人教版数学五年级上册第五单元《简易方程》1.3 【重点难点易错点】

五年级上册数学第五单元《简易方程》1.3 重点难点易错点

列方程解应用题

学习导图

重点知识点

1、列方程解决问题的一般步骤:

（1）弄清题意，设未知数，一般用 x 表示；

（2）找出题中数量间的相等关系，列出包含 x 的等式；

（3）（3）解方程；

（4）（4）检验，写出答案

2、列方程解答行程问题的优点可以使未知道的数直接参加运算，列方程时能充分利用我们  熟悉的数量关系

应用题的分类：

（1）和倍差问题；

（2）鸡兔同笼问题；

（3）盈亏问题；

（4）行程问题；

（5）数论问题；

（6）其他类型.

知识点一：和倍差问题

（1）和差问题：根据两个未知量之间的关系，表示未知数.“已知两个量的和与这两个量的差”，求这两个量各是多少，叫“和差问题”，我们可以从不同角度探究解题思路，列出相应的方程，具体的方法与和倍问题相同.

（2）和倍问题：应用题中已知两个数的和，又已知两个数之间的倍数关系，求这两个数，  叫和倍问题.

(列出的方程，在设 X 时，一般选取一倍数设为 x，根据一个数+另一个数=和 为等量关系. 注意：在设 x 时，一般选取较小量为 x，以两个数的和为等量关系列方程.做完后要检验.)

（3）差倍问题：应用题中已知两个数的差，又已知两个数之间的倍数关系，求这两个数，  叫差倍问题.

例题 1:

甲、乙两人同时以相同的速度打字，2 分钟共打了 240 个字，已知甲每分钟比乙多打 10

个字．问甲、乙两人每分钟各打多少个？

【答案】解：设乙一分钟打 x 个.则甲一分钟打（x+10）个。

2（x+x+10）=240

2x+2x+20=240

4x=220

X=55

甲一分钟打字（55+10=65 个） 答：甲、乙两人每分钟各打 65、55 个

【解析】2 分钟共打了 240 个字，因此设乙的速度为 x,就可以得出甲的速度（x+10）个，也根据 2 分钟打字的数量列出方程.

知识点二：鸡兔同笼问题.

鸡兔同笼问题一般用假设法求解.先假设它们全是鸡，于是根据鸡、兔的总数，就可以先算出在假设条件下共有几只脚，再与原有的脚数相比较，看看差多少.从差中求出兔的数量.也   可以先假设成全是兔子，在差的变化中求鸡的数量.再求另一个数量是多

例 1. 鸡、兔共 120 只，鸡脚比兔脚多 24 只。问：鸡、兔各多少只?

解：设兔有 x 只，

(120－x)×2－4x=24

240－2x－4x=24

240－6x=24

216=6x

x=216÷6

x=36

120－36=84(只)；

答：鸡有 84 只，兔有 36 只．

故答案为：答：鸡有 84 只，兔有 36 只．

【解析】设兔有 x 只，那么鸡就有 120－x 只，每只兔有 4 只脚，每只鸡有 2 只脚，用 x 分别表示出鸡和兔脚的只数，再根据鸡脚的只数—兔脚只数=24 只列方程，依据等式的性质即可求解。

知识点三：盈亏问题

盈亏问题又叫盈不足问题，是指把一定数量的物品平均分给固定的对象，如果按某种标准分， 则分配后会有剩余（盈）；按另一种标准分，分配后又会不足（亏），求物品的数量和分配对象的数量.

例 1. 一个植树小组，如果每人植 5 棵，还剩 14 棵；如果每人植 7 棵，就缺 4 棵.这个植树小组有多少人？一共有多少棵树？

【答案】解设共有 x 人

树苗

【解析】每人多植(7－5)＝2 棵，果树苗缺了(14＋4)＝18 棵，18÷2＝9 人，5×9＋14 就是一共有多少棵树.

知识点四：行程问题

1.行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程.这三个量之间的关系是：路程＝时间×速度 变形可得到：速度＝路程/时间 时间＝路程/速度

2.相遇时间×速度和=路程

3.追及路程=追及时间×速度差

例 1.甲、乙两地相距 658 千米，客车从甲地开出，每小时行 58 千米.1 小时后，货车从乙地开出，每小时行 62 千米.货车开出几小时后与客车相遇？

【答案】解：设货车开出 X 小时和客车相遇. 58×（X＋1）＋62X=658

解得 X=5

即：货车开出 5 小时后和客车相遇.

【解析】我们可以设货车开出后 X 小时和客车相遇.相遇时，客车共行了 58×（X＋1）千米， 货车共行了 62X 千米，用两车行的路程和是 259 千米来列出方程，最后求出解。

知识点五：数论问题例

一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差 150，这个数是多少？

【答案】解：设这个数为 x,设相邻的两个奇数为 2a+1,2a-1 (a≥0)

（2a+1）x-(2a-1)x=150

2ax+x-2ax+x=150

 2x=150

X=75.

答：这个数是 75

【解析】本题的解题关键是熟练掌握奇数与偶数的运算与性质的知识点. 

知识点六：其它问题

例 1：小明有面值 2 角和 5 角的人民币共 9.1 元，已知两种人民币的张数相同。两种人民币各有多少张？

【答案】

解：9.1 元=91 角，

设两种人民币各有 x 张，根据题意可得方程：

2x+5x=91，

7x=91，

x=13；

答：两种人民币各有 13 张．

【解析】1、先进行单位换算，9.1 元=91 角；

2、分析题干，找出等量关系，即 2 角×张数 x+5 角×张数 x=总钱数 91 角；

3、设两种人民币各有 x 张，将未知数代入等量关系，即可列出方程解决问题，求得各有人民币的张数.

易错点考点

考点5:方程的解和解方程

36．（2021春•江都区期末）下列选项中，能用方程2a+6＝11表示的是（　　）

A． 

B．一个数是11，比a的2倍多6。 

C．

【思路引导】A.整条线段的长度是：（2+a+6）＝a+8；

B.比a的2倍多6是（2a+6）；

C.整个图形的面积是（2a+6a）。

【完整解答】解：A.a+8＝11

B.2a+6＝11

C.2a+6a＝11

故选：B。

37．（2021春•柘城县期末）如果3x﹣1＝11，那么6x+9＝（　　）

A．27 B．33 C．21

【思路引导】先求出方程3x﹣1＝11的解，再把方程的解代入6x+9中去计算即可求出答案。

【完整解答】解：3x﹣1＝11

   3x﹣1+1＝11+1

          3x＝12

      3x÷3＝12÷3

            x＝4

6x+9

＝6×4+9

＝24+9

＝33

故选：B。

38．（2021春•浑源县期中）与方程3x＝2.1的解相同的是（　　）

A．3x﹣2＝2.1+2 B．3x+0.2＝2.1+0.2 

C．3x÷x＝2.1÷3

【思路引导】依据等式的性质，方程两边同时除以3即可求得方程方程3x＝2.1的解；再把方程的解分别代入各选项中的方程进行检验即可作出判断。

【完整解答】解：3x＝2.1

   3x÷3＝2.1÷3

         x＝0.7

把x＝0.7代入选项A，左边＝0.1，右边＝4.1，左边≠右边，故A不对；

把x＝0.7代入选项B，左边＝2.3，右边＝2.3，左边＝右边，故B对；

把x＝0.7代入选项C，左边＝3，右边＝0.7，左边≠右边，故C不对。

故选：B。

39．（2021春•惠城区期末）已知（a+7）×6＝108，那么7+6a＝　73　。

【思路引导】等式的基本性质：等式的两边同时加、减去、乘、除以（除数不为0）相同的数，左右两边仍然相等；

已知（a+7）×6＝108，根据等式的基本性质，两边同时除以6，再两边同时减去7，计算出a的值，再计算出7+6a的值。

【完整解答】解：（a+7）×6＝108

   （a+7）×6÷6＝108÷6

              a+7﹣7＝18﹣7

                     a＝11

  7+6a

＝7+6×11

＝7+66

＝73

答：已知（a+7）×6＝108，那么7+6a＝73。

故答案为：73。

40．（2021•萧县）如果3x﹣4＝35，那么4x+3＝　55　。

【思路引导】首先根据等式的性质，两边同时加上4；然后两边再同时除以3，求出方程3x﹣4＝35的解是多少；最后把求出的x的值代入4x+3即可。

【完整解答】解：3x﹣4＝35

   3x﹣4+4＝35+4

          3x＝39

      3x÷3＝39÷3

           x＝13

4x+3

＝4×13+3

＝52+3

＝55

故答案为：55。

41．（2021春•侯马市期末）如果mx﹣8＝22的解是x＝6，那么5m+8＝　33　。

【思路引导】mx﹣8＝22的解是x＝6，可得方程6m﹣8＝22；

根据等式的基本性质“等式的两边同时加、减去、乘、除以（除数不为0）相同的数，左右两边仍然相等”，求出方程的解；

把m的值代入到5m+8中，计算出5m+8的值。

【完整解答】解：6m﹣8＝22

   6m﹣8+8＝22+8

      6m÷6＝30÷6

             m＝5

5m+8＝5×5+8＝33

故答案为：33。

42．（2021春•无锡期末）已知（△﹣☆）÷0.8＝4.5，☆×4＝12，那么△＝　6.6　。

【思路引导】方程（△﹣☆）÷0.8＝4.5，根据等式的性质，方程两边同时乘上0.8求出（△﹣☆）的值；方程☆×4＝12，根据等式的性质，方程两边同时除以4求出☆值；再把☆的值代入求出的（△﹣☆）的值；解答即可。

【完整解答】解：（△﹣☆）÷0.8＝4.5

（△﹣☆）÷0.8×0.8＝4.5×0.8

             （△﹣☆）＝3.6

☆×4＝12

☆×4÷4＝12÷4

☆＝3

把☆＝3代入（△﹣☆）＝3.6得：

△﹣3＝3.6

△﹣3+3＝3.6+3

△＝6.6

答：△＝6.6。

故答案为：6.6。

43．（2021春•临漳县期末）方程9+2x＝27和x+8x＝99的x值相同。 　×　（判断对错）

【思路引导】分别解方程9+2x＝27和x+8x＝99和x+8x＝99，求出x的值即可判断。

【完整解答】解：9+2x＝27

    9+2x﹣9＝27﹣9

           2x＝18

       2x÷2＝18÷2

             x＝9

x+8x＝99

    9x＝99

9x÷9＝99÷9

     x＝11

9≠11

所以方程9+2x＝27和x+8x＝99的x值不相同，所以原题说法错误。

故答案为：×。

44．（2021春•民乐县期末）如果x＝5是方程2x+0.5n＝12的解，那么n＝2。 　×　（判断对错）

【思路引导】首先把x＝5代入方程2x+0.5n＝12，可得：2×5+0.5n＝12；然后根据等式的性质，两边同时减去10，最后两边再同时乘2，求出n的值是多少即可。

【完整解答】解：因为x＝5是方程2x+0.5n＝12的解，

所以2×5+0.5n＝12，

        10+0.5n＝12

   10+0.5n﹣10＝12﹣10

              0.5n＝2

          0.5n×2＝2×2

                   n＝4

所以题中说法不正确。

故答案为：×。

45．（2021春•霍邱县期末）方程x+7.5＝20.5的两边同时减去7.5，方程的解是x＝13。 　√　（判断对错）

【思路引导】根据等式的性质，方程x+7.5＝20.5的两边同时减去7.5，判断出方程的解是不是x＝13即可。

【完整解答】解：x+7.5＝20.5

 x+7.5﹣7.5＝20.5﹣7.5

             x＝13

所以方程x+7.5＝20.5的两边同时减去7.5，方程的解是x＝13，

所以题中说法正确。

故答案为：√。

46．（2020春•启东市期末）学校组织五、六年级同学听抗疫英雄巡回演讲会，一共有972人。报告厅每排可以坐18人，五年级坐了26排，六年级坐了多少排？（列方程解答）

【思路引导】根据题意，设六年级坐了x排；根据题意可得：（五年级坐的排数+六年级坐的排数）×每排坐的人数＝总人数，据此列出方程进行解答。

【完整解答】解：设六年级坐了x排，根据题意可得：

     （26+x）×18＝972

（26+x）×18÷18＝972÷18

                 26+x＝54

            26+x﹣26＝54﹣26

                      x＝28

答：六年级坐了28排。

47．列方程求解．

（1）x的1.8倍减去15，差是102，求这个数．

（2）x的3倍与x的4倍的和是4.9

【思路引导】根据描述列出方程，再根据等式的基本性质求解即可．

【完整解答】解：（1）1.8x﹣15＝102

         1.8x﹣15+15＝102+15

                   1.8x＝117

            1.8x÷1.8＝117÷1.8

                       x＝65

（2）3x+4x＝4.9

             7x＝4.9

         7x÷7＝4.9÷7

              x＝0.7

48．两个相邻偶数的和是154，这两个偶数分别是多少？

【思路引导】设这两个偶数中较小的一个为x，则另一个是x+2，再根据题意，可得：x+（x+2）＝154，求出x的值是多少，再用x的值加上2，求出另一个偶数是多少即可．

【完整解答】解：设这两个偶数中较小的一个为x，则另一个是x+2，

x+（x+2）＝154

        2x+2＝154

     2x+2﹣2＝154﹣2

            2x＝152

        2x÷2＝152÷2

              x＝76

76+2＝78

答：这两个偶数分别是76、78．

考点6:列方程解应用题（两步需要逆思考）

49．（2021春•泉山区期中）一个长方形的周长是18厘米，宽是x厘米，长比宽多3厘米，下列方程中正确的是（　　）

A．（3+x）×2＝18 B．（3+x+x）×2＝18 

C．3+x+2＝18

【思路引导】设宽是x厘米，则长是（3+x）厘米，根据长方形的周长公式：长方形的周长＝（长+宽）×2，列方程解答即可。

【完整解答】解：设宽是x厘米。

（3+x+x）×2＝18

               4x＝12

                 x＝3

答：宽是3厘米。

故选：B。

50．（2021春•临漳县期末）笑笑用10元钱，买了1支铅笔和2本笔记本，铅笔的单价是2元，求笔记本的单价。如果设笔记本的单价是x元，那么列出的方程是（　　）

A．x+2×2＝10 B．（10+2）÷x＝2 C．2x+2＝10

【思路引导】根据题干，可得到本题等量关系式为：2本笔记本的价钱+1支铅笔的价钱＝10，据此列出方程即可求解。

【完整解答】解：根据等量关系式，列出的方程为：2x+2＝10。

故选：C。

51．（2021春•泉山区期中）根据“南京长江大桥公路桥长比武汉长江大桥公路桥长的3倍少421米”，把下面数量关系式补充完整。

　武汉长江大桥公路桥　的长度×3﹣421＝　南京长江大桥公路桥　的长度。

【思路引导】根据求一个数的几倍是多少用乘法计算，可知武汉长江大桥公路桥长的3倍就用武汉长江大桥公路桥的长度×3，据此求解即可。

【完整解答】解：武汉长江大桥公路桥的长度×3﹣421＝南京长江大桥公路桥的长度。

故答案为：武汉长江大桥公路桥；南京长江大桥公路桥。

52．（2021春•广安期末）小明今年x岁，妈妈今年31岁，妈妈的岁数正好是小明的3倍多4岁，用方程表示数量关系为 　3x+4＝31　。

【思路引导】根据等量关系式：小明年龄×3+4＝妈妈年龄，列出方程即可。

【完整解答】解：等量关系式：小明年龄×3+4＝妈妈年龄

所以根据等量关系式列出的方程是：3x+4＝31。

故答案为：3x+4＝31。

53．（2021春•宿州期末）妈妈的体重是56千克，妈妈的体重比亮亮的2倍少4千克。亮亮的体重是多少千克？题中的等量关系是 　亮亮的体重×2﹣4千克＝妈妈的体重　。解：设亮亮的体重是x千克，可列方程为 　2x﹣4＝56　。

【思路引导】根据题意可知，亮亮的体重×2﹣4千克＝妈妈的体重，设亮亮的体重是x千克，据此列方程解答。

【完整解答】解：等量关系：亮亮的体重×2﹣4千克＝妈妈的体重，

设亮亮的体重是x千克，

    2x﹣4＝56

2x﹣4+4＝56+4

       2x＝60

   2x÷2＝60÷2

        x＝30

答：亮亮的体重是30千克。

故答案为：亮亮的体重×2﹣4千克＝妈妈的体重、2x﹣4＝56。

54．（2021•福州）为庆祝建党100周年，学校合唱队积极参加排练，其中男生有20人，比女生人数的少8人。合唱队中女生有多少人？（用方程解）

【思路引导】其中男生有20人，比女生人数的少8人，可得：女生人数×﹣8人＝男生人数，据此列方程解答即可。

【完整解答】解：设合唱队有女生x人。

x﹣8＝20

   x＝20+8

x＝28

      x＝42

答：合唱队有女生有42人。

55．（2021春•民乐县期末）世界上现存的最大的鸟是鸵鸟，最高的陆生动物是长颈鹿。一只长颈鹿的身高是一只鸵鸟身高的1.8倍，长颈鹿比鸵鸟高1.8m。长颈鹿和鸵鸟的身高各是多少米？（列方程解决问题。）

【思路引导】设一只鸵鸟身高x米，根据题意可知：一只长颈鹿的身高1.8x米，由“长颈鹿比鸵鸟高1.8m”可列关系式：长颈鹿的身高﹣鸵鸟身高＝1.8，据此列方程解答。

【完整解答】解：设一只鸵鸟身高x米。

1.8x﹣x＝1.8

   0.8x＝1.8

       x＝2.25

2.25×1.8＝4.05（米）

答：长颈鹿的身高是4.05米，鸵鸟的身高是2.25米。

56．（2021春•侯马市期末）在“绿化荒山，美化家乡”的活动中，王叔叔种植了苹果树和梨树共128棵，已知苹果树的棵数是梨树的3倍，王叔叔苹果树和梨树各种了多少棵？（列方程解答）

【思路引导】根据王叔叔种植了苹果树和梨树共128棵可得数量关系式：王叔叔种的苹果树棵数+王叔叔种的梨树棵数＝128棵，根据数量关系式列方程解答。

【完整解答】解：设梨树种了x棵，则苹果树种了3x棵，

3x+x＝128

4x＝128

x＝32

32×3＝96（棵）

答：王叔叔种了苹果树96棵，梨树32棵。

57．（2021•连云港模拟）只列出综合算式（或方程），不必计算。

（1）纺织厂甲、乙两个车间共有278人，甲车间有120人，乙车间比丙车间少15人，丙车间有多少人？

（2）某机关原有工作人员150人，精简人员后还剩下105人，精简了百分之几？

（3）把一个棱长10cm的正方体铁块熔铸成一个底面半径是12cm的圆锥形零件，这个圆锥形零件的高约是多少厘米？

【思路引导】（1）设丙车间有x人，由题意可知：乙车间的人数为（x﹣15）人，根据甲车间的人数+乙车间的人数＝278，列方程即可。

（2）求精简了百分之几，实际上是求精简的人数占原有工作人员的百分之几？用精简的人数除以原有工作人员即可。所以先求出精简的人数：150﹣105＝45（人），进而求出精简了百分之几。

（3）由题意可知：正方体铁块的体积和圆锥的体积一样，据此先计算出正方体的体积，即：10×10×10＝1000（立方厘米），然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，推导出：h＝3V÷π÷122，列式即可。

【完整解答】解：（1）设丙车间有x人。

x﹣15+120＝278；

（2）（150﹣105）÷150；

（3）（10×10×10）×3÷3.14÷122。

58．（2021春•泉山区期中）有“徐州之巅”之称的徐州苏宁广场主塔楼高266米，比徐州电视塔高度的2倍少133.2米，徐州电视塔高多少米？（用方程解答）

【思路引导】根据题意，设徐州电视塔高x米，则徐州苏宁广场主塔楼高＝徐州电视塔高度×2﹣133.3，据此列方程解答。

【完整解答】解：设徐州电视塔高x米。

2x﹣133.2＝266

         2x＝399.2

          x＝199.6

答：徐州电视塔高199.6米