必刷卷03-2023年中考数学考前信息必刷卷（浙江温州专用）

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数 学（浙江温州专用）
2023年温州中考数学没有多大，满分150分，题型仍然是10（选择题）+6（填空题）+8（解答题），但考查内容要关注基础性、综合性、应用型和创新性，要关注学科主干知识，从知识点的分布看，实数的有关概念及其运算，代数式的化简求值，探究规律，方程不等式组的解法及函数知识的综合应用，直线型的相关性质，仍将是考试的重点。对于函数侧重考查一次函数、反比例函数的性质以及函数的应用、函数与方程不等式之间的联系，二次函数的综合问题常以解答的形式出现；对三角形的全等、相似的证明，特殊四边形的判定及性质的应用，也将以解答题的形式出现。此外，统计与概率也是必考内容。对圆的知识考查，尤其是圆的有关计算与证明，强化数学意识的转化和应用能力。
通过对考试信息的梳理以及教学研究成果，中考试卷侧重增加文化的考查，加强问题背景的设置，加大考查的深度和广度.考向预测：选择题前7道属于基础题，重点考查实数的大小比较、科学记数法、整式、三视图、数据的分析、一元二次方程的根的情况、切线的有关计算，容易丢分的选择题以三角形与三角函数、二次函数的性质、四边形综合题为主。填空题的考查主要是因式分解、解不等式、统弧长。三角形的计算、反比例函数的图象与性质，第16题考查矩形的性质、图形的拼剪、相似三角形；解答题仍然是8道，前几道主要是容易得分的题目，第17题主要考查了分式的加减法和实数的运算、第18题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识；第19题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，第20题考查作图﹣应用与设计作图.第21题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质等知识；第22题是圆的有关计算与证明，考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质；
第23题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用；第24题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是（ ）
A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．﹣π
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：|﹣3.14|＝3.14，
∵﹣π＜﹣3＜﹣＜|﹣3.14|，
∴在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，﹣π中，最小的数是﹣π．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2．任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（ ）
A．面朝上的点数是3B．面朝上的点数是奇数
C．面朝上的点数小于2D．面朝上的点数不小于3
【分析】分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案．
【详解】解：A．面朝上的点数是3的概率为；
B．面朝上的点数是奇数的概率为＝；
C．面朝上的点数小于2的概率为；
D．面朝上的点数不小于3的概率为＝；
∴概率最大的是面朝上的点数不小于3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握概率公式．
3．党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（ ）
A．0.28×1013B．2.8×1011C．2.8×1012D．28×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：2800000000000＝2.8×1012．
故选：C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，几何体上半部为正三棱柱，下半部为圆柱，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】俯视图是从物体上面看到的图形，应把所看到的所有棱都表示在所得图形中．
【详解】解：从上面看，正三棱柱的俯视图是正三角形，圆柱的俯视图是圆，且正三角形在圆内．
故选：C．
【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
5．若一组数据的方差为：s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2]，则数据总和为（ ）
A．5B．3C．6D．15
【分析】根据方差公式：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]得出平均数是3，共有5个数，从而得出数据总和．
【详解】解：∵s2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+（x3﹣3）2+（x4﹣3）2+（x5﹣3）2]，说明共有5个数并且这组数据的平均数是3，
∴数据总和为5×3＝15．
故选：D．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
6．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）
A．4x2＝4x﹣1B．5x2﹣3x+4＝0C．2x2﹣x＝0D．x2+2x﹣1＝0
【分析】将各选项中的原方程变形为一般式，取根的判别式Δ＝0的选项即可得出结论．
【详解】解：A、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×4×1＝0，
∴原方程有两个相等的实数根，选项A符合题意；
B、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×5×4＝﹣71＜0，
∴原方程无实数根，选项B不符合题意；
C、∵Δ＝（﹣1）2﹣4×2×0＝1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，选项C不符合题意；
D、∵Δ＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，点D在⊙O上．若∠B＝42°，则∠DAC的度数是（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
【分析】根据直径所对圆周角是直角，和切线的性质，即可解决问题．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠B+∠BAD＝90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°﹣
∴∠DAC＝∠B＝42°，
故选：A．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形两个锐角互余，解此题的关键是求出∠BAD的度数．
8．如图把两张宽度均为3的纸条交错叠在一起，相交成角α，则重叠部分的周长为（ ）
A．12tanαB．12sinαC．D．
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，进而解答即可．
【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，
过A作AE⊥BC于E，则AE＝3，
∵∠ABE＝α，
∴AB＝，
∴BC＝AB＝AD＝CD＝，
∴重叠部分的周长＝，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若ab＞0．则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（ ）
A．y＝﹣2x+3B．y＝x2﹣2xC．y＝﹣D．y＝x2+
【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可．
【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，
函数y＝﹣的图象在二四象限，不满足条件，
故选：C．
【点睛】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以BC为边向上作正方形BCDE，以AC为边作正方形ACFG，点D落在GF上，连结AE，EG．若DG＝2，BC＝6，则△AEG的面积为（ ）
A．4B．6C．5D．8
【分析】由正方形的性质得出CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，证明△ABC≌△FDC（SAS），由全等三角形的性质得出AB＝DF，过点E作EH⊥BG于点H，得出EH＝AB，设AB＝a，AC＝b，由勾股定理求出a2+b2＝BC2＝36，可求出ab＝16，由三角形面积公式可得出答案．
【详解】解：∵四边形BCDE是正方形，
∴BC＝CD，∠BCD＝90°，
∵四边形ACFG是正方形，
∴CF＝AG＝AC，∠ACF＝∠DFC＝90°，
∴∠ACB＝∠FCD，
在△ABC和△FDC中，
∴△ABC≌△FDC（SAS），
∴AB＝DF，
过点E作EH⊥BG于点H，则∠EBH＝∠ACB，∠EHB＝∠BAC＝90°，BE＝BC，
∴△ABC≌△HEB（AAS），
∴EH＝AB，
设AB＝a，AC＝b，
∴a2+b2＝BC2＝36，
∵DG＝FG﹣DF＝AC﹣AB，
∴b﹣a＝2，
∴a2﹣2ab+b2＝4，
∴36﹣2ab＝4，
∴ab＝16．
∴S△AEG＝AG•EH＝AC•AB＝ab＝×16＝8．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，证明△ABC≌△FDC是解题的关键．
二．填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
11．分解因式：4﹣x4＝ （2+x2）（+x）（﹣x） ．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】解：原式＝（2+x2）（2﹣x2）
＝（2+x2）（+x）（﹣x）．
故答案为：（2+x2）（+x）（﹣x）．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．
12．不等式组的解集为 3≤x＜4 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式≥2，得：x≥3，
解不等式x﹣4＜0，得：x＜4，
则不等式组的解集为3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．已知扇形的弧长为6πcm，面积为24πcm2，则该扇形的圆心角度数为 135° ．
【分析】根据扇形的弧长为6πcm，面积为24πcm2，可以得到该扇形所在圆的半径，然后即可计算出该扇形所对的圆心角的度数．
【详解】解：设该扇形的半径为r，圆心角为n°，
∵扇形的弧长为6πcm，面积为24πcm2，
∴×6π•r＝24π，
解得，r＝8，
∵6π＝，
∴n＝135°，
故答案为：135°．
【点睛】本题考查扇形面积的计算、弧长的计算，解答本题的关键是明确题意，利用扇形的弧长和面积公式解答．
14．如图：在△ABC中，D，E为边AB上的两个点，且BD＝BC，AE＝AC，若∠ACB＝108°，则∠DCE的大小为 36° ．
【分析】设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝108°﹣∠ACE＝108°﹣x﹣y，根据等边对等角得出∠ACE＝∠AEC＝x+y，∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝108°﹣y．然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+（108°﹣y）+（x+y）＝180°，解方程即可求出∠DCE的大小．
【详解】解：设∠DCE＝x，∠ACD＝y，则∠ACE＝x+y，∠BCE＝108°﹣∠ACE＝108°﹣x﹣y．
∵AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC＝x+y，
∵BD＝BC，
∴∠BDC＝∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝108°﹣x﹣y+x＝108°﹣y．
在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC＝180°，
∴x+（108°﹣y）+（x+y）＝180°，
解得x＝36°，
∴∠DCE＝36°．
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．
15．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝（x＞0）经过菱形ABCD的边CD的中点P，A，C在x轴上，B（0，﹣2），D（0，2），过点D作DM⊥AB，垂足为M，交x轴于点N，则AN的长为 ．
【分析】作PQ⊥x轴于Q，则PQ∥y轴，根据题意求得PQ＝1，把y＝1代入y＝（x＞0）得，求得x＝，即可求得OC＝2，根据菱形的性质即可求得OA＝2，解直角三角形求得∠DAO＝30°，进而证得△ABD是等边三角形，由AO⊥BD，DM⊥AB，即可得出AN＝OA＝．
【详解】解：作PQ⊥x轴于Q，则PQ∥y轴，
∵P是CD的中点，
∴PQ＝OD，
∵B（0，﹣2），D（0，2），
∴OB＝OD＝2，
∴PQ＝1，
把y＝1代入y＝（x＞0）得，1＝，
∴x＝，
∴OQ＝，
∴OC＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝2，
∴tan∠DAO＝＝＝，
∴∠DAO＝30°，
∴∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵AO⊥BD，DM⊥AB，
∴AN＝OA＝×2＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，垂心的性质等，证得△ABD是等边三角形是解题的关键．
16．图1是一张矩形折纸，其中图形①，③，⑤分别与图形②，④，⑥关于AB所在的直线成轴对称，现沿着虚线剪开，部分剪纸拼成不重叠、无缝隙的正方形（如图2），若正方形边长为9，图2中所标注的d1的值为6，d2的值为整数，则图1中矩形的宽为 ，矩形的长为 ．
【分析】如图2中，由题意EF＝3，FG＝GH，设FG＝GH＝x，利用勾股定理求出x，再利用图1证明△ECJ∽△GFE，推出＝＝，推出＝＝，可得FG＝，EF＝，由此即可解决问题．
【详解】解：如图2中，由题意EF＝3，FG＝GH，设FG＝GH＝x，
则有x2＝（9﹣x）2+32，
∴x＝5，
如图1中，则有EJ＝5，EC＝3，CJ＝4，EG＝6，
由△ECJ∽△GFE，
∴＝＝，
∴＝＝，
∴FG＝，EF＝，
∵AJ+BG＝EJ＝5，
∴AC+FB＝CJ+AJ+FG+GB＝4+5+＝，
∴AC＝FB＝，
∴CM＝，CF＝CE+EF＝3+＝，
∴图1中，矩形的长为，宽为．
故答案为：，．
【点睛】本题考查矩形的性质，图形的拼剪，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17．计算：
（1）+﹣．
（2）﹣+．
【分析】（1）首先计算开平方和立方根，然后再计算加减即可．
【详解】解：（1）原式＝9﹣3﹣4＝2；
（2）原式＝﹣+，
＝，
＝，
＝，
＝．
【点睛】此题主要考查了分式的加减法和实数的运算，关键是掌握分式加减计算法则．
18．已知：如图，AE、BD相交于点O，点C是线段AB的中点，CE＝CD，∠ACD＝∠BCE，
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）判断△OAB的形状，并说明理由．
【分析】（1）点C是线段AB的中点得AC＝BC，由∠ACD＝∠BCE，根据等式的性质得∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，得∠ACE＝∠BCD，又因为CE＝CD，所以根据全等三角形的判定定理“SAS”即可证明△ACE≌△BCD；
（2）由△ACE≌△BCD得∠A＝∠B，根据“等角对等边”得OA＝OB，则△OAB是等腰三角形．
【详解】（1）证明：如图，∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．
（2）解：△OAB是等腰三角形，
理由如下：∵△ACE≌△BCD，
∴∠A＝∠B，
∴OA＝OB，
∴△OAB是等腰三角形．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，根据题中所给的条件找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
19．某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 120 名；
（2）直接在答题卡中补全条形统计图；
（3）求拓展课程C（音乐鉴赏）所对应的扇形的∠1的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该校800名学生中，有多少名学生最喜欢D（劳动实践）拓展课程．
【分析】（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生人数；
（2）根据条形统计图中的数据，即可计算出选择B的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）用360°乘以C（音乐鉴赏）所占比例可得答案；
（4）用样本估计总体即可．
【详解】解：（1）此次被调查的学生人数为：12÷10%＝120（名），
故答案为：120；
（2）选择B的学生有：120﹣12﹣48﹣24＝36（名），
补全的条形统计图如图：
（3）360°×＝144°，
即拓展课程C（音乐鉴赏）所对应的扇形的圆心角的度数是144°；
（4）800×＝160（名），
答：估计该校800名学生中，有160名学生最喜欢D（劳动实践）拓展课程．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、频数（率）分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．如图在8×8的方格纸ABCD中，M，N分别是AD，AB的中点，请按要求画格点线段（端点在格点上），且所画的线段端点均不与点A，B，C，D重合．
（1）在图1中画一条格点线段EF平分MN，使E，F在四边形ABCD的边上，且不与它的边平行．
（2）在图2中画一条格点线段GH，使得MN平分GH，且G，H在四边形ABCD的边上．
【分析】（1）根据要求利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据题目要求利用数形结合的思想画出图形即可．
【详解】解：（1）如图1中，线段EF即为所求（答案不唯一）；
（2）如图2中，线段GH即为所求（答案不唯一）
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，学会两条数形结合的思想解决问题．
21．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知OA＝3，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣．
（1）求出该抛物线的表达式及点B、C的坐标；
（2）连接AC，将线段AC平移，使得平移后线段的一个端点恰好在这条抛物线上，另一个端点在对称轴上点A、C平移后的对应点分别记为点D、E，求D、E点坐标．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，进而根据抛物线的解析式可求出C，B两点的坐标；
（3）由平移的性质、结合图象可知D的横坐标，代入抛物线解析式即可求得D点的坐标，进而得出E点的坐标．
【详解】解：（1）∵OA＝3，
∴A（﹣3，0），
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣，且过点A，
∴，
解得，
∴该抛物线的函数表达式为y＝x2+x﹣6；
令x＝0，得y＝﹣6，
∴C（0，﹣6），
令y＝0，得x2+x﹣6＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣3，
∴B（2，0）；
（2）由题意可知D点的横坐标为﹣或﹣，
把x＝﹣代入y＝x2+x﹣6得，y＝，
∴D（﹣，），
∵OC＝6，
∴E的纵坐标为﹣6+＝﹣，
∴E（﹣，﹣），
当D的横坐标为﹣时，
∴E点的横坐标为﹣+3＝，
把x＝代入y＝x2+x﹣6得，y＝，
∴E（，），
∵OC＝6，
∴D的纵坐标为6+＝，
∴D（﹣，），
故D点的坐标为（﹣，），E点的坐标为（﹣，﹣），或D点的坐标为（﹣，），E点的坐标为（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决点的坐标问题．
22．如图，圆内接四边形ABDC中，AB＝AC＝4，AD＝5，E为弧CD的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM＝4．
（1）求证：∠DBM＝∠DAF；
（2）求BD•DC的值．
【分析】（1）设∠DAE＝α，∠ADC＝β，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠EAC＝α，∠ADC＝∠ADB＝β，再利用圆内接四边形的性质得到∠BDC+∠BAC＝180°，则∠BAM＝180﹣2α﹣2β，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BMA＝α+β，然后根据三角形外角性质得到∠DBM＝α，从而得到结论；
（2）证明△BDM∽△ADF，利用相似比得到BD•DF＝5，再根据角平分线的性质得到，则DF＝CF，所以DF＝DC，于是可计算出BD•DC＝9．
【详解】（1）证明：设∠DAE＝α，∠ADC＝β，
∵E为弧CD的中点，
∴∠DAE＝∠EAC＝α，
∵AB＝AC，
∴弧AB＝弧AC，
∴∠ADC＝∠ADB＝β，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAM＝180﹣2α﹣2β，
∵AB＝AM＝4，
∴∠BMA＝（180°﹣∠BAM）＝α+β，
而∠BMA＝∠DBM+∠ADB，
∴∠DBM＝α，
∴∠DBM＝∠DAF；
（2）解：∵∠DBM＝∠DAF，∠ADC＝∠ADB，
∴△BDM∽△ADF，
∴，
∴BD•DF＝DM•DA＝1×5＝5，
∵AE平分∠DAC，
∴
∴DF＝CF，
∴DF＝DC，
∴BD•DF＝BD•DC＝5，
∴BD•DC＝9．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质．
23．随着新冠疫情的出现，口罩成为日常生活的必需品，某医药公司每月生产甲、乙两种型号的防疫口罩共20万只，且所有口罩当月全部卖出，其中成本、售价如表：
（1）若该公司三月份的利润为100万元，求生产甲、乙两种型号的防疫口罩分别是多少万只？（利润＝售价﹣成本）
（2）如果该公司四月份投入成本不超过216万元，该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩多少万只？
（3）某学校到该公司购买乙型口罩有如下两种方案，方案一：乙型口罩一律打9折：方案二：购买168元会员卡后，乙型口罩一律8折，请帮学校设计出合适的购买方案．
【分析】（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，结合该公司三月份生产两种口罩20万只，且该公司三月份的利润为100万元，列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，根据该公司四月份投入成本不超过216万元，列出一元一次不等式，解之即可解决问题；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为5.4a元，选项方案二所需费用为（168+4.8a）元，分5.4a＜168+4.8a，5.4a＝168+4.8a及5.4a＞168+4.8a三种情况，可求出a的取值范围（或a的值），进而可得出：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【详解】解：（1）设生产甲型口罩x万只，乙型口罩y万只，
依题意得：，
解得：，
答：生产甲型口罩15万只，乙型口罩5万只．
（2）设生产甲型口罩m万只，则生产乙型口罩（20﹣m）万只，
依题意得：12m+4（20﹣m）≤216，
解得：m≤17．
答：该医药公司四月份最多只能生产甲种防疫口罩17万只；
（3）设购买乙型口罩a只，则选择方案一所需费用为6×0.9a＝5.4a（元），选择方案二所需费用为168+6×0.8a＝（168+4.8a）（元）．
当5.4a＜168+4.8a时，a＜280；
当5.4a＝168+4.8a时，a＝280；
当5.4a＞168+4.8a时，a＞280．
答：当购买数量少于280只时，选择方案一购买更实惠；当购买数量等于280只时，选择两种方案所需费用相同；当购买数量多于280只时，选择方案二购买更实惠．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式；（3）分三种情况，求出a的取值范围（或a的值）．
24．在△ABC中，P是BC边上的一动点，连接AP．
（1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BAP＝15°，且PC＝+1．求：△ABP的面积．
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AB＝AC，AP为边作等腰Rt△APE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，猜想PE，PB，AF之间有何数量关系？并证明你的结论．
（3）如图3，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，若∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝9﹣3，当DE最小时，请直接写出DE的最小值．
【分析】（1）过A作AD⊥BC于D，由等腰直角三角形的性质∠B＝∠C＝45°，AD＝BC＝BD＝CD，再由含30°角的直角三角形的性质得AP＝2PD，则AD＝PD，设PD＝x，则AD＝x，则CD＝AD＝x，然后由PD+CD＝PC，PC＝+1，求出x＝1，即可解决问题；
（2）连接CE幷延长，交BA的延长线于D，证△CAE≌△BAP（SAS），得EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，则∠PCE＝90°，再由勾股定理得PC2+EC2＝PE2，则PC2+PB2＝PE2，然后由三角形中位线定理得DE＝2AF，证△PAC≌EAD（ASA），得PC＝DE，即可得出结论；
（3）证A、E、P、D四点共圆，且AP为直径，当AP⊥BC时，线段DE的值最小，再证△ADE∽△ACB，得＝，设AE＝2x，则PE＝CE＝2x，AP＝2x，取AP的中点O，连接OD，则OD＝AP＝OA＝OP＝x，过D作DM⊥AP于M，则DM＝x，然后求出AM＝x+x，AD＝（+1）x，即可解决问题．
【详解】解：（1）过A作AD⊥BC于D，如图1所示：
则∠ADP＝90°，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，AD＝BC＝BD＝CD，
∵∠BAP＝15°，
∴∠APD＝∠B+∠BAP＝45°+15°＝60°，
∴∠PAD＝90°﹣60°＝30°，
∴AP＝2PD，
∴AD＝＝＝PD，
设PD＝x，则AD＝x，
∴CD＝AD＝x，
∵PD+CD＝PC，PC＝+1，
∴x+x＝+1，
解得：x＝1，
∴BD＝CD＝AD＝，
∴BP＝BD﹣PD＝﹣1，
∴S△ABP＝BP×AD＝×（﹣1）×＝；
（2）PE2＝PB2+4AF2，证明如下：
连接CE幷延长，交BA的延长线于D，如图2所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠BAP+∠CAP＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝90°，AP＝AE，
∴∠CAE+∠CAP＝90°，
∴∠CAE＝∠BAP，
∴△CAE≌△BAP（SAS），
∴EC＝PB，∠ACE＝∠ABP＝45°，
∴∠PCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°，
∴PC2+EC2＝PE2，
∴PC2+PB2＝PE2，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝90°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AC＝AD，
∵AB＝AC，
∴AB＝AD，
又∵F是BE的中点，
∴AF是△BDE的中位线，
∴DE＝2AF，
∵∠PAE＝∠CAD＝90°，
∴∠PAE﹣∠CAE＝∠CAD﹣∠CAE，
即∠PAC＝∠EAD，
又∵∠ACP＝∠ADE＝45°，
∴△PAC≌EAD（ASA），
∴PC＝DE，
∴PC＝2AF，
∴（2AF）2+PB2＝PE2，
∴PE2＝PB2+4AF2；
（3）∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
∴∠ADP＝∠AEP＝90°，
∴∠ADP+∠AEP＝180°，
∴A、E、P、D四点共圆，且AP为直径，
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣75°﹣45°＝60°是定值，
∴直径AP最小时，∠DAE所对的弦最小，
∴当AP⊥BC时，线段DE的值最小，
在Rt△PEC中，∠C＝45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，∠APE＝45°，
∴△APE是等腰直角三角形，
∴∠PAE＝45°，AE＝PE，
∴∠PDE＝∠PAE＝45°，
∴∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠C＝45°，
∵∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB，
∴＝，
设AE＝2x，则PE＝CE＝2x，AP＝2x，
∴AC＝4x，
如图3，取AP的中点O，连接EO，
则OD＝AP＝OA＝OP＝x，
∵∠DAP＝∠BAC﹣∠PAE＝60°﹣45°＝15°，
∴∠DOP＝2∠DAO＝30°，
过D作DM⊥AP于M，则DM＝OD＝x，
∵cs∠DOP＝cs30°＝＝，
∴OM＝OD＝x，
∴AM＝x+x，
由勾股定理得：AD＝＝＝（+1）x，
∴＝，
解得：DE＝，
则线段DE的最小值为．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义、三角形面积以及垂线段最短等知识，本题综合性强，有一定难度，正确作出辅助线，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
甲
乙
成本
12元/只
4元/只
售价
18元/只
6元/只