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浙教版九年级上册3.6 圆内接四边形一等奖课件ppt
展开1.理解并掌握圆内接四边形的定义及性质.
2.能灵活运用圆内接四边形的性质解决相关问题.
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于该弧它所对的圆心角的一半;
同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90°.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.
如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想:∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为:
∠A+ ∠C=180º,∠B+ ∠D=180º
思考:如何证明你的猜想呢?
∵ 弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角,
∴∠A+∠C=180°,
同理∠B+∠D=180°.
推论:圆的内接四边形的对角互补.
同理∠B+∠D=180°,
∠BCD+∠DCE=180°.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系?
推论:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
1.四边形ABCD是⊙O的内接四边形,且∠A=110°,∠B=80°,则∠C= ,∠D= .2.⊙O的内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ,则∠D= .
例1:如图,AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,交⊙O于D,AF交⊙O于G. 求证:∠FGD=∠ADC.
证明:∵四边形ACDG内接于⊙O,∴∠FGD=∠ACD.又∵AB为⊙O的直径,CF⊥AB于E,∴AB垂直平分CD,∴AC=AD,∴∠ADC=∠ACD,∴∠FGD=∠ADC.
【点睛】圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据.
如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,∠BOD=120°,那么∠BCD是( )A.120° B.100°C.80° D.60°
解析:∵∠BOD=120°,∴∠A=60°,∴∠C=180°-60°=120°,故选A.
解:设∠A,∠B,∠C的度数分别对于2x,3x,6x,
例2 在圆内接四边形ABCD中, ∠A,∠B,∠C的度数之比是2︰3︰6.求这个四边形各角的度数.
∵四边形ABCD内接于圆,
∴ ∠A+ ∠C=∠B+∠D=180°,
∵2x+6x=180°,
∴ ∠A=45°, ∠B=67.5°, ∠C =135°, ∠D=180°-67.5°=112.5°.
1.判断(1)同一个圆中等弧所对的圆周角相等 ( )(2)相等的弦所对的圆周角也相等 ( )(3)同弦所对的圆周角相等 ( )
2.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°, 则∠AOB= .
3.如图,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60°,则∠DBC的度数为( ) A.30° B.40° C.50° D.60°
4.如图,四边形ABCD内接于⊙O,如果∠BOD=130°,则∠BCD的度数是( ) A 115° B 130° C 65° D 50°5.如图,等边三角形ABC内接于⊙O,P是AC上的一点,则∠APC= .
6.如图,已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB= ,∠ADB= .
7.如图,△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上,∠C=30 °,AB=2,则⊙O的半径是 .
∵∠C=30 ° ,∴∠AOB=60 °
又∵OA=OB ,∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2,即半径为2.
∴∠ACB=2∠BAC
8. 如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC. 求证:∠ACB=2∠BAC.
∠AOB=2∠BOC,
∵AB是圆的直径,点D在圆上,
∵AB=AC, ∴BD=CD.
∵AD平分顶角∠BAC,即∠BAD=∠CAD,
(同圆或等圆中相等的圆周角所对弧相等).
解:BD=CD.理由是:连接AD,
10.船在航行过程中,船长通过测定角数来确定是否遇到暗礁,如图,A、B表示灯塔,暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内,优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点,∠ACB就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠α与“危险角”有怎样的大小关系?
解:当船位于安全区域时,即船位于暗礁区域外(即⊙O外) ,与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
性质2:圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
性质1:圆的内接四边形的对角互补.
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