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2023年小升初『行程问题』专项复习 专题04《多次相遇问题》 （提高版）
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2022-2023学年专题卷
小升初数学行程问题精选真题汇编强化训练（提高）
专题04 多次相遇问题
考试时间：100分钟；试卷满分：100分
一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回…直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了（ ）
A．2km B．4km C．6km
【思路点拨】爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程，即相同时间内，爸爸走的路程是儿子的一半，所以爸爸速度是儿子的，当爸爸到达公园时行了2千米，此时儿子一直在运动，根据分数除法的意义，爸爸到达公园时，儿子行了2÷＝4千米．
【规范解答】解：2÷＝4（千米）
答：儿子一共骑了4千米．
故选：B。
【考点评析】首先根据已知条件求出爸爸速度是儿子的几分之几是完成本题的关键．
2．（1分）甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。甲的速度是70米/分，乙的速度是80米/分，过6分钟两人第二次相遇。这座桥长（ ）
A．150米 B．300米 C．450米
【思路点拨】两人第二次相遇时，两人走的路程和是桥长的3倍。先利用速度和×相遇时间＝路程，可以计算出两人所行的路程和，再用两人所行的路程和除以3，可以计算出这座桥长多少米。
【规范解答】解：（70+80）×6÷3
＝900÷3
＝300（米）
答：这座桥长300米。
故选：B。
【考点评析】本题是一道有关简单的相遇问题、简单的行程问题的题目。
3．（1分）依依和萍萍沿着400米的环形跑道跑步．她们从同一地点出发，向相反方向跑动，依依的速度是140米/分，萍萍的速度是110米/分．（ ）分钟后她们第二次相遇．
A．1.25 B．2.5 C．3.2 D．6.5
【思路点拨】根据题意，在环形跑道上相遇两次，即两人所行的路程和是两周，表示为400×2＝800米，依依的速度是140米/分，萍萍的速度是110米/分，速度和＝140+110＝250米/分，则第二次相遇的时间＝路程和÷速度和，据此解答．
【规范解答】解：根据题意得
400×2÷（140+110）
＝800÷250
＝3.2（分钟）
答：3.2分钟后他们第二次相遇．
故选：C。
【考点评析】本题考查了行程问题，第二次相遇的时间＝两次相遇的路程和÷速度和．
4．（1分）甲、乙两人在400米的圆形跑道上练习跑步，从同一地点同时向相反方向出发，途中第一次相遇和第二次相遇经过40秒，甲比乙每秒快2米。乙每秒跑（ ）米。
A．10 B．6 C．5 D．4
【思路点拨】从第一次相遇到第二次相遇总路程为一圈跑道的长度，根据速度和＝总路程÷时间，可以求出两人的速度和，再根据两人的速度差，用和差公式求出乙的速度即可。
【规范解答】解：甲乙两人的速度和为：
400÷40＝10（米/秒）
则乙的速度为：
（10﹣2）÷2
＝8÷2
＝4（米/秒）
答：乙的速度为4米/秒。
故选：D。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题及和差公式，准确的找到两次相遇之间的总路程是本题解题的关键。
5．（1分）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（ ）
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米
【思路点拨】甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离。
【规范解答】解：甲乙两人的路程和为：400×3＝1200（米），
甲乙两人的路程差为：
0.1×8×60
＝0.8×60
＝48（米）
根据和差公式，路程较短的乙的路程为：
（1200﹣48）÷2
＝1152÷2
＝576（米）
576÷400＝1（圈）……176（米）
答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。
故选：B。
【考点评析】本题主要考查多次相遇问题，以及和差公式，找出所求距离与两人路程的关系，是本题解题的关键。
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
6．（2分）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距 120 千米。
【思路点拨】甲、乙两车第一次在距B地54千米处相遇，即此时乙车行了54千米，此时两车共行一个全程，第二次相遇时两车共行了3个程，由于每行一个全程乙车就行54千米，所以此时，乙车行了54×3＝162（千米），由于第二次相遇时的地点在距A地42千米处相遇，由此可知，乙车第二相遇时行了一个全程加42千米，然后再与162千米作差即可求出所以A、B两地相距多少千米。
【规范解答】解：54×3﹣42
＝162﹣42
＝120（千米）
答：A、B相距120千米。
故答案为：120。
【考点评析】明确乙每行一个全程就行54千米，并由此求出第二次相遇时乙行的路程是完成本题的关键。
7．（2分）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，在距A地60米处第一次相遇，相遇后两人仍按原速继续行驶，并且在各自到达对方的出发点后立即返回，途中两人在距B地20米处相遇，两次相遇的地点相距 80 米。
【思路点拨】在距A地60米处第一次相遇，两人行驶一个两地间的距离，也就是说第一次相遇时甲行驶了60米，第二次相遇时，两人应该走了三个两地间的距离，即第二次相遇时甲应该行驶60×3＝180米，先根据两地间的距离＝甲行驶的路程﹣20米，求出两地间的距离，再根据两次相遇距离＝两地间的距离﹣60米﹣20米即可解答。
【规范解答】解：60×3﹣20﹣60﹣20
＝180﹣20﹣60﹣20
＝160﹣60﹣20
＝100﹣20
＝80（米）
答：两次相遇的地点相距80米。
故答案为：80。
【考点评析】解答本题要明确：第一次相遇，两人行驶一个两地间的距离，第二次相遇时，两人应该三个两地间的距离，进而求出两地间的距离。
8．（2分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返与桥的两端之间。小华的速度是65米/分，小明的速度是55米/分，经过5分钟两人第2次相遇。这座桥长 200 米。
【思路点拨】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程＝速度×时间”，求出两人的路程和，再除以3即可求出这座桥有多少米长。
【规范解答】解：（65+55）×5÷3
＝600÷3
＝200（米）
答．这座桥有200米长。
故答案为：200。
【考点评析】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。
9．（2分）甲、乙两辆车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇，相遇后两车继续前行，到达目的地后立刻返回。第二次在离B地55千米处相遇。A、B两地的路程是 170 千米。
【思路点拨】第一次相遇甲走了75千米，两人共走了一个全程，第二次相遇两人共走了3个全程，甲走了75×3＝225（千米），比一个全程多55千米，可用（225﹣55）计算出A、B两地的路程。
【规范解答】解：75×3﹣55
＝225﹣55
＝170（千米）
答：A、B两地的路程是170千米。
故答案为：170。
【考点评析】理解第二次相遇两人共走了三个全程是解答本题的关键。
10．（2分）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行。在途径C点时，乙车比甲车早到20分钟；第二天甲乙分别从B、A两地出发同时，返回原来出发地。在途径C点时，甲车比乙车早到60分钟。AB两地相距 120 千米。
【思路点拨】从B地到C点的路程一定，速度和时间成反比例，所以乙车从B地到C点的与甲车从B地到C点所用时间的比是，又因为两车的速度和一定，两车共行的路程和时间成正比例，所以第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的比是，第一天乙车从B地到C点时两车共行路程比全程少甲车行20分钟的路程，第二天甲车从B地到C点时两车共行路程比全程少乙车行60分钟的路程，据此可以设全程为x千米，列比例求解。
【规范解答】解：设全程为x千米，
20分＝时
60分＝1时
（x﹣90×）：（x﹣60×1）＝90：60
（x﹣30）：（x﹣60）＝3：2
3x﹣180＝2x﹣60
3x﹣2x＝180﹣60
x＝120
答：AB两地相距120千米。
故答案为：120。
【考点评析】解答此题的关键是理解第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的关系。
11．（2分）甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，在距离A地20km处相遇。相遇后，两车继续以原来的速度前进，到达对方出发地后马上返回，在途中再次相遇。第2次相遇的地点离B地的距离是两地路程的。A、B两地相距 45 千米。
【思路点拨】如图所示，第一次相遇在距离A地20km处，这时候甲走了20km，在第二次相遇时甲和乙一共走了3个全程，甲一共走了20×3＝60（km），第二次相遇的地点离B地的距离是两地路程的，则甲走了全程的（1+），（下图红色部分为甲走的路线）；把全程看作单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，即可求出全程。
【规范解答】解：20×3＝60（千米）
60÷（1+）＝45（千米）
答：A、B两地相距45千米。
故答案为：45。
【考点评析】本题的关键在于理解第二次相遇时，两车一共走了3个全程，这时候甲一共走了60千米。
12．（2分）甲乙两人在A、B两地之间往返跑步，甲从A地出发，乙从B地出发，同时出发，相向而行，甲和乙的速度比为5：3，他们第一次相遇和第二次相遇的地点相距50m，则A、B两地相距 100 m．
【思路点拨】根据甲和乙的速度比为5：3；第一次相遇时，知道两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的；第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的×3，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的（2﹣×3），再根据两人两次相遇地点之间相距50米，可以求出两地的距离．
【规范解答】解：50÷[﹣（2﹣×3）]
＝50
＝100（米）
答：A、B 两地相距100米．
故答案为：100．
【考点评析】解答此题的关键是，根据速度比，找出两人两次相遇地点之间相距50米所对应的分率，由此用对应的数除以对应的分率就是单位“1”，即要求的数．
13．（2分）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C点同时沿正方形的边开始移动，甲点顺时针方向环行，乙点逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边 BC 上．
【思路点拨】乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，据此求出2014次相遇的位置．
【规范解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．
故它们第2014次相遇位置与第四次相同，在边BC上．
故答案为：BC．
【考点评析】考查了正方形的性质，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
14．（2分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇。这座桥长 225 米。
【思路点拨】根据题意可知，小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，经过几分钟后在桥上第一次相遇，然后两人分别向另一端前进，到达桥两端后，又从两端出发在桥上第二次相遇，所以两人共走了三座桥的长度，用两人的速度乘时间的和除以3，列式解答即可。
【规范解答】解：第二次相遇，两人共走了三座桥的长度。
（65×5+70×5）÷3
＝（325+350）÷3
＝675÷3
＝225（米）
所以这座桥长225米。
故答案为：225。
【考点评析】此题考查了多次相遇问题，关键是通过题意分析出第二次相遇，两人共走了三座桥的长度。
三．应用题（共15小题，满分77分）
15．（5分）一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？
【思路点拨】第一次相遇时两车行程之和是一趟全程，第二次相遇时，卡车、摩托车各自走了一个全程后又返回再相遇，所以两车行程之和是三趟全程，则第二次相遇用的时间时是第一次相遇的3倍。速度一定，行程与时间成正比，第一次相遇卡车行程60千米，那么第二次相遇时卡车行程（60×3）千米。第二次在离B地30千米处相遇，即第二次相遇时卡车走了比一趟全程多30千米，再减去30千米就是全程。
【规范解答】解：60×3﹣30
＝180﹣30
＝150（千米）
答：A、B两地之间的距离是150千米。
【考点评析】本题考查了多次相遇问题，关键是明确明白：第一次两车相遇时，两车共行了一个全程（即A、B两地之间的距离）；第二次相遇时，两车又共行了2个全程。
16．（5分）货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？
【思路点拨】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。
【规范解答】解：270÷（80+120）
＝270÷200
＝1.35（小时）
270×3÷（80+120）
＝810÷200
＝4.05（小时）
4.05﹣1.35＝2.7（小时）
答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。
【考点评析】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。
17．（5分）A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？
【思路点拨】这是一个多次相遇问题，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，第二次相遇时一起走了3个全程，也就是40乘3得120千米；下午1时整到下午3时整他们第二次相遇，所以相遇时间是2小时；已知相遇路程，相遇时间后就可以求出速度和，然后再根据甲比乙多行了12千米，求出甲乙的速度差，从而求出甲每小时行多少千米。
【规范解答】解：甲乙速度和：40×3÷（3﹣1）
＝120÷2
＝60（千米/小时）
甲乙速度差：12÷（3﹣1）
＝12÷2
＝6（千米/小时）
甲：（60+6）÷2
＝66÷2
＝33（千米/小时）
答：甲每小时行33千米。
【考点评析】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握两车同时出发相向而行，第二次相遇时两车共同行使了3个路程。
18．（5分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。
【思路点拨】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。
【规范解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。
第一次相遇时，甲行了全程的＝；
第三次相遇时，甲行了：×5＝1，即走了1个全程，还多；
第四次相遇时，甲行了：×7＝2，即走了2个全程，还多；
第三次、第四次相遇地点相差：
+﹣1
＝﹣1
＝
全程：100÷＝200（千米）
答：A、B两地的距离是200千米。
【考点评析】复杂的相遇问题，需明确两车第次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。
19．（5分）甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米）
【思路点拨】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。
【规范解答】解：线段图如下：
设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米，
第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程，
根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比，
x+30＝50×2
x＝70
所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米），
从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程，
所以，甲车又走了100千米，
此时相遇点到A的距离为：
100﹣（50+70﹣30）
＝100﹣90
＝10（千米）
答：第三次相遇点距A地10千米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。
20．（5分）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？
【思路点拨】第一次迎面相遇，两车共走了一个全程，第二次迎面相遇，两车共走了（1+2）个全程，第三次迎面相遇，两车共走了（1+2+2）个全程，设A、B两地相距x千米，分别计算第二次和第三次迎面相遇所用时间，再求出相遇地点距离A地的距离，作差即为相遇点的间距，据此列出方程求解。
【规范解答】解：设A、B两地相距x千米，
第二次迎面相遇所用时间为：
（1+2）x÷（45+36）
＝3x÷81
＝（小时）
第二次相遇地点距A地：
×36﹣x
＝x﹣x
＝x（千米）
第三次迎面相遇所用时间为：
（1+2+2）x÷（45+36）
＝5x÷81
＝x（小时）
第三次相遇地点距A地：
x×45﹣2x
＝x﹣2x
＝x（千米）
可得方程：
x﹣x＝40
解得：x＝90
答：A、B两地相距90千米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算每次相遇的总路程是本题解题的关键。
21．（5分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？
【思路点拨】第一次相遇，两车走了一个全程，第二次相遇两车走了（1+2）个全程，其中两车分别以原速度各走一个全程，据此画出线段图，设A、B两地的距离为x千米，根据相遇问题中，相遇时间×速度和＝总路程分别计算两次相遇的时间，再根据两次相遇地点距离列出方程求解，再分别计算两车各走两个全程的时间，时间差即为所求。
【规范解答】解：线段图如下：
设A、B两地相距x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比可知，
甲走了x×＝x（千米）
因为乙的速度比甲快，所以当甲到达B时，乙已经返回了一段路程，
变速后，甲的速度为：32×（1+）＝40（千米/时）
乙的速度为：48×（1﹣）＝40（千米/时）
第二次相遇的时间为：
x÷32+[x﹣（x÷32﹣x÷48）×40]÷（40+40）
＝+[x﹣×40]÷80
＝+[x﹣x]÷80
＝x+x÷80
＝x（小时）
第二次相遇点据A地的距离：
（x﹣）×40
＝x×40
＝x（千米）
可得方程：
x﹣x＝74
解得：x＝240
两车返回的时间差为：
（240÷32+240÷40）﹣（240÷48+240÷40）
＝（7.5+6）﹣（5+6）
＝7.5+6﹣5﹣6
＝2.5（小时）
答：乙车比甲车早2.5小时返回出发点。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算出第二次的相遇时间是本题解题的关键。
22．（5分）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？
【思路点拨】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。
【规范解答】解：设乙的速度为x米/分，
0.1米/秒＝6米/分
所以甲的速度为（x+6）米/分
8×（x+6+x）＝400×5
解得：x＝122
乙的总路程为：
122×8＝976（米）
976÷400＝2（圈）……176（米）
因为176＜400÷2，
所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。
答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。
23．（5分）甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？
【思路点拨】设A、B两地相距x米，则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，所以，两次相遇两人所有的路程比相同，据此列出方程。
【规范解答】解：设A、B两地相距x米，
则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，
从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，
根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，
可得方程：
（x﹣60）：60＝（2x﹣10）：（x+10）
（x﹣60）（x+10）＝60（2x﹣10）
x2﹣50x﹣600＝120x﹣600
x2﹣170x＝0
x（x﹣170）＝0
x＝170
答：A、B两地相距170米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，根据相遇问题中，路程比等于速度比，列出方程是本题解题的关键。
24．（5分）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出．第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？
【思路点拨】第一次相遇时，两车共行了A、B两城的距离，其中A城出发的甲行了95千米；即每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米，第二次相遇时，两车共行了A、B两城距离的3倍，则A城出发的甲车行了95×3＝285千米；所以，A、B两城相距285﹣25＝260千米．
【规范解答】解：95×3﹣25
＝285﹣25
＝260（千米）．
答：A、B两地间的距离是260千米．
【考点评析】抓住每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米这个重点进行解答是完成本题关键．
25．（5分）甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地的距离是多少千米？
【思路点拨】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了40千米，即甲共行了40×3＝120千米，然后再减去20千米，就是AB两地距离．
【规范解答】解：40×3﹣20
＝120﹣20
＝100（千米）
答：AB两地相距100千米．
【考点评析】解答本题关键是明确：第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离．
26．（5分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇．这座桥长多少米？
【思路点拨】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程＝速度×时间”，求出两人的路程和，再除以3即可求出这座桥有多少米长．
【规范解答】解：（65+70）×5÷3
＝135×5÷3
＝675÷3
＝225（米）
答．这座桥有225米长．
【考点评析】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
27．（5分）小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。问：甲、乙两地相距多少米？
【思路点拨】根据题意，作线段图如图：
根据相向行程问题的特点，小冬与小青第一次相遇时，两人所行路程之和恰是甲、乙之间的路程。由第一次相遇到第二次相遇时，两人所行路程是两个甲、乙间的路程．因各自速度不变，故这时两人行的路程都是从出发到第一次相遇所行路的2倍根据第一次相遇点离甲地40米，可知小冬行了40米，从第一次到第二次相遇小冬所行路程为40×2＝80（米）。因此，从出发到第二次相遇，小冬共行了40+80＝120（米）。由图示可知，甲、乙两地的距离为120﹣15＝105（米）。
【规范解答】解：40×2＝80（米）
40+80＝120（米）
120﹣15＝105（米）。
答：甲、乙两地相距105米。
【考点评析】完成本题主要是依据小冬第一次相遇的路程推算出其第二次相遇时所行的路程，从而再推算出全程有多少米。
28．（6分）一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，面包车每小时行40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点.返回时的速度客车每小时增加8千米，面包车每小时减少5千米.已知两次相遇点相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地多少小时？
【思路点拨】画出线段图，假设第一次相遇的时间为t千米，根据总路程＝相遇时间×速度和，用t表示出甲、乙两地的距离，根据线段图可以发现第一次相遇后到第二次相遇两车所行的距离，根据第二次相遇所用时间相等列出方程，求出第一次相遇的时间，然后分别计算出两车返回出发地的时间，两时间相减即为所求。
【规范解答】解：线段图如图：
设第一相遇时间为t小时，则客车走过的路程为32t千米，面包车走过的路程为40t千米，总路程为：32t+40t＝72t（千米），
根据从第一次相遇到第二次相遇所用时间相同，可得方程：
+＝+
解得：t＝7
两车返回出发地的时间差为：
﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝7.35﹣6
＝1.35（小时）
答：面包车比客车早返回出发地1.35小时。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，抓住相遇问题中相遇时间相等，是本题解题的关键。
29．（6分）甲、乙两人沿铁路边相对而行，速度一样．一列火车开来，整个列车从甲身边驶过用8秒钟．再过5分钟后又用7秒钟从乙身边驶过．问还要经过多少时间，甲、乙两人才相遇？
【思路点拨】根据题意，假设甲乙两人的速度是1米/秒，火车的速度是V米/秒，车长为L米，火车与甲是追及问题，即8V﹣8×1＝L；火车与乙是相遇问题，7V+7×1＝L；联立方程组可以得出火车的速度；当火车从甲身边开过后，又从乙身边开过，用了5分钟，火车行驶了5分钟，甲也走了5分钟，甲乙两人之间的路程等于火车5分钟行走的路程减去甲5分钟行走的路程，然后再进一步解答即可。
【规范解答】解：设甲乙两人的速度是1米/秒，火车的速度是V米/秒，车长为L米．
火车与甲是追及问题，可得：8V﹣8×1＝L；
火车与乙是相遇问题，可得：7V+7×1＝L；
联立方程组可得：V＝15米/秒；
火车5分钟后遇到了乙，也即是300秒后，这时甲乙之间的距离是：15×300﹣1×300＝4200（米）；
这时甲乙相遇的时间是：4200÷（1+1）＝2100（秒）＝35（分钟）。
答：再过35分钟甲、乙两人相遇。
【考点评析】解答本题的关键之处在于火车于甲是同向而行，人的长度通常是忽略不计的，那么，8秒钟火车开过了甲，说明8秒钟火车比甲多行了一个火车车身的长度；5分钟后遇到了乙，并使用7秒钟开过了乙，说明火车和乙是同向而行的，经过7秒钟火车和人一共走了一个车身的长度．根据车身长度一定解答出火车速度于人行走的速度之间的倍数关系；现在甲乙两人之间的路程等于火车5分钟行走的路程减去甲5分钟行走的路程。最后，根据甲乙两人之间的路程和两人之间的速度和求出需要使用的相遇时间。
2022-2023学年专题卷
小升初数学行程问题精选真题汇编强化训练（提高）
专题04 多次相遇问题
考试时间：100分钟；试卷满分：100分
一．选择题（共5小题，满分5分，每小题1分）
1．（1分）爸爸和儿子去2km外的公园，爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程．儿子立刻返回，遇到爸爸后又骑向公园，到公园又返回…直到爸爸到达公园．儿子从出发开始一共骑了（ ）
A．2km B．4km C．6km
【思路点拨】爸爸和儿子同时出发．儿子骑车到公园时，爸爸只走了一半路程，即相同时间内，爸爸走的路程是儿子的一半，所以爸爸速度是儿子的，当爸爸到达公园时行了2千米，此时儿子一直在运动，根据分数除法的意义，爸爸到达公园时，儿子行了2÷＝4千米．
【规范解答】解：2÷＝4（千米）
答：儿子一共骑了4千米．
故选：B。
【考点评析】首先根据已知条件求出爸爸速度是儿子的几分之几是完成本题的关键．
2．（1分）甲乙两人分别从桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。甲的速度是70米/分，乙的速度是80米/分，过6分钟两人第二次相遇。这座桥长（ ）
A．150米 B．300米 C．450米
【思路点拨】两人第二次相遇时，两人走的路程和是桥长的3倍。先利用速度和×相遇时间＝路程，可以计算出两人所行的路程和，再用两人所行的路程和除以3，可以计算出这座桥长多少米。
【规范解答】解：（70+80）×6÷3
＝900÷3
＝300（米）
答：这座桥长300米。
故选：B。
【考点评析】本题是一道有关简单的相遇问题、简单的行程问题的题目。
3．（1分）依依和萍萍沿着400米的环形跑道跑步．她们从同一地点出发，向相反方向跑动，依依的速度是140米/分，萍萍的速度是110米/分．（ ）分钟后她们第二次相遇．
A．1.25 B．2.5 C．3.2 D．6.5
【思路点拨】根据题意，在环形跑道上相遇两次，即两人所行的路程和是两周，表示为400×2＝800米，依依的速度是140米/分，萍萍的速度是110米/分，速度和＝140+110＝250米/分，则第二次相遇的时间＝路程和÷速度和，据此解答．
【规范解答】解：根据题意得
400×2÷（140+110）
＝800÷250
＝3.2（分钟）
答：3.2分钟后他们第二次相遇．
故选：C。
【考点评析】本题考查了行程问题，第二次相遇的时间＝两次相遇的路程和÷速度和．
4．（1分）甲、乙两人在400米的圆形跑道上练习跑步，从同一地点同时向相反方向出发，途中第一次相遇和第二次相遇经过40秒，甲比乙每秒快2米。乙每秒跑（ ）米。
A．10 B．6 C．5 D．4
【思路点拨】从第一次相遇到第二次相遇总路程为一圈跑道的长度，根据速度和＝总路程÷时间，可以求出两人的速度和，再根据两人的速度差，用和差公式求出乙的速度即可。
【规范解答】解：甲乙两人的速度和为：
400÷40＝10（米/秒）
则乙的速度为：
（10﹣2）÷2
＝8÷2
＝4（米/秒）
答：乙的速度为4米/秒。
故选：D。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题及和差公式，准确的找到两次相遇之间的总路程是本题解题的关键。
5．（1分）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇。已知甲每秒钟比乙每秒钟多行0.1米，那么，两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是（ ）
A．166米 B．176米 C．224米 D．234米
【思路点拨】甲乙两人第三次相遇，他们的路程和就是环形跑道长度的3倍；根据甲乙两人的速度差以及相遇时间，可以求出他们的路程差；根据和差关系，求出两人各自的路程；取路程较短的一方，除以环形跑道的长度，所得余数就是两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离。
【规范解答】解：甲乙两人的路程和为：400×3＝1200（米），
甲乙两人的路程差为：
0.1×8×60
＝0.8×60
＝48（米）
根据和差公式，路程较短的乙的路程为：
（1200﹣48）÷2
＝1152÷2
＝576（米）
576÷400＝1（圈）……176（米）
答：两人第三次相遇的地点与A点沿跑道上的最短距离是176米。
故选：B。
【考点评析】本题主要考查多次相遇问题，以及和差公式，找出所求距离与两人路程的关系，是本题解题的关键。
二．填空题（共9小题，满分18分，每小题2分）
6．（2分）甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距B地54千米处相遇，他们各自到达对方车站后立即返回，在距A地42千米处相遇。请问A、B两地相距 120 千米。
【思路点拨】甲、乙两车第一次在距B地54千米处相遇，即此时乙车行了54千米，此时两车共行一个全程，第二次相遇时两车共行了3个程，由于每行一个全程乙车就行54千米，所以此时，乙车行了54×3＝162（千米），由于第二次相遇时的地点在距A地42千米处相遇，由此可知，乙车第二相遇时行了一个全程加42千米，然后再与162千米作差即可求出所以A、B两地相距多少千米。
【规范解答】解：54×3﹣42
＝162﹣42
＝120（千米）
答：A、B相距120千米。
故答案为：120。
【考点评析】明确乙每行一个全程就行54千米，并由此求出第二次相遇时乙行的路程是完成本题的关键。
7．（2分）甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，在距A地60米处第一次相遇，相遇后两人仍按原速继续行驶，并且在各自到达对方的出发点后立即返回，途中两人在距B地20米处相遇，两次相遇的地点相距 80 米。
【思路点拨】在距A地60米处第一次相遇，两人行驶一个两地间的距离，也就是说第一次相遇时甲行驶了60米，第二次相遇时，两人应该走了三个两地间的距离，即第二次相遇时甲应该行驶60×3＝180米，先根据两地间的距离＝甲行驶的路程﹣20米，求出两地间的距离，再根据两次相遇距离＝两地间的距离﹣60米﹣20米即可解答。
【规范解答】解：60×3﹣20﹣60﹣20
＝180﹣20﹣60﹣20
＝160﹣60﹣20
＝100﹣20
＝80（米）
答：两次相遇的地点相距80米。
故答案为：80。
【考点评析】解答本题要明确：第一次相遇，两人行驶一个两地间的距离，第二次相遇时，两人应该三个两地间的距离，进而求出两地间的距离。
8．（2分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返与桥的两端之间。小华的速度是65米/分，小明的速度是55米/分，经过5分钟两人第2次相遇。这座桥长 200 米。
【思路点拨】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程＝速度×时间”，求出两人的路程和，再除以3即可求出这座桥有多少米长。
【规范解答】解：（65+55）×5÷3
＝600÷3
＝200（米）
答．这座桥有200米长。
故答案为：200。
【考点评析】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程。
9．（2分）甲、乙两辆车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇，相遇后两车继续前行，到达目的地后立刻返回。第二次在离B地55千米处相遇。A、B两地的路程是 170 千米。
【思路点拨】第一次相遇甲走了75千米，两人共走了一个全程，第二次相遇两人共走了3个全程，甲走了75×3＝225（千米），比一个全程多55千米，可用（225﹣55）计算出A、B两地的路程。
【规范解答】解：75×3﹣55
＝225﹣55
＝170（千米）
答：A、B两地的路程是170千米。
故答案为：170。
【考点评析】理解第二次相遇两人共走了三个全程是解答本题的关键。
10．（2分）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从AB两地同时出发，相向而行。在途径C点时，乙车比甲车早到20分钟；第二天甲乙分别从B、A两地出发同时，返回原来出发地。在途径C点时，甲车比乙车早到60分钟。AB两地相距 120 千米。
【思路点拨】从B地到C点的路程一定，速度和时间成反比例，所以乙车从B地到C点的与甲车从B地到C点所用时间的比是，又因为两车的速度和一定，两车共行的路程和时间成正比例，所以第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的比是，第一天乙车从B地到C点时两车共行路程比全程少甲车行20分钟的路程，第二天甲车从B地到C点时两车共行路程比全程少乙车行60分钟的路程，据此可以设全程为x千米，列比例求解。
【规范解答】解：设全程为x千米，
20分＝时
60分＝1时
（x﹣90×）：（x﹣60×1）＝90：60
（x﹣30）：（x﹣60）＝3：2
3x﹣180＝2x﹣60
3x﹣2x＝180﹣60
x＝120
答：AB两地相距120千米。
故答案为：120。
【考点评析】解答此题的关键是理解第一天乙车从B地到C点时两车共行路程与第二天甲车从B地到C点时两车共行路程的关系。
11．（2分）甲、乙两车分别从A、B两地同时相向而行，在距离A地20km处相遇。相遇后，两车继续以原来的速度前进，到达对方出发地后马上返回，在途中再次相遇。第2次相遇的地点离B地的距离是两地路程的。A、B两地相距 45 千米。
【思路点拨】如图所示，第一次相遇在距离A地20km处，这时候甲走了20km，在第二次相遇时甲和乙一共走了3个全程，甲一共走了20×3＝60（km），第二次相遇的地点离B地的距离是两地路程的，则甲走了全程的（1+），（下图红色部分为甲走的路线）；把全程看作单位“1”，根据对应量÷对应分率＝单位“1”的量，即可求出全程。
【规范解答】解：20×3＝60（千米）
60÷（1+）＝45（千米）
答：A、B两地相距45千米。
故答案为：45。
【考点评析】本题的关键在于理解第二次相遇时，两车一共走了3个全程，这时候甲一共走了60千米。
12．（2分）甲乙两人在A、B两地之间往返跑步，甲从A地出发，乙从B地出发，同时出发，相向而行，甲和乙的速度比为5：3，他们第一次相遇和第二次相遇的地点相距50m，则A、B两地相距 100 m．
【思路点拨】根据甲和乙的速度比为5：3；第一次相遇时，知道两人一共行了AB两地的距离，其中甲行了全程的，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的；第二次相遇时，两人一共行了AB两地距离的3倍，则甲行了全程的×3，相遇地点离A地的距离为AB两地距离的（2﹣×3），再根据两人两次相遇地点之间相距50米，可以求出两地的距离．
【规范解答】解：50÷[﹣（2﹣×3）]
＝50
＝100（米）
答：A、B 两地相距100米．
故答案为：100．
【考点评析】解答此题的关键是，根据速度比，找出两人两次相遇地点之间相距50米所对应的分率，由此用对应的数除以对应的分率就是单位“1”，即要求的数．
13．（2分）如图，甲、乙两动点分别从正方形ABCD的顶点A、C点同时沿正方形的边开始移动，甲点顺时针方向环行，乙点逆时针方向环行．若乙的速度是甲的速度的4倍，则它们第2014次相遇在边 BC 上．
【思路点拨】乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环，据此求出2014次相遇的位置．
【规范解答】解：根据题意分析可得：乙的速度是甲的速度的4倍，故第1次相遇，甲走了正方形周长的；
从第2次相遇起，每次甲走了正方形周长的，从第2次相遇起，5次一个循环．因此可得：从第2次相遇起，每次相遇的位置依次是：DC，点C，CB，BA，AD；依次循环．
故它们第2014次相遇位置与第四次相同，在边BC上．
故答案为：BC．
【考点评析】考查了正方形的性质，本题是一道找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
14．（2分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间。小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇。这座桥长 225 米。
【思路点拨】根据题意可知，小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，经过几分钟后在桥上第一次相遇，然后两人分别向另一端前进，到达桥两端后，又从两端出发在桥上第二次相遇，所以两人共走了三座桥的长度，用两人的速度乘时间的和除以3，列式解答即可。
【规范解答】解：第二次相遇，两人共走了三座桥的长度。
（65×5+70×5）÷3
＝（325+350）÷3
＝675÷3
＝225（米）
所以这座桥长225米。
故答案为：225。
【考点评析】此题考查了多次相遇问题，关键是通过题意分析出第二次相遇，两人共走了三座桥的长度。
三．应用题（共15小题，满分77分）
15．（5分）一辆卡车和一钢摩托车同时从A、B两地相向开出，两车在途中距A地60千米处第一次相遇，然后两车继续前进，卡车到达B地，摩托车到达A地后立即返回，两车又在途中距B地30千米处第二次相遇，则A、B两地之间的距离为多少千米？
【思路点拨】第一次相遇时两车行程之和是一趟全程，第二次相遇时，卡车、摩托车各自走了一个全程后又返回再相遇，所以两车行程之和是三趟全程，则第二次相遇用的时间时是第一次相遇的3倍。速度一定，行程与时间成正比，第一次相遇卡车行程60千米，那么第二次相遇时卡车行程（60×3）千米。第二次在离B地30千米处相遇，即第二次相遇时卡车走了比一趟全程多30千米，再减去30千米就是全程。
【规范解答】解：60×3﹣30
＝180﹣30
＝150（千米）
答：A、B两地之间的距离是150千米。
【考点评析】本题考查了多次相遇问题，关键是明确明白：第一次两车相遇时，两车共行了一个全程（即A、B两地之间的距离）；第二次相遇时，两车又共行了2个全程。
16．（5分）货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？
【思路点拨】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。
【规范解答】解：270÷（80+120）
＝270÷200
＝1.35（小时）
270×3÷（80+120）
＝810÷200
＝4.05（小时）
4.05﹣1.35＝2.7（小时）
答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。
【考点评析】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。
17．（5分）A、B两地相距40千米，下午1时整，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，双方到达对方出发地点后立即返回，下午3时整他们第二次相遇，此时甲比乙多行了12千米，甲每小时行多少千米？
【思路点拨】这是一个多次相遇问题，甲、乙两人骑车分别从A、B两地出发，相向而行，第二次相遇时一起走了3个全程，也就是40乘3得120千米；下午1时整到下午3时整他们第二次相遇，所以相遇时间是2小时；已知相遇路程，相遇时间后就可以求出速度和，然后再根据甲比乙多行了12千米，求出甲乙的速度差，从而求出甲每小时行多少千米。
【规范解答】解：甲乙速度和：40×3÷（3﹣1）
＝120÷2
＝60（千米/小时）
甲乙速度差：12÷（3﹣1）
＝12÷2
＝6（千米/小时）
甲：（60+6）÷2
＝66÷2
＝33（千米/小时）
答：甲每小时行33千米。
【考点评析】本题考查二次相遇问题，关键是理解并掌握两车同时出发相向而行，第二次相遇时两车共同行使了3个路程。
18．（5分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，并在两地间不断往返行驶，甲车的速度是15千米/时，乙车的速度是25千米/时，甲、乙两车第三次、第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离。
【思路点拨】根据题意，甲、乙两车第一次、第二次、第三次、第四次相遇时，两车共行了1个全程、3个全程、5个全程、7个全程。把全程看作单位“1”，根据相遇问题中，速度比等于路程比，已知甲车与乙车的速度，可以求出两车的路程比；进而求出第一次相遇时，甲车行了全程几分之几，再分别乘5，乘7求出第三次、第四次相遇时，甲车行了全程的几分之几；找到第三次、第四次相遇地点相差100千米对应的分率，用除法计算，求出全程。
【规范解答】解：在相同的时间内，甲、乙两车所行的路程比为：15：25＝3：5。
第一次相遇时，甲行了全程的＝；
第三次相遇时，甲行了：×5＝1，即走了1个全程，还多；
第四次相遇时，甲行了：×7＝2，即走了2个全程，还多；
第三次、第四次相遇地点相差：
+﹣1
＝﹣1
＝
全程：100÷＝200（千米）
答：A、B两地的距离是200千米。
【考点评析】复杂的相遇问题，需明确两车第次相遇时，共行了（2n﹣1）个全程是解题的关键。
19．（5分）甲、乙两车同时从A、B两站相对开出，两车第一次相遇是在离A站50千米处，相遇后两车各自以原来速度继续行驶，分别到达B、A站后立即沿原路返回，第二次相遇是在离B站30千米处。问：如此下去，甲、乙两车第三次相遇在何处？（提示：三次相遇共走多少个全程？第二个全程中，甲行了多少千米）
【思路点拨】画出线段图，从图上可以发现，第一次相遇离A站的距离，就是甲第一次相遇走的路程，第一次相遇后到第二次相遇，两车走的总路程为A、B距离的两倍，根据路程＝速度×时间，速度不变时，两车分别的路程比等于两车的总路程比，可以求出第一次相遇后到第二次相遇，甲走的总路程，从而可以求出A、B间的距离，从第二次相遇到第三次相遇，两车走的总路程也为A、B距离的两倍，所以，甲走的路程可以求出，再根据图示关系，求出第三次相遇点距离A或B站的距离即可。
【规范解答】解：线段图如下：
设第一次相遇乙走了x千米，则第二次相遇，甲走了（x+30）千米，乙走了（50+50+x﹣30）千米，
第一次相遇两车共走了一个全程，从第一次相遇到第二次相遇两车共走了两个全程，
根据总路程＝甲车总路程+乙车总路程可知，速度不变时，两车分别走的路程与总路程成正比，
x+30＝50×2
x＝70
所以从第一次相遇到第二次相遇，甲车走了70+30＝100（千米），
从第二次相遇到第三次相遇，两车也共走了两个全程，
所以，甲车又走了100千米，
此时相遇点到A的距离为：
100﹣（50+70﹣30）
＝100﹣90
＝10（千米）
答：第三次相遇点距A地10千米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图找出其中的数量关系是本题解题的关键。
20．（5分）甲乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，并且在A、B两地间不断往返行驶。甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米，已知两车第2次与第3次迎面相遇的地点相距40千米，则A、B两地相距多少千米？
【思路点拨】第一次迎面相遇，两车共走了一个全程，第二次迎面相遇，两车共走了（1+2）个全程，第三次迎面相遇，两车共走了（1+2+2）个全程，设A、B两地相距x千米，分别计算第二次和第三次迎面相遇所用时间，再求出相遇地点距离A地的距离，作差即为相遇点的间距，据此列出方程求解。
【规范解答】解：设A、B两地相距x千米，
第二次迎面相遇所用时间为：
（1+2）x÷（45+36）
＝3x÷81
＝（小时）
第二次相遇地点距A地：
×36﹣x
＝x﹣x
＝x（千米）
第三次迎面相遇所用时间为：
（1+2+2）x÷（45+36）
＝5x÷81
＝x（小时）
第三次相遇地点距A地：
x×45﹣2x
＝x﹣2x
＝x（千米）
可得方程：
x﹣x＝40
解得：x＝90
答：A、B两地相距90千米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算每次相遇的总路程是本题解题的关键。
21．（5分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车的速度为32千米/时，乙车的速度为48千米/时，它们分别到达B地和A地后，甲车的速度提高四分之一，乙车的速度减少六分之一，如果它们第一次相遇与第二次相遇地点相距74千米，那么乙车比甲车早多少小时返回出发点？
【思路点拨】第一次相遇，两车走了一个全程，第二次相遇两车走了（1+2）个全程，其中两车分别以原速度各走一个全程，据此画出线段图，设A、B两地的距离为x千米，根据相遇问题中，相遇时间×速度和＝总路程分别计算两次相遇的时间，再根据两次相遇地点距离列出方程求解，再分别计算两车各走两个全程的时间，时间差即为所求。
【规范解答】解：线段图如下：
设A、B两地相距x千米，根据相遇问题中，路程比等于速度比可知，
甲走了x×＝x（千米）
因为乙的速度比甲快，所以当甲到达B时，乙已经返回了一段路程，
变速后，甲的速度为：32×（1+）＝40（千米/时）
乙的速度为：48×（1﹣）＝40（千米/时）
第二次相遇的时间为：
x÷32+[x﹣（x÷32﹣x÷48）×40]÷（40+40）
＝+[x﹣×40]÷80
＝+[x﹣x]÷80
＝x+x÷80
＝x（小时）
第二次相遇点据A地的距离：
（x﹣）×40
＝x×40
＝x（千米）
可得方程：
x﹣x＝74
解得：x＝240
两车返回的时间差为：
（240÷32+240÷40）﹣（240÷48+240÷40）
＝（7.5+6）﹣（5+6）
＝7.5+6﹣5﹣6
＝2.5（小时）
答：乙车比甲车早2.5小时返回出发点。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，正确的计算出第二次的相遇时间是本题解题的关键。
22．（5分）甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒甲比乙多跑0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是多少米？
【思路点拨】环形跑道上，每次相遇的总路程均为跑道一圈的距离，设乙的速度为x米/分，根据相遇时间×速度和＝总路程列出方程，求出两人的速度，再计算乙走的总路程，根据总路程确定第五次相遇点到A的最短距离。
【规范解答】解：设乙的速度为x米/分，
0.1米/秒＝6米/分
所以甲的速度为（x+6）米/分
8×（x+6+x）＝400×5
解得：x＝122
乙的总路程为：
122×8＝976（米）
976÷400＝2（圈）……176（米）
因为176＜400÷2，
所以，176米就是第五次相遇点到A点的最短距离。
答：两人第五次相遇的地点与点A在跑道上的最短路程是176米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题和环形跑道问题的综合，根据相遇问题中总路程＝时间×速度和列出方程是本题解题的关键。
23．（5分）甲、乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A地、乙从B地同时出发，相向而行，两人第一次相遇的地点距B地60米，当乙从A处返回时走了10米第二次与甲相遇。A、B两地相距多少米？
【思路点拨】设A、B两地相距x米，则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，所以，两次相遇两人所有的路程比相同，据此列出方程。
【规范解答】解：设A、B两地相距x米，
则第一次相遇甲走了（x﹣60）米，
从出发到第二次相遇，甲走了（2x﹣10）米，乙走了（x+10）米，
根据相遇问题中，路程比等于速度比，两人速度不变，
可得方程：
（x﹣60）：60＝（2x﹣10）：（x+10）
（x﹣60）（x+10）＝60（2x﹣10）
x2﹣50x﹣600＝120x﹣600
x2﹣170x＝0
x（x﹣170）＝0
x＝170
答：A、B两地相距170米。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，画出线段图，根据相遇问题中，路程比等于速度比，列出方程是本题解题的关键。
24．（5分）甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出．第一次在离A地95千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？
【思路点拨】第一次相遇时，两车共行了A、B两城的距离，其中A城出发的甲行了95千米；即每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米，第二次相遇时，两车共行了A、B两城距离的3倍，则A城出发的甲车行了95×3＝285千米；所以，A、B两城相距285﹣25＝260千米．
【规范解答】解：95×3﹣25
＝285﹣25
＝260（千米）．
答：A、B两地间的距离是260千米．
【考点评析】抓住每行一个A、B两城的距离，A城出发的甲车就行95千米这个重点进行解答是完成本题关键．
25．（5分）甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇在离A地40千米的地方，两人仍以原速前进，各自到达终点后立即返回，又在离B地20千米处相遇，问A、B两地的距离是多少千米？
【思路点拨】当两人第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离，第一次相遇时甲应该行了40千米，即甲共行了40×3＝120千米，然后再减去20千米，就是AB两地距离．
【规范解答】解：40×3﹣20
＝120﹣20
＝100（千米）
答：AB两地相距100千米．
【考点评析】解答本题关键是明确：第二次相遇时，两人一共行驶了3个两地间的距离．
26．（5分）小华和小明分别从一座桥的两端同时出发，往返于桥的两端之间．小华的速度是65米/分，小明的速度是70米/分，经过5分钟两人第二次相遇．这座桥长多少米？
【思路点拨】第一次相遇两人走了一个桥长，然后分别走到桥头两人又走了一个桥长，返回后第二次相遇，两人又走了一个桥长，先用加法求出两人的速度和，再根据“路程＝速度×时间”，求出两人的路程和，再除以3即可求出这座桥有多少米长．
【规范解答】解：（65+70）×5÷3
＝135×5÷3
＝675÷3
＝225（米）
答．这座桥有225米长．
【考点评析】在此类相遇问题中，第一次相遇两者共行一个全程，以后每相遇一次，就共行两个全程．
27．（5分）小冬从甲地向乙地走，小青同时从乙地向甲地走，当各自到达终点后，又迅速返回，各自速度不变，两人第一次相遇在距甲地40米处，第二次相遇在距乙地15米处。问：甲、乙两地相距多少米？
【思路点拨】根据题意，作线段图如图：
根据相向行程问题的特点，小冬与小青第一次相遇时，两人所行路程之和恰是甲、乙之间的路程。由第一次相遇到第二次相遇时，两人所行路程是两个甲、乙间的路程．因各自速度不变，故这时两人行的路程都是从出发到第一次相遇所行路的2倍根据第一次相遇点离甲地40米，可知小冬行了40米，从第一次到第二次相遇小冬所行路程为40×2＝80（米）。因此，从出发到第二次相遇，小冬共行了40+80＝120（米）。由图示可知，甲、乙两地的距离为120﹣15＝105（米）。
【规范解答】解：40×2＝80（米）
40+80＝120（米）
120﹣15＝105（米）。
答：甲、乙两地相距105米。
【考点评析】完成本题主要是依据小冬第一次相遇的路程推算出其第二次相遇时所行的路程，从而再推算出全程有多少米。
28．（6分）一辆客车和一辆面包车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，面包车每小时行40千米，两车分别到达乙地和甲地后，立即返回出发地点.返回时的速度客车每小时增加8千米，面包车每小时减少5千米.已知两次相遇点相距70千米，那么面包车比客车早返回出发地多少小时？
【思路点拨】画出线段图，假设第一次相遇的时间为t千米，根据总路程＝相遇时间×速度和，用t表示出甲、乙两地的距离，根据线段图可以发现第一次相遇后到第二次相遇两车所行的距离，根据第二次相遇所用时间相等列出方程，求出第一次相遇的时间，然后分别计算出两车返回出发地的时间，两时间相减即为所求。
【规范解答】解：线段图如图：
设第一相遇时间为t小时，则客车走过的路程为32t千米，面包车走过的路程为40t千米，总路程为：32t+40t＝72t（千米），
根据从第一次相遇到第二次相遇所用时间相同，可得方程：
+＝+
解得：t＝7
两车返回出发地的时间差为：
﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝7.35﹣6
＝1.35（小时）
答：面包车比客车早返回出发地1.35小时。
【考点评析】本题主要考查了多次相遇问题，抓住相遇问题中相遇时间相等，是本题解题的关键。
29．（6分）甲、乙两人沿铁路边相对而行，速度一样．一列火车开来，整个列车从甲身边驶过用8秒钟．再过5分钟后又用7秒钟从乙身边驶过．问还要经过多少时间，甲、乙两人才相遇？
【思路点拨】根据题意，假设甲乙两人的速度是1米/秒，火车的速度是V米/秒，车长为L米，火车与甲是追及问题，即8V﹣8×1＝L；火车与乙是相遇问题，7V+7×1＝L；联立方程组可以得出火车的速度；当火车从甲身边开过后，又从乙身边开过，用了5分钟，火车行驶了5分钟，甲也走了5分钟，甲乙两人之间的路程等于火车5分钟行走的路程减去甲5分钟行走的路程，然后再进一步解答即可。
【规范解答】解：设甲乙两人的速度是1米/秒，火车的速度是V米/秒，车长为L米．
火车与甲是追及问题，可得：8V﹣8×1＝L；
火车与乙是相遇问题，可得：7V+7×1＝L；
联立方程组可得：V＝15米/秒；
火车5分钟后遇到了乙，也即是300秒后，这时甲乙之间的距离是：15×300﹣1×300＝4200（米）；
这时甲乙相遇的时间是：4200÷（1+1）＝2100（秒）＝35（分钟）。
答：再过35分钟甲、乙两人相遇。
【考点评析】解答本题的关键之处在于火车于甲是同向而行，人的长度通常是忽略不计的，那么，8秒钟火车开过了甲，说明8秒钟火车比甲多行了一个火车车身的长度；5分钟后遇到了乙，并使用7秒钟开过了乙，说明火车和乙是同向而行的，经过7秒钟火车和人一共走了一个车身的长度．根据车身长度一定解答出火车速度于人行走的速度之间的倍数关系；现在甲乙两人之间的路程等于火车5分钟行走的路程减去甲5分钟行走的路程。最后，根据甲乙两人之间的路程和两人之间的速度和求出需要使用的相遇时间。
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