中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习01（含答案）

中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习01

1.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．

(1)求证：CF是⊙O的切线．

(2)若∠A=22.5°，求证：AC=DC．

2.已知：过⊙O外一点C作CE⊥直径AF，垂足为E，交弦AB于D，若CD=CB，则

（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并证明；

（2）E为OA中点，∠FAB=30°，AD=4，请直接写出图中阴影部分的面积．

3.如图，在▱OABC中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点B，与OC相交于点D．

(1)求的度数．

(2)如图，点E在⊙O上，连结CE与⊙O交于点F，若EF=AB，求∠OCE的度数．

4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．

(1)求证：∠A=∠ADE；

(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．

5.如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,延长BC到点F，连接AF,使∠ABC=2∠CAF．

（1）求证：AF是⊙O的切线；

（2）若AC=4，CE：EB=1：3，求CE的长．

6.如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，BP是⊙O的切线，连接PD并延长交⊙O于F、交AB于E，若∠BPF=∠ADC.

（1）判断直线PF与AC的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为5，tan∠P= ，求AC的长.   

7.如图，已知AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．

(1)求证：BD是⊙O的切线；

(2)求证：CE2＝EH·EA；

(3)若⊙O的半径为5，sin∠A＝，求BH的长．

8.如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交△ABC的外接圆⊙O于点D，连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM＝∠DAC.

(1)求证：直线DM是⊙O的切线；

(2)求证：DE2＝DF·DA.

0.中考数学三轮冲刺《圆》解答题冲刺练习01（含答案）参考答案

一         、解答题

1. (1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ACD=90°，

∵点F是ED的中点，

∴CF=EF=DF，

∴∠AEO=∠FEC=∠FCE，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵OD⊥AB，

∴∠OAC+∠AEO=90°，

∴∠OCA+∠FCE=90°，即OC⊥FC，

∴CF与⊙O相切；

(2)解：∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE=∠ACD=90°，

∵∠AEO=∠DEC，

∴∠OAE=∠CDE=22.5°，

∵AO=BO，

∴AD=BD，

∴∠ADO=∠BDO=22.5°，

∴∠ADB=45°，

∴∠CAD=∠ADC=45°，

∴AC=CD．

2.解：

（1）直线BC与⊙O相切，

证明：连接OB，

∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，

∵CE⊥AF，∴∠A+∠ADE=90°，

∵∠ADE=∠CDB=∠CBD，∴∠A+∠CBD=90°，

∵OA=OB，∴∠OBA=∠A，∴∠OBA+∠CBD=90°，∴OB⊥CB，

∵OB是半径，∴直线BC与⊙O相切；

（2）Rt△AED中，∠A=30°，AD=4，∴ED==2，

由勾股定理得：AE=2，

∵E为OA中点，∴OA=OB=4，

设EC交⊙O于M，连接OM，交AB于G，

Rt△OEM中，∵OE=2，OM=4，

∴∠EMO=30°，∠EOM=60°，∴EM==6，

∵∠A=∠OBA=30°，∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°，∴∠BOM=60°，

∵∠A=30°，∠AOM=60°，∴∠AGO=90°，∴OG=OA=2，AG=6，

∴AB=2AG=12，∴BD=AB﹣AD=12﹣4=8，

∵∠CDB=∠ADE=60°，CD=CB，

∴△CDB是等边三角形，

∴S阴影=S四边形OECB﹣S△OEM﹣S扇形OMB=S四边形OEDB+S△CDB﹣S△OEM﹣S扇形OMB，

=﹣AE•ED+﹣OE•EM﹣，

=﹣+16﹣﹣8π，

=12﹣2+16﹣6﹣8π=．

3.解：

(1)连接OB，

∵BC是圆的切线，∴OB⊥BC，

∵四边形OABC是平行四边形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，

∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO=45°，

∴的度数为45°；

(2)连接OE，过点O作OH⊥EC于点H，设EH=t，

∵OH⊥EC，∴EF=2HE=2t，

∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=CO=EF=2t，

∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=t，

则HO===t，

∵OC=2OH，

∴∠OCE=30°．

4. (1)证明：连接OD，

∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，

∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，

∴∠ADE=∠A．

(2)解：连接CD．

∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，

∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，

∴ED=EC，∴AE=EC，

∵DE=5，∴AC=2DE=10，

在Rt△ADC中，DC=6，

设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=(x+8)2﹣102，

∴x2+62=(x+8)2﹣102，解得x=，∴BC==．

5.解：

（1）证明：连接BD，如图1所示：

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°，

∵BA=BC，

∴BD平分∠ABC，即∠ABC=2∠ABD

∵∠ABC=2∠CAF，

∴∠ABD=∠CAF，

∵∠ABD+∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠CAB=90°，即BA⊥FA，

∴AF是⊙O的切线；

（2）解：连接AE，如图2所示：

∵AB是⊙O的直径∴∠AEB=90°，

即△AEB为直角三角形，

∵CE：EB=1：3，设CE长为x，

则EB长为3x，BC长为4x．则AB长为4x，

在Rt△AEB中由勾股定理可得 AE=，

在Rt△AEC中，AC=4，AE=，CE=x，

由勾股定理得：，

解得：，∵x＞0∴，即CE长为．

6.解：（1）连接BC，交PF于H，则∠ACB=90°，∠ABC=∠ADC.

又∵∠BPF=∠ADC.
∴∠ABC=∠ADC=∠BPF
∵BP是⊙O的切线
∴∠PBC+∠ABC=90°
∴∠P+∠PBC=90°
∴∠PHB=90°
∴∠FHC=∠ACB=90°
∴PF∥AC;
(2)由（1）知：∠ABC=∠ADC=∠BPF
∴tan∠D=tan∠ABC=tan∠P=
设AC=x，BC=2x，则：AB2=AC2+BC2
∴102=x2+(2x)2   解得：x=2，
即AC=2

7.证明：(1)∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，

∴∠ODB＝∠ABC，

∵OF⊥BC，∴∠BFD＝90°，

∴∠ODB＋∠DBF＝90°，

∴∠ABC＋∠DBF＝90°，即∠OBD＝90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切线；

(2)证明：连接AC，如图1所示：

∵OF⊥BC，

∴，

∴∠CAE＝∠ECB，

∵∠CEA＝∠HEC，

∴△CEH∽△AEC，

∴，

∴CE2＝EHEA；

(3)连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，

∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，

∴AB＝10，BE＝ABsin∠BAE＝10×＝6，

∴EA＝8，

∵，

∴BE＝CE＝6，

∵CE2＝EHEA，

∴EH＝，

在Rt△BEH中，BH＝．

8.证明：(1)如图，连接OD.

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAD＝∠CAD.

∴＝.∴OD⊥BC.

又∵∠BDM＝∠DAC，∠DAC＝∠DBC，

∴∠BDM＝∠DBC.

∴BC∥DM.∴OD⊥DM.

∴直线DM是⊙O的切线．

(2)如图，连接BE.

∵点E是△ABC的内心，

∴∠BAE＝∠CAE＝∠CBD，∠ABE＝∠CBE.

∴∠BAE＋∠ABE＝∠CBD＋∠CBE，即∠BED＝∠EBD.

∴DB＝DE.

∵∠DBF＝∠DAB，∠BDF＝∠ADB，

∴△DBF∽△DAB.

∴＝，即DB2＝DF·DA.

∴DE2＝DF·DA.