历年高考数学真题精选48 线性相关

这是一份历年高考数学真题精选48 线性相关，共26页。试卷主要包含了根据如下样本数据，已知与之间的几组数据如表，，以下结论中正确的是，的统计资料如下表所示，的折线图等内容，欢迎下载使用。

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题48 线性规划（学生版）
一．选择题（共8小题）
1．（2009•海南）对变量、有观测数据，，2，，，得散点图1；对变量，有观测数据，，2，，，得散点图2．由这两个散点图可以判断　　
A．变量与正相关，与正相关
B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关
D．变量与负相关，与负相关
2．（2015•湖北）已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是　　
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
3．（2017•山东）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为　　
A．160 B．163 C．166 D．170
4．（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为　　
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
5．（2014•湖北）根据如下样本数据：

3
4
5
6
7
8

4.0
2.5

0.5


得到了回归方程，则　　
A．， B．， C．， D．，
6．（2013•福建）已知与之间的几组数据如表：

1
2
3
4
5
6

0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
7．（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下
父亲身高
174
176
176
176
178
儿子身高
175
175
176
177
177
则对的线性回归方程为　　
A． B． C． D．
8．（2011•陕西）设，，，，，，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是　　

A．和的相关系数为直线的斜率
B．和的相关系数在0到1之间
C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
D．直线过点，
二．填空题（共1小题）
9．（2010•广东）某市居民年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入
11.5
12.1
13
13.5
15
支出
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是　 　，家庭年平均收入与年平均支出的回归直线方程一定过　 　点．
三．解答题（共7小题）
10．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
11．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码分别对应年份．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
12．（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量，2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．








46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
13．（2014•新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
14．（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价（元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量（件
90
84
83
80
75
68
（Ⅰ）求回归直线方程，其中，；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从中的关系，且该产品的成本是4元件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润销售收入成本）
15．（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求关于的回归方程．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
附：回归方程中
．
16．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
（1）求，，2，，的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在，之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到
附：样本，，2，，的相关系数，．

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题48 线性规划（教师版）
一．选择题（共8小题）
1．（2009•海南）对变量、有观测数据，，2，，，得散点图1；对变量，有观测数据，，2，，，得散点图2．由这两个散点图可以判断　　
A．变量与正相关，与正相关
B．变量与正相关，与负相关
C．变量与负相关，与正相关
D．变量与负相关，与负相关
【答案】C
【解析】由题图1可知，随的增大而减小，各点整体呈下降趋势，与负相关，
由题图2可知，随的增大而增大，各点整体呈上升趋势，与正相关．
2．（2015•湖北）已知变量和满足关系，变量与正相关，下列结论中正确的是　　
A．与负相关，与负相关 B．与正相关，与正相关
C．与正相关，与负相关 D．与负相关，与正相关
【答案】A
【解析】因为变量和满足关系，一次项系数为，所以与负相关；
变量与正相关，设，，，所以，得到，一次项系数小于0，所以与负相关
3．（2017•山东）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，设其回归直线方程为，已知，，，该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为　　
A．160 B．163 C．166 D．170
【答案】C
【解析】由线性回归方程为，则，，
则数据的样本中心点，
由回归直线方程样本中心点，则，
回归直线方程为，当时，，则估计其身高为166，
4．（2015•福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为　　
A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元
【答案】B
【解析】由题意可得，
，代入回归方程可得，
回归方程为，把代入方程可得
5．（2014•湖北）根据如下样本数据：

3
4
5
6
7
8

4.0
2.5

0.5


得到了回归方程，则　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】样本平均数，，，，，
6．（2013•福建）已知与之间的几组数据如表：

1
2
3
4
5
6

0
2
1
3
3
4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中的前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是　　
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由题意可知，，，
故，，
故可得，，
而由直线方程的求解可得，把代入可得，
比较可得，，
7．（2011•江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下
父亲身高
174
176
176
176
178
儿子身高
175
175
176
177
177
则对的线性回归方程为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
本组数据的样本中心点是，根据样本中心点一定在线性回归直线上，
把样本中心点代入四个选项中对应的方程，只有适合
8．（2011•陕西）设，，，，，，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是　　

A．和的相关系数为直线的斜率
B．和的相关系数在0到1之间
C．当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
D．直线过点，
【答案】D
【解析】直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，
回归直线方程一定过样本中心点
二．填空题（共1小题）
9．（2010•广东）某市居民年家庭年平均收入（单位：万元）与年平均支出（单位：万元）的统计资料如下表所示：
年份
2005
2006
2007
2008
2009
收入
11.5
12.1
13
13.5
15
支出
6.8
8.8
9.8
10
12
根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是　13　，家庭年平均收入与年平均支出的回归直线方程一定过　 　点．
【答案】13；．
【解析】求居民收入的中位数，
把居民收入这一栏数据按照从小到大排列，最中间的一个数字是13，
居民家庭年平均收入的中位数是13，
，，
回归直线一定过．
三．解答题（共7小题）
10．（2018•新课标Ⅱ）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为1，2，，建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
解：（1）根据模型①：，
计算时，；
利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿元；
根据模型②：，
计算时，；．
利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元；
（2）模型②得到的预测值更可靠；
因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上升的，
而从2000年到2009年间递增的幅度较小些，
从2010年到2016年间递增的幅度较大些，
所以，利用模型②的预测值更可靠些．
11．（2016•新课标Ⅲ）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．
注：年份代码分别对应年份．
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以证明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，．
解：（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
，
，
故与之间存在较强的正相关关系；
（2），
，
关于的回归方程，
2016年对应的值为9，
故，
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．
12．（2015•新课标Ⅰ）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：和年利润（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费和年销售量，2，，数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．








46.6
563
6.8
289.8
1.6
1469
108.8
表中，
（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润与、的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？
年宣传费为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．
解：（Ⅰ）由散点图可以判断，适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型；
（Ⅱ）令，先建立关于的线性回归方程，由于，
，
所以关于的线性回归方程为，
因此关于的回归方程为，
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，年销售量的预报值，
年利润的预报值，
根据（Ⅱ）的结果可知，年利润的预报值，
当时，即当时，年利润的预报值最大．
13．（2014•新课标Ⅱ）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（Ⅰ）求关于的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
解：（Ⅰ）由题意，，
，
，
．
关于的线性回归方程为；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号代入，得：
，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．
14．（2012•福建）某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价（元
8
8.2
8.4
8.6
8.8
9
销量（件
90
84
83
80
75
68
（Ⅰ）求回归直线方程，其中，；
（Ⅱ）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从中的关系，且该产品的成本是4元件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润销售收入成本）
解：，
，，

回归直线方程；
设工厂获得的利润为元，则
该产品的单价应定为元，工厂获得的利润最大．
15．（2015•重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
时间代号
1
2
3
4
5
储蓄存款（千亿元）
5
6
7
8
10
（Ⅰ）求关于的回归方程．
（Ⅱ）用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款．
附：回归方程中
．
解：（Ⅰ）

由题意，，，
，，
，，
关于的回归方程．
（Ⅱ）时，（千亿元）．
16．（2017•新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
零件尺寸
9.95
10.12
9.96
9.96
10.01
9.92
9.98
10.04
抽取次序
9
10
11
12
13
14
15
16
零件尺寸
10.26
9.91
10.13
10.02
9.22
10.04
10.05
9.95
经计算得，，，，其中为抽取的第个零件的尺寸，，2，，16．
（1）求，，2，，的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在，之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ⅱ）在，之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到
附：样本，，2，，的相关系数，．
解：（1）．
，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．
（2），，合格零件尺寸范围是，
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，
需要对当天的生产过程进行检查．
剔除离群值后，剩下的数据平均值为，
，
剔除离群值后样本方差为，
剔除离群值后样本标准差为．