半径为的光滑圆弧面平滑连接。质量的小物块（可以视为质点）从右边的光滑圆弧面顶端无初速度下滑，已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度。求：
（1）小物块第一次滑到圆弧面最低点时对圆弧面的压力大小；
（2）小物块压缩弹簧，弹簧获得的最大弹性势能；
（3）小物块返回到光滑圆弧面能够上升的最大高度。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）小物块从右边的圆弧面顶端无初速度下滑到最低点过程，根据机械能守恒可得
解得
设第一次到B点时，光滑圆弧面对小物块的支持力为F，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可知，小物块滑到圆弧面最低点时对圆弧面的压力大小为30 N。
（2）小物块滑上传送带后，在传送带作用下做匀减速运动，由动能定理有
解得到达D点的速度大小为
由能量守恒定律可知，弹簧获得的最大弹性势能为
（3）由机械能守恒定律，可知小物块被弹簧弹开后仍以的速度从左端滑上传送带，由于大于传送带速率，假设小物块在滑动摩擦力作用下一直做减速运动，由动能定理有
解得
假设成立；小物块以大小为的速度滑上光滑圆弧面，设上升的最大高度为，由机械能守恒定律有
解得
9．（2023·山西太原·高三太原市育英中学校统考期末）某滑雪场滑道的示意图如图所示，质量为60kg的运动员（含装备）从助滑道的A点由静止开始自由滑下，到达B点时沿与水平方向成的方向离开跳台，恰沿与竖直方向成角的方向落在下方雪道上的C点。已知A、B两点的高度差为48m，B、C两点的高度差为35m，将运动员视为质点，取，，忽略空气阻力的作用。求：
（1）运动员到达B点速度的大小；
（2）运动员从A点滑到B点的过程中损失的机械能。
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）设运动员离开跳台时速度大小为，沿水平方向分速度的大小为，有
设运动员落在C点时速度的大小为，沿水平方向分速度的大小为，有
，
又
解得
（2）运动员从A点滑到B点过程中克服阻力做的功为，损失的机械能为
又
解得
10．（2023·山东青岛·高三统考期末）如图，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，其下端与足够大光滑水平面在P点相切，在半圆轨道底端P处安装有压力传感器，在水平面左端安装竖直挡板，挡板右侧水平固定轻质弹簧。先用置于水平面上质量为的小球a向左压缩弹簧至某一位置，并标记此时小球a的位置，放手后弹簧将小球弹出，尔后经过半圆轨道底端P处时，压力传感器显示小球a对轨道压力为其自身重力的10倍；在水平面上靠近P处放置另一质量为m的小球b，再次用小球a向左压缩弹簧至原来位置，放手后小球a离开弹簧，并立即移除挡板及弹簧，然后a、b两球发生弹性碰撞，b、a两球先后经过P处滑上半圆轨道。重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，空气阻力不计。弹簧振子周期公式（m为振子质量，k为弹簧劲度系数），计算结果可以保留根式形式。
（1）求弹簧将小球a弹出过程中弹簧对小球a的平均作用力大小；
（2）求小球b经过轨道最高点Q时轨道对其弹力大小；
（3）通过计算论证小球a能否通过轨道最高点Q；若不能通过轨道最高点Q，求小球a离开轨道时距离水平面的高度h；
（4）小球b从Q点水平飞出后落到水平面上弹起，与水平面发生多次碰撞后最终停止。小球b每次与水平面碰撞损失的机械能为碰前小球机械能的75％，且小球每次与水平面碰撞前后的速度方向与水平面间夹角相等，求小球b从Q点飞出到最终停止运动前进的水平距离L。
【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）设弹簧将小球a弹出后的速度为，有
解得
（2）设a、b碰后的速度分别为、，有
解得
对b球，设经过Q点时的速度为，有
解得
（3）假设小球a能够到达Q点，速度为，有
解得
所以球a不能通过轨道最高点Q。设a球刚要离开轨道时球与圆心O的连线与水平方向间夹角为，此时球的速度为，距离水平面的高度为h，有
解得
（4）设小球b从Q点水平飞出到第1次与水平面碰撞前进的水平距离为，第1次到第2次与水平面碰撞前进的水平距离为，第2次到第3次与水平面碰撞前进的水平距离为，……，有
解得
第1次到第2次与水平面碰撞
第2次到第3次与水平面碰撞
第3次到第4次与水平面碰撞
第n次到第次与水平面碰撞
小球b从Q点飞出到第次碰撞前进的水平距离
当时
11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数k=500N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B在弹簧上且处于静止状态。C物体通过轻质细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，ab段的细绳竖直、cd段的细绳松驰，现无初速释放C，C沿斜面下滑时，细绳直且cd段与斜面平行，随后C继续向下沿斜面运动，在C整个下滑过程中，A始终没有离开地面，C一直在斜面上。已知B的质量为，C的质量为，斜面倾角α=30°，重力加速度为g取10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，不计空气阻力。求
（1）细绳刚绷直时C的速度；（用根式表示）
（2）B的最大速度vm；
（3）对弹簧和物体构成的系统，当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能。为使A不离开地面，求A的质量范围。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）C沿斜面下滑s，由动能定理有
解得
细绳绷直，B、C系统动量守恒有
解得
（2）开始释放C时，B受力平衡
代入数据
弹簧处于压缩状态
B的速度最大时，BC的加速度为0，由牛顿第二定律有：
对B有
对C有
联立得
弹簧处于伸长状态。因形变量与x1一样，所以弹性势能一样从细绳绷直后到BC速度最大，由机械能守恒定律有
代入数据解得
（3）设弹簧的伸长量为时，B、C的速度为零，此时弹簧弹力最大。对B、C及弹簧构成系统，从细绳舮直到B、C速度为零，由机械能守恒定律有：
代入数据解得
此时对A来说，刚好离开地面为A质量的最小值
解得
为使A不离开地面A的质量符合
12．（2023·山东潍坊·统考一模）如图所示，质量为m的工件甲静置在光滑水平面上，其上表面由光滑水平轨道AB和四分之一光滑圆弧轨道BC组成，两轨道相切于B点，圆弧轨道半径为R，质量为m的小滑块乙静置于A点。不可伸长的细线一端固定于O点，另一端系一质量为M的小球丙，细线竖直且丙静止时O到球心的距离为L。现将丙向右拉开至细线与竖直方向夹角为θ并由静止释放，丙在O正下方与甲发生弹性碰撞（两者不再发生碰撞）；碰后甲向左滑动的过程中，乙从C点离开圆弧轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求丙与甲碰后瞬间各自速度的大小；
（2）求乙落回轨道后，乙对甲压力的最大值；
（3）仅改变BC段的半径，其他条件不变，通过计算分析乙运动过程的最高点与A点间的高度差如何变化。
【答案】 （1），；（2）；（3）见解析
【解析】（1）丙向下摆动过程中机械能守恒
丙与甲碰撞过程，由动量守恒得
由机械能守恒得
解得碰后瞬间，丙速度大小
甲速度大小
（2）乙从C点离开时，因甲、乙水平速度相同，故乙仍从C点落回。当乙回到B点时，乙对甲压力最大，设此时甲速度大小为，乙的速度大小为。从丙与甲碰撞结束至乙回到B点过程中，由动量守恒得
由机械能守恒得
解得
，
设此时甲对乙的弹力为，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律知乙对甲压力的最大值
（3）乙从C点离开时，甲、乙水平速度相同，设甲速度为，从丙与甲碰撞结束至乙从C点离开甲过程，甲、乙水平方向动量守恒
解得
若减小段BC的半径，乙一定能从C点离开，设乙从C点离开时乙竖直方向速度大小为，从丙与甲碰撞结束至乙从C点离开甲过程中，由机械能守恒得
又因为
解得
设从乙离开C至最高点
该高度差与R无关，即高度差不变，若增大BCF段的半径，乙仍能从C点离开，与减小BC段的半径结论相同。若增大BC段的半径，乙不能从C点离开，则上升至最高点时甲、乙速度相同，由机械能守恒得
解得
该高度差与R无关，即高度差不变。综上所述，乙运动过程的最高点与A点间的高度差为定值。
（2022·湖北·统考高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】 （1）；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得
F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
当时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
专题09 机械能守恒定律综合应用
【例题】（2023·山东泰安·高三统考期末）如图所示，半径为R的光滑圆环固定在竖直面内，圆环的圆心O的正上方B点固定一定滑轮，B点的左侧再固定一定滑轮，轻质细线跨过两个滑轮，一端连接质量为m的物块，另一端连接质量也为m的小球，小球套在圆环上，从圆环上的A点由静止开始释放，与竖直方向的夹角为，且正好沿圆环的切线方向，不计一切摩擦，不计滑轮、小球以及物块的大小，重力加速度为g，、，求：
（1）小球释放瞬间的加速度；
（2）小球运动到P点时的速度。
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）小球释放的瞬间，小球和物块的加速度大小相等，设加速度大小为a，细线的拉力的大小为T，对小球分析有
对物块分析有
解得
（2）小球从A运动到P，物块下降的高度为
其中
，
由于小球由A运动到P点时，细线与小球的速度v垂直，则小球沿绳子方向的分速度为0，由关联速度可知物块的速度为0，小球和物块组成的系统机械能守恒，则有
解得
1．判断物体或系统机械能是否守恒的三种方法
定义判断法
看动能与重力（或弹性）势能之和是否变化
能量转化判断法
没有与机械能以外的其他形式的能转化时，系统机械能守恒
做功判断法
只有重力（或弹簧的弹力）做功时，系统机械能守恒
2.机械能守恒定律的表达式
3．连接体的机械能守恒问题
轻
绳
模
型
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等．
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系．
轻
杆
模
型
①平动时两物体速度相等，转动时两物体角速度相等．沿杆方向速度大小相等．
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒．
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒．
轻
弹
簧
模
型
①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体和弹簧组成的系统机械能守恒，而单个物体机械能不守恒．
②同一根弹簧弹性势能大小取决于弹簧形变量的大小，在弹簧弹性限度内，形变量相等，弹性势能相等．
③由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零）.
【变式训练】（2023·福建泉州·统考二模）如图，倾角为的固定光滑斜面上有一轻弹簧，弹簧下端固定在斜面的挡板上，上端连接小滑块a，当a静止在P处时弹簧的弹性势能为。小滑块b从斜面上与a相距处由静止释放，b与a瞬间碰撞后粘在一起向下运动。从碰后起，经过时间，弹簧恰好恢复原长且两滑块速度为零。已知b的质量为，a的质量为，重力加速度大小为，求：
（1）b与a碰后瞬间两者的速度大小；
（2）时间内a对b做的功；
（3）时间内弹簧对挡板的冲量大小。
【答案】 （1）；（2）或；（3）
【解析】（1）设滑块b刚到达a处的速度大小为，由机械能守恒定律得
b与a碰撞后瞬间的速度大小为，由动量守恒定律得
解得
（2）设小滑块a静止时，弹簧的压缩量为，两滑块从P处到弹簧恰好恢复原长过程中，
由系统机械能守恒定律可得
设时间内a对b做的功为，对b由动能定理可得
解得
另：设弹簧的劲度系数为，当a静止时，弹簧压缩量为，有
弹簧的弹性势能可由弹簧弹力做功推算得
由系统机械能守恒定律可得
联立解得
设时间内a对b做的功为，由动能定理可得
解得
（3）设时间内弹簧对ab整体的冲量为，以沿斜面向上为正方向，由动量定理可得
时间内弹簧对挡板的冲量大小
解得
1．（2023·湖北·高三统考期末）如图所示，在倾角为的足够长斜面上，有一足够长、质量为的木板由静止释放，运动一段时间后，在木板上表面下端轻放一质量为的小物块，木板立即匀速下滑。木板与斜面、木板与小物块间的动摩擦因数均为，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度，，。求：
（1）动摩擦因数；
（2）小物块与木板间因摩擦产生的热量。
【答案】 （1）0.5；（2）20J
【解析】（1）因为木板匀速运动，所以对木板A受力分析，由平衡条件
解得，动摩擦因数为
（2）木板刚开始运动时，由牛顿第二定律有
木板匀速运动的速度
小物块刚放在木板上时，对小物块有
与木板共速历时，有
由于木板与斜面、木板与小物块间的动摩擦因数均为，所以小物块与木板速度相同后会保持相对静止一起沿斜面向下做匀加速直线运动。所以小物块相对于木板的位移为
小物块与木板间因摩擦产生的热量为
代入数据解得，小物块与木板间因摩擦产生的热量为
2．（2023·河南·校联考模拟预测）如图所示，粗细均匀的光滑直杆竖直固定在地面上，一根轻弹簧套在杆上，下端与地面连接，上端连接带孔的质量为m的小球B并处于静止状态，质量为m的小球A套在杆上，在B球上方某一高度处由静止释放，两球碰撞后粘在一起．当A、B一起上升到最高点时，A、B的加速度大小为，g为重力加速度，弹簧的形变总在弹性限度内，已知弹簧的弹性势能表达式为，其中k为弹簧的劲度系数、x为弹簧的形变量，A，B两球均可视为质点。求：
（1）小球A开始释放的位置离B球的距离；
（2）两球碰撞后，弹簧具有的最大弹性势能及两球运动过程中的最大速度；
（3）若将A球换成C球，C球从A球开始静止的位置由静止释放，C、B发生弹性碰撞，碰撞后立即取走C球，此后B球上升的最大高度与A、B一起上升的最大高度相同，则C球的质量多大。
【答案】 （1）；（2），；（3）
【解析】（1）开始时，弹簧的压缩量
当A、B一起上升到最高点时，设弹簧的伸长量为，根据牛顿第二定律
解得
设开始时A、B间的距离为h，根据机械能守恒
设A、B碰撞后一瞬间，A、B共同速度大小为，根据动量守恒有
从碰后一瞬间到上升到最高点，根据机械能守恒有
解得
（2）两球碰撞后，两球运动到最低点时弹簧的弹性势能最大，则从碰撞结束至两球运动到最低点，设小球向下运动的距离为，根据机械能守恒
得到
解得
则弹簧具有的最大弹性势能
当两球的速度最大时，弹簧的压缩量
根据机械能守恒定律有
解得
（3）设C球的质量为M，根据动量守恒
根据机械能守恒
解得
根据题意有
解得
3．（2023·福建龙岩·统考二模）物理兴趣小组设置了一个挑战游戏。如图所示，半径为光滑圆弧形轨道末端水平且与放置在水平台上质量为的“」形”薄滑板平滑相接，滑板左端A处放置质量为的滑块，水平台上的P处有一个站立的玩具小熊。在某次挑战中，挑战者将质量为的小球从轨道上距平台高度处静止释放，与滑块发生正碰。若滑板恰好不碰到玩具小熊则挑战成功。已知A、P间距。滑板长度，滑板与平台间的动摩擦因数，滑块与滑板间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。小球、滑块和玩具小熊均视为质点，题中涉及的碰撞均为弹性正碰，重力加速度，。求：
（1）小球到达轨道最低点时对轨道的压力；
（2）小球与滑块碰后瞬间的速度；
（3）试通过计算判定此次挑战是否成功。
【答案】 （1）8.4N，方向竖直向下；（2）0，；（3）不成功
【解析】（1）根据题意可知，小球从静止释放到点过程中，由动能定理有
解得
小球在点，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可得，小球到达轨道最低点时对轨道的压力大小为，方向竖直向下。
（2）根据题意可知，小球与滑块碰撞过程中，系统的动量守恒，能量守恒，则有
解得
（3）根据题意可知，滑块以速度滑上滑板，滑板所受平台的最大静摩擦力为
滑板受滑块的滑动摩擦力为
可知，滑板保持静止不动，滑块在滑板上向右匀减速，设滑块滑到滑板右侧时速度为，由动能定理有
解得
滑块与滑板发生弹性碰撞，系统动量守恒和能量守恒，设碰后两者速度分别为、，则有
解得
此后，滑块与滑板分别向右做匀加速直线运动和匀减速直线运动，假设在点前两者共速，速率为，对滑块和滑板，分别由动量定理有
解得
此过程，滑板位移为
滑块位移为
滑块相对滑板向左的位移为
说明滑块未离开滑板，故假设成立，共速后，因，两者相对静止做加速度大小为
的匀减速直线运动直至停止，由公式可得，两者的位移为
则有
滑块会碰到玩具小熊，故此次挑战不成功。
4．（2023·上海徐汇·高三统考期末）如图，与水平面夹角θ =37°的斜面与半径R=0.4m的光滑圆轨道的最低点B圆滑对接，且固定于竖直平面内。小滑块从斜面上的A点由静止释放，经B点后沿圆轨道运动，通过最高点C时轨道对滑块的弹力恰为零。已知滑块与斜面间动摩擦因数。g 取 10 m/s2，，。求：
（1）滑块在C点的速度大小；
（2）A、B两点间的高度差h；
（3）滑块在BC段的运动过程中，是否存在动能和势能相等的位置？若有，对零势能面的选取有何要求？
【答案】 （1）2 m/s；（2）1.5 m；（3）有，见解析
【解析】（1）滑块在C点时，仅由重力提供其做圆周运动的向心力
可得
（2）对滑块，从A到C的过程中
其中
联立解得
（3）取B点上方 x 高处为零势能面，设滑块位于B点上方y高度时动能和势能相等，则有
滑块在BC段运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。则有
又，滑块位于BC间，则有
可得
（i）若取B点上方0.6m到B点下方 1 m 范围内任意高度为零势能面，在BC间存在某位置滑块动能与势能相等；
（ii）若取B点上方0.6m以上或B点下方1m以下某高度为零势能面，在BC间不存在滑块动能与势能相等的位置。
5．（2023·吉林·高三校考期末）如图所示，一质量的木板B静止于光滑水平面上，物块A质量，停在木板B的左端。质量的小球用长的轻绳悬挂在固定点O上，将轻绳拉直至水平位置后，由静止释放小球，小球在最低点与物块A发生碰撞后反弹，反弹所能达到的最大高度为，物块A与小球可视为质点，不计空气阻力，已知物块A、木板B间的动摩擦因数，。
（1）求小球运动到最低点与物块A碰撞前瞬间，轻绳的拉力大小；
（2）求小球与物块A碰撞后瞬间，物块A的速度大小；
（3）为使物块A、木板B达到共同速度前物块A不滑离木板，木板B至少为多长？
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）设球与A碰前速度为，小球下摆过程，根据机械能守恒定律可得
小球运动到最低点，由向心力公式有
联立解得
，
（2）设小球与A碰后，小球速度为，根据机械能守恒定律可得
解得
小球与A碰撞过程中，系统动量守恒，取向右为正方向，根据动量守恒定律可得
解得
（3）物块A与木板B相互作用过程，系统动量守恒，以A的速度方向为正方向，由动量守恒定律得
解得共同速度为
对系统由能量守恒定律得
解得
6．（2023·山东青岛·高三统考期末）如图，质量的小物块静置于水平桌面上的P点。现用与水平方向间夹角的斜向上拉力F拉动物块，作用一段时间后撤去拉力，物块继续向前滑行一段距离后，从桌面边缘上的O点滑出；在桌面右下侧固定有半径的圆弧形挡板，弧形挡板是以O点为圆心的部分圆弧，与水平方向间夹角，挡板N端位于O点正下方，拉力，P、O两点间的距离，小物块与桌面间的动摩擦因数，重力加速度。求：
（1）物块在拉力F作用下做加速运动的加速度；
（2）要使物块能击中挡板，拉力F的作用时间应满足的条件。（计算结果可以保留根式形式）
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）物块在拉力F作用下做加速运动中，有
解得
（2）设拉力F的作用时间为，发生的位移为x1，撤去拉力F时物块速度为，物块到达O点时的速度为，有
要使物块能击中挡板，当物块滑离桌面后恰好击中挡板上的M点时，拉力F作用时间最大，设物块滑离桌面后经时间击中M点，有
解得
当物块滑离桌面时速度刚好为0时，拉力F作用时间最小，有
解得
要使物块能击中挡板，拉力F的作用时间应满足的条件为
7．（2023·广东佛山·统考一模）在2022年第24届北京冬奥会上，17岁小将苏翊明获得了单板滑雪男子大跳台冠军。如图，滑雪运动员由静止从助滑坡道上点自由滑下，经点以的速度水平飞出跳台，在坡道点着陆。若高度差，高度差，取，忽略空气阻力，请分析说明：
（1）该运动员由滑至的过程中机械能是否守恒？
（2）该运动员在空中飞行的水平距离是多少？
（3）落点处的坡面与水平的夹角的正切接近什么值时，运动员着陆时坡面对他的冲击力最小？
【答案】 （1）不守恒；（2）；（3）0.8
【解析】（1）设运动员质量为，由滑至的过程中：减少的重力势能
①
增加的动能
②
解得
由于（或），故机械能不守恒。
（2）运动员在空中做平抛运动，设其在空中飞行的时间为，则
③
④
解得
，
（3）设运动员到达点即将着陆时竖直方向的速度为，速度与水平面的夹角为，则
⑤
⑥
⑦
的值接近0.8时面，坡面对运动员的冲击力最小。因为此时运动员的速度与坡面相切，运动员着陆时垂直坡面方向的速度变化最小，根据牛顿第二定律（或动量定理），坡面给运动员在垂直坡面方向的力最小，在沿坡面方向对运动员阻力近似相同的情况下，运动员着陆时速度与坡面相切，受坡面的冲击力最小。
8．（2023春·河南漯河·高三漯河高中校考开学考试）如图所示，装置的左边是足够长的光滑水平台面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着挡板；装置的中间是长度为的水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接，传送带始终以的速率顺时针转动；装置的右边是光滑平台，其与竖直面内半径为的光滑圆弧面平滑连接。质量的小物块（可以视为质点）从右边的光滑圆弧面顶端无初速度下滑，已知小物块与传送带之间的动摩擦因数，重力加速度。求：
（1）小物块第一次滑到圆弧面最低点时对圆弧面的压力大小；
（2）小物块压缩弹簧，弹簧获得的最大弹性势能；
（3）小物块返回到光滑圆弧面能够上升的最大高度。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）小物块从右边的圆弧面顶端无初速度下滑到最低点过程，根据机械能守恒可得
解得
设第一次到B点时，光滑圆弧面对小物块的支持力为F，由牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律可知，小物块滑到圆弧面最低点时对圆弧面的压力大小为30 N。
（2）小物块滑上传送带后，在传送带作用下做匀减速运动，由动能定理有
解得到达D点的速度大小为
由能量守恒定律可知，弹簧获得的最大弹性势能为
（3）由机械能守恒定律，可知小物块被弹簧弹开后仍以的速度从左端滑上传送带，由于大于传送带速率，假设小物块在滑动摩擦力作用下一直做减速运动，由动能定理有
解得
假设成立；小物块以大小为的速度滑上光滑圆弧面，设上升的最大高度为，由机械能守恒定律有
解得
9．（2023·山西太原·高三太原市育英中学校统考期末）某滑雪场滑道的示意图如图所示，质量为60kg的运动员（含装备）从助滑道的A点由静止开始自由滑下，到达B点时沿与水平方向成的方向离开跳台，恰沿与竖直方向成角的方向落在下方雪道上的C点。已知A、B两点的高度差为48m，B、C两点的高度差为35m，将运动员视为质点，取，，忽略空气阻力的作用。求：
（1）运动员到达B点速度的大小；
（2）运动员从A点滑到B点的过程中损失的机械能。
【答案】 （1）；（2）
【解析】（1）设运动员离开跳台时速度大小为，沿水平方向分速度的大小为，有
设运动员落在C点时速度的大小为，沿水平方向分速度的大小为，有
，
又
解得
（2）运动员从A点滑到B点过程中克服阻力做的功为，损失的机械能为
又
解得
10．（2023·山东青岛·高三统考期末）如图，半径为R的光滑半圆轨道固定在竖直平面内，其下端与足够大光滑水平面在P点相切，在半圆轨道底端P处安装有压力传感器，在水平面左端安装竖直挡板，挡板右侧水平固定轻质弹簧。先用置于水平面上质量为的小球a向左压缩弹簧至某一位置，并标记此时小球a的位置，放手后弹簧将小球弹出，尔后经过半圆轨道底端P处时，压力传感器显示小球a对轨道压力为其自身重力的10倍；在水平面上靠近P处放置另一质量为m的小球b，再次用小球a向左压缩弹簧至原来位置，放手后小球a离开弹簧，并立即移除挡板及弹簧，然后a、b两球发生弹性碰撞，b、a两球先后经过P处滑上半圆轨道。重力加速度为g，弹簧劲度系数为k，弹簧始终在弹性限度内，空气阻力不计。弹簧振子周期公式（m为振子质量，k为弹簧劲度系数），计算结果可以保留根式形式。
（1）求弹簧将小球a弹出过程中弹簧对小球a的平均作用力大小；
（2）求小球b经过轨道最高点Q时轨道对其弹力大小；
（3）通过计算论证小球a能否通过轨道最高点Q；若不能通过轨道最高点Q，求小球a离开轨道时距离水平面的高度h；
（4）小球b从Q点水平飞出后落到水平面上弹起，与水平面发生多次碰撞后最终停止。小球b每次与水平面碰撞损失的机械能为碰前小球机械能的75％，且小球每次与水平面碰撞前后的速度方向与水平面间夹角相等，求小球b从Q点飞出到最终停止运动前进的水平距离L。
【答案】 （1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）设弹簧将小球a弹出后的速度为，有
解得
（2）设a、b碰后的速度分别为、，有
解得
对b球，设经过Q点时的速度为，有
解得
（3）假设小球a能够到达Q点，速度为，有
解得
所以球a不能通过轨道最高点Q。设a球刚要离开轨道时球与圆心O的连线与水平方向间夹角为，此时球的速度为，距离水平面的高度为h，有
解得
（4）设小球b从Q点水平飞出到第1次与水平面碰撞前进的水平距离为，第1次到第2次与水平面碰撞前进的水平距离为，第2次到第3次与水平面碰撞前进的水平距离为，……，有
解得
第1次到第2次与水平面碰撞
第2次到第3次与水平面碰撞
第3次到第4次与水平面碰撞
第n次到第次与水平面碰撞
小球b从Q点飞出到第次碰撞前进的水平距离
当时
11．（2023·陕西渭南·统考一模）如图所示，在竖直方向上A、B两物体通过劲度系数k=500N/m的轻质弹簧相连，A放在水平地面上，B在弹簧上且处于静止状态。C物体通过轻质细绳绕过轻质定滑轮相连，C放在固定的光滑斜面上。用手拿住C，ab段的细绳竖直、cd段的细绳松驰，现无初速释放C，C沿斜面下滑时，细绳直且cd段与斜面平行，随后C继续向下沿斜面运动，在C整个下滑过程中，A始终没有离开地面，C一直在斜面上。已知B的质量为，C的质量为，斜面倾角α=30°，重力加速度为g取10m/s2，细线与滑轮之间的摩擦不计，不计空气阻力。求
（1）细绳刚绷直时C的速度；（用根式表示）
（2）B的最大速度vm；
（3）对弹簧和物体构成的系统，当弹簧的形变量为x时，弹簧的弹性势能。为使A不离开地面，求A的质量范围。
【答案】 （1）；（2）；（3）
【解析】（1）C沿斜面下滑s，由动能定理有
解得
细绳绷直，B、C系统动量守恒有
解得
（2）开始释放C时，B受力平衡
代入数据
弹簧处于压缩状态
B的速度最大时，BC的加速度为0，由牛顿第二定律有：
对B有
对C有
联立得
弹簧处于伸长状态。因形变量与x1一样，所以弹性势能一样从细绳绷直后到BC速度最大，由机械能守恒定律有
代入数据解得
（3）设弹簧的伸长量为时，B、C的速度为零，此时弹簧弹力最大。对B、C及弹簧构成系统，从细绳舮直到B、C速度为零，由机械能守恒定律有：
代入数据解得
此时对A来说，刚好离开地面为A质量的最小值
解得
为使A不离开地面A的质量符合
12．（2023·山东潍坊·统考一模）如图所示，质量为m的工件甲静置在光滑水平面上，其上表面由光滑水平轨道AB和四分之一光滑圆弧轨道BC组成，两轨道相切于B点，圆弧轨道半径为R，质量为m的小滑块乙静置于A点。不可伸长的细线一端固定于O点，另一端系一质量为M的小球丙，细线竖直且丙静止时O到球心的距离为L。现将丙向右拉开至细线与竖直方向夹角为θ并由静止释放，丙在O正下方与甲发生弹性碰撞（两者不再发生碰撞）；碰后甲向左滑动的过程中，乙从C点离开圆弧轨道。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力。
（1）求丙与甲碰后瞬间各自速度的大小；
（2）求乙落回轨道后，乙对甲压力的最大值；
（3）仅改变BC段的半径，其他条件不变，通过计算分析乙运动过程的最高点与A点间的高度差如何变化。
【答案】 （1），；（2）；（3）见解析
【解析】（1）丙向下摆动过程中机械能守恒
丙与甲碰撞过程，由动量守恒得
由机械能守恒得
解得碰后瞬间，丙速度大小
甲速度大小
（2）乙从C点离开时，因甲、乙水平速度相同，故乙仍从C点落回。当乙回到B点时，乙对甲压力最大，设此时甲速度大小为，乙的速度大小为。从丙与甲碰撞结束至乙回到B点过程中，由动量守恒得
由机械能守恒得
解得
，
设此时甲对乙的弹力为，由牛顿第二定律得
由牛顿第三定律知乙对甲压力的最大值
（3）乙从C点离开时，甲、乙水平速度相同，设甲速度为，从丙与甲碰撞结束至乙从C点离开甲过程，甲、乙水平方向动量守恒
解得
若减小段BC的半径，乙一定能从C点离开，设乙从C点离开时乙竖直方向速度大小为，从丙与甲碰撞结束至乙从C点离开甲过程中，由机械能守恒得
又因为
解得
设从乙离开C至最高点
该高度差与R无关，即高度差不变，若增大BCF段的半径，乙仍能从C点离开，与减小BC段的半径结论相同。若增大BC段的半径，乙不能从C点离开，则上升至最高点时甲、乙速度相同，由机械能守恒得
解得
该高度差与R无关，即高度差不变。综上所述，乙运动过程的最高点与A点间的高度差为定值。
（2022·湖北·统考高考真题）打桩机是基建常用工具。某种简易打桩机模型如图所示，重物A、B和C通过不可伸长的轻质长绳跨过两个光滑的等高小定滑轮连接，C与滑轮等高（图中实线位置）时，C到两定滑轮的距离均为L。重物A和B的质量均为m，系统可以在如图虚线位置保持静止，此时连接C的绳与水平方向的夹角为60°。某次打桩时，用外力将C拉到图中实线位置，然后由静止释放。设C的下落速度为时，与正下方质量为2m的静止桩D正碰，碰撞时间极短，碰撞后C的速度为零，D竖直向下运动距离后静止（不考虑C、D再次相碰）。A、B、C、D均可视为质点。
（1）求C的质量；
（2）若D在运动过程中受到的阻力F可视为恒力，求F的大小；
（3）撤掉桩D，将C再次拉到图中实线位置，然后由静止释放，求A、B、C的总动能最大时C的动能。
【答案】 （1）；（2）6.5mg；（3）
【解析】（1）系统在如图虚线位置保持静止，以C为研究对象，根据平衡条件可知
解得
（2）CD碰后C的速度为零，设碰撞后D的速度v，根据动量守恒定律可知
解得
CD碰撞后D向下运动 距离后停止，根据动能定理可知
解得
F=6.5mg
（3）设某时刻C向下运动的速度为v′，AB向上运动的速度为v，图中虚线与竖直方向的夹角为α，根据机械能守恒定律可知
令
对上式求导数可得
当时解得
即
此时
于是有
解得
此时C的最大动能为
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专题20 几何光学-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用）： 这是一份专题20 几何光学-冲刺高考物理大题突破+限时集训（全国通用），文件包含专题20几何光学-冲刺高考物理大题突破+限时集训全国通用解析版docx、专题20几何光学-冲刺高考物理大题突破+限时集训全国通用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
